【教学课件】第二章优化的数学基础

15
机械优化设计 上式写成矩阵形式：
f (x)
f
( x0
)


f x1
1 2
x1
2 f

x2

x12 2 f
x1x2
f x2

x0
x1 x2


2 f
x1x2

2 f
x1 x2

机械优化设计
第二章 优化设计的数学基础
一、多元函数的方向导数和梯度
二、多元函数的泰勒展开
三、无约束优化问题的极值条件
四、凸集、凸函数与凸规划 五、等式约束优化问题的极值条件
六、不等式约束优化问题的极值条件
2020/2/20
1
机械优化设计
一、多元函数的方向导数和梯度
1、方向导数
二元函数 f (x1, x2 )在 x0 x10, x20 点处的偏导数的定义是：
23
机械优化设计 定理：若二次函数 f (X ) 1 X TQX bX c 中Q正定，
2 则它的等值面是同心椭球面族，且中心为 X Q1b
证明：作变换 X Y Q1b ，代入二次函数式中：
(Y ) f (Y Q1b)
1 (Y Q1b)Q(Y Q1b) bT (Y Q1b) c 2


f x1
xn
cosn

n i 1
f xi
x0
cosi
2020/2/20
4
机械优化设计
2、二元函数的梯度
f d
x0
f x1
cos 1 +
x0
f x2

(5)令 x＝ 5sinθ(－π2≤θ≤π2)，
得 y＝ 5sinθ＋ 5－ 5sinθ2 ＝ 5sinθ＋ 5cosθ＝ 10sin(θ＋π4)． ∵－π2≤θ≤π2，∴－π4≤θ＋π4≤34π.
于是－ 22≤sin(θ＋π4)≤1， 则－ 5≤ 10sin(θ＋π4)≤ 10， 即－ 5≤y≤ 10. ∴所求值域为[－ 5， 10]．
解析：分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝32x＋12， y＝x2－4x＋3 的图象(如图)，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数 f(x)的表达式：
x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1，
f(x)＝
32x＋211＜x≤5， x2－4x＋3x＞5.
f(x)的 图 象 是
∴f(x)的值域为[－52，－2]∪[－32，32]．
【名师点评】 求某个函数的最值或值域时，首 先要仔细、认真地观察其解析式的特征，然后再 选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数的 单调性法．
互动探究4 例4条件不变，设函数g(x)＝ax－2， x∈[－2，2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存 在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a 的取值范围．
3．函数值域的主要求法 (1)利用函数的单调性 若y＝f(x)是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、 f(b)分别是f(x)在区间[a，b]上的最_小__(_大__)值， 最_大__(_小__) 值． (2)利用配方法
将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式， 用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的 值是否能使完全平方式取得__零__．__
第二节 函数的定义域、值域和最值
第
二
节

跟踪训练3 如图，在△ABC中，顶点 、B和内 如图， 跟踪训练 中 顶点A、 和内 的坐标分别为A(9,1)、B(3,4)、I(4,1)，求顶点 心I的坐标分别为 的坐标分别为 、 、 ， C的坐标． 的坐标． 的坐标
y－1 x－9 － － 法一： 解：法一：AB 边所在直线方程为 ＝ ， 4－1 3－9 － － 即 x＋2y－11＝0. ＋ － ＝ 由于内心 I 到直线 AB 的距离等于内切圆半径 r， ， |4＋2×1－11| ＋ × － 则 r＝ ＝ ＝ 5. 5 设 AC 边所在直线的方程为 y－1＝k(x－9)， － ＝ － ， 即 kx－y＋1－9k＝0. － ＋ － ＝ 又 I 到直线 AC 的距离也是 5， ，
a＝1 ＝ 由①②方程联立，解得 ＝－4 ＝－ b＝－ a＝27 ＝ 7 8 ＝－ b＝－7
，或
.
27 8 所以， ，－4)或 所以，所求的点为 P(1，－ 或 P( ，－ )． ，－ ． 7 7
点评】 【 点评 】 解析几何的主要方法就是利用点的 坐标反映图形的位置． 对于求点的问题， 坐标反映图形的位置 ． 对于求点的问题 ， 首先 需设出点的坐标， 根据题目中的条件， 需设出点的坐标 ， 根据题目中的条件 ， 用点的 坐标表示出来， 列出方程组进行求解， 坐标表示出来 ， 列出方程组进行求解 ， 即可得 出所需结论． 出所需结论 ． 对于所求点到两定点的距离相等 的问题， 根据直线的性质可知， 的问题 ， 根据直线的性质可知 ， 点一定在连接 两点的线段的垂直平分线上， 两点的线段的垂直平分线上 ， 然后再根据题目 给出的条件即可求出点的坐标． 给出的条件即可求出点的坐标．
直线l经过点 直线 经过点P(2， － 5)， 且与点 经过点 ， ， 且与点A(3， － 2) ， 的距离之比为1∶ ，求直线l的方程 的方程． 和B(－1，6)的距离之比为 ∶2，求直线 的方程． － ， 的距离之比为 分析】 在已知一点求直线方程时， 【 分析 】 在已知一点求直线方程时 ， 应首先考 虑斜率不存在时直线是否满足题意， 虑斜率不存在时直线是否满足题意 ， 然后再设出 斜率，利用点到直线的距离公式求之． 斜率，利用点到直线的距离公式求之． 直线l过点 过点P(2， 【解】 ∵直线 过点 ，－5)，当斜率不存在时， ，当斜率不存在时， 直线为x＝ ，这时d 直线为 ＝2，这时 1＝1，d2＝3，d1∶d2≠1∶2， ， ， ∶ ， 所求直线的斜率是存在的． ∴所求直线的斜率是存在的． 设直线l的方程为 的方程为y＋ ＝ － ， ∴设直线 的方程为 ＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0， － － － ＝ ，

54 6
多个有理数相乘
时若存在带分数， 要先将其画成假分 数，然后再进行计 算.
巩固练习
计算：
（1）(−4)×5×(−0.25)；
（2）
(
3 5
)
(
5) 6
(2).
解：（1）(−4)×5 ×(−0.25)
（2）
(
3 5
)
(
5 6
)(Βιβλιοθήκη )= [−(4×5)]×(−0.25)
[( 3 5)] (2)
探究新知
(+2)×(+3)= +6 (–2)×(+3)= –6 2×0=0
(–2)×(–3)= +6 (+2)×(–3)= –6 (–2)×0=0
根据上面结果可知：
1.正数乘正数积为＿正＿数；负数乘负数积为＿正＿数; （同号得正）
2.负数乘正数积为＿负＿数；正数乘负数积为＿负＿数; （异号得负）
探究新知
相反数 是自己
探究新知
求一个数的倒数的方法：
1. 求一个不为0的整数的倒数，就是将该整数作分母，1作分子； 2. 求一个真分数的倒数，就是将这个真分数的分母和分子交换位置； 3. 求一个带分数的倒数，先将该数化成假分数，再将其分子和分母的
位置进行互换； 4. 求一个小数的倒数，先将该小数化为分数，再求其倒数 .
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下 降3厘米，4天后，甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
第四天 第三天 第二天 第一天
第一天 第二天 第三天 第四天
甲水库
乙水库
探究新知
知识点 1 有理数的乘法法则 探究：如图，一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的

2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 ． 方程组 的解 无解 有惟 一解 交点 无 两直线____交点 直线____交点 两条直线 两条直线 有一个 交点 _________交点 两直线位 置关系 平行 相交 重合 方程系 方程系 数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1 A1B2≠A2B1 A1B2＝A2B1 B2C1＝B1C2
12－12k － x＝ ＝ ， 4k＋1 ＋ 得 7k－2 － ＝ y＝4k＋1. ＋
6分
又两条直线的交点在第一象限， 又两条直线的交点在第一象限，
12－12k － x＝ ＝ ＞0， ， 4k＋1 ＋ 所以 7k－2 － ＝ ， y＝4k＋1＞0， ＋
2 解得 ＜k＜1.12 分 ＜ 7
法二： ∵ 法二： 直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y － － ＝ ＋ ＋2＝0 的交点， ＝ 的交点， 的方程为： － － ＋ ＋ ＋ ∴可设直线 l 的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋ 2)＝0， ＝ ， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ＋ ＋ － ＋ － ＝ ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ＋ － ＝ 平行， λ＋2 λ－3 2λ－3 ＋ － － 11 ∴ ＝ ≠ ，解得 λ＝ . ＝ 1 2 3 －1 从而所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0. ＋ ＋ ＝
法二：设直线 的方程为 的方程为x－ ＋ ＋ ＋ － ＝ 法二：设直线l的方程为 －2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， ＋ ＋ － ＋ － ＝ ， 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ⊥ × ＋ ＋－ － ＝ ， 解得λ＝ ， 解得 ＝11， 的方程为4x＋ － ＝ ∴直线l的方程为 ＋3y－6＝0. 直线 的方程为 名师点评】 【名师点评】 直线系是直线和方程的理论发展, 直线系是直线和方程的理论发展 是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧， 是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧 ， 应注意掌握和应用． 应注意掌握和应用．

课堂练习
1.口算题
23 + 65 = 88 56 – 24 = 32 47 + 36 = 84
35 – 26 = 9 27 + 18 = 45 86 – 37 = 49
口算两位数减两位数时，如果个位上不够减, 要从十位退1再减。
教材第11页做一做
2.买一双鞋74元，一双袜子17元，买一双鞋比
一双袜子贵多少元？
两位数的计算方法，解决几百几十加、减几百 几十的问题。
【重点】 正确笔算几百几十数加、减几百几十。
方法1
先算34＋30＝64， 再算64＋5＝69。
35 + 34 = 69
30 5 64
说一说你是怎么想的。你先算什么？后算什么？
01 先算30 + 30 = 60 02 再算5 + 4 = 9 03 60 + 9 = 69
35 + 34 = 69
30 5 30 4 60 9
方法2
对比以上几种方法，试着总结两位数加两位数 不进位的口算方法。
40 – 1 84
转化
两位数 + 两位数
两位数 + 相近整十数 - 一位数
方法3
（2）二年级一共需要多少个座位？
39 + 44 = 83（个） 答：二年级一共需 要83个座位。
考考你（二）。
15 + 65 = 80 60 5
75
74 + 17 = 91 70 4 10 7
80 11
先算 15 + 60 =（75）
79 + 4= 83 66 + 8= 74
两位数加整十数 ,可 两位数加一位数时， 以先把十位上的数相 可以先把个位上的数 加，再加个位上的数。 相加，再加整十数。

本章重点: 搜索区间确实定与区间消元法原理，用黄金 分
割法和牛顿法求一元函数极小点。 本章难点: 牛顿法，二次插值法。
第12页
第四章 无约束优化方法
一、考评知识点与考评要求
1. 最速下降法（梯度法） 识记: 最速下降法定义；最速下降法特点，最速下降法 搜索方向。 领会: 最速下降法搜索路径和步骤。 应用: 用最速下降法求函数极值。
识记: 离散变量组合型法原理；初始复合型顶点形成。 领会: 离散一维新点产生方法；约束条件处理及几何
意义；离散变量组合型法搜索步骤；离散变量组 合型法收敛准则。 应用: 离散处罚函数法求解一维优化问题几何意义。
作用约束。 应用: 二维约束优化问题极值点所处不一样位置几何描
述。
第5页
第一章 优化设计概述
3.优化设计问题基本解法 识记: 优化准则法；数值迭代法；搜索方向；最正确 步长；几个迭代收敛准则: 模准则、值准 则和梯度准则。 领会: 优化准则法和数值迭代法极值点搜索过程 及特点。 应用: 优化准则法和数值迭代法迭代公式；收敛准 则及收敛精度选取。
散处罚因子。 领会: 离散处罚函数构建和几何意义；离散处罚函数法计
算步骤。 应用: 离散处罚函数法求解一维优化问题几何意义。
第25页
第七章 多目标和离散变量优化方法
9. 离散变量搜索型方法——离散复合型法 识记: 离散复合型法原理；离散复合型顶点构建。 领会: 离散复合型法搜索迭代过程。 10.离散变量型网格法 识记: 离散变量型普通网格法和正交网格法原理。 领会: 正交网格表生成方法；正交网格法计算步骤。 11.离散变量组合型法
行条件，下降条件。 领会: 可行方向产生方法；步长确实定: 最优步长、试
验步长计算、试验点调整到约束面方法；可行 方向法计算步骤。 应用: 用可行方向法求约束优化问题最优解。

n 声扑通跳下水.
注意：在含有字母的式子中若出现乘号，通常将乘 号写作“•”或省略不写.如：100×a可以写成100•a或 100a.
用含有字母的式子填空： 1.边长为a的正方体的表面积为__6_a_2,体积为__a_3__. 2.铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍， 圆珠笔的单价是_2__.5_x__元. 3.全校学生总数是m,其中女生占总数的48％，则男生人 数是 _5_2_%__m____. 4. 一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的 路程为____v_t_____千米. 5.数n的相反数是 __-_n___.
像3ab2与-4ab2 这样，所含字母相同，并且相同字母的指 数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
1.判断下列各组中的两项是否是同类项： (1) -5ab3与3a3b ( 否 ) (2)3xy与3x( 否 ) (3) -5m2n3与2n3m2( 是 ) (4)53与35 （ 是 ） (5) x3与53 ( 否 )
5 (3) 4a2 3b2 2ab 4a2 4b2.
解：1 xy2 1 xy2
5
(1 1)xy2 5
4 xy2. 5
请你自己做做第（2）、（3）小 题
(1) 运用有理数的运算律计算: 100×2+252×2=____7_0_4___, 100×(-2)+252×(-2)=___-_7_0_4___;
(2) 根据(1)中的方法完成下面的运算， 100t+252t=___3_5__2_t__.
填空: (1) 100t-252t=( -152 )t； (2) 3x2+2x2=( 5 )x2； (3) 3ab2-4ab2=( -1 )ab2． 上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 100t和-252t 都含有相同的字母 t，并且t 的指数都是 1，我们就把100t与-252t 叫做同类项.

点评】 【点评】
对称， 设P与P′关于直线 对称，则几何条 与 ′关于直线l对称
件为PP′ ， 件为 ′ ⊥ l， 且 PP′ 的中点在直线 上 ， 转化 ′ 的中点在直线l上 为代数式后即可解得所求点的坐标． 为代数式后即可解得所求点的坐标．
跟踪训练3 跟踪训练
已知直线l： ＋ － ＝ ，试求： 已知直线 ：x＋2y－2＝0，试求：
(2)线关于点的对称直线 线关于点的对称直线 直线l： ＋ ＋ ＝ 关于 关于P(x0 ， y0)的对称直线为 直线 ： Ax＋ By＋ C＝ 0关于 的对称直线为 A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0 ＋ ＋ ＝ ___________________________. (3)线关于线的对称性 线关于线的对称性 设直线l：Ax＋By＋C＝0， 设直线 ： ＋ ＋ ＝ ， ＋ － ＋ ＝ 关于x轴对称的直线是 ①l关于 轴对称的直线是：___________________； 关于 轴对称的直线是： Ax＋B(－y)＋C＝0 ； － ＋ ＋ ＝ 关于y轴对称的直线是 ②l关于 轴对称的直线是：__________________； 关于 轴对称的直线是： A(－x)＋By＋C＝0 ； 关于原点对称的直线是： ③ l关于原点对称的直线是 ： ____________________； 关于原点对称的直线是 ； A(－x)＋B(－y)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝ 关于y＝ 对称的直线是 对称的直线是： ④l关于 ＝x对称的直线是：______________； 关于 ； ＋ 的 直 ⑤ l 关 于 直 线 y ＝ － xBx＋称 ＋C＝0 线 是 ： 对 Ay＋ ＝ __________________________. A(－y)＋B(－x)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝

= 853.5+237.2–325+138.5–280–520+103 = 853.5+237.2+138.5+103–(325+280+520) = 1332.2–1125 =207.2（元）. 答：这一星期内该超市盈利207.2元.
探究新知
例3 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时， 最重要的一项工作就是称体重. 已知某动物园对6只成 年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超过或 者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如 下表所示，求这6只企鹅的总体重.
当堂训练
基础巩固题
1.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ D ）
A. 1–4+5–4=1–4+4–5
B. 1 3 1 1 1 3 1 1 3464 4436
C. 1–2+3–4=2–1+4–3
D. 4.5–1.7–2.5+1=4.5–2.5+1–1.7
当堂训练
2. 若a= –2，b=3，c= –4 ，则a–(b–c)的值为 ___–_9____.
课后作业
完成课后练习题.
例2 2017年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞机做特技表演， 起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
记作
+4.5千米 –3.2千米 +1.1千米 –1.4千米
此时飞机比起飞点高了多少千米?
探究新知
解： 4.5＋(–3.2)＋1.1＋(–1.4) = (4.5＋1.1)＋[(–3.2)＋(–1.4)] = 5.6＋(–4.6)=1 (千米)
33
3

其中，x1 x1 x10，x2 x2 x20
二元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f
x
f
x0
f x1
f x2
x0
x1
x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x2x1
f
x0
f
T
1T
x0 x x G
x0
x …
2
2 f
x1x2 2 f x22
x0
例：设目标函数f (x)
f (x1, x2 ) 4
x12 x2 , 求点x0
[1
1]T 处沿
d1和d2两个方向的方向导数。
向量d1的方向为：1
2
，
4
向量d2的方向为：1
3
，2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
优化设计基础课件
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。
二元函数的偏导数：
一个二元函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的偏导数是
f lim f x10 x1, x20 f x10 , x20
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
T
f
,
x2
x0
方向导数与梯度的关系： f f (x0 )T d f (x0 ) cos(f , d) d x0
二元函数f
(
x1,
x2

1)x-1=0有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知x1+x2=
由题意知x1+x2=0,∴k=1.
−1
,

ห้องสมุดไป่ตู้
1
(3)解 当 k>0 时,x1=1,x2=- <0,不符合题意;

1
- > 2,
1
1
当-1≤k<0 时,x1=- ,x2=1,2< <3,得 1
解得-2<k<-3;当 k<-1
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;
(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.
解 (1)由不等式 y>0 的解集为{x|-3<x<1},可知方程 ax2+(b-2)x+3=0 的两
3
(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-2成立?若存在,求出 k 的值;若不存

②当u1=0,a1≠0 时，g1(x)=a-x＜0，约束不起作用，即为x>a 的情况。
上述分析可表示为：u1
0 0
, g1( x) 0 为起作用约束，即x=a , g1( x) 0 为不起作用约束，即x>a
上式表明， u1与g1(x)至少必有一个为0，因此，可将u1a1=0的
条件写成：
u1g1(x)=0。
若将这些关系式代入到目标函数中，从而得到只含xl+1, xl+2,…,xn共n-l个变量的函数，这样就可以利用无约束优化问题 的极值求解。
二、拉格朗日乘子法
通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。
对于具有l个等式约束的N维优化问题：
min f(x)
s.t. hk(x)=0 (k=1, 2, … , l) 为了求出f(x)的可能极值点x*=[x1* x２*… xn*]T，引入拉格朗日 乘子k (k=1, 2, … , l) ，并构成一个新的目标函数：
2F
x12
2F
2
F
(
x*
)
x2x1
2F
xnx1
2F x1x2 2F
x22
2F xnx2
2F
x1xn
2F
x2xn
正定或负定
2F
xn2 x*
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 正定，即各阶主 子式均大于零，则x*为极小点。
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 负定，即各阶主 子式负、正相间，则x *为极大点。
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal

9～11年级的教材已经注意渗透微积分思想。
英国在高级水平(A-level)、次高级水平(AS-level) 的《纯数学》教材中，已经全面介绍了微积分的思 想方法。 在数学Ⅱ、数学Ⅲ分别系统地介绍了微积分的概 念与方法
俄罗斯的数学学校开设了系统的《数学分析初步》 课程．
3．算法在必修课中得到初步介绍
数学教育所允许的下界．
2．课程内容的选择 高等学校不同的学科专业需要不同的数学基础，
因而要求考生在中学学习不同的相关学科．
英国高中数学
《纯数学》 反映了数学的共同基础，是高中数学
A水平和AS水平的必修课．
《统计》
《离散数学》 可由学生根据自己不同的发展方向
《力学》
选学部分内容．
高中数学的可选择模块
科目 数学基础 数学I 数学Ⅱ 数学Ⅲ 数学A 数学B 数学C
学分数 2
34
3
2
2
2
高中生至少在一学年里，每周学习2学时数学，成 绩合格，就能够达到高中毕业的最基本的数学要求。 必修课可选择“数学基础”或“数学I”中的—门． 如果高中毕业生要继续升学 人学考试 分两次进行
第一次是全国统考 数学考试的内容 数学I，数学A；数学Ⅱ，数学B．
在参加全国统一考试的10天之后 申请参加第二次考试 还需要选修数学Ⅲ或数学C
三、开阔数学视野。渗透现代数学思想 当前，高中数学教材内容的现代化表现在以下几个方面．
1．概率统计已经成为高中数学的主干内容 、英国、法国、俄罗斯、德国、 的高中数学都有
概率统计的必修内容
2．微积分的基础已经进入高中数学课程
质的发展 各国数学教材都精心设计了多种实验，引导学生在数学学习的过程中，通过适当的调查和实验，作出发现或猜想．

成本最低、 利润最大、 效率最高、 能耗最低、 综合性能最好
f(x*)
0
x*
x
在规定的范围内（或条件下），
寻找给定函数取得的最大值（或最
小值）的条件。
………
绪论
1.2 优化设计 优化设计是使某项设计在规定的各种设计限制条件下，
优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。
1.3 传统设计与优化设计 传统设计：求得 可行解，人工计算。 优化设计：解得 最优解，计算机计算。
优化问题的数学模型是实际优化问题的数学抽象。在
明确设计变量、约束条件和目标函数之后，优化设计问
题可以表示成一般的数学形式。
求设计变量向量
使
且满足约束条件
或可写成miຫໍສະໝຸດ f ( X ) f (x1, x2, , xn )
s.t.
gu ( X ) gu (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, m) hk ( X ) hk (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, k)
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第二章 优化设计的数学基础
等值线的分布规律： 等值线越内层其函数值越小（对于求目标函数的极小化来说） 沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变
没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为 极值点在无穷远处。
多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极 （小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别） 的值，才能确定极（小）值点。
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优化设计概述
一 优化设计内涵 二 优化设计基本过程——人字架的 优化设计 三 优化设计问题的描述——数学模型

答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是905.4千克.
巩固练习
某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运， 向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次 序记录如下：
＋9, –3, –5, ＋4, –8, ＋6, –3, –6, –4, ＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在 出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
1. 使 用 交 换 律 交 换 加 数时，一定要连同它 的符号一起移动; 2. 加 法 交 换 律 适 应 于 两个及两个以上数的 相加； 3. 计 算 有 理 数 加 法 时 ，如果遇到一个加数 前有负号且不是该式 的的第一个加数时， 应加上括号.
巩固练习
11 (2) 4.1+(+ 2)+(– 4 )+(–10.1)+7
例1 计算：16 +（–25）+ 24 +（–35）
解： 16 +（–25）+ 24 +（–35）
＝16 + 24 +[（–25）+ （–35）］ ＝40 +（–60）＝ –20
把正数与负数分别相 加，从而据是什么?
这样做既运用了加法 交换律，又运用了加 法结合律.
探究新知
归纳总结
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加. 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整. 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加. 4. 有小数相加时，把整数部分、纯小数部分分别结合相加.
探究新知
归纳总结
5. 含有带分数的加法运算方法如下， 化简：将带分数化简成整数和分数两个部分； 相加：先将整数部分和分数部分分别相加，并保留原带 分数的符号，再把两部分的结果相加.