版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。

第二课时平面向量数量积的坐标运算预习课本P86～88，思考并完成下列问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模？3．如何用坐标来求两向量的夹角？4．两向量垂直时的坐标公式是什么？[新知初探]1．平面向量数量积的坐标表示若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．与向量的模、夹角相关的公式 (1)向量的模若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (2)向量的夹角设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(3)两向量垂直的条件两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .[点睛] 两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x 1x 2＋y 1y 2＝0是判定两个非零向量垂直的非常有用的条件．[小试身手]1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝________. ★答案★：12．已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB ·AC 等于________． ★答案★：03．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)，则a 与b 的夹角为________． ★答案★：3π44．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0), |b |＝1，则|a ＋2b |＝_______. ★答案★：2 3平面向量数量积的坐标运算[典例] (1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求(2a －b )·(a ＋3b )； (2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求 (a －b )·(2a ＋3b )．[解] (1) (2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27＝－34.(2)法一：因为a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， 所以a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， 所以(a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二：因为a＝(1,2)，b＝(3,4)，所以a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，所以(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.数量积坐标运算的两种方法(1)先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．解：(1)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，∴x＝－1.平面向量的夹角1．已知A(16,12)、B(－5,15)，O为坐标原点，求∠OAB的大小．解：由已知得到：AO＝－OA＝－(16,12)＝(－16，－12)，AB＝OB－OA＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，∴|AO|＝(－16)2＋(－12)2＝20，|AB|＝(－21)2＋32＝152，AO·AB＝(－16，－12)·(－21,3)＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300，cos ∠OAB＝AO·AB|AO||AB|＝30020×152＝22，∵0°≤∠OAB≤180°，∴∠OAB＝45°.题点二：向量垂直的应用2．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．解：因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，所以|a |＝(3)2＋(－1)2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. 又因为a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，所以a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝0， 即－ka 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0， 所以－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0. 将|a |＝2，|b |＝1代入上式， 得－4k ＋t 3－3t ＝0， 解得k ＝t 3－3t4.所以k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.题点三：由角的范围求参数范围3．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，所以t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．所以t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． ★答案★：⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)向量垂直的坐标表示[典例] －π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)若(a ＋b )⊥(a －b )，求θ. [解] (1)因为a ·b ＝0， 所以sin θ＋cos θ＝0. 即tan θ＝－1.又－π2<θ<π2，所以θ＝－π4.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝0， 所以a 2－b 2＝0.即a 2＝b 2，从而1＋sin 2θ＝1＋cos 2θ， 所以sin θ＝±cos θ，从而tan θ＝±1. 又－π2<θ<π2，所以θ＝π4或θ＝－π4.(1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法．(2)已知向量垂直求参数问题，由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可． 1．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)， 故|a |＝ 2. ★答案★： 22．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，BC ＝(5,5)，∵AD ⊥BC ，∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)， 而BD 与BC 共线， ∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD ＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.层级一 学业水平达标1．已知a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，所以b ＝2a －(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．所以a ·b ＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.★答案★：52．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x ), a ·b ＝－1, 则实数x 的值是______________． 解析：因为向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x ), a ·b ＝－1，则a ·b ＝(x,1)·(4，x )＝4x ＋x ＝－1，解得x ＝－15.★答案★：－153. 已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析：由3x ＋1×(－3)＝0得x ＝1.★答案★：14．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12. ★答案★：125．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：因为(a ＋λb )⊥a ，所以(a ＋λb )·a ＝0，即a 2＋λa ·b ＝0，所以5－λ＝0，解得λ＝5. ★答案★：56．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，︱a ＋b ︱＝52，则︱b ︱＝________. 解析：由|a ＋b |＝52，知(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝50.故|b |＝5. ★答案★：57．定义一种新运算a ※b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，已知a ＝(－3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，0，则a ※b ＝________.解析：因为cos θ＝a ·b|a |·|b |＝(－3，1)×⎝⎛⎭⎫12，0(－3)2＋12·⎝⎛⎭⎫122＋02＝－322×12＝－32，又因为0°≤θ≤180°， 所以θ＝150°，所以a ※b ＝|a |·|b |sin θ＝2×12·sin 150°＝12.★答案★：128．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上存在一点P 使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是______．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1.所以点P 坐标为(3,0)．★答案★：(3,0)9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)因为a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，所以cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22， 所以3n 2－16n －12＝0(n >1)． 所以n ＝6或n ＝－23(舍去)，所以b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又因为c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)． 因为 (c －a )·a ＝0，所以λb·a －|a |2＝0， 所以λ＝|a |2b·a ＝510＝12.所以c ＝12b ＝(－1,3)．10．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋tb 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． 解：由已知a ＋tb ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(2t ＋4，t －3)． 所以(a ＋tb )·b ＝2(2t ＋4)＋(t －3)＝5t ＋5. |a ＋tb |＝(2t ＋4)2＋(t －3)2＝5t 2＋10t ＋25， 又|b |＝22＋12＝ 5.因为(a ＋tb )·b ＝|a ＋tb ||b |cos 45°， 所以5t ＋5＝5t 2＋10t ＋25×5×22. 即2(t ＋1)＝t 2＋2t ＋5. 两边平方整理，得t 2＋2t －3＝0. 解得t ＝1或t ＝－3.经检验t ＝－3是增根，舍去，故t ＝1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝(4,2)，与a 垂直的单位向量b ＝________.解析：设b ＝(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝－255 或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝255.★答案★：⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，c ＝(5,6)，那么(a ·b )·c ＝________，a ·(b ·c )＝________. 解析：因为a ·b ＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10, 所以(a ·b )·c ＝10(5,6)＝(50,60). 因为b ·c ＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19, 所以a ·(b ·c )＝(2,3)·19＝(38,57)．★答案★：(50,60) (38,57)3．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于_____．解析：a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. ★答案★：524．若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1、e 2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(e 1－2e 2)·(5e 1＋4e 2)＝0，所以5e 21－6e 1·e 2－8e 22＝0，设e 1、e 2的夹角为θ，所以 5－6cos θ－8＝0，即cos θ＝－12.因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝23π.★答案★：23π5．已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．解析：由题意可设AB ＝λa (λ＞0)，所以AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，所以(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．所以AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，所以B (5,4)．★答案★：(5,4)6．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则||c 的最大值为________．解析：因为(2a －c )·(3b －c )＝0，所以6a ·b ＋c 2－(2a ＋3b )·c ＝0.又因为a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，所以a ·b ＝0，所以||c 2＝||2a ＋3b ·||c ·cos θ(θ为2a ＋3b 与c 夹角)，所以||c ＝||2a ＋3b ·cosθ≤||2a ＋3b ＝(－1)2＋52＝26.★答案★：267．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角； (3)a 与b 的夹角为锐角．解：设a 与b 的夹角为θ，|a |＝12＋22＝5， |b |＝1＋λ2，a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ＜0且cos θ≠－1， 即a·b ＜0且a 与b 不反向． 由a·b ＜0得1＋2λ＜0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 即a·b ＞0且a ，b 不同向． 由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (1)若AB ⊥a 且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)由题设知AB ＝(n －8，t )， 因为AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又5|OA |＝|AB |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2)由题设知AC ＝(k sin θ－8，t )， 因为AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k. 因为k ＞4，所以0<4k<1. 所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC ＝(4,8)． 所以OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.。

高中数学第二章平面向量本章复习教案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量本章复习教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第二章平面向量本章复习错误!知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段;而向量可作为一种重要的解题方法,渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系;向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法-—向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题,用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具,数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时,向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的,平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思,重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动,培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美,逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算,向量平行、垂直的条件,平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.（直接导入）前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节,我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用．思路2.(问题导入）由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课错误!向量的概念、运算及其综合应用．活动：本章概念较多,学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为错误!，a(手写时为错误!),坐标表示法为a＝x i＋y j＝(x，y）．有哪些特殊的向量:a ＝0 ⇔|a|＝0。

平面向量的坐标表示教案【教学设计设想】1表达知识的发生、开展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示〞，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化〞，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、开展过程。

2将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

3教学重心前移；对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

4还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近开展区内〞设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示〞，向量根本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑根底，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

节平面向量的根本定理及坐标表示主要四局部内容1平面向量的根本定理，2平面向量的坐标表示，3平行向量的坐标运算，4平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】知识与技能：1掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：〔1〕能写出给定向量的坐标；〔2〕给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：〔1〕知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；〔2〕向量的坐标等于终点减去起点坐标。

2．3.2 平面向量的坐标运算整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所惟一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课新知探究1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则实数对(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y)．注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA →的坐标就等于点A 的坐标． (2)两个向量相等对应坐标相等． 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． |AB →|＝2－x 12＋2－y 12，即平面内两点间的距离公式．(3)若a ＝(x ，y)，则λa ＝(λx ，λy)，λ∈R . 3．线段的中点坐标公式若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．应用示例思路1例1课本本节例1. 变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D例2课本本节例2. 变式训练 1.如图1，已知的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标．图1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图1，设顶点D 的坐标为(x ，y)． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)， 由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D 的坐标，图2使这四点构成平行四边形的四个顶点． 解：当为ABCD 时，仿例2得D 1＝(2,2)；当为ACDB 时，仿例2得D 2＝(4,6)； 当为DACB 时，仿例2得D 3＝(－6,0).例3课本本节例4.思路2例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ2－y －y 1＝λ2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图3，由向量的线性运算可知图3OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图4，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→图4＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)， ∴OP →＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t<－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算． 2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．作业课本习题2.3 1～8.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、关于点P 分有向线段所成的比的探讨(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标． 解：因为P 点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0. 又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)． (2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P(12，y)分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D 点内分AB →的比为1∶3，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标．图5分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．解：由已知有AD →＝13DB →，则得|DB →||AB →|＝34，又S △BDE S △ABC ＝12，则S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin∠DBE， S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12，即得|BE →||BC →|＝23. 又点E 在边BC 上，∴|BE →||EC →|＝2.∴点E 分BC →所成比λ＝2.由定比分点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－4＋2×51＋2＝2，y E＝0＋－1＋2＝－2，即E(2，－2)， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝0＋13－1＋13＝－1，y D＝81＋13＝6，有D(－1,6)．记线段DE 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－2＝12，y ＝－2＋62＝2，即M(12，2)为所求．二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．24．已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－2B ．9C ．－9D ．135．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________. 6．已知中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．7．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？9．如图6所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．图610．已知四边形ABCD 是正方形，BE∥AC，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE.参考答案：1．B 2.B 3.D 4.C 5.4 72 6.(－12，－4)7．解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴存在实数λ，使得(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)． ∴k 2－9k －22＝0.解得k ＝11或k ＝－2. 8．解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)．而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λλ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．9．解：∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C(0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D(2，32)．设M(x ，y)，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴存在实数λ，使得(x ，y －5)＝λ(2，－72)，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴存在实数μ，使得(x ，y －54)＝μ(4，74)，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)．10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x ，y)，这里y>0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y)．图7∵AC →∥BE →，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x －1，y)，即1×y－(x －1)×1＝0 ⇒y ＝x －1.①∵AC＝OC ＝CE(已知)，∴CE 2＝OC 2－1)2＋(y －1)2＝2.②由y>0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E(3＋32，1＋32)． AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F(t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)．∵F，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴存在实数μ，使得(1－t ，t)＝μ(1＋32，－1＋32)，即(1－t)×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3.∴AF＝OF ＝1＋3.∴AF＝AE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．推进新课新知探究若向量a 与非零向量b 为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a ＝λb ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.结论：a ∥b (b ≠0) ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°此条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1，x 2有可能为0)．3°从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.由此我们得到：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0； 反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .证明：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，因为a ≠0，所以x 1、y 1不全为0. 不妨假设x 1≠0.(1)如果a ∥b ，则存在实数λ，使b ＝λa ，即(x 2，y 2)＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝λx 1，y 2＝λy 1.①②因为x 1≠0，由①得λ＝x 2x 1.③将③代入②，得y 2＝x 2x 1y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)反之，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，因为x 1≠0，所以y 2＝x 2x 1y 1.(x 2，y 2)＝(x 2，x 2x 1y 1)＝x 2x 1(x 1，y 1)．令λ＝x 2x 1，则b ＝λa ，所以a ∥b .应用示例例1已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．解：k a －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k ＝－13.此时，k a －b ＝(－73，－1)＝－13(7,3)＝－13(a ＋3b )．因此，它们是反向的.例2已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →成立？解释你所得结论的几何意义．解：设存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝－2，2t ＝－3.此方程组无解，故不存在这样的常数t. 上述结论表明向量AC →与OB →不平行.知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．设计感想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．备课资料备用习题1．若a ＝2i ＋3j ，b ＝4i ＋y j ，且a ∥b ，则y 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知A(1，－3)，B(8，12)，若A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可能是( )A ．(－9,1)B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)3．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n)共线且方向相同，则n ＝________. 4．已知O 点是ABCD 的对角线的交点，AD →＝(2,5)，AB →＝(－2,3)，则CD →坐标为________，DO →坐标为________，CO →坐标为________．5．△ABC 中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D 、E 、F 是BC 、AB 、AC 的中点，若EF 与AD 交于M 点，求DM →.6．已知四点A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, －3)，求证：四边形ABCD 是梯形． 7．若a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线且方向相同，求x. 参考答案： 1．C 2.C3．2 n 2－4＝0，∴n＝±2.又a 与b 方向相同，∴n＝2. 4．(2，－3) (－2，－1) (0，－4) 5．解：由EF 为中位线，得EF 平分AD ，∴DM →＝12DA →＝12(DB →＋BA →)＝14CB →＋12BA →＝14(－3,6)＋12(5，－3)＝(74，0)．6．解：∵AB →＝(－2, 3)，DC →＝(－4, 6)，∴2AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|. ∴四边形ABCD 是梯形．7．解：∵a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线， ∴(－1)×2－x·(－x)＝0.∴x＝±2.∵a 与b 方向相同，∴x＝ 2.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(×)3．λ(a·b)＝λa·b.(√)类型一向量数量积的运算性质例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确结论的序号是________．考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★①③④解析根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确结论的序号是①③④.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是()A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝a2考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★D解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝a2，所以D正确．类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题例2 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 若c ⊥d ，则c·d ＝0，∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ 2解析 由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ (0,1)∪(1，＋∞)解析 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟 向量a ，b 的夹角为锐角，得到a·b >0；反之，a·b >0不能说明a ，b 的夹角为锐角，因为a ，b 夹角为0°时也有a·b >0.同理，向量a ，b 的夹角为钝角，得到a ·b <0；反之，a ·b <0不能说明a ，b 的夹角为钝角，因为a ，b 夹角为180°时也有a ·b <0.跟踪训练3 若向量e 1，e 2满足|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ<0，故(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝2t e 21＋(－2t ＋1)e 1·e 2－e 22＝t －12<0，解得t <12. 又当θ＝π时，也有(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)<0，但此时夹角不是钝角，设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2反向，则2t e 1＋e 2＝k (e 1－e 2)(k <0)，又e 1与e 2不共线，从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，1＝－k ，解得t ＝－12，即当t ＝－12时，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为180°，故t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪t <12，且t ≠－12.1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 ★答案★ C解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( ) A ．2 B ．2 3 C ．6 D ．12考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 ★答案★ B解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3.3．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94考点 平面向量数量积的应用题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a·b >0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 ★答案★ D解析 由AB →·BC →>0知，BA →·BC →<0，即角B 为钝角．5．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★3π4解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .一、选择题1．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质和法则 ★答案★ B解析 b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.3．(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a ，b 为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ B解析 设a 与b 的夹角为θ. 因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ， 所以(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0， (b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b ，所以a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a·b |a||b|＝a·b |a|2＝a·b a 2＝a ·b 2a ·b ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.所以a ，b 夹角为π3.4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ B解析 由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ C解析 由题知，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]， ∴a ，b 的夹角为120°.6．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.37 B ．13 C ．6 D.127 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ D解析 ∵AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 120° ＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3. ∵AP →·BC →＝(AC →＋λAB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0， 解得λ＝127，故选D.7．(2017·惠州高一检测)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 ★答案★ A解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0， 又因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形． 二、填空题8．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 ________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ π3解析 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ， 所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.9．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用★答案★233解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2， |a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°， 化简得32a 2－2b 2＝0，∴|a ||b |＝233. 10．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ 4解析 方法一 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0， 即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.方法二 如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ， ∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ， 又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.11．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________．考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★2π3解析 由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2， 即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2， 设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1， 即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0，因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立， 所以Δ＝16cos 2θ＋4(1＋4cos θ)≤0， 即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，则k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ {k |k <0或k >2} 解析 因为|k a ＋b ＋c |>1， 所以(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1. 因为a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos 120°＝－12，所以k 2－2k >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，k －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2<0，解得k <0或k >2，即k 的取值范围是{k |k <0或k >2}． 三、解答题13．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ.根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＋1>0，t ＋7<0或⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋1<0，t ＋7>0，解得－7<t <－12. 当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，由e 1与e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14，t ＝－142. ∴实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. 四、探究与拓展14．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B ．1 C. 2 D ．2考点 平面向量数量积的运算性质和法则题点 求向量的数量积的最值★答案★ B解析 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.15．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ.考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的夹角解 假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)，∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝16|b |2cos 2θ－4|b |2≥0， 解得cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3.。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。

第九章平面向量9.3.2平面向量坐标表示与运算本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．课程目标学科素养1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.掌握加减数乘向量的坐标运算法则.3.理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.a数学抽象: 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示.b数学运算: 通过加减数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式.1.教学重点：掌握加减数乘向量的坐标运算法则.2.教学难点：理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.多媒体调试、讲义分发。

“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？1.平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.2.平面向量的坐标表示向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征.使向量运算完全代数化(1)基底在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标. (3)坐标表示：a ＝(x ，y ). 3.平面向量共线的坐标表示利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快设a ＝(x 1，y 1))，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.) 4.中点坐标公式若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式. 题型一 平面向量的坐标表示【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标.解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)， 则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2).规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.【跟踪训练】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若NM →＝3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2，0) B.(－3，6) C.(6，2)D.(－2，0)解析 NM →＝3a ＝(1，－2)＋(1，－2)＋(1，－2)＝(2，－4)＋(1，－2)＝(3，－6).设N (x ，y )，则NM →＝(5－x ，－6－y )＝(3，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝3，－6－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4，－2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A. 答案 A(2)已知A (1，－2)，B (2，1)，C (3，2)和D (－2，3)，试用坐标来表示AD →＋BD →＋CD →. 解 AD →＝(－3，5)，BD →＝(－4，2)，CD →＝(－5，1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8). 规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 题型三 平面向量坐标运算的应用【例3】 已知点A (2，3)，B (5，4)，AC →＝(5λ，7λ).若AP →＝AB →＋AC →(λ∈R )，试求λ为何值时：(1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内. 解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)， AB →＋AC →＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ) ＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵AP →＝AB →＋AC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等.(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.【跟踪训练】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2，1)，B (－1，3)，C (3，4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.解 设D 点的坐标为(x ，y )，当平行四边形为ABCD 时，由AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )，且AB →＝DC →，得D (2，2).当平行四边形为ACDB 时，由AB →＝(1，2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4，6). 当平行四边形为ACBD 时，由AC →＝(5，3)，DB →＝(－1－x ，3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6，0)， 故D 点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0). 题型四 向量的坐标运算【例4】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)D.(－7，0)(2)已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为________.解析 (1)由3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c ＝(－23，－12).(2)设P (x ，y )，∴MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8，1)，由MP →＝12MN →得P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－1，－32 题型五 向量平行(共线)的应用【例5】 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向.【变式】已知OA →＝(k ，2)，OB →＝(1，2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________.解析 AB →＝OB →－OA →＝(1－k ，2k －2)，AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)，由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0，解得k ＝－14或k ＝1，当k ＝1时，A ，B 重合，故舍去.答案 －14规律方法 1.向量共线的判定方法2.三点共线的条件及判断方法任取两点构成向量，计算出两向量，如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断. 【跟踪训练】 （1） 若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________.解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又0<α<π2，故α＝π3.答案 π3（2）已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线. 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.1. 若AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，2)，则CB →等于( ) A.(4，3) B.(－4，－3) C.(－4，3)D.(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3，5)－(－1，2)＝(4，3). 答案 A2. 已知点A (2，1)，B (－2，3)，O 为坐标原点，且OA →＝BC →，则点C 的坐标为________. 解析 设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋2，y －3)，OA →＝(2，1).由OA →＝BC →，则x ＝0，y ＝4. 答案 (0，4)3.若点A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a )共线，则a ＝________.解析 AB →＝(5，4)，AC →＝(4，a )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，故5a －16＝0，所以a ＝165. 答案1654.与向量a ＝(－3，4)平行的单位向量是________. 解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝45或⎩⎨⎧x ＝35，y ＝－45.答案 ⎝⎛⎭⎫－35，45或⎝⎛⎭⎫35，－45注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.。

2．3.2 平面向量的坐标运算(一)[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．[知识链接]1．点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．3．求向量AB →的坐标需要知道哪些条件？答 求向量AB →的坐标，需要知道点A 和点B 的坐标． [预习导引]1．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.要点一 平面向量的坐标表示例1 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标． 解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪演练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. 例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标． 解 设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23， y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)． 规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪演练2 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．要点二 平面向量的坐标运算例3 已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b .试求实数p ，q 的值． 解 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)， ∴p a ＋q b ＝p (－1,2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q,2p －q )． ∵c ＝p a ＋q b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4.故所求实数p ，q 的值分别为1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来．(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)．跟踪演练3 已知A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，若CM →＝2CA →＋3CB →，求点M 的坐标． 解 由A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，得 CA →＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)，∴CM →＝2CA →＋3CB →＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)． 设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x －3，y －4)． 由向量相等坐标相同可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15.∴点M 的坐标为(－11，－15)． 要点三 平面向量坐标的应用例4 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由． 解 由题可知OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． (1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)PB →＝PO →＋OB →＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4,5)＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝PB →，即有⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，方程组显然无解，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．规律方法 已知含参的向量等式，依据某点位置探求参数的问题，本质是运用坐标运算，用已知点的坐标和参数表示出该点坐标，利用该点的位置确定横坐标、纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)．跟踪演练4 已知M (1,5)，N (5,17)，点P 在直线MN 上，有|MP →|＝3|PN →|，求点P 的坐标． 解 设点P 的坐标为(x ，y )， MP →＝(x －1，y －5)，PN →＝(5－x,17－y )．(1)当MP →＝3PN →时有(x －1，y －5)＝3(5－x,17－y )，由此解得x ＝4，y ＝14. 所以点P 的坐标为(4,14)．(2)当MP →＝－3PN →时，有(x －1，y －5)＝－3(5－x,17－y )， 由此解得x ＝7，y ＝23. 所以点P 的坐标为(7,23)．由(1)(2)可知点P 的坐标为(4,14)或(7,23).1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝________. 答案 (2，－1)解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)．2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4,3)，AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，∴D (2，72)．4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 答案 7解析 由题意可得(9,4)＝m (2，－3)＋n (1,2)＝(2m ＋n ，－3m ＋2n )，由⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，－3m ＋2n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5.故m ＋n ＝7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个向量终点的坐标相同．3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．一、基础达标1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)2．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________. 答案 (5,7)解析 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．3．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为λ1＝________，λ2＝________. 答案 －1 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.5．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．答案 (－3,6)6．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 答案112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.7．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．二、能力提升8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. 答案 (－3，－5) 解析 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．9．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为________．答案(7，－5)解析A′B′→与AB→方向相同且长度相等，故A′B′→＝AB→＝(7，－5)．10．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为________．答案⎝⎛⎭⎪⎫35，－45解析AB→＝(3，－4)，所以|AB→|＝5，所以同方向的单位向量是15AB→＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.11．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.答案 4解析以向量a、b的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4.12．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,1)．求OB→的坐标．解DB→＝AB→－AD→＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－3.三、探究与创新13．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？ (2)试求λ为何值时，点P 在第三象限内？ 解 ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC → ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)由5＋5λ＝4＋7λ，解得λ＝12，∴当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ<－1，λ<－47，∴λ<－1.∴当λ<－1时，点P 在第三象限内.。

2.3.2 平面向量的坐标运算(二)[学习目标] 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．[知识链接]1．向量共线定理是什么？答 向量a 与非零向量b 为共线向量，当且仅当有唯一一个实数λ使得a ＝λb . 2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等． [预习导引]1．向量共线的坐标表示一般地，设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0，反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈(－∞，－1)时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈(－1,0)时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上.要点一 向量共线的判定例1 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪演练1 已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →.要点二 利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13(a －3b )＝－13a ＋b .∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)．∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．规律方法 由向量共线求参数的值的方法跟踪演练2 设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 方法一 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线， 则存在实数λ，使得AB →＝λAC →. ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ10－k ，－7＝λk －12，解得k ＝－2或k ＝11.故k ＝－2或k ＝11时，A 、B 、C 三点共线． 方法二 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 故当k ＝－2或k ＝11时，A 、B 、C 三点共线． 要点三 向量共线的综合应用例3 如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解 方法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4) ＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0) ＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0， 解得t ＝34.∴OP →＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．方法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)． ∵OP →，OB →共线， ∴4x －4y ＝0.①又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)， 且向量CP →、CA →共线， ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．规律方法 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快． 跟踪演练3 如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →(0＜x ＜1)．(1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →， 则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA →＝－(1＋x )OA →＋OB →. 又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即y ＝f (x )＝xx ＋1(0＜x ＜1)．(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)－F (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2， 由0＜x 1＜x 2＜1，得x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，得F (x 1)－F (x 2)＞0，即F (x 1)＞F (x 2)． ∴F (x )在(0,1)上为减函数．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y ＝________________________________________ ________________________________. 答案 －4解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4. 2．下列各组的两个向量共线的是________． ①a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6)； ②a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14)； ③a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2)； ④a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4)． 答案 ④解析 ∵－36＝2－4，∴a 4∥b 4，故填④.3．若点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)三点共线，则使AB →＝λBC →成立的实数λ的值为________． 答案 2解析 AB →＝(2,4)，BC →＝(x －1,2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与BC →共线， ∴2×2－4(x －1)＝0，∴x ＝2，∴BC →＝(1,2)． ∴AB →＝2BC →，∴λ＝2.4．给定两个向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若a ＋2b 与2a －2b 共线，求λ的值． 解 ∵a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)， 又a ＋2b 与2a －2b 共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝12.1.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．一、基础达标1．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α＝________________________________________________________________________. 答案 2解析 ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α. ∴tan α＝2.2．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________． 答案 3解析 PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)， ∵P 、A 、B 三点共线， ∴PA →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0， 解得x ＝3.3．已知a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝(－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－15或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－95解析 方法一 设向量a 的终点坐标是(x ，y )， 则a ＝(x －3，y ＋1)，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＋3y ＋1＝0，x －32＋y ＋12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝125，y ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝185，y ＝－95.方法二 与向量b ＝(－3,4)平行的单位向量是±15(－3,4)，故可得a ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，从而向量a 的终点坐标是(x ，y )＝a ＋(3，－1)，便可得结果．4．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为________． 答案 －9解析 设C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9. 5．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x ＝________.答案 12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12.6．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. 答案 32解析 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝32.7．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.二、能力提升8．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且OC ＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是________． 答案 －3，1 解析 设C (x ，y )，∵点C 在第二象限，且∠AOC ＝56π，OC ＝2，∴x ＝OC ·cos 56π＝－3，y ＝OC ·sin 56π＝1，∴C (－3，1)，∴OC →＝(－3，1)．又∵OC →＝λOA →＋μOB →，∴(－3，1)＝λ(1,0)＋μ(0,1)， 即(－3，1)＝(λ，μ)， ∴λ＝－3，μ＝1.9．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得 2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 答案 2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)， ∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2.11．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上求一点P ，使|AP →|＝13|AB →|.解 设点P 的坐标为(x ，y )， ①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)． ②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x,2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．12．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)、B (6,4)、C (5,0)、D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解 设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )， DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)． 又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫207，167，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫277，167. 三、探究与创新13．如图所示，在△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C (0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，∵CM →∥CB →，∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②12 7，y＝2，故点M的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫127，2.联立①②解得x＝。

2.3.2 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．预习交流1如何理解向量的坐标表示？提示：(1)向量用坐标表示，为表示向量a 提供了另一种方法，使向量a 与有序实数对(x ，y )建立了一一对应关系；(2)向量用坐标表示，为向量运算数量化、代数化奠定了基础；(3)点的坐标与向量坐标的关系．点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点的坐标都有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等；(4)符号(x ，y )在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P (x ，y )或者向量a ＝(x ，y )，注意前者没有等号，后者有等号．2．平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．预习交流2向量的坐标是其终点的坐标吗？提示：不一定．若OP →是以原点为始点，P 点为终点的向量，其坐标为点P 的坐标；由于向量具有平移性，当AB →的起点不是原点时，其坐标不是终点B 的坐标．3．向量平行的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .预习交流3如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．预习交流4(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(x ，－1)，且a ∥b ，则x ＝__________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为__________．提示：(1)13 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72一、向量的坐标表示在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．思路分析：利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为__________．答案：(10，－5)解析：由速度向量v ＝(4，－3)可知点P 的运动方向，每秒移动的距离为42＋－2＝5个单位，如图所示，结合图象易知P (10，－5)．2．已知向量a 与x 轴的正方向成60°角，且|a |＝2，求a 的坐标．解：设OP →＝a ，坐标为(x ，y )． 如图，若a 在第一象限，则∠POP ′＝60°，|OP →|＝2，∴x ＝|OP →|cos 60°＝2×12＝1，y ＝2sin 60°＝2×32＝ 3.∴P (1，3)，a 的坐标为(1，3)．若a 在第四象限，则x ＝2cos(－60°)＝2×12＝1，y ＝2sin(－60°)＝－32×2＝－3，∴P (1，－3)．∴a ＝(1，－3)．综上，a ＝(1，－3)或a ＝(1，3)．(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 惟一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)将平面图形放置在直角坐标系中，必须说明“以点×为坐标原点，以××所在的直线为x 轴，建立直角坐标系”，当坐标系建立的方法不同时，各点坐标也有所不同，但不影响最终结论的成立．二、平面向量的坐标运算(1)设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，3a,2a ＋3b 的坐标；(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →；BC →－2AB →.思路分析：题目(1)中分别给出了两向量的坐标，欲求a ，b 的和，差或数乘向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．题目(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．解：(1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)． (2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)．∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝⎝⎛⎭⎪⎫5，292；BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝__________.答案：(－1,2)解析：12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32＝(－1,2)．(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 三、向量共线的坐标运算已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值．思路分析：先利用向量的线性运算求a ＋b,4b －2a ，然后利用向量共线时的坐标关系或利用向量共线定理a ＋b ＝λ(4b －2a )求解．解：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为__________．答案：12解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以，u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， 又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.2．O 是坐标原点，OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．解：依题意，得AB →＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)，BC →＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)，A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线，所以(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或k ＝11． 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________. 答案：(7,3)2．已知A (－5，－1)，B (3，－2)，则－12AB →的坐标为__________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 3．已知A (3，－1)，则OA →所在直线与x 轴所夹的锐角为__________． 答案：30°解析：易知点A 在第四象限，作AH ⊥x 轴于H 点，则在Rt△AHO 中，AH ＝1，HO ＝3，∴tan∠HOA ＝33.∴∠HOA ＝30°，即为所求．4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝__________. 答案：5解析：a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.5．如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．解：(方法一)由题意知，AB →＝(1，－2)，BC →＝(1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线，∴坐标满足x 1y 2－x 2y 1＝1×m －(－2)×1＝0. ∴m ＝－2.(方法二)∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线，∴存在实数λ使得AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋m j )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2. ∴m ＝－2，即当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．。

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2。

4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课前预习学案一、预习目标：预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算.了解向量的模、夹角等公式。

二、预习内容：1。

平面向量数量积（内积）的坐标表示2。

引入向量的数量积的坐标表示,我们得到下面一些重要结论：(1）向量模的坐标表示:能表示单位向量的模吗?（2）平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A（x1，y1）,B(x2,y2)AB= (3）两向量的夹角公式cos =3. 向量垂直的判定（坐标表示）4.向量平行的判定（坐标表示)三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习，你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用二、学习过程（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？（二)合作探究，精讲点拨探究一:已知两个非零向量a=(x1，x2),b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示数量积a·b 呢?a·b=(x1,y1）·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j）=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2教师：巡视辅导学生,解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1，j2=1,i·j=0探究二:探索发现向量的模的坐标表达式若a=（x，y），如何计算向量的模｜a｜呢？若A(x1，x2），B(x2,y2），如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢?例1、如图,以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB,使B = 90,求点B和向量AB 的坐标。