有限元分析方法第三章平面问题的三角形单元概述.

宜
不宜
5.相邻单元的尺寸尽可能接近。 6.结点所连接的单元个数尽可能一致。 宜 二.结点编码 尽可能使相关结点的结点编码差值最小. 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 11 13 不宜
8
9
10
11 12
13
14
2
4
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14
总刚半带宽=(相关结点最大差值+1)*结点位移数 总刚半带宽=(7+1)*2=16 总刚半带宽=(2+1)*2=6 总刚需占用的存贮空间为: 6 *14*2=168
宜
不宜
5.相邻单元的尺寸尽可能接近。 6.结点所连接的单元个数尽可能一致。 宜 不宜
§3.3 有限元分析应注意的问题和结果整理
一.结点的选择和单元划分 1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。 2.不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。 3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算 机的容量和计算精度。 4.单元边界的边长之比应尽可能靠近1。
§3 平面问题的有限元分析
§3.1 常应变三角形单元 §3.2 矩形双线性单元 §3.3 有限元分析应注意的问题和结果整理
一.结点的选择和单元划分 1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。 2.不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。 3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算 机的容量和计算精度。 4.单元边界的边长之比应尽可能靠近1。
总刚需占用的存贮空间为: 16 *14*2=448
三.充分利用结构的对称性 P P P P P
四.应力结果的整理
位移的计算结果一般比应力、内力结果精度高。位移达到满意结果， 由几何方程求应变，再由物理方程求应力，结果的精度较差。上述三角形 单元为常应力，矩形单元应力线性变化，而工程问题的应力是比较复杂的。 为更好地反应实际应力情况，需要对计算结果进行整理。常用处理方法有 两种:绕结点平均法和两单元平均法。

5 三节点三角形单元解平面问题
5.3 简单三角形单元综合举例
• • 图示一平面应力问题。结构为直角三角形薄片，厚度为h。承受 集中载荷P。 有限元离散化结构如图所示。直角三角形薄片的每边中点取为 节点，共划分4个单元、6个节点，编号如图。 各单元节点定义如下表：
•
单元 1 2 3 4
l 1 2 2 3
1 kll 1 kml 1 knl 0 0 0 1 klm 1 kln 1 1 kmm kmn 1 1 knm knn
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 kll kln 2 2 0 0 0 + 0 knl knn 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 kml kmn 0 0 0 0 0 0
由于单元3、4跟单元1的几何形 状和局部节点编号顺序完全相同， 因此单元刚度矩阵相等：
[k ]3 = [k ]4 = [k ]1
这里将单元刚度矩阵子块的局部 编号和整体编号对照后，可以方 便总刚度矩阵的叠加！
二、整体刚度矩阵的叠加 1) 单元刚度矩阵扩大成整体规模： 先以单元2为例。 单元 1 2 3 4 l 1 2 2 3 m 2 5 4 5 n 3 3 5 6
整体刚度矩阵列式中各子块的局部编号改为整体编号：
1 1 1 kll klm kln 0 0 0 1 1 2 3 1 2 3 2 3 kml kmm + kll + kll kmn + kln klm klm + kln 0 1 1 2 1 2 4 2 4 4 knl knm + knl knn + knn + kll 0 knm + klm kln [K] = 3 3 3 kml 0 kmm kmn 0 0 2 3 2 4 3 2 3 4 4 0 kml + knl kmn + kml knm kmm + knn + kmm kmn 4 4 4 0 knl 0 knm knn 0

1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k

§2.9平面问题单元划分有限元法在平面问题进行分析时，才采用三角形单元和四边形单元、或者矩形单元，三角形单元的优点是简单且对结构的不规则边界逼近好，而矩形单元却更能反映实际弹性体内部的应力应变变化。

这两点我们会逐渐向大家说明。

所以一般说来，有限元分析，单元划分的密度和单元种类选取，对计算结果起重要作用。

一般单元划分越密集，结果越精确。

单元多也导致求解的线性方程组阶数增高，要求计算机的内存也更大，计算的时间也越长，分析的效率就越低。

解决这一矛盾的方法就是在应力集中区域单元划分密集一些，应力变化梯度小的位置，划稀疏些，这样就能兼顾精度与效率的关系。

一般的原则是：1）根据结构的受力和支承特点，按对称和反对称的性质，简化分析模型，以减少计算分析的规模。

2）合理布局单元的密集程度，以使计算结果精度高而计算量小。

3）在同一单元内，单元的特性数据和材质数据应保持一致。

4）集中载荷的作用点和载荷密度突变处应有节点。

5）在欲知道应力状态、内力情况和位移值的位置应有节点。

6）单元的选取欲分析的目标密切相关。

模型的单元划分好后，把所有的单元和节点按一定的规律和顺序进行编号，选择适当的坐标系（直角、柱面和球面），以方便确定各节点的坐标值。

§2.10 节点位移、节点力和节点载荷弹性体在承受外力作用后，其内力的传递实际是通过单元之间的边界来实现的。

但我们把结构离散化后，如果单元划分得足够小时，可以看成为其内力的传递通过单元与单元之间的节点进行传递。

对于平面问题而言，每个节点都有位移和力两个未知量，这两个量又都是x、y的函数，注意平面问题的节点是不能传递力矩的，为什么？一，节点位移对三节点三角形单元而言，因有三个节点，每个节点的位移都有x ，y 两个分量，所以一共有6个自由度。

单元节点位移向量可表示为：{}[]Tm m j j i ie v u v u v u =δ二，节点力所谓节点力，就是单元对节点或节点对单元作用的力，它是弹性体内部的作用力，也就是我们常说的内力。