高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标

北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义引导学生复习初中所学向量的概念，即向量是有大小和方向的量。

解释向量在坐标系中的表示方法，例如在二维坐标系中，向量可以表示为由原点出发的箭头，其长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。

1.2 向量的表示介绍向量的表示方法，即用粗体字母或箭头表示向量，例如\( \vec{a} \) 或\( \overrightarrow{a} \)。

强调向量是有方向的量，与标量（只有大小没有方向的量）的区别。

第二章：向量的坐标表示2.1 二维向量的坐标表示引导学生复习初中所学二维向量的坐标表示方法，即用(x, y) 表示一个二维向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量。

举例说明如何求解一个二维向量的坐标表示，例如给定向量\( \vec{a} \) 在x 轴上的分量为2，在y 轴上的分量为3，可以表示为\( \vec{a} = (2, 3) \)。

2.2 三维向量的坐标表示介绍三维向量的坐标表示方法，即用(x, y, z) 表示一个三维向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量，z 表示向量在z 轴上的分量。

举例说明如何求解一个三维向量的坐标表示，例如给定向量\( \vec{b} \) 在x 轴上的分量为4，在y 轴上的分量为5，在z 轴上的分量为6，可以表示为\( \vec{b} = (4, 5, 6) \)。

第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义解释向量的数量积（点积）的定义，即两个向量\( \vec{a} \) 和\( \vec{b} \) 的数量积等于它们对应分量的乘积之和。

给出数量积的数学表达式，对于二维向量\( \vec{a} = (a_x, a_y) \) 和\( \vec{b} = (b_x, b_y) \)，它们的数量积为\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \)。

向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）学 习 目 标：1通过自学课本能推导出向量数量积的坐标表达式，并写出两向量垂直的坐标公式。

2通过自学课本能够准确写出向量的长度、距离和夹角余弦的坐标公式并会熟练地应用解决有关问题。

3通过合作探究一学会向量垂直条件坐标形式的应用，通过合作探究二学会求已知向量夹角为锐角和钝角时参数的取值范围。

通过合作探究三体会向量的工具性以及函数思想的应用。

4根据学习的内容，完成思维导图案。

自学指导一）阅读课本P112至思考讨论前思考以下问题1、在正交基底{}21,e e 下，已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出它们的正交分解式吗？{}21,e e 的模与数量积分别是多少？由此你能推出a ·b 坐标表达式吗？2、向量b a ,垂直的等价条件是什么？你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？（二）阅读课本P112下3、向量的长度、距离和夹角公式至P113例题2并思考思考以下问题1. 你能写出a ·b 的定义式吗？2、根据a ·b 的定义式你能快速写出|a |以及><b a ,cos 的表达式吗？3.若已知向量已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出|a |以及><b a ,cos 的坐标表达式吗？4已知),(),(2211y x B y x A ==则AB =自学检测中，已知四边形ABCD 是平行四边形，错误!＝1，－2，错误!＝2,1，则错误!·错误!＝A ．5B ．4C ．3D ．22已知向量a =（-1,2），b =（3,），若a ∥b ，则=_______;若a ⊥b ，则=_______3已知向量a =（4,5），b =（-4，3），求a ·b ，|a |，|b |,cos a b4 夹角的余弦值为与则若b b a a ),12,5(),4,3(=-=（1,2），B （-5,8），C （-2，-1），求证：AB ⊥AC 。

向量数量积的坐标运算与度量公式一．教学目标：1知识与技能：（1）掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算（2）会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角2过程与方法：经历数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题﹑解决问题的能力。

3情感﹑态度﹑与价值观：（1）通过用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明世间事物可以相互联系与转化。

（2）用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地。

通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。

二．教学重点﹑难点重点：掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算难点：会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角三．学情分析：本章学生首先学习了向量的线性运算几何法及坐标法，以及平面向量数量积，学生以这些知识为基础，学习向量数量积的坐标运算与度量公式，相对来说比较轻松。

在授课过程中，可以充分以学生为主体，通过平面向量数量积及前面向量线性运算的坐标法，启发学生自己推导出向量数量积的坐标公式及度量公式。

四课型分析：新授课五．教学方法:本节内容教学中设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。

六．教学过程及时间分配：（一）导入新课：（5分钟）复习向量数量积公式，垂直的条件以及求模和夹角公式。

结合前面向量的线性运算中几何法和坐标法引出本节课向量数量积的坐标运算及度量公式。

（二）讲授新课：（10分钟）解决课前案中的引导问题，大屏幕展示平面向量数量积坐标公式的推导过程，得出向量数量积的坐标公式，由学生说出向量有关应用的公式。

（三）例题讲解：（10分钟）学生讲解例题，变式1，变式2，引导学生总结判断三角形形状的方法：（1）数量积的方法，（2）求模的方法，（3）求夹角的方法。

（四）体验发现：（18分钟）探究部分：学生小组合作探究一变式3，探究二变式1,2,3，到黑板展示，点评，质疑，总结。

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。

二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。

4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。

3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。

4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。

5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。

五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。

向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。

2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。

因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。

因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。

四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。

3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。

8.1.3向量数量积的坐标运算【教学目标】1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．3.分清向量平行与垂直的坐标表示．4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．【教学重点】数量积坐标表示的推理过程.【教学难点】公式的建立与应用.【教学过程】一、课前预习预习课本，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？二、课前小测1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C.53 D ．－53答案：A解析：a ·b ＝－x ＋6＝3，x ＝3，故选A.2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝________，|a ＋b |＝________.答案：1 2 5解析：a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)，|a ＋b |＝42＋22＝2 5.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝______.答案：23解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0，解得m ＝23.4．已知a ＝(3，4)，b ＝(5，12)，则a 与b 夹角的余弦值为________．答案：6365解析：因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13，所以a 与b 夹角的余弦值为a·b |a ||b |＝635×13＝6365.三、新知探究1．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.2.向量模的公式设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.3．两点间的距离公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 思考：已知向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a 垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±⎝⎛⎭⎫x |a |，y |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋y 2，y x 2＋y 2，其中正号、负号分别表示与a 同向和反向．易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，所以与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正、负号表示不同的方向．四、题型突破题型一 平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a ·(b ·c )及(a·b )·c .(1)答案：2解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)．可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2，所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.(2)解：①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，∴a ·(b·c )＝0·a ＝0，(a·b )·c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．【反思感悟】数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．【跟踪训练】1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：C解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A解析：由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5.题型二 向量模的坐标表示【例2】 (1)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5(2)若向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，求：①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标；③与a 垂直的单位向量的坐标．(1)答案：D解析：由a ∥b 得y ＋4＝0，∴y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4，8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D.(2)解：①∵a ＝AB →＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a |＝42＋(－3)2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)， 即坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35. ③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34. 又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1.解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝45或⎩⎨⎧ m ＝－35，n ＝－45， ∴e ＝⎝⎛⎭⎫35，45或e ＝⎝⎛⎭⎫－35，－45.【反思感悟】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.【跟踪训练】3．已知平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)．(1)求a －2b 及其模的大小；(2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.解：(1)a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c |＝1＋62＝37.题型三 向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于多少？[提示] 由已知得a －b ＝(1－x,4)．∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0.∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2) D ．(－2,2)(1)答案：B解析：当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. (2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵点D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ， ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)，∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．【多维探究】1．将本例(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k 的取值范围．解：当a 与b 共线时，－2k －1＝0，k ＝－12， 此时a 与b 方向相反，夹角为180°，所以要使a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0，且a 与b 不反向．由a·b ＝－2＋k ＜0得k ＜2.由a 与b 不反向得k ≠－12， 所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k 的值． 解：cos π4＝a·b |a ||b |＝2＋k 5·1＋k 2， 即22＝2＋k 5·1＋k 2，整理得3k 2－8k －3＝0， 解得k ＝－13或3. 【反思感悟】1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．五、达标检测1．判断正误若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )(2)a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角．( )(3)若a ·b ≠0，则a 与b 不垂直．( )(4)|AB →|表示A ，B 两点之间的距离．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32＋(－1)2＝10，|b|＝12＋(－2)2＝5，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝510×5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋m b)，则实数m＝________.答案：－3解析：a＋m b＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋m b)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.六、本课小结1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.七、课后作业完成本讲配套练习《高一必修三8.1.3向量数量积的坐标运算课时精练（配套2）》.。

平面向量数量积的坐标表示教案1教学目标1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．教学过程设计(一)学生复习思考，教师指导．1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．＝________ ＝________2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)＝________3．向量的数量积满足那些运算律？(二)教师讲述新课．前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．设两个非零向量为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1，＝x2＋y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：(2)平面上两点间的距离公式：向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=(3)两向量的夹角公式设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ．4．两向量垂直的充要条件的坐标表示＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．(三)学生练习，教师指导．练习1：课本练习1．已知a(－3，4)， (5，2)．练习2：课本练习2．已知＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)．·＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)·(－)＝－7．·(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．求证：△ABC是直角三角形．证：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，＝(－4，2)．经检验，·＝1×(－3)＋1×3＝0．∴⊥，△ABC是直角三角形．(四)师生共同研究例题．例1：已知向量＝(3，4)，＝(2，－1)．(1)求与的夹角θ，(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．解：(1)＝(3，4)，＝(2，－1)．(2)＋x与－垂直，(＋x)·(－)＝0，＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x ＋3，4－x)－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．例2：求证：三角形的三条高线交于一点．证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．即 x1x2＋yy1＝0．又＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．·＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．∴⊥，CP是AB边上的高．故三角形的三条高线交于一点．(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．。

平面向量数量积的坐标运算及度量公式教学目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.教学过程导入新课思路 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下: ∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j , ∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j ) =x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2. 又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0, ∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 则a ·b =x 1x 2+y 1y 2. 2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么 a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+- 3°两向量垂直的坐标表示 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cos θ=222221212121||||yx y x y y x x b a ba +•++=•讨论结果:坐标运算与数量积定义联系紧密. 应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法. 解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0. ∴⊥AC .∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明. 变式训练在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值. 解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论. 若∠A=90°,则⊥,所以·=0. 于是2×1+3k=0.故k=32-.同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值; (2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cos θ=222221212121||||yx y x y y x x b a ba +•++=•.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误. 解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37, ∴cos ∠BAC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52. 设a 与b 的夹角为θ,则 cos θ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高. 变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2. |a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+-由计算器得cos θ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若a ⊥b ,求a ; (2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标. 变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=21x的图象(直线l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0,∴⊥CD,即l1⊥l2.知能训练1.|a|=5,|b|=29,a·b=-7.2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.3.a·b=1,|a|=13,|b|=74,θ≈88°.课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业课本习题2.3 A组、B组.。

北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量的表示方法：用字母表示向量的名称，后面跟上箭头和坐标表示其大小和方向。

1.2 向量的坐标表示二维空间中的向量可以用两个坐标表示，通常用(x, y) 表示。

向量的长度（模）：表示向量的大小，计算公式为√(x^2 + y^2)。

第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量的数量积（点积）是指它们之间的乘积再进行加法运算。

向量a 和向量b 的数量积表示为a ·b，计算公式为a ·b = |ab| cosθ，其中|a| 和|b| 分别表示向量a 和b 的长度，θ表示它们之间的夹角。

2.2 向量数量积的坐标表示两个二维向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 的数量积表示为a ·b = x1x2 + y1y2。

数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。

第三章：向量的投影3.1 向量的投影概念向量的投影是指向量在某个方向上的位移，可以是正方向或负方向。

向量a 在向量b 方向上的投影表示为proj_b a，计算公式为proj_b a =(a ·b / |b|^2)b。

3.2 向量的投影坐标表示向量a = (x1, y1) 在向量b = (x2, y2) 方向上的投影表示为proj_b a = ((x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2))(x2, y2)。

投影的性质：投影是标量倍数不变、共线向量的投影相等。

第四章：数量积的应用4.1 向量的垂直判断两个向量垂直的条件是它们的数量积为零。

即a ·b = 0，表示向量a 和向量b 垂直。

4.2 向量的模长计算已知向量的数量积和其中一个分量，可以求解另一个分量。

例如，已知a ·b 和x1，可以求解y1 = (a ·b x1^2) / y2。

向量数量积的坐标运算【教学过程】一、问题导入我们已经学习了向量数量积的概念以及平面向量线性运算的坐标运算方法，那么向量的数量积能不能进行坐标运算呢？如果可以又遵循怎样的运算法则呢？这节课就让我们来学习——向量数量积的坐标运算。

二、新知探究1．平面向量数量积的坐标运算【例1】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，），且a·b＝－1，则的值等于（）。

A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!（2）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝________，a·a－b＝________。

（3）已知a＝（2，－1），b＝（3，2），若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________。

思路探究：根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程（组）来进行求解。

答案：（1）D；（2）1；4；（3）错误!。

[（1）因为a＝（1，2），b＝（2，），所以a·b＝（1，2）·（2，）＝1×2＋2＝－1，解得＝－错误!。

（2）a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4．（3）设c＝（，），因为a·c＝2，b·c＝5，所以错误!解得错误!所以c＝错误!。

][教师小结]（1）进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝12＋12，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；（a＋b）（a－b）＝|a|2－|b|2；（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．（2）通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系。

（3）向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充。

1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。

2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。

引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示（2）通过向量坐标判断两向量特殊位置关系（3）掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式（4）培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析（1）掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算（2）会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直（3）能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题三、教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题四、教学支持条件：多媒体辅助教学五、教学过程设计(一）知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。

(二）类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示{}123123123123111213212223313233,,,,()()10设为空间的一个单位正交基底，则所以因为，所以a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=++=++++=++++++++======i j k a i j k b i j k a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k i i j j k k i j j k k i a b 112233.a b a b a b =++其他运算的坐标表示可以类似证明。

有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

接下来是小编为大家整理的有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全，希望大家喜欢!有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全一教学目标：(i)知识目标：(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.(2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标：(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点：平面向量数量积的综合应用.教学过程：一、知识梳理1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫与的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(，并规定与任何向量的数量积为02.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于的长度与在方向上投影| |cos(的乘积.3.两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 03(当与同向时， ( = | || |;当与反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = ||24(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |4.平面向量数量积的运算律① 交换律：( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )③ 分配律：( + )( = ( + (5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量，，则 .②设，则 .③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么 .④向量垂直的判定两个非零向量，，则 .⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).二、典型例题1. 平面向量数量积的运算例题1 已知下列命题：① ; ② ; ③ ; ④其中正确命题序号是②、④ .点评：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为，分别求 .解(1)当时， = 或 = .(2)当时， = .(3)当的夹角为时， = .变式训练：已知，求解： =点评：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题3 若，且，则向量与向量的夹角为 ( )A. B. C. D.解：依题意故选C变式训练1：① 已知，求向量与向量的夹角.② 已知，夹角为，则 .解：① ，故夹角为 .②依题意得 .变式训练2：已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.法一解：将两边平方得，则，故的夹角.为 .法二：数形结合点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题4 已知向量满足，且的夹角为，求 .解：，且的夹角为;变式训练：①(2005年湖北)已知向量，若不超过5，则的取值范围 ( )A. B. C. D.②(2006年福建) 已知的夹角为，，，则等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解：① ，故选C② ，，解得，故选B点评：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.4.平面向量数量积的综合应用例题5 已知向量 .若 ; (2)求的最大值 .解：(1)若，则， .(2) = =，的最大值为 .例题6已知向量，且满足，求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数 ;(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角 .解：(1)，故(2) ，故 .有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全二2.3.1向量数量积的物理背景与定义教材说明平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。

向量的数量积教案教案标题：向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解向量的数量积的概念和性质；2. 掌握向量的数量积的计算方法；3. 运用向量的数量积解决几何和物理问题。

二、教学准备：1. 教材：教科书、教学参考书；2. 教具：黑板、白板、教学投影仪、计算器；3. 知识点讲解的例题和练习题。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）向学生简要介绍向量的数量积是什么，为何重要以及在哪些应用中会使用到，引发学生对本课内容的兴趣。

2. 理论讲解（15分钟）对向量的数量积的概念进行详细的讲解，包括定义、计算公式、性质等。

强调其与向量的夹角之间的关系和两个向量之间数量积的几何意义。

3. 示例演练（20分钟）通过几个具体的例子，让学生熟悉如何计算向量的数量积，重点讲解一些常见的特殊情况，如零向量与其他向量的数量积为零等。

4. 练习与巩固（15分钟）提供一定数量的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师可以根据学生的进度进行辅导和解答。

5. 拓展应用（10分钟）引导学生思考如何应用向量的数量积解决几何和物理问题，如求两条直线的夹角、判断两条向量的垂直关系等。

6. 总结与讨论（5分钟）与学生一起总结本节课的重点内容和要点，解答学生提出的问题。

可以进行小组或全班讨论，鼓励学生发表观点和提出疑问。

四、课堂作业：布置一定数量的课后作业，要求学生综合应用向量的数量积解答问题。

可以包括计算题和应用题。

五、板书设计：在黑板或白板上，清晰地书写本节课的重点知识和公式，以供学生复习和记忆。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了向量的数量积的计算方法和应用技巧，提高了解决问题的能力。

在以后的教学中，可以结合具体应用情境，引导学生进一步思考和探索向量的数量积的应用。

高中数学向量数量积教案
一、教学目标
1. 理解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握求解向量数量积的方法；
3. 能够运用向量数量积解决相关问题。

二、教学重点
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的性质；
3. 向量数量积的应用。

三、教学难点
1. 向量数量积的性质的理解和运用；
2. 向量数量积的应用实例的解决。

四、教学过程
1. 引入：通过一个生活中的具体例子引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的实际应用和意义。

2. 讲解：详细介绍向量数量积的定义和性质，强调向量数量积的计算方法和解题技巧。

3. 练习：设计一些基础的练习题，让学生掌握向量数量积的求解方法，巩固相关知识点。

4. 拓展：提供一些拓展练习题，让学生能够灵活运用向量数量积解决实际问题，培养解决问题的能力。

5. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对向量数量积有一个清晰的认识，强化重点知识点。

五、作业布置
完成课堂练习题和拓展练习题，巩固向量数量积的相关知识，准备下节课的学习。

六、教学反思
通过本节课的教学实践，发现学生对向量数量积的理解程度和解题能力，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。

同时，鼓励学生积极思考，勇于探索，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝.3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝.注意：由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()【经典例题】题型一 数量积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．例1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，求a ·b ，(a ＋b )·(2a －b )．【跟踪训练】1已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1题型二 平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y2.例2 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82【跟踪训练】2 已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．题型三 平面向量的夹角和垂直问题 点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a |，|b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |，求出cos θ，也可由cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．【当堂达标】1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．22.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A． 5 B．10 C．5 D．253.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23 B.3C．0 D．－34.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.6.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.模长：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.3.夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2＝0 x 2＋y 2 √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21· x 22＋y 22 【小试牛刀】(1) × (2) × (3) × (4) ×(5) √ 【经典例题】例1 解 a ·b ＝1×2＋3×5＝17.∵a ＋b ＝(3,8)，2a ＝(2,6)，∴2a －b ＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝3×0＋8×1＝8.【跟踪训练】1 D 解析：(1)a ·b ＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D.例 2 D 解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝√82+(−8)2＝8 2.【跟踪训练】2 13 解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC→＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y－1)＝(4，－1)，所以⎩⎨⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC→＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.例3解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.【跟踪训练】3 解 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12.又当a 与b 反向时，夹角为180°，即a ·b ＝－|a |·|b |，则2λ＋1＝5·λ2＋1，解得λ＝2.由于a 与b 的夹角为钝角，故应排除a 与b 反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 【当堂达标】1.C 解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2.C 解析：∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5，故选C ．3.B 解析：因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ， 又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.4.A 解析：选A.由题设知AB→＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB→⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．5. 7 解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.6.解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。

⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。

教师下载中心教学点睛向量是学习其它知识尤其是学习高等数学和普通物理的重要工具，故受到高考命题者的青睐。

高考中，向量试题除单纯考查向量的概念及运算等知识外，常常与其它知识（如三角函数、解析几何、立体几何等）综合命题。

平面向量涉及的概念、运算法则和规律较多，复习时要与相关知识进行比较,避免混淆。

解决有关向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确进行向量的各种运算；二是要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解题中的应用.拓展题例【例1】已知向量a=(x2，x+1），b=（1—x，t).若函数f（x)=a·b在区间(-1,1）上是增函数,求t的取值范围。

分析:需先求函数f（x)的解析式，再由f′(x）≥0在（—1，1)上恒成立,即可求出t的取值范围。

解法一：依定义f（x)=x2（1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f′（x)=—3x2+2x+t。

若f（x)在（-1,1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f′（x）≥0。

∴f′(x)≥0⇔t≥3x2-2x在区间（-1,1)上恒成立.1，开考虑函数g(x)=3x2-2x，由于g（x）的图象是对称轴为x=3口向上的抛物线,故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1）上恒成立⇔t≥g(-1)，即t≥5。

而当t≥5时,f（x)在(—1，1)上满足f（x)＞0，即f(x）在（—1,1）上是增函数.故t的取值范围是t≥5。

解法二：依定义f（x）=x2(1—x)+t(x+1）=-x3+x2+tx+t.f′(x）=-3x2+2x+t。

若f(x）在（-1，1)上是增函数。

则在(-1，1)上可设f′(x)≥0∵f（x)的图象是开口向下的抛物线。

∴当且仅f(1)=t-1≥0，且f（—1)=t—5≥0时，f（x)在（-1，1)上满足f(x）＞0,即f（x）在（-1，1)上是增函数。

故t的取值范围是t≥5.【例2】已知OP=(2，1），OA=(1，7)，OB=(5，1)，设M是直线OP上的一点(O是坐标原点)，(1)求使MA·MB取最小值时的OM；(2)对(1)中求出的点M，求∠AMB的值。

教案学习了向量数量积的几何意义，知道它具备“形”的特征，那么，它是否也像其他三种运算一样可以进行坐标运算，具备代数的特征呢？答案是肯定的。

那么，我们这节课就来共同学习向量数量积的坐标运算。

新课首先让我们来复习回顾与本节课的内容相关的两个知识点。

第一个知识点，向量数量积的定义及相关性质。

向量数量积的定义，即：||||cos,a b a b a b⋅=2||a a a=⋅，也可以写成||a a a=⋅，此处需注意：在写法上，2a a a=⋅。

这个公式可以用来求向量的模。

当a与b都是非零向量时，cos,||||a ba ba b⋅=，这个公式可以用来求两向量之间的夹角。

a b a b⊥⇔⋅=，这个公式可以用来证明某些垂直问题，或者将某些垂直问题转化成向量数量积的语言进行求解。

接下来我们复习回顾第2个知识点，必修第二册学习过的平面向量坐标表示的定义？在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量1e和2e之后，根据平面向量基本定理可知，对平面内的任意向量a，有且只有一对实数,x y，使复习旧知，引出新知，为后续的学习提供铺垫积的定义，可得221e e =⋅=210e ⋅=。

数量积的定义，那么向量的数量积可以用坐标表由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底12{,}e e ，使得=121121212211222x x e e y e e y x e e y y e e ⋅+⋅+⋅+⋅，根据才的结论，其中11e e ⋅=210e e =⋅=，所以a 与b 的数量积等于12y ，即两个向量的数量积等于这两个向量的横坐标之积与纵坐标之b 吗？1a a x x =⋅=⨯同理可得：22||b b b x =⋅=+和b 是零向量时，它们的模是个向量夹121||||a b b a b x ⋅==+的数量积、向量的模以及两个向量的夹角。

21()x x -|,a b .的坐标，所以直接代入向量数量积的坐标运算公式可知：2222(3,1)(1,2)31(1)(2)5,||3(1)10,||1(2)5a b a b ⋅=-⋅-=⨯+-⨯-==+-==+-= 52cos ,,2||||105a b a b a b ⋅===⨯ 因为两个向量夹角的范围是大于等于0小于等于π，所以,4a b π=。