平面向量数量积坐标表示的应用
- 格式：doc
- 大小：293.00 KB
- 文档页数：10
文档推荐
-
向量数量积的坐标表示页数:8
-
平面向量数量积的坐标运算ppt课件页数:19
-
空间直角坐标系、矢量、向量数量积、向量积页数:20
-
空间向量数量积及坐标运算页数:17
-
向量数量积的坐标运算页数:5
-
平面向量数量积的坐标运算含答案页数:7
下载文档原格式
合集下载
平面向量数量积的坐标表示
第六节 平面向量数量积的坐标学习目标：1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两个向量数量积的运算．2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点、难点：重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．学习过程：(一) 课前预习检查1.设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量,23j i OA +=则向量OA 的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量a 可用j i ,表示为 .2. 已知,1==j i ,j i ⊥,23j i a +=,j i b -==⋅b a .3. A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2),_____,=AB ______,=BA ．.______=AB4. (1) ______;=⋅b a(2) _____;______;==⋅a a a(3) .______cos ______;=⇔⊥θb a 5. 向量的数量积满足哪些运算律？(二） 提出问题，揭示课题我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么怎样用b a 和的坐标来表示b a ⋅呢？ (三） 新课探究1. 平面向量数量积的坐标表示问题1：如图，i 是x 轴方向上的单位向量,j 是y 轴方向上的单位向量,请计算下列式子：(1) ____,=⋅i i (2) ____,=⋅j j(3) ____,=⋅j i (4) .____=⋅j j问题2：如何推导b a ⋅的坐标公式.已知非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，设j i 和分别是x 轴和y 轴方向上的单位向量,则有,11j y i x a += j y i x b 22+=)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅∴j j y y i j y x j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=211221210,1,122=⋅=⋅==i j j i j i2121y y x x b a +=⋅∴两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.2. 向量的模和两点间的距离公式(1) 向量的模.,),,(22222y x a y x a y x a +=+== 或则设（2）两点间的距离公式.)()(),,(),(2212212211y y x x AB y x B y x A -+-=则、设3. 两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 0=⋅⇔⊥b a b a0)(),(21212,21,1=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则设（2）平行 0//)(),(12212,21,1=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则设4. 两向量夹角公式的坐标运算.c o s ,180000ba b a b a ⋅=≤≤θθθ则）（的夹角为和设 .c o s ,1800),(),,(222221212121002,211y x y x y y x x b a y x b y x a +⋅++=≤≤==θθθ则）（的夹角为和设.0,022222121≠+≠+y x y x 其中 (四）讲解例题 探究新知例1. 已知)1,1(),32,1(=+-=b a ，求.,,θ的夹角和b a b a b a ⋅⋅解： ,311)32(11+=⨯++⨯-=⋅b a322)32()1(22+=++-=a ， 21122=+=b)31(23242+=+=⋅∴b a,21)31(231c o s =++=θ001800≤≤θ 060=∴θ 例2. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 证明： )3,3()25,12(),1,1()23,12(-=---==--=AC AB031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC ABAC AB ⊥∴是直角三角形A B C ∆∴变式：.),,1(),3,2(的值求实数中，在k k OB OA OAB Rt ==∆例3. 求以点C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程.解: 设M(x,y)是圆C 上一点,则CM |=r,即 2r CMCM =⋅因为 (),,b y a x CM--= 所以()()222r b y a x =-+-,即为圆的标准方程.如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0,那么圆的标准方程就是.222r y x =+由解析几何知给定斜率为k 的直线l ,则向量),1(k m = 与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.例4 已知直线01243:1=-+y x l 和0287:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.解: 任取直线1l 和2l 的方向向量)43,1(-=m 和)7,1(-=n . 设向量m 与n 的夹角为θ, 因为θcos n m n m =⋅,从而,22)7(1)43(1)7()43(11cos 2222=-+⨯-+-⨯-+⨯=θ 所以θ=45°,即直线1l 和2l 的夹角为45°.（五） 课堂练习1. 已知)1,1(),432,2(=-=b a ，求.,θ的夹角和b a b a ⋅2. 已知),9,6(),2,3(-==b a 求证.b a ⊥3. 若),6,5(),3,4(=-=b a 则.___432=⋅-b a a4. 若),3,(),1,3(-==x b a ，且b a ⊥，则实数.____=x5. 若),7,4(),3,2(-==b a ，则b a 在方向上的投影是 ；6. 若()2,4=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标是 ；（六） 小结：平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.（七） 布置作业 课后巩固1. 已知三点()()(),7,6,3,2,5,7-C B A ，求证：ABC ∆直角三角形.2. 已知),5,(),0,3(k b a == ，.1350的值，求的夹角是与且k b a3. 已知直线017618:1=-+y x l 和09105:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.。
平面向量数量积的坐标表示
在物理学中，力可以看作向量，通过引入 向量的坐标表示，可以更方便地描述力的 方向和大小。
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义平面向量的数量积是指在平面上的两个向量之间进行的一种运算，也叫做点乘或内积。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角的余弦值与两个向量长度的乘积。
平面向量的数量积可以通过向量的坐标表示进行计算，公式如下：将向量a的坐标表示为a=(a1,a2)将向量b的坐标表示为b=(b1,b2)则两个向量的数量积表示为a·b=a1*b1+a2*b2几何意义：1.夹角：数量积的大小与两个向量之间的夹角有关。
若两个向量夹角为锐角，则其数量积为正值；若夹角为钝角，则其数量积为负值；若夹角为直角，则其数量积为零。
这是因为余弦函数在0°~90°范围内是递增的，所以夹角越小，余弦值越大。
2.正交性：若两个向量的数量积为零，则它们相互垂直，即两个向量是正交的。
这表示两个向量的方向相互垂直，没有共线的分量。
这个性质在几何中非常重要，特别是在研究平面直角坐标系中的直线和曲线时。
3. 向量的投影：平面向量的数量积还可以用于计算向量在另一个向量上的投影。
两个非零向量a和b的数量积可以表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别是向量a和b的长度，θ是a和b之间的夹角。
根据这个公式，可以得到向量a在向量b上的投影p的长度为p=，a，cosθ。
4.长度：向量本身的长度也可以通过数量积来计算。
一个非零向量a 的数量积a·a=，a，^2，其中，a，是向量a的长度。
这个公式也适用于负向量，只需要取绝对值即可。
所以，一个向量的长度等于它自身的数量积的平方根。
值得注意的是，数量积的结果是一个标量，而不是一个向量。
它只表示两个向量之间的关系，而不表示它们自身的性质。
数量积在解决几何问题、力学分析以及线性代数等领域中都有广泛的应用。
通过理解数量积的概念和几何意义，我们可以更好地应用向量进行问题的分析和解决。
平面向量的数量积与坐标
平面向量的数量积与坐标平面向量是我们在平面上研究问题时经常使用的工具。
在平面向量中，有一个重要的运算叫做数量积，也称为点积或内积。
数量积可以帮助我们计算向量的长度，夹角以及方向等信息。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积以及与坐标之间的关系。
1. 数量积的定义数量积（点积）是指两个向量相乘后对应分量相加的运算。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积（记作A·B或AB）定义为：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
2. 数量积的坐标表示通常情况下，我们用坐标来表示平面向量。
设有向量A = (x₁, y₁)和向量B = (x₂, y₂)，那么A·B的计算可以通过坐标之间的运算得到。
根据数量积的定义，我们有：A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
这个式子就是平面向量的数量积的坐标表示。
3. 数量积的性质数量积具有以下几个性质：- 交换律：A·B = B·A，即数量积的结果与顺序无关。
- 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C，即对一个向量的和进行数量积的结果等于对每个向量进行数量积后再相加。
- 数量积的零向量：A·0 = 0，即任何向量与零向量的数量积都等于零。
- 向量与自身的数量积：A·A = |A|²，即向量与自身的数量积等于该向量的模长的平方。
4. 数量积与夹角通过数量积的定义，我们可以得到向量A·B的形式为：A·B = |A| |B| cosθ。
根据三角函数的定义，我们可以得到cosθ = A·B / (|A| |B|)。
由此可见，向量的数量积与其夹角是密切相关的。
通过求解数量积，我们可以计算向量的夹角。
如果两个向量的数量积为正，则夹角为锐角；如果数量积为负，则夹角为钝角；如果数量积为零，则夹角为直角。
2022年第部分 第二章 § 平面向量数量积的坐标表示
由 a·b<0，得 1＋2λ<0，故 λ<－12， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 所以 λ 的取值范围为－∞，－12. (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角， 所以 cos θ>0，且 cos θ≠1， 所以 a·b>0 且 a，b 不同向． 由 a·b>0，得 λ>－12，由 a 与 b 同向得 λ＝2. 所以 λ 的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1)(a＋b)2； (2)(a＋b)·(a－b)． 解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， (1)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1) ＝4×2＋(－3)×1＝5.
8．已知 a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当 k 为何值时， (1)ka－b 与 a＋b 共线； (2)ka－b 的模等于 10？
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)， ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由 x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
添加 标题
定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
添加 标题
计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
单击此处添加副标题
汇报人：XX
目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
平面向量数量积的坐标表示
4
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
平面向量的数量积和叉积的坐标表示
平面向量的数量积和叉积的坐标表示平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
在平面向量的运算中，数量积和叉积是常见的两种运算方式，它们在坐标表示中有着独特的形式和应用。
一、数量积的坐标表示数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的相对关系。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积可以用如下公式表示：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。
在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A 和B的数量积可以表示为：A·B = A1B1 + A2B2换句话说，数量积等于两个向量对应坐标分量之积的算术和。
这个表达式表示了平面向量数量积的坐标表示。
二、叉积的坐标表示叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的垂直关系。
设有两个平面向量A和B，它们的叉积可以用如下公式表示：A×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位向量。
在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A和B的叉积可以表示为：A×B = (0, 0, A1B2 - A2B1)其中，叉积的坐标表示是一个三维向量，第一个分量和第二个分量都为0，只有第三个分量与A和B的坐标分量有关。
这个表达式表示了平面向量叉积的坐标表示。
三、数量积和叉积的应用1. 数量积的应用：- 判断两个向量是否相互垂直，若A·B=0，则向量A和向量B垂直。
- 计算两个向量之间的夹角，通过A·B = |A||B|cosθ可以求得夹角θ的值。
- 判断向量的方向，若A·B>0，则A和B的夹角小于90度，A在B的同向；若A·B<0，则A和B的夹角大于90度，A在B的反向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量数量积坐标表示的应用参考答案与试题解析一、选择题（共4小题）1．（2012•松江区三模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（）A．1B．C．2D．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故的最大值是2，故答案是2．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．2．（2012•浙江模拟）已知向量，满足||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=2x3+3||x2+6•x+5 在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A．[0.]B．[0，]C．（0，]D．[，π]考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+5 在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用||=2||≠0，利用向量的数量积，即可得到结论．解答：解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6 ，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+5 在实数集R上单调递增，可得f′（x）=6x2+6||x+6 ≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=﹣4≤0 恒成立，再由||=2||≠0，可得 4 ≤8||•||cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故选B．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题．3．（2012•房山区一模）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．2B．C．πD．4考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BA x=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ），同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，=1+sin2θ的最大值是2，故答案是2点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．4．（2012•威海模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3B．C．6D．9考点：平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）5．在△ABC中，已知=（cos18°，cos72°），=（2cos63°，2cos27°）则△ABC的面积为．平面向量数量积坐标表示的应用．考点：专平面向量及应用．题：分根据题目给出的向量的坐标求出和，然后运用数量积公式求出∠B，最后利析：用正弦定理求三角形的面积．解解：由=（cos18°，cos72°）=（cos18°，sin18°），得：，答：所以，又=（2cos63°，2cos27°），所以=，所以cosB===，则sinB=，所以．故答案为．点评： 本题考查了平面向量数量积的坐标表示及应用，给出了平面当中两个向量的坐标，可以利用数量积公式求两个向量的夹角，考查了利用正弦定理求三角形的面积，训练了两角和与差的余弦，此题是中低档题．6．设，，为单位向量，，的夹角为60°，则（++）•的最大值为 +1 ．考点： 平面向量数量积坐标表示的应用． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析：单位向量、夹角为60°，得出|+|=，从而向量与+的数量积等于cos θ，其中θ是+与的夹角．由余弦函数的值域，可得（+）的最大值为，且当（+）取到这个最大值时，（++）的最大值为+1．解答：解：∵单位向量、夹角为60°，∴•=•cos60°=，得|+|==∵是单位向量， ∴（+）=|+|•cos θ=cos θ，其中θ是+与的夹角∵cos θ∈[﹣1，1]，∴（+）的取值范围是[﹣，]，当且仅当+与方向相同时，（+）的最大值为∵（++）=（+）+2=（+）+1，∴当且仅当（+）取得最大值时，（++）的最大值为+1故答案为：+1点评： 本题通过求两个向量数量积的最大值，考查了平面向量的模的公式、单位向量的概念和向量数量积的运算性质等知识，属于中档题．7．（2010•湖南模拟）若P 是边长为2的正三角形ABC 边BC 上的动点，则的值恒为 6 考点： 平面向量数量积坐标表示的应用． 专题： 计算题；作图题；综合题；压轴题．分析：画出图形，作出以向量为对角线的平行四边形，设出图中的比例关系，表示出向量，然后计算，注意两个比例系数之和为1，可求得数量积为定值．解答：解：如图P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，过P作EP∥AB，交AC于E，FP∥AC交AB于F，设m=，n=，由于ABC是正三角形，所以m+n=1．所以====6（m+n）=6．故答案为：6．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）8．（2011•江西模拟）已知O为坐标原点，其中x∈R，a为常数，设函数．（1）求函数y=f（x）的表达式和最小正周期；（2）若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y=f（C）的最小值为0，求a的值；（3）在（2）的条件下，试画出y=f（x）（x∈[0，π]）的简图．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：计算题；作图题；综合题．分析：（1）根据向量数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，求出函数的解析式并进行化简，利用周期公式求出函数的最小正周期；（2）根据三角形最大角的范围求出2C+的范围，再由正弦函数的性质以及最小值求出a的值；（3）根据（2）求出的函数解析式，以及对应坐标系中的标出的自变量的值求出对应的函数值，利用描点连线和正弦曲线，画出函数的简图．解答：解：（1）由题意知，则=∴T=π（2）由角C为△ABC的三个内角中的最大角可得：，∴的最小值为2×（﹣1）+a+1=0，则a=1．（3）由（2）可知：，依次求出f（0）=3，f（）=4，f（）=3，f（）=1，f（）=0，f（）=1，f（π）=3．在坐标系中进行描点连线，画出函数的图象（x∈[0，π]）：点评：本题是向量和三角函数的综合题，考查了向量数量积的坐标表示和正弦函数的性质应用，综合运用知识和作图能力．9．（2011•济南二模）已知向量，，若．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（C为锐角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积公式表示出f（x）；利用三角函数的二倍角公式及公式利用三角函数的周期公式求出周期．（2）先求出角C，利用正弦定理将三角函数的关系转化为边的关系在，再利用余弦定理求出边．解答：解：（1）===（4分）∴f（x）的最小正周期为π．（6分）（2）∵，∴（8分）∵2sinA=sinB．由正弦定理得b=2a，①（9分）∵c=3，由余弦定理，得，②（10分）解①②组成的方程组，得．（12分）点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的和差角公式、考查三角形中的正弦定理余弦定理．10．设G、M分别是△ABC的重心和外心，A（0，﹣a），B（0，a）（a＞0），且，（1）求点C的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m过点（a，0）并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；平面向量数量积坐标表示的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设C（x，y），则G（），由题意知M（，0），再由M为△ABC的外心，可求出点C的轨迹方程．（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x﹣a），由得：（1+3k2）x2+6k2ax+3a2（k2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的关系可以推出存在直线m，其方程为y=（x﹣a）．解答：解：（1）设C（x，y），则G（），因为，所以GM∥AB，则M（，0）由M为△ABC的外心，则|MA|=|MC|，即，整理得：；（5分）（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x﹣a），由得：（1+3k2）x2+6k2ax+3a2（k2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，由得：x1x2+y1y2=0，即，解之得k=±，又点（a，0）在椭圆的内部，直线m过点（a，0），故存在直线m，其方程为y=（x﹣a）．（12分）。