向量数量积的坐标运算

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 (1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |(2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则cos 〈a ，b思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？ [提示] 由于单位向量a 0＝a|a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a|a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2D．－1D[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－210[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝(－8)2＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.]3．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________. ±4[|a|＝32＋x2＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝() A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]A．4 B．5C．3 5 D．4 5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)254[(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝25，|a－b|＝4.]向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________．[2，＋∞)[∵a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝x2＋(x＋2)2＝2x2＋4x＋4＝2(x＋1)2＋2≥2，∴|a＋b|∈[2，＋∞)．]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ [思路探究] (1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0a ≠λb 求解． (2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)． 因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向，即4k －6－6<0，解得k<3.，当2a－3b与c反向时，k＝－92所以k的范围是k<3且k≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示(1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝() A. 2 B．2C．5 2 D．50A[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝(－1)2＋12＝ 2.故选A.]2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝π4，则x等于()A．1 B．－1 C．4 D．－4A[∵a·b＝|a|·|b|cos π4，∴3x＋2＝10×x2＋4×2 2，解得x＝1或x＝－4.又∵3x＋2>0，∴x>－23，故x＝1.]3．设a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)且a⊥b，则x＝________.－23[∵a⊥b，∴a·b＝0.即x＋2(x＋1)＝0.解得x＝－23.]4．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．[解](1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。

§2.3.3 向量数量积的坐标运算和度量公式学习目标：1、能推导并掌握向量数量积的坐标运算与度量公式；2、能灵活运用有关公式解决有关夹角、线段长度等问题. 学习过程： 一、复习回顾1、向量的数量积（内积）的定义： .2、向量长度的定义： .3、两个向量垂直的条件： .4、两点之间的距离公式： . 二、新学内容 阅读自学课本P 112—P 114并回答下面问题：问题1：已知()1212(,),,a a a b b b ==，请用坐标表示下列各式：a b ⋅= ，⇔⊥b a ,a =. 问题2：由向量的数量积公式你能否得到向量的夹角公式？cos ,a b =_______________________________.问题3：如果1122(,),(,)A x y B x y ，则向量AB =_______________________________.例题解析：例1： 1、已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b.2、已知点A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证AB AC ⊥.3、已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求∠BAC 的正弦值.例2：已知三点(2,1),(3,2),(1,4)A B D -，（1）求证AB AD ⊥.（2）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形的两条对角线所成的锐角.课堂达标：1、已知3,5a b == 且12,a b =则向量a 在向量b 上的正射影的数量为（ ）12..3.4.55A B C D2、在ABC ∆中，若()()0,BA BC CA CB ABC --=∆则为（ ）A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3、若a b == ()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）2....6433A B C D ππππ4、若)2,(λ=，)5,3(-=，且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A. ),310(+∞ B. ),310[+∞ C .)310,(-∞ D .]310,(-∞ 5、已知点A （1,1），B （5,3）有向线段绕点A 旋转2π到的位置，则点C 的坐标为____________.6、写出与下列向量垂直的单位向量：（1）)4,3(--=a （2）)5,12(-= _______________________7、设向量,，满足52=，)1,2(-=， 且与的方向相反，则的坐标为 .8、已知坐标原点是正方形的中心，顶点A （2,2），则其他三个顶点的坐标分别为 .9、(选作)已知ABC ∆中，点)2.1(-A ，)3,2(--B ，)1,1(C ，求边BC 边上的高.小结与反思：。

平面向量数量积的坐标运算公式在咱们的数学世界里，平面向量数量积的坐标运算公式可是个相当重要的家伙！咱先来说说啥是平面向量。

想象一下，在一个平面上，有两个箭头，它们有自己的长度和方向，这就是平面向量啦。

那平面向量数量积又是个啥呢？简单说，就是两个向量之间的一种“亲密程度”的度量。

而平面向量数量积的坐标运算公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松算出这种“亲密程度”。

假设两个向量 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，那它们的数量积 a·b 就等于 x₁x₂ + y₁y₂。

我给您举个例子哈。

比如说有个向量 a = (3, 4)，另一个向量 b = (1, 2)，那它们的数量积 a·b 就是 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11 。

是不是一下子就清楚多啦？前几天我在给学生们讲这部分内容的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？”我就跟他们说：“同学们，你们想想，如果要计算两个力在某个方向上做的功，是不是就可以用这个公式？还有在物理学中，计算电场力做功，也能派上大用场呢！”这公式在解决实际问题的时候可厉害啦！比如说，在一个平面直角坐标系中，有两个物体沿着不同的方向运动，要计算它们相互作用的力的大小，用这个公式就能轻松搞定。

而且啊，这公式在解析几何里也经常出现。

比如判断两条直线是垂直还是平行，都可能用到它。

再想想，如果要设计一个机器人的运动轨迹，或者规划无人机的飞行路线，也得靠它来帮忙算出相关的数据。

总之，平面向量数量积的坐标运算公式虽然看起来可能有点复杂，但只要咱们好好理解，多做几道题练练手，就能发现它的妙处，用它解决好多难题，就像拥有了一件超级厉害的武器！希望大家都能把这个公式掌握得牢牢的，在数学的海洋里畅游无阻！。

向量的数量积坐标运算向量的数量积，也称为点积或内积，是一种在向量空间中定义的操作，其结果是一个标量。

对于两个n维向量A和B，其数量积可以表示为A·B，也可以写作A·B = |A||B|cos θ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ是A和B之间的夹角。

此外，数量积也可以通过坐标运算来计算。

假设向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则向量A和B的数量积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2+ ... + an*bn这个公式可以理解为，向量A和B的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

数量积的坐标运算具有许多重要的性质和应用。

首先，数量积满足交换律和分配律，即A·B = B·A和(A+B)·C = A·C + B·C。

其次，数量积可以用来计算两个向量的夹角，通过公式θ = arccos((A·B) / (|A||B|))，其中arccos表示反余弦函数。

此外，数量积还可以用来判断两个向量的方向，如果A·B > 0，则A和B的夹角小于90度，方向大致相同；如果A·B < 0，则A和B的夹角大于90度，方向大致相反；如果A·B = 0，则A和B垂直，方向垂直。

在实际应用中，向量的数量积被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

例如，在物理学中，向量的数量积可以用来计算力所做的功、两个力的夹角等；在工程学中，向量的数量积可以用来计算向量的投影、判断向量的方向等；在计算机科学中，向量的数量积可以用来实现各种向量运算和算法。

总之，向量的数量积是一种重要的向量运算，它不仅可以通过坐标运算来计算，而且具有许多重要的性质和应用。

通过掌握数量积的计算方法和性质，我们可以更好地理解向量的概念和应用，为实际应用提供有力支持。

向量的数量积坐标运算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量的数量积，又称点积或内积，是向量运算中的一种重要的运算方式。

在向量的数量积坐标运算中，我们可以利用向量的坐标来进行计算，从而得到两个向量之间的数量积。

本文将介绍向量的数量积的基本概念、性质和计算方法，以及向量的数量积坐标运算的具体过程和应用场景。

1. 向量的数量积的基本概念向量的数量积是两个向量之间的一种运算方式，用于描述两个向量之间的相对方向和大小关系。

设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，表示两个向量之间的数量积。

数量积的计算公式如下：a·b = |a| |b| cosθ|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。

从公式可以看出，数量积的值与两个向量的模长和夹角有关，两个向量夹角越小，数量积的值越大；夹角为锐角时，数量积为正；夹角为直角时，数量积为0；夹角为钝角时，数量积为负。

2. 向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）数量积为0的条件：若a·b = 0，则a与b垂直从以上性质可以看出，数量积是满足交换律和分配律的，并且两个垂直向量之间的数量积为0。

3. 向量的数量积坐标运算的具体过程在向量的数量积坐标运算中，我们通常将向量表示为坐标形式，然后利用坐标形式进行计算。

设有两个向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们之间的数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2通过将向量拆分为横坐标和纵坐标，我们可以将数量积的计算简化为坐标之间的乘法和加法运算。

这种坐标运算的方法不仅简单直观，而且具有很高的可操作性，适用于各种类型的数学和物理问题的求解。

平面向量数量积的坐标平面向量数量积是向量的一种重要运算，通常用来计算向量之间的夹角和长度。

在坐标系中，向量可以表示成有序数对 (x, y)，因此向量的数量积也可以用坐标表示出来。

以下是平面向量数量积的坐标公式：设有向量 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则向量 A 和向量 B 的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2这里“·”表示数量积运算，即点乘。

为了更好地理解平面向量的数量积，我们可以通过几何直观来解释。

几何意义：向量的数量积可以理解为向量 A 在向量 B 上的投影乘以向量 B 的长度，也可以理解为向量 B 在向量 A 上的投影乘以向量 A 的长度。

如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。

如果两个向量的数量积为正，则它们之间的夹角为锐角；如果两个向量的数量积为负，则它们之间的夹角为钝角。

数学性质：向量的数量积具有以下基本性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C4. 平行四边形法则：(A+B)·(C+D) = A·C + A·D + B·C + B·D应用：通过向量的数量积，可以计算两个向量之间的夹角和长度。

夹角的计算公式为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，θ表示向量 A 和向量 B 之间的夹角，|A|和|B|表示向量 A 和向量B 的长度。

如果知道两个向量的长度和它们之间的夹角，也可以用数量积来求出向量的坐标。

综上所述，平面向量的数量积是向量的一项基本运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角和长度，进而解决各种几何问题。

向量积和数量积的关系
向量积和数量积是三维向量运算中的两种重要运算方式。

在向量积和数量积中，向量积是一个向量，数量积是一个标量。

它们都有自己的计算方法和一些特殊的性质。

向量积是通过两个向量的叉乘运算得出的一个向量。

它的计算方法是：A×B=(A2B3-A3B2,i)+(A3B1-A1B3,j)+(A1B2-A2B1,k)。

其中，i、j、k分别是坐标轴的单位向量。

向量积的方向垂直于A、B所在的平面，其大小等于以A、B为两边的平行四边形的面积。

数量积是通过两个向量的点乘运算得出的一个标量。

它的计算方法是：A·B=A1B1+A2B2+A3B3。

数量积的值等于A、B的夹角的余弦值乘以A、B的模长的积。

向量积和数量积之间存在着一些关系。

例如，当两个向量平行时，它们的向量积为零，数量积等于它们的模长的积。

当两个向量垂直时，它们的向量积的大小等于它们的模长的积，数量积为零。

向量积和数量积在计算力学、电磁学、几何学等领域中有广泛的应用。

了解它们的关系和特性，对于理解和应用相关知识具有重要的意义。

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