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人教B版数学必修4：向量数量积的坐标运算和度量公式教学目标1、知识与技能掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．（3）掌握平面内两点间的距离公式2、过程与方法通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．3、情感、态度、价值观通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神．教学重点1、向量数量积的坐标运算和度量公式2、向量垂直的坐标表示的充要条件．教学难点平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。
教学方法设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
教学环节教学内容师生互动设计意图复习提提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式为数量积的坐标运问练习2：已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角.练习3：设i，j为正交单位向量，则①i·i=_______ ②j·j=________③ i·j=________学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质算及度量公式的推导证明打好理论基础引入新课及公式推导向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？问题1如果已知a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，怎样用a、b的坐标表示a·b呢？推广1：设a=(x, y)，则|a|2=x2+y2或22||yxa+=(长度公式)推广2：设A(x1, y1) 、B(x2, y2)，则(距离公式)推广3：c o sθ=||||baba⋅⋅222221212121yxyxyyxx+++=（πθ≤≤0）(夹角公式)学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导教师小结：（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即ba⋅2121yyxx+=(2) 向量的长度、距离和夹角公式在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识问题 2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？a⊥b⇔x1x2+y1y2=0教师小结：向量垂直的充要条件设),(11yxa=，),(22yxb=，则ba⊥⇔02121=+yyxx应用举例例1设a = (3, -1)，b = (1, -2)，求a⋅b，|a|，|b|，和<a, b>教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。
人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。
2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。
3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。
2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。
三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。
2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。
3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。
4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。
四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。
2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。
3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。
第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。
2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。
3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。
第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。
2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。
五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。
并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。
向量数量积的坐标运算与度量公式一．教学目标：1知识与技能：（1）掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算（2）会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角2过程与方法：经历数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题﹑解决问题的能力。
3情感﹑态度﹑与价值观：（1）通过用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明世间事物可以相互联系与转化。
（2）用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地。
通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。
二．教学重点﹑难点重点：掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算难点：会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角三．学情分析：本章学生首先学习了向量的线性运算几何法及坐标法，以及平面向量数量积，学生以这些知识为基础，学习向量数量积的坐标运算与度量公式，相对来说比较轻松。
在授课过程中，可以充分以学生为主体，通过平面向量数量积及前面向量线性运算的坐标法，启发学生自己推导出向量数量积的坐标公式及度量公式。
四课型分析：新授课五．教学方法:本节内容教学中设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
六．教学过程及时间分配：（一）导入新课：（5分钟）复习向量数量积公式，垂直的条件以及求模和夹角公式。
结合前面向量的线性运算中几何法和坐标法引出本节课向量数量积的坐标运算及度量公式。
（二）讲授新课：（10分钟）解决课前案中的引导问题，大屏幕展示平面向量数量积坐标公式的推导过程，得出向量数量积的坐标公式，由学生说出向量有关应用的公式。
（三）例题讲解：（10分钟）学生讲解例题，变式1，变式2，引导学生总结判断三角形形状的方法：（1）数量积的方法，（2）求模的方法，（3）求夹角的方法。
（四）体验发现：（18分钟）探究部分：学生小组合作探究一变式3，探究二变式1,2,3，到黑板展示，点评，质疑，总结。
向量数量积的运算律教学设计新授课第一课时一．【教学目标】1知识与技能目标：理解向量数量积的运算律；2过程与方法目标：掌握向量数量积的运算律，能运用运算律解决相关问题；3情感态度与价值观目标：创设适当的问题情境，引入课题，激发学生的学习兴趣，培养数学意识。
二．【教学重点】理解并初步掌握向量数量积的运算律三．【教学难点】向量数量积运算律分配律的证明。
四．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量数量积的基础上以及实数中相关运算律和公式引入向量数量积的运算律，运算律教学过程中紧扣向量数量积的定义进行分析，小组之间探究讨论，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。
五．【教学过程】六．【板书设计】向量数量积的运算律一．向量数量积的运算律 二 例题讲解已知向量c b a ,,和实数,λ则 交换律：a b b a ⋅=⋅数乘结合律：)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ 三 课堂小结 分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(七．【教学反思】向量的数量积的运算律共两个课时，本课时为第一课时。
围绕数量积的运算律，进行了论证及简单应用，展开设计，为下节课灵活应用向量数量积的运算律解决问题奠定基础。
例题的选取紧紧扣住课本的例题，并通过例题展开变式研究和培养学生的发散性思维。
采取小组PK 的方式引导学生结合具体习题设计问题，体现开放教学和民主的课堂氛围。
渗透数学思想方法的学习：类比的思想，渗透发散性思维的培养意识，通过教师的设计，引导学生怎样把一个题目解活、用活、学活，从而提高有效学习的效率。
引导学生自己小结，一方面培养学生对问题的整理综合能力，另一方面引导学生学习抓主流、抓重点内容，懂得取舍得当。
向量数量积的坐标运算与度量公式教学目标：1掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
2培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯。
教学重点：平面向量数量积的坐标表示和两向量垂直条件的坐标表示教学难点：有关结论的相互联系和灵活运用教学过程：一、引入：1 前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，平面向量在平面直角坐标系中的坐标是如何定义的？2 我们还学习了平面向量的数量积，其定义是什么？向量的加法、减法和数乘向量都可以用向量的坐标来表示，那么，是否也能用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题。
二、新课1 向量数量积的坐标运算问题1：向量1e 和2e 是平面直角坐标系O 的基底，根据向量的数量积定义，计算下列各式：1 1e ⋅1e = 1 ；2 1e ⋅2e = 0 ；3 2e ⋅ 1e = 0 ；4 2e ⋅ 2e= 1 ； 问题2：已知两个非零向量),(11y x a = 、),(22y x b = ，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅呢？得数量积的坐标表达式为：2121y y x x b a +=⋅结论： 两个向量的数量积等于2121y y x x b a +=⋅问题3：应用向量数量积的坐标表达式，思考下列问题： 1设a = , ，则 a a ⋅ =________， | a| = ___________ 2设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，则 | | =______________________ 3设),(11y x a = 、),(22y x b = ，向量a 和b 的夹角为θ ，则co θ= ______________)()(22122111e y e x e y e x b a +⋅+=⋅2221121221211121e e y y e e y x e e y x e e x x ⋅+⋅+⋅+⋅=2121y y x x +=AB 22y x +22y x +()()212212y y x x -+-222221212121y x y x y y x x +⋅++由此得到：2 向量的长度、距离和夹角公式1向量的长度设a = , ，则| a | = 结论：向量的长度等于它的坐标的平方和的算术平方根。
教学设计（一）教学目标1、知识与技能1理解平面向量夹角、射影、数量及数量积的定义；2掌握平面向量数量积的性质；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件2．过程与方法通过对比物理学中力做功，掌握平面向量数量的定义与性质，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生的思维能力得到训练。
继续培养学生的探究能力，培养学生运用分类讨论与数形结合的数学思想。
3．情感态度与价值观通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
体会各学科之间是密不可分的。
培养学生思考问题认真严谨的学习态度。
（二）重点难点本节课的教学重点是平面向量数量积的定义、几何意义、性质及运用。
教学难点是平面向量数量的理解。
（三）教法、学法分析（一）教法数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。
教师要以全新的理念来认识课程，对待学生，从发展学生的高度来选择教法。
为了顺利实现本节课的教学目标，在教学方法的选择和教学手段的使用上，我的设想主要有以下几点：1、无论是数量积的引入，还是性质及运算律的发现，我都是引导学生在与物理学中力做工进行对比的基础上，进行猜想归纳得出结论。
始终把学生作为学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生的求知欲，发展了学生思维能力，培养了学生的创新精神。
2、同一个问题，每一个学生都有着不同的认识角度，得到的结论也会各不相同，这首先是值得肯定的，但同时我也鼓励学生间互相讨论、交流、协作，从而纠正偏差，提高认识，形成知识网络。
3、数学课堂中，讲与练是相辅相成、密不可分的，为此，我精心设计和安排例题。
一方面，通过练习使学生巩固所学，检验效果，另一方面，使学生在练习中发现问题，产生兴趣，为下一个环节做好铺垫。
（四）教学过程。
平面向量的数量积的坐标运算班级： 座号： 姓名： 一、教学目标：1、使学生掌握平面向量数量积的坐标表示。
2、掌握向量垂直的坐标表示的条件。
3、掌握用坐标求向量的模和夹角。
二、教学重难点重点：平面向量数量积的坐标表示的应用 难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 三、教学过程 （一）自学导读1、平面两向量数量积的坐标表示：两个向量a =),(11y x ,b =),(22y x 的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。
即a b ⋅= 2、向量的模长公式：（1）如果a =),(y x ,那么=||a _____________ （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么=||a 平面两点距离公式3、向量垂直的判定：设两非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =则：a b ⊥⇔4、向量的夹角：两非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =的夹角θ， 则 co θ =||||a ba b ⋅⋅ =（二）新课讲解［题型1］用坐标求向量的数量积、模、夹角例1、已知a =（－1，3），b =（2，7）求： （1）a b ⋅，)()(b a b a -⋅+ （2）||a ，||b ，a ||b ，a 2|-|b （3）求a 与b 夹角的余弦值。
变式1：已知)1,2(-=a ，)1,1(-=b ，则2b b a +⋅ = 变式2：已知向量b a 与同向，)21(，=b ，10=⋅b a （1）求向量a 的坐标（2）若)12(c -=，，求a c b ⋅⋅)(［题型2］向量的垂直问题 例2、判断下列各组向量是否垂直： （1）a =1，3,b =6，－2 （2）a =2，－2,b =1，－1 （3）a =0，0,b =1，3变式3：已知向量)3,5(-=x a ，),2(x b =，且b a ⊥，则的值为：变式4：已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，若)()2(b a b a λ+⊥+-，则λ的值为：变式5：已知a =4,2, 求与a 垂直的单位向量的坐标［题型3］用向量解决垂直问题1， 2，B 2， 3，C -2， 5，试判断△ABC 的形状，并给出证明变式5：求证：A （1，0）,B （5，－2），C （8，4），D4,6为顶点的四边形是一个矩形。
§2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：一、新知导学1.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，则a b = ，这就是说：两个向量的数量积等于2.向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔ ；对于任意的实数k ，向量k (,)x y -与 垂直。
3. 向量的长度.距离和夹角公式（1）设),(y x a = ，则2||___________a =或||_____________a = (长度公式)（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x .),(22y x ，那么||___________________a =(距离公式)（3）cos __________________a b a b θ==（πθ≤≤0）(夹角公式)二.预习自测1.设向量a =（-1，2），b =（2，-1），则（a ·b ）（a +b ）等于（ ）A.（1，1）B.（-4，-4）C.-4D.（-2，-2）2.若a =(5,y),b =(-6,-4)且a ·b =-2，则y=( )A.-5B.-7C.5D.7 3.a =(-4,3),b =(5,6)，则3|a |2-4a ·b =（ ）A.23B.57C.63D.834.若a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),则（a +b ）·（a -b ）=_____三、典例分析已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b .：已知a=（3，4），b=（5，12，则a与b夹角的余弦值为（5已知向量a=（1，2），b=（-2，-4），|c|=5，若（a+b）·c=52，则a与c的夹角为（在△ABC中，∠A=90°，AB=(k,1),AC=(2,3)，则k的值是已知OA=（-1，，OB=（3，，且OA⊥AB，则m=______已知向量p=（-2，，则与p垂直的单位向量的坐标为＿＿＿＿＿＿.⋅=4，直角坐标平面中，若定点A）与动点P(x,y)满足OP OA则点P的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.i，j是互相垂直的单位向量，已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,则|2a+b|=___ 组：已知|a|=4，|b|=3，（2a-3b）·（2a+b）=61.（1）求a与b的夹角θ；2）设OA=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），⊥，若存在，求出点在OC上是否存在点，使MA MB请说明理由.俯视图。
教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问1、回忆正交分解下的坐标表示。
2、向量数量积的定义是什么？3、向量的运算律有哪些？4、平面向量的数量积有那些性质？由学生口答，教师课件展示向量数量积的定义及向量的运算律公式等。
教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础引入新课及公式推向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？问题1如果已知),(),,(2211yxbyxa==，怎样用ba,的坐标表示ba⋅呢？学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导教师小结：（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即2121yyxx+=在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识导问题2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件。
（1）两个向量垂直条件的坐标表示（2）两个平面向量共线条件的坐标表示注意：平行于垂直坐标表示的区别。
教师小结：向量垂直的充要条件设),(11yxa=，),(22yxb=，则ba⊥02121=+yyxx则0//1221=-⇔yxyxba问题3：向量的长度、距离和夹角公式（1）向量的长度（模）两点间的距离公式（2）两向量的夹角（1）设),(yxa=，则222||yxa+=或22||yxa+=长度公式设、则距离公式（2）coθ=||||baba⋅⋅222221212121yxyxyyxx+++=（πθ≤≤0）夹角公式应用举例例1设 = 3, -1， = 1, -2，求⋅，baba,,,教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。
巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用例2已知A1, 2，B2, 3，C-2, 5，求证：△ABC是直角三角形（1）教师引导，师生共同完成。
2教师提问：该题还有其他证明方法吗？（提示可计算、、，然后用勾股定理验证）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学。
向量数量积的坐标运算与度量公式课内探究学案学习目标：1学会两个平面向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出两个向量的数量积。
2掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断或证明两个向量垂直。
3能运用两个向量的数量积的坐标表示 去解决有关长度，角度，垂直等问题。
学习重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件。
学习难点：对向量的长度公式，夹角公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用。
学习过程：（一）创设问题情景，引出新课（1）向量的坐标运算有哪几种应怎样计算？（2）与的数量积的定义？如何求模，求夹角？（二）合作探究，精讲点拨问题1：已知两个非零向量),(),,(2121b b a a ==,怎样用a 与b 的坐标表示数量积b a ⋅呢？写出推导过程。
问题2：怎样用向量的坐标表示两个向量垂直的条件？ 设),(),,(2121b b a a ==,则⇔// ____________;⇔⊥b a ________⇔______________问题3：怎样根据所学知识推导出用坐标表示向量的长度，平面两点间的距离和两个向量的夹角公式？（1）向量的模：),(y x a ==____________（2）平面两点间的距离公式：设()),(,,2211y x B y x A ==则=AB ________________（3）两个向量的夹角公式：已知),(),,(2211y x b y x a ==，设与的夹角为θ， 则θcos =______________例1:已知()(),32,2,3,1-==（1）求⋅；（2）求与的夹角θ变式1：已知()(),4,2,3,2-== 求()()-⋅+例2 ：已知()()()5,2,3,2,2,1-C B A ，试判断ABC ∆的形状。
变式2：已知()()()0,5,4,3,2,1C B A ，求BAC ∠的正弦值。
（三）反思总结四当堂检测1若()()x x 2,,3,2=-=，且34=⋅，则______________=x ； 2设()()m b a ,1,2,1==，若与的夹角为钝角， 则m 范围是_______________；3在ABC ∆中， 90=∠C ，()1,k AB =，()3,2=AC ，则k =_________________;4设,是两个非零向量，且()()2211,,,y x y x ==，则以下关系式中写出与⊥等价的是__________10=⋅ 22121y y x x -= 3-=+ 4=+。
2.3.2向量数量积的运算律明目标、知重点 1.把握平面对量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.1.向量的数量积(内积)|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.|a|cos θ叫做向量a在b 方向上的正射影的数量，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的正射影的数量.2.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b ＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律).[情境导学]引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是格外必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相像，实质差别很大.实数中的一些运算性质不能任凭简洁地类比到向量的数量积上来.探究点一向量数量积运算律的提出思考1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再推断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积推断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误支配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误思考2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.答(a·b)c＝a(b·c)不成立，由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不愿定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般状况下不会成立.a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示.明显a·b＝b·c，且a≠c.探究点二向量数量积的运算律问题已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律).思考1如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？答a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，∴a·b＝b·a.(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考2如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种状况争辩)答当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.当λ>0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉；∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).当λ<0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，∵λ<0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考3下面是证明支配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请补充完整.证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，图(1)向量a＋b在向量c方向上的正射影的数量|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝0；向量a在向量c方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在向量c方向上的正射影的数量为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉.两边乘以|c|得：|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，图(2)向量a＋b在向量c方向上的正射影的数量为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；向量a在向量c方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的正射影的数量为|b|cos〈b，c〉＝OB1，∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴OC1＝OA1＋OB1，∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉.两边同乘以|c|得：|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b|·|c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，图(3)同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.答案④解析由于两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有很多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特殊是向量的数量积不满足结合律，即一般状况下(a·b)·c≠a·(b·c).跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________.答案①③④解析依据向量积的支配律知①正确；由于[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；由于a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确.故正确命题的序号是①③④.探究点三平面对量数量积的运算性质思考实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面对量的数量积运算中照旧成立，请依据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.例2已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.反思与感悟娴熟把握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(m a＋n b)·(p a＋q b)的数量积可仿多项式乘法的法则开放计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|3a－4b|.解(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.(2)|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19∴|3a－4b|＝419.例3已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋k b与a－k b相互垂直.解a＋k b与a－k b相互垂直的条件是(a＋k b)·(a－k b)＝0，即a2－k2b2＝0.∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±34.当k＝±34时，a＋k b与a－k b相互垂直.反思与感悟向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线：a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪训练3已知e1与e2是两个相互垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k>0且k≠1.1.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A.1B.2C.3D.4答案C解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.2.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()A.1B.2C.3D.5答案A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3.已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°答案C解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－a 2＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.4.已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案 －8或5解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.[呈重点、现规律]1.数量积对结合律一般不成立，由于(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同.2.在实数中，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，由于其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .一、基础过关1.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C解析 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵c ⊥a ，∴c·a ＝0.又∵c ＝a ＋b ，∴(a ＋b )·a ＝0， 即a 2＋b·a ＝0⇔|a |2＋|a||b |cos θ＝0. 又∵|a |＝1，|b|＝2，∴cos θ＝－12.故θ＝120°.2.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4答案 A 解析 |3a －b |＝(3a －b )2＝9|a |2＋|b |2－6a ·b＝9＋25－6×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49＝7. 故选A.3.在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( ) A.－32 B.0 C.32 D.3答案 A解析 a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA → ＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形答案 B解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0，即对角线相互垂直，∴四边形ABCD 为菱形. 5.设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( ) A.若θ确定，则|a |唯一确定 B.若θ确定，则|b |唯一确定 C.若|a |确定，则θ唯一确定 D.若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 由于|b ＋t a |min ＝1， 所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1， 所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定.6.已知|a |＝3，|b |＝4，则|a －b |的取值范围为______. 答案 [1,7]解析 方法一 ∵||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |， ∴1≤|a －b |≤7，即|a －b |的取值范围是[1,7]. 方法二 设θ为两向量a ，b 的夹角，则θ∈[0，π]. ∵|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ＝25－24cos θ， ∴|a －b |2∈[1,49]，∴|a －b |∈[1,7].7.已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |. 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12； 又|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22，∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22.二、力气提升8.设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4全部可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3B.π3C.π6D.0答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝∑i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种状况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.9.在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0， ∴|AB →|＝12.10.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________. 答案712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0， 解得λ＝712.11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角.解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是π3，∴m·n ＝|m||n |cos π3＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.12.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围.(1)证明 由于|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0， 所以(a －b )⊥c .(2)解 由于|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. 所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2. 所以实数k 的取值范围为k <0，或k >2. 三、探究与拓展13.已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解 由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，∴a 与b 的夹角为π3.。
2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一 平面向量数量积的坐标表示设e 1，e 2是两个互相垂直且分别与x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量．思考1 e 1·e 1，e 2·e 2，e 1·e 2分别是多少？答案 e 1·e 1＝1×1×cos 0＝1，e 2·e 2＝1×1×cos 0＝1，e 1·e 2＝0.思考2 取e 1，e 2为坐标平面内的一组基底，设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，试将a ，b 用e 1，e 2表示，并计算a ·b .答案 ∵a ＝a 1e 1＋a 2e 2，b ＝b 1e 1＋b 2e 2，∴a ·b ＝(a 1e 1＋a 2e 2)·(b 1e 1＋b 2e 2)＝a 1b 1e 21＋(a 1b 2＋a 2b 1)e 1·e 2＋a 2b 2e 22＝a 1b 1＋a 2b 2.梳理 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点二 向量模的坐标表示及两点间距离公式思考 若a ＝(a 1，a 2)，试将向量的模|a |用坐标表示．答案 ∵a ＝(a 1，a 2)，∴|a |2＝a ·a ＝(a 1，a 2)·(a 1，a 2)＝a 21＋a 22，∴|a |＝a 21＋a 22.梳理 (1)向量的长度公式：设a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.知识点三 两个向量夹角余弦的坐标表达式思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？答案cos θ＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2a21＋a22·b21＋b22.梳理设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ，则(1)cos θ＝a1b1＋a2b2a21＋a22·b21＋b22.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(√)2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(√)3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一平面向量数量积的坐标运算例1已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．反思与感悟(1)解答有关向量数量积的坐标运算问题时，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量．(2)一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立．跟踪训练1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于()A．－1 B．0 C．1 D．2答案 C解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二 向量的模、夹角问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16,12)，B (－5,15)．(1)求|OA →|，|AB →|；(2)求∠OAB .解 (1)由OA →＝(16,12)，AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝(－21)2＋32＝15 2.(2)cos ∠OAB ＝cos 〈AO →，AB →〉＝AO →·AB →|AO →||AB →|. 其中AO →·AB →＝－OA →·AB →＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，故cos ∠OAB ＝30020×152＝22. ∴∠OAB ＝45°.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．类型三 向量垂直的坐标形式例3 (1)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得(λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17. (2)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)，若(AB →－tOC →)⊥OC →，则实数t ＝____.答案 －1解析 ∵AB →＝(－3，－1)，∴AB →－tOC →＝(－3－2t ，－1＋t )．又∵OC →＝(2，－1)，(AB →－tOC →)⊥OC →，∴(－3－2t )·2＋(－1＋t )·(－1)＝0，∴t ＝－1.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4. 2．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°答案 A解析 ∵|BA →|＝1，|BC →|＝1，∴cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，∴∠ABC ＝30°.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．已知平面向量a ，b ，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________.答案 ⎝⎛⎭⎫45，－35 解析 ∵|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝1， ∴a ，b 方向相同，∴b ＝15a ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ，b 不为0时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”的问题，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向答案 A解析 ∵a·b ＝－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2. 3．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 ∵2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，∴(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量的夹角为α，则cos α＝932×3＝22， 又∵0≤α≤π，∴α＝π4. 4．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( )A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313 D ．以上都不对答案 C解析 设与a 垂直的单位向量坐标为(x ，y )，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1.①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0.②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 D解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |， 所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2，故选D. 6．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 7．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10 C ．5 D ．25答案 C解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5. 二、填空题8．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.答案 1解析 ∵a －2b ＝(1，3)，∴(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.9．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)．OA →·OC →＝(－3,0)·(－3λ，3)＝9λ，∴cos ∠AOC ＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝9λ3×9λ2＋3＝32， ∴λ2＝1，又C 在第二象限，∴λ＝1.10．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－5，－53∪⎝⎛⎭⎫－53，＋∞ 解析 由a 与b 的夹角为锐角，得a ·b ＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5.当a ∥b 时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－53. 故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－53. 11．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，且|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．答案 (5,4)解析 设AB →＝(2λ，3λ)(λ>0)，则|AB →|＝4λ2＋9λ2＝213，∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，∴AB →＝(4,6)．∴OB →＝OA →＋AB →＝(1，－2)＋(4,6)＝(5,4)．∴点B 的坐标为(5,4)．12．已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中a ＝(1,2)．若|c |＝25，且c 与a 方向相反，则c 的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)．三、解答题13．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴DC →＝AB →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)． 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0.又|AC →|＝2 5，|BD →|＝25，设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. 四、探究与拓展14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，∵(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又∵c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 15．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线．又∵OP →＝(2,1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )．又∵QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y ,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y ,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )·(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知：QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－834×2＝－41717.。
平面向量数量积的坐标表示与度量公式一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
二．目标1．（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面数量积的坐标运算（2）掌握向量垂直的坐标表达式，及向量的长度、距离和夹角公式（3）会用数量积的坐标表达式判断两个平面向量的垂直关系2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、重点难点重点：掌握数量积的坐标表达式，向量垂直的坐标表达式，及向量的长度、距离和夹角公式。
难点：向量数量积的坐标表示的应用四、学情分析本节课之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，以及数量积的运算律，但数量积是从形的角度，是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，计算量比较大。
所以如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使计算更方便，就是摆在学生面前的一个需要解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
是本章最重要的一节。
五、教学方法学生小组合作探究新授课教学基本环节：复习引入、合作探究→结果展示→公式应用→精讲点拨→变式练习→课堂小结六、教学过程一复习引入复习前面学过的本节课用到的向量的基本知识，为数量积坐标表达式的推导做准备（二）创设问题情景，引出新课向量的加法、减法、数乘都可以用坐标来表示，那么数量积呢？（三）合作探究，精讲点拨探究一：向量数量积的坐标表示即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和学生：合作探索提出的问题。
教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量a,b的运算可能有困难，点拨学：=1e2e2=1,e1•e2=0师生：学生展示探究结果，教师给予点评设计意图：回顾平面向量基本定理的内容，数量积的定义，为探究数量积的坐标表示做好准备。
2.3 向量的数量积【知识要点】1. 平面向量的数量积两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ∙b ，即a ∙b =|a||b|cos θ，并规定零向量与任一向量的数量积 为0。
2. 向量的数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 a. ||cos e a a e a θ∙=∙=b. 0a b a b ⊥⇔∙=c. 当a 与b 同向时，||||a b a b ∙=∙；当a 与b 反向时，||||a b a b ∙=-∙当a ∙a =2||a 或|a d. cos ||||a b a b θ∙=∙ e. ||||||a b a b ∙≤∙3. 数量积的运算律a. 交换律：a ∙b=b ∙ab. 数乘结合律：()()()(a b a b a b λλλλ∙=∙=为实数）c. 分配律：（a+b ）∙c=a ∙c+b ∙c4. 利用数量积解决平面几何问题利用向量的数量积可以解决与长度、垂直、夹角有关的几何问题，其关键在于把其他语言转化为向量语言，也就是建立向量模型。
【知识应用】1. a. a ∙b 的几何意义：数量积a ∙b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积；b. 对于两个非零向量的夹角θ，规定θ≤≤︒0180。
c. 向量的数量积的结果是一个实数。
即向量的数量积是一个响亮的长度乘以另一向量在其上的射影值。
【J 】例1 已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为________。
【L 】例2 在三角形ABC 中，AB →=a ，AC →=b ，用a ，b 表示三角形的面积。
【C 】例3 如果向量a 、b 满足|a|=3,|b |=2，且a 和b 的夹角为3π，那么a ∙b =______. 【C 】例4 在三角形ABC 中，A 、B 、C 三顶点所对边分别为a ，b ，c, 证明：2222cos b a c ac B =+-2. 理解记忆。
《向量数量积的运算律》教学设计一、 情景引入学问回顾：平面对量数量积的定义及几何意义（同学回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？ ⑴交换律：b a ⋅= ；⑵结合律：()b a ⋅λ= = ；⑶安排律：()c b a ⋅+= 。
（同学回答）二、合作探究呈现 探究一 安排律的证明 求证：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ （师生共同探究）探究二 数量积的运算律应用（一）()2221||2||a ba ab b +=+⋅+证明：（） ()()222||||a b a b a b +⋅-=-（）（同学版演）探究三 数量积的运算律应用（二）已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线 求证：AC ⊥BD.（师生共同探究，呈现规范步骤）跟踪练习：0=3=5ABC=60.ABC AB BC AC ∠在中，已知边长，，，求边长（同学做，说）探究四 数量积的运算律应用（三）已知06,4,,60a b a b ==〈〉=（1）求).3()2(b a b a -⋅+（同学版演）跟踪练习：已知：04,2,,120a b a b ==〈〉= 求：（1）a b + （2）()(2).a b a b +⋅-（同学版演）当堂练习1.已知向量b a ,的夹角为060,33===（ ） A 33 B 3 C 23 D 322.已知向量b a ,的夹角为0120,4==求)2(ba b +⋅3.,,21b a c +===且,a c ⊥求向量b a ,的夹角。
（同学说答案）2k a b ka b +-（2）当且仅当取何值时，与 互相垂直？。
一、教材分析二、三、本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的个重要性质；平面向量数量积的运算律.四、五、二．教学目标六、七、1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；八、九、2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；十、十一、3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
十二、十三、三、教学重点难点十四、十五、重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
十六、十七、难点：平面向量数量积的概念十八、十九、四、学情分析二十、二十一、我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细二十二、二十三、五、教学方法二十四、二十五、1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2.启发合作探究、讲练结合式3.4.六、课前准备5.6.多媒体课件制作七、课时安排：1课时八、教学过程1.创设情境，引入新课一个物体在如图所示的力F 的作用下产生的位移s，其中θ角是F与S的夹角那么力F 所做的功W为多少？【设计意图】以物理问题为背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。
同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
【师生活动】问题1：功是什么量，它的大小有什么来决定？功是标量，只有大小没有方向，也就是数学上所说的数量。
功的大小与力的大小，位移的大小及它们之间的夹角有关．W＝︱F︱︱s︱问题2：力和位移是什么量？力和位移是矢量，既有大小又有方向，也就是数学上所说的向量问题3：推广到数学中的向量如何呢？平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a·b，即有a·b=|a||b|cosθ，（0≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.【设计意图】在课堂上让学生动手、动脑是培养他们创新意识及实践能力的关键，教师要不断地提出新问题，学生才能不断的动起来，课堂的气氛才和谐，最大程度的发挥学生的主观能动性2、概念形成（1）两个向量的夹角已知两个非零向量a、b , 作 OA =a， OB = b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作<a ，b>.注意的几点：（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点，不共起点需要平移。
平面向量的数量积教学设计朝阳市第一高级中学景丽敏一、教学内容的分析本课是在学习了实数与向量的积的运算的基础上，更进一步学习向量的另一种运算————向量的数量积。
有了向量的数量积之后，向量的基本运算已基本完备。
关于与向量有关的一些简单问题就可以解决了。
数量积是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
同时，他为以后解决几何中的平行、垂直、夹角、共线、以及求线段长度方面都有重要的应用。
二、教学对象分析在这节课之前已经学习了实数与向量的积的运算。
很多善于探究的学生会想到向量与向量的积如何运算呢？强烈的求知欲使得学生对这一节的学习不会感到生疏。
另外他们在物理中学习了功的概念，就为学习数量积提供了现实的模型，故在接受概念的时候会比较容易。
但对于数量积的性质还需学生们合作交流，积极探究，努力发现，从而去解决关于垂直，模，夹角等实际问题。
三、教学目标（一）知识与技能目标1.是学生了解向量的数量积的抽象根源2.是学生掌握向量的数量积的概念：两个非零向量的夹角；向量的数量积的定义；向量的数量积的本质；向量的数量积的几何意义。
3.是学生了解向量的数量积的运算律4.=，ba=θcos（二）过程与方法1.从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出非零向量的夹角和数量积的一般概念。
并强调他的本质。
接着给出两个向量的数量积的几何意义，给出一个响亮在另一个向量方向上的投影的概念。
2.给出向量数量积的运算律，并通过例题具体的展示出来。
3.由向量的数量积定义，变化出一些特例来，由特例更深刻的理解数量积的本质。
（三）情感态度与价值观1.是学生学会有效学习：抓住知识间的逻辑关系2.在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和归纳，实现共同探索，教学相长的教学情境。
四、教学重难点（一）重点：1.培养学生分析、发现、探索问题的能力2.数量积的定义、向量的模和夹角的计算方法（二）难点：1.应用数量积解决几何图形的方法。
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面对量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标. 解 设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2). ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1).反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2，∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又∵|AB →|＝|OB →|，∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2.可得10x ＋4y ＝29，①又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面对量夹角的坐标表示思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)由于a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)由于a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不行能反向.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)由于a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b|a||b |来推断，可将θ分五种状况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4.已知平面对量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.[呈重点、现规律]1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气.3.留意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础过关1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17B.17C.－16D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3.平面对量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4·a ·b ＋4b 2＝2 3.4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈[0，π]，∴α＝π4.6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2).(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、力气提升8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B解析 由于m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 由于(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的数量为( ) A.322B.3152C. －322D.－3152答案 A解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， ∴AB →在CD →方向上的正射影的数量为 AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10.平面对量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.答案 2解析 由于向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值. 解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与拓展13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
