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第三章 晶格振动

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第3章 晶格振动与晶体的热学性质

第3章 晶格振动与晶体的热学性质
温度较低: 热运动较弱——在平衡位置附近微振动,平衡位
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。

晶格振动

晶格振动

例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原
子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeitnaq
将试探解代入振动方程得色散关系:
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。

m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
2
2
整数
q 2π s Na
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N (共N个值)
2
2
2
2
波矢 q

2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2
aq
sin
m
2
由玻恩---卡门周期性边界条件:
x1 x1 N
eiNaq 1
S为整数
Naq 2π s
q 2π s 5a
πq π
a
a
5<s 5
2
2
5<s 5
2
2
s 2, 1, 0, 1, 2

固体物理学：第3章 晶格振动

固体物理学：第3章 晶格振动

2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总

第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)

第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)

3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。

第三章节晶格振动

第三章节晶格振动

看作是连续媒质.
25
na x a Δx Δx 为小量
Un(t)=U(na,t) U(x,t) Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+Δx,t)
第三章节晶格振动
把这些关系式代入式（3－4），得
m 2 U t(2 x,t) 2 U x (2 x,t)a2
令 v02= a2β/m, 则上式成为
2U(x,t)
情况下可不同，在均匀各向同性介质中三者相同。
（二）色散关系
• 本来色散关系是指vp～ω间的关系，
因 vp = ω／q 也可以用ω～q 之间的关系来表征色散关系。 若ω～q 间为线性关系，则vp为常数，即各种频率 的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色 散。
第三章节晶格振动
把式（3－8）代入式（3－4）并用尤拉公
式整理得到 （3－11）式
22(1co q)sa 4si2n qa
m
m2
4
1
2
s
inq a
m
2
m
sin
qa 2
ωm称为截止频率。
第三章节晶格振动
（3-11）
第三章节晶格振动
上式又可改写为
q [a m 12|sq iq /n a 2 /a 2|]q [v0|sq iq /n a 2 /a 2|]qpv
第三章 晶格振动
主要目的：
搞清材料热性能有关的物理概念， 学习分析问题的方法。
对象：
晶体大量原子的热振动及在晶体中的传 播（格波）等。
第三章节晶格振动
方法：
易
难
一维
三维（推广）
经典
量子（修正）
间断 连续 比较而定）
间断（依原子间距和波长的

固体物理：第三章 晶格振动总结-

固体物理：第三章 晶格振动总结-

长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
第二项表示电场 E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W 表示离子位移引起的极化，第
..
m xn xn xn1 xn xn1
• 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相 邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其 它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个 原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动 相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的 运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了 很大的困难.
高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项
的近似)。
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk xnk
nk
d2u dr 2
r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n n+1 n+2
• (2) 与实验结果吻合得较好.
• 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻 不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条 件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为 了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定 是对晶格振动理论的最有力验证). 玻恩卡门条件是晶格振动理 论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.

固体物理基础第3章 晶格振动理论

第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把

固体物理 第三章 晶格振动


1 2 T = ∑q 2 i =1 i
3N •
3.1晶体中原子的微振动 3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能U (qi ) 按 qi 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 ∂U 1 ∂ 2U U = U0 + ∑ ( ) 0 qi + ∑ ( ) 0 qi q j + 高阶项 ∂q i 2 ij ∂qi ∂q j i 其中 U 0 = 0 平衡位置处的势能为零势能点
xn = x N + n
又 : xn = Ae
i ( kna − ωt )
又 − π < k ≤ π s = − N + 1,− N + 2⋯⋯ N 共有N个取值 ： a a 2 2 2
=1 e ⇒ 2π ⋅ s， = N+ 2π ,− π + 2 2π ,..., π 有N种均匀分布的分立取值 种均匀分布的分立取值 a L a L a 2π L 间隔∆k = ，密度 ，第一布里渊区倒格点数N。 L 2π
, ( l =1, 2, ⋯ 3N )
Ql = Ql0 sin(ωl t + α 1 )
1 ε l = (Q l + ωl2Ql2 ) 2
• 2
能量量子化
1 εl = (nl + )hυl 2
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一、简谐近似
du 1 d 2u u( x) ≈ u( x0 ) + ∆x + (∆x)2 2 dx r0 2 dx x
3.1晶体中原子的微振动 声子 3.1晶体中原子的微振动 晶格振动模式
质量加权坐标下： 质量加权坐标下：
•• 3N
↔
独立的谐振子
↔
声子

第3章 晶格振动与晶体热学性

1/70
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2

m
sin(
qa ) 2

固体物理基础第3章 晶格振动理论

16
第3章 晶格振动理论
图3.3 一维单原子链的玻恩-卡曼周期性边界条件
17
第3章 晶格振动理论 下面对式(3.5)所表示的一维单原子链的色散关系做一些
表面上看来，对于一个波数q应该对应±ω(q)两个频率， 而一组(ω(q)，q)确定一个格波，所以总共应该有2N个格波。 但是，由于ω是q的偶函数，只需要取式(3.5)的正根就足够 了，因为q和-ω(q)确定的解与由-q和ω(q)=ω(-q) 确定的解 是同一个解，反映晶格原子的振动情况也就完全相同。因此 式(3.5)可进一步写成：
别表示 q π (对应波长λ=4a)和 q 5 π(对应波长 4 a
2a
2a
5
11
第3章 晶格振动理论 的两个波。对于连续波而言，这是两个完全不同的波，然而， 由于晶格的周期性，这两个波反映一维单原子链中原子的振 动情况却是完全相同的，这就是为什么要把波数q的取值限 定在一个周期内，也就是第一布里渊区的原因。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
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1声子是一种集体激发的振动形式
• 例: • 双原子分子振动,声学支的短波极限的频率 对应于分子的振动频率，但其长波极限的 频率则低得多，可见，只需很小的能量就 可以激发晶格振动，即低温下的热振动. 是 集体行为的结果。
1声子是一种集体激发的振动形式
• 这一点，我们可以通过定性考察当原子 数目增加时是如何影响系统的最低本征 振动频率的： • 1）长度增加 • 2）集体运动总质量增加 • 显然，激发频率降低是集体运动的结果。 • 从直观的经典图像来看，则似乎有出入： 需要更大的力或能量才能使质量大的物 体运动起来！
二.能量量子化与声子
• 格波在晶体中传播受到的散射的过程，可 以理解为声子同晶体中振动着的原子的碰 撞（或声子与声子之间的碰撞） • 电子波在晶体中被散射也可看作是由电子 和声子的碰撞引起的 • 声子与声子、声子与其它粒子或准粒子作 用，遵守能量守恒和准动量守恒定律
声子与格波的波包有何同异
• 它们都有粒子运动的特性，传递能量和动量； • 声子是元激发，一个声子的能量为 ，波包是宏 观“粒子”，其能量由其振幅决定，因而，对应于 频率为ω的波包的能量约为n ；或理解为一个 波包含有许多声子.
三.三维晶格振动
• 1.波矢
2 q h Na
h =整数， N：晶体的原胞数
л) 3 q的分布密度：V/(2 V/(2л 简约区中q的取值总数 ＝晶体的原胞数 晶格振动的格波总数＝3N＝晶体的自由度数
三.三维晶格振动
• 2.纵波和横波
• 可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿 三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支 横波。
• 简谐振动波解 • 说明： 1)晶格中各原子的振动间存在固定的位相关系。 2)对应某一确定的振动状态，可以有无限多个波矢 q ，它们间相差的整数倍。为了保证 xn的单值 性，把一维布喇菲格子的 q 值限制在 (- ),其中 a 是晶格常数。
,
二.周期性边界条件 (玻恩-卡门边界条件)
• 设想在一长为 Na 的有限晶体边界之外， 仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶 体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第 tN+j 个原子的运动情况一 样，其中 t = 1,2,3,…。 • Un = UN+n • q=2mπ /Na • 说明： q取值不连续，间隔2 π /Na
第三章 晶格振动
§3.1 一维单原子晶格的振动 物理模型与运动方程 • 1.近邻作用近似：只考虑近邻原子的相 互作用 • 2. 简谐近似：当温度不太高时，原子间 的相对位移较小，互作用势能在平衡点a 处的泰勒展开式中，可只取到二阶项， 即为简谐近似
§3.1 一维单原子晶格的振动
• 3. 运动方程
§3.1 一维单原子晶格的振动
• 推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格 振动有1支声学波 • 和（s-1）支光学波。 晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度 数。
二. 声学波和光学波的讨论
• 2.声学波和光学波的振动特点 • 1.长波极限 • 当q0时，声学波（acoustic branch）原胞内 两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同， 这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶 格振动称为声学波或声学支 • 当q0时，光学波（optical branch）原胞中两 种原子振动位相完全相反。离子晶体在某种光波 的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动， 因此，我们称这种振动为光学波或光学支
三.三维晶格振动
• 3.格波支数
• 对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由运动 方程可以解得3s个与q的关系式（即色散关系 式），对应于3s支格波，其中3支为声学波（一 s－1)支为光学波。 支纵波，两支横波），3( 3(s
三.三维晶格振动
• 4.格波总数：
• 晶格振动的格波总数＝3Ns＝晶体的自由度数
eV，与声 热中子（慢中子）的能量：0.020.04 0.04eV 子的能量同数量级；中子的de Broglie波长： 2 3×10－10m（2 3），正好与晶格常数同 数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。 中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动 谱。 p89图3-16 对比：p88表3-1 3-1p89 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的 情况。
(二)、中子的非弹性散射
• 晶体三轴谱仪（p90图3-17） • 钠的声子谱（p90图3-18）
五. 软模
• 简谐振动模式:Ns个原子组成的三维晶体中, 简谐振动模式为3Ns • 环境条件(温度、应力、外电场)等会影响弹 性系数的值 • 软模定义：如果晶体的宏观条件变化使某 个模式的弹性系数减小至零，则该模式称 为软模。
2 M
2 M 2
2
1 aq B 0 A 2 cos 2
2 2 cos 1 aq A 2 m B 0 2
久期方程：
2 cos 1 2 aq 2 m
2
2 cos 1 2 aq
0
M m 4 Mm 2 1 ＝ 1 1 2 sin 2 aq Mm M m
（一）光子与声子的非弹性散射
• ħ K=ħ K’ ± ħ (q+Kh) • ħ Ω=ħ Ω’± ħω K和 K’ ：入射和出射光子的动量； Ω和Ω’：入射和出射光子的能量
“－” ：吸收声子的散射过程， “＋” ：发射声子的散射过 程；
Kh ：倒格矢。
（一）光子与声子的非弹性散射
入射光为可见光和红外光时，取倒格矢为0 声子频率的确定：测出入射和出射光子的频 率，可确定声子的频率 声子波矢的确定：
§3.2一维双原子链的晶格振动
• 一模型与色散 • 考虑由两种不同原子构成的一维复式格 子，相邻同种原子的距离为2a（复式格子 的晶格常数），原子质量分别为 M 和 m (M ＞ m)。
a
{
M m n-1 n n n+1
§3.2一维双原子链的晶格振动
• 1. 在简谐近似和最近邻近似下，运动方程 和解
e
i / k B T
1
四.确定声子谱的实验方法
声子谱：引入声子概念后，色散关系又名晶 格振动的声子谱 确定声子谱的实验方法：利用微探针与晶格 振动交换能量（即受晶格的非弹性散 射），从而获得晶格振动的信息 微探针：中子、可见光光子或X光光子
四.确定声子谱的实验方法
中子（或光子）与晶格的相互作用即中子 （或光子）与晶体中声子的相互作用。 中子（或光子）受声子的非弹性散射表现为 声子吸收或发射声子的过程。 确定声子谱的理论基础：动量守恒与能量守 恒
五. 软模
• 软模对应零振动频率 • 晶体中的各原子失去恢复力而不能回到原 位置 • 出现新的晶体结构 • 新晶体中通常存在相应的软模，即软模经 常成对出现
• 声子:声子就是晶格振动中的简谐振子的能 量量子,其能量为 。 • 在简谐近似中，声子间无相互作用 • 对非简谐振动系统，则声子与声子之间就 存在着相互作用
二.能量量子化与声子
• 声子有什么特性？ • 1.格波所对应的某一（独立）模式的简谐振动在 晶体中的传播，它是晶体中所有原子参与的集体 运动 • 2.服从玻色分布 • 3.具有量子化能量 • 4．具有不确定量子化动量
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
•
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子 区分： nj：声子数
三.平均声子数
• 频率为 ωi的格波的(平均) 声子数为
n( i )
1
• P87图3-13 • 声子与热传导的关系：声子间相互碰撞， 高密度区的声子向低密度区扩散，伴随热 量的传导
E1和p1 （E2和 2） ：入射（出射）中子的能量与动量； “＋”：吸收声子的散射过程， “－”：发射声子散射过 程； Mn：中子质量；Gl：倒格矢。
p p E E q 2 1 p 2M 2 M n n p p q G 2 1
2 2
2 1
2声子是玻色子
• 声子与光子一样，声子服从玻色统计分 布，为玻色子 • 声子与光子不同的是：声子具有纵向振动 模而光子没有 • 声子既可以产生，也可以消灭
3声子具有量子化能量
• 与光子相比较，引入声子的概念 • 声子服从量子统计 • 证明略
4声子具有不确定量子化动量
• 在引入声子概念后，格波波矢q代表声子波 矢， 是声子的晶体动量（或称赝动量 psuedo momentum）。 是不确定的， 因为 ， 和 描述完全 相同的晶格振动状态，所以， 和 所 起的作用是相同的。
• 例
§3.3晶格振动量子化与声子
• 以上几节我们用格波来描述晶体中原子实 的运动规律； • 那么，是否存在一种更便于人们思考习惯 的粒子图像，来等效地描述格波的性质 呢？
一 晶格振动和谐振子
• 当振动微弱时，格波可近似为简谐波，这 时，各格波之间的相互作用可以忽略，这 就是格波所具有的独立模式。 • 晶格的周期性及平移对称性使得其独立的 运动模式是分立的。
(二)、中子的非弹性散射
• 中子散射可以是弹性散射，也可以是非弹 性散射 • 弹性散射提供晶体结构特别是磁性结构信 息，非弹性散射提供晶格动力学信息 • 声子谱的测量要求非弹性散射起主要作用 • 中子被散射是核力和磁力作用的结果
(二)、中子的非弹性散射
中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验 方法。
• 两个色散关系即两支格波：（＋：光学波； －：声 学波）
+
-/a 0 /a q
简约区： q a a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中找到唯 一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二. 声学波和光学波的讨论
• 1.格波数
一 晶格振动和谐振子