不等式的性质与一元二次不等式考纲要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识梳理1．实数大小比较的依据 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅1．有关分式的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)．(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形．3．当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞bac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立．2．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,3) B ．(1,3) C ．(3,4)D ．(－2,4)解析 由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝(1,3)．3.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B ．a d ＜b cC.a c ＞b d D ．a c ＜b d答案 B解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc.4．(2020·厦门期末)设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.5．(2020·镇江期末)某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(60≤x ≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数．当汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，欲使每小时的油耗不超过9 L ，则速度x 的取值范围为( ) A ．[60,120] B ．[60,100] C ．[45,100]D ．[45,120]解析 由题意得15⎝⎛⎭⎫120－k ＋4 500120＝11.5，解得k ＝100，故每小时的油耗为⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫x ＋4 500x －20 L ，依题意得15⎝⎛⎭⎫x ＋4 500x －20≤9，解得45≤x ≤100，又60≤x ≤120， 所以60≤x ≤100.故选B.6．(2021·北京海淀区调研)若关于x 的不等式kx 2－kx <1的解集是全体实数，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－4,0]解析 当k ＝0时，0<1恒成立，当k ≠0时，要使kx 2－kx －1<0的解集是全体实数，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上可知，－4<k ≤0.故k 的取值范围是(－4,0].考点一 不等式的性质及应用1．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 由题意可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误． 2．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －aab＝b －a2b ＋aab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.3．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.4．设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 答案 [5,10]解析 法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝a －b ，f 1＝a ＋b得⎩⎨⎧a ＝12[f －1＋f 1]，b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.感悟升华 1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．3．利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．考点二 一元二次不等式的解法【例1】 (1)不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 (1){x |－2≤x <－1，或2<x ≤3} (2){x |x ≥3，或x ≤2} 解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x <－1，或2<x ≤3}．(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.所以，所求不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤2}． 【例2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a . 感悟升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练1】 (1)(2021·西安一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C ．(－1,3) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)． (2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 考点三 一元二次不等式恒成立问题角度1 在实数集R 上恒成立【例3】 对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2a －2]2－4×a －2×－4<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]． 角度2 在给定区间上恒成立【例4】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例5】 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g－1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．感悟升华 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．【训练2】 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)由题意可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立，令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－a 2<－2，g －2＝7－3a ≥0，或③⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－a 2>2，g 2＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅，解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0， 解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．一元二次方程根的分布情况一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究．往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数的取值范围． 【例1】 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)，由(2m ＋1)·f (0)＜0，即(2m ＋1)(m －1)＜0，解得－12＜m ＜1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1. 【例2】 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－－m ＋12×2＞0，f 0＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋12－8m ＞0，m ＞－1，m ＞0⇒⎩⎨⎧m ＜3－22或m ＞3＋22，m ＞0⇒0＜m ＜3－22或m ＞3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．【例3】 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．解 由(m ＋2)·f (1)＜0，即(m ＋2)·(2m ＋1)＜0⇒－2＜m ＜－12， 即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12.A 级 基础巩固一、选择题1．(2021·石家庄模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |lg(x ＋1)≤1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{x |－1≤x <3}B ．{x |－1≤x ≤9}C ．{x |－1<x ≤3}D ．{x |－1<x <9}答案 C解析 由x 2－2x －3>0，得x <－1或x >3；由lg(x ＋1)≤1，得0<x ＋1≤10，解得－1<x ≤9.所以A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |－1<x ≤9}，则∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，因此，(∁R A )∩B ＝{x |－1<x ≤3}，故选C.2．(2020·汉中二模)若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A ．|a |>|b |B ．1a －b >1a C.1a >1bD ．a 2>b 2 答案 B解析 由于a <b <0，两个负数中，较小的其绝对值较大，于是|a |>|b |，故A 正确；函数f (x )＝1x 在(－∞，0)上单调递减，又a <a －b <0，所以1a －b <1a，故B 错误；因为a <b <0，所以1b <1a ，故C 正确；两个负数，越小的其平方越大，所以当a <b <0时，a 2>b 2，故D 正确，综上，只有B 项错误．3．若a >0，且a ≠7，则( )A ．77a a <7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定答案 C解析 77a a7a a 7＝77－a a a －7＝⎝⎛⎭⎫7a 7－a ， 则当a >7时，0<7a<1,7－a <0， 则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7； 当0<a <7时，7a>1,7－a >0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1， ∴77a a >7a a 7.综上，77a a >7a a 7.4．(2021·武汉调研)已知实数a ，b ，c 满足c <b <a ，那么“ac <0”是“ab >ac ”成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 已知c <b <a ，若ac <0，则必有c <0<a ，由b >c ，可得ab >ac ，即ac <0⇒ab >ac ；若ab >ac ，且c <b <a ，则a >0，b ，c 符号不确定，不一定有ac <0.因此，“ac <0”是“ab >ac ”成立的充分不必要条件．5．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a ＝－1，－b ＝3， 即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32， 故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选A. 6．已知x ∈(0，＋∞)，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(2－22，2＋22)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2＋22)D ．[2＋22，＋∞) 答案 C解析 法一 令t ＝3x (t >1)，则由已知得，函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在t ∈(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，则有Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，m 2≤1，f 1＝1－m ＋m ＋1≥0，解得m <2＋2 2.法二 因为x ∈(0，＋∞)，所以3x >1,3x －1>0，所以由9x －m ·3x＋m ＋1>0得m <9x ＋13x －1. 令f (x )＝9x ＋13x －1， 因为f (x )＝9x ＋13x －1＝3x －1＋23x －1＋2≥22＋2(当且仅当3x ＝1＋2时取“＝”)，所以m <2＋2 2. 二、填空题7．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.8．已知集合A ＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________．答案 (x ＋4)(x －6)>0(答案不唯一)解析 因为不等式(x ＋4)(x －6)>0解集为{x |x >6或x <－4}，解集中只有－5在集合A 中．9．设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 令t ＝cos x ，t ∈[－1,1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1,1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧ f －1≤0，f 1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎨⎧－1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.11．甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．B 级 能力提升12．(2021·北京通州区期中)2014年6月22日，中国大运河项目在卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上成功入选世界遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发至漕运码头，又立即返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则游船此次航行的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( ) A.v >v 1＋v 22 B ．v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22 D ．v ≥v 1＋v 22答案 C 解析 设两码头的距离为S ，则v ＝2SS v 1＋S v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－v 1＋v 222v 1＋v 2＝－v 1－v 222v 1＋v 2<0(v 1≠v 2)，即v <v 1＋v 22，故选C. 13．(2020·安徽江南十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x 2，且不等式f (x ＋m 2)≥4f (x )对任意的x ∈[m ，m ＋2]恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．设x <0，则－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－3x 2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2 x ≥0，－3x 2x <0.从而4f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32x 2x ≥0，－32x 2x <0＝f (2x )，故不等式f (x ＋m 2)≥4f (x )同解于f (x ＋m 2)≥f (2x )，又f (x )为R 上的单调增函数，故x ＋m 2≥2x ，即m 2≥x 对任意的x ∈[m ，m ＋2]恒成立，∴m 2≥m ＋2，即m ≤－1或m ≥2.14．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ， 又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2)．。
