第五章 三角形单元的有限元法

有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。

它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。

有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。

这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。

然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。

在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。

然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。

接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。

最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。

有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。

它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。

因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。

第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。

这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。

本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。

这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。

等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。

变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。

§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。

取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。

仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。

这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当　＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →：　(5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。

三角形单元数值积分一、引言数值积分是数值分析中的一个重要内容，它是利用数值方法来近似计算定积分的过程。

在实际应用中，很多函数都无法求出其解析式，因此需要采用数值积分方法来进行近似计算。

本文将重点介绍三角形单元数值积分的相关知识。

二、三角形单元三角形单元是有限元方法中最基本的单元之一，它由三个节点构成。

在实际应用中，我们通常采用局部坐标系来描述三角形单元。

假设三角形的三个顶点为A、B、C，则可以定义局部坐标系x-y为：以AB边为x轴正方向，以C点到AB边垂线为y轴正方向。

三、三角形单元上的积分对于一个在三角形上定义的函数f(x,y)，我们需要对其进行积分。

根据高斯公式，可以将二维平面上任意闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分。

因此，在三角形内部进行二重积分时，可以将其转化为对该三角形边界上的积分。

四、高斯公式高斯公式是将一个闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分的公式。

对于一个在平面区域D上连续可微的函数f(x,y)，高斯公式可以表示为：∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，P和Q是f(x,y)的偏导数，C为D的边界曲线。

五、三角形单元数值积分在实际应用中，我们需要采用数值方法来进行三角形单元上的积分计算。

常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法、高斯积分法等。

其中，高斯积分法是一种比较常用和精确的方法。

六、高斯积分法高斯积分法是一种通过求解一组带权重系数和节点坐标的代数方程组来近似计算定积分的方法。

在三角形单元上进行高斯积分时，我们通常需要将其转化为在标准三角形（即顶点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)）上进行计算。

七、标准三角形上的高斯积分对于一个定义在标准三角形上的函数f(x,y)，可以采用如下公式进行高斯积分：∫∫f(x,y)dxdy=∑wi*f(xi,yi)其中，wi为权重系数，(xi,yi)为高斯积分点的坐标。

在实际应用中，通常采用2-3-4-5阶高斯积分公式进行计算。

有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。

其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。

在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。

而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。

三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。

下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。

假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。

首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。

每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。

在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。

然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。

具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。

而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。

通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。

有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。

例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。

除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。

例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。

有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。

通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。

这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。

《有限元作业》年级2015级学院机电工程学院专业名称班级学号学生2016年05月如下图所示为一受集中力P作用的结构，弹性模量E为常量，泊松比V=1/6,厚度为I=1。

按平面应力问题计算，运用有限元方法，分别采用三角形及四边形单元求解，求节点位移及单元应力（要求三角形单元数量不少于4个，四边形单元不少于2个）图(一)图（二）三角形单元求解图（三）四边形单元求解（1）如图划分三角形单元，工分成四个分别为④（2）如图分别进行编号1、2、3、4、5、6，并建立坐标系（3）编程进行求解，得出结果，其中假设力P=2000N调用Triangle2D3Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵k1 =1.0e+06 *7.2857 -3.0000 -2.1429 0.8571 -5.1429 2.1429-3.0000 7.2857 2.1429 -5.1429 0.8571 -2.1429 -2.1429 2.1429 2.1429 0 0 -2.14290.8571 -5.1429 0 5.1429 -0.8571 0-5.1429 0.8571 0 -0.8571 5.1429 02.1429 -2.1429 -2.1429 0 0 2.1429k2 =1.0e+06 *5.1429 0 -5.1429 0.8571 0 -0.85710 2.1429 2.1429 -2.1429 -2.1429 0-5.1429 2.1429 7.2857 -3.0000 -2.1429 0.85710.8571 -2.1429 -3.0000 7.2857 2.1429 -5.14290 -2.1429 -2.1429 2.1429 2.1429 0-0.8571 0 0.8571 -5.1429 0 5.1429 k3 =1.0e+06 *2.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.14290 5.1429 -0.8571 -5.1429 0.8571 0-2.1429 -0.8571 7.2857 3.0000 -5.1429 -2.1429 -2.1429 -5.1429 3.0000 7.2857 -0.8571 -2.14290 0.8571 -5.1429 -0.8571 5.1429 02.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.1429 k4 =1.0e+06 *2.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.14290 5.1429 -0.8571 -5.1429 0.8571 0-2.1429 -0.8571 7.2857 3.0000 -5.1429 -2.1429 -2.1429 -5.1429 3.0000 7.2857 -0.8571 -2.14290 0.8571 -5.1429 -0.8571 5.1429 02.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.1429 调用Triangle2D3Node_Assembly函数，求出总体刚度矩阵求出的节点位移U =-0.00040.00080.00050.00100.00070.0023-0.00070.0026调用Triangle2D3Node_Stress函数，求出应力,S1、S2、S3、中求出的分别为Sx,Sy,SxyS1 =1.0e+03 *-4.4086-0.73483.5914S2 =1.0e+03 *4.4086-0.64050.4086S3 =1.0e+03 *1.8907-1.06012.1093S4 =1.0e+03 *-1.89072.10931.8907二、（1）如图划分四边形单元，工分成四个分别为（2）如图分别进行编号1、2、3、4、5、6，并建立坐标系（3）编程进行求解，得出结果，其中假设力P=2000N调用Quad2D4Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵调用Quad2D4Node_Assembly函数，求出求出总体刚度矩阵求出节点位移U =0.00120.0017-0.00120.00170.00160.0049-0.00170.0052调用Quad2D4Node_Stress函数，求出单元应力中的的S1、S2、S3分别为Sx,Sy,Sxy应力分量S1 =1.0e+03 *0.0000-0.24782.0000S2 =1.0e+07 *0.68564.1135-1.7137程序附录一、1、三角形单元总程序：E=1e7;NU=1/6;t=1;ID=1;%调用Triangle2D3Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵k1=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,1,0,0,1,1,ID)k2=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,0,1,0,1,1,ID)k3=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,1,1,1,0,2,0,ID)k4=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,2,0,2,1,1,1,ID)%调用Triangle2D3Node_Assembly函数，求出总体刚度矩阵KK = zeros(12,12);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,1,2,3);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k2,2,4,3);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k3,3,4,5);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k4,5,6,3)% 边界条件的处理及刚度方程求解k=KK(5:12,5:12)p=[0;0;0;0;0;0;0;2000]u=k\p%支反力的计算U=[0;0;0;0;u] %为节点位移P=KK*U%调用Triangle2D3Node_Strain函数，求出应变SN1、SN2、SN3中求出的分别为SNx,SNy,SNxyu1=[U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6)];u2=[U(3);U(4);U(7);U(8);U(5);U(6)];u3=[U(5);U(6);U(7);U(8);U(9);U(10)];u4=[U(9);U(10);U(11);U(12);U(5);U(6)];SN1=Triangle2D3Node_Strain(0,1,0,0,1,1,u1)SN2=Triangle2D3Node_Strain(0,0,1,0,1,1,u2)SN3=Triangle2D3Node_Strain(1,1,1,0,2,0,u3)SN4=Triangle2D3Node_Strain(2,0,2,1,1,1,u4)%调用Triangle2D3Node_Stress函数，求出应力,S1、S2、S3、中求出的分别为Sx,Sy,Sxyu1=[U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6)];u2=[U(3);U(4);U(7);U(8);U(5);U(6)];u3=[U(5);U(6);U(7);U(8);U(9);U(10)];u4=[U(9);U(10);U(11);U(12);U(5);U(6)];S1=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,0,1,0,0,1,1,u1,ID)S2=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,0,0,1,0,1,1,u2,ID)S3=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,1,1,1,0,2,0,u3,ID)S4=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,2,0,2,1,1,1,u4,ID)2、求刚度矩阵程序function k=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,ID)%该函数计算单元的刚度矩阵%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)%输出单元刚度矩阵k(6X6)%---------------------------------------------------------------A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endk= t*A*B'*D*B;3、求整体刚度矩阵function z = Triangle2D3Node_Assembly(KK,k,i,j,m)%该函数进行单元刚度矩阵的组装%输入单元刚度矩阵k%输入单元的节点编号I、j、m%输出整体刚度矩阵KK%---------------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;DOF(5)=2*m-1;DOF(6)=2*m;for n1=1:6for n2=1:6KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;4、求应变程序function strain=Triangle2D3Node_Strain(xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)%该函数计算单元的应变%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym%输入单元的位移列阵u(6X1)%输出单元的应力strain(3X1)，由于它为常应变单元，则单元的应变分量为SNx,SNy,SNz%---------------------------------------------------------------A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);strain = B*u;5、求应力程序function stress=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u,ID)%该函数计算单元的应力%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)，单元的位移列阵u(6X1)%输出单元的应力stress(3X1)，由于它为常应力单元，则单元的应力分量为Sx,Sy,Sxy%---------------------------------------------------------------A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endstress = D*B*u;二、1、四边形单元总程序：E=1e7;NU=1/6;h=1;ID=1;%调用Quad2D4Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵k1= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,0,1,0,0,1,0,1,1,ID)k2= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,1,0,2,0,2,1,1,1,ID)%调用Quad2D4Node_Assembly函数，求出求出总体刚度矩阵KK=zeros(12,12);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k1,1,2,3,4);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k2,3,5,6,4)% 边界条件的处理及刚度方程求解k=KK(5:12,5:12)p=[0;0;0;0;0;0;0;2000]u=k\p%支反力的计算U=[0;0;0;0;u] %为节点位移P=KK*U%调用Quad2D4Node_Stress函数，求出单元应力中的的S1、S2、S3分别为Sx,Sy,Sxy应力分量u1=[U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6);U(7);U(8)];u2=[U(5);U(6);U(9);U(10);U(11);U(12);U(7);(8)];S1= Quad2D4Node_Stress(E,NU,0,1,0,0,1,0,1,1,u1,ID)S2= Quad2D4Node_Stress(E,NU,1,0,2,0,2,1,1,1,u2,ID)2、求刚度矩阵程序function k= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,ID) %该函数计算单元的刚度矩阵%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度h%输入4个节点i、j、m、p的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)%输出单元刚度矩阵k(8X8)%---------------------------------------------------------------syms s t;a = (yi*(s-1)+yj*(-1-s)+ym*(1+s)+yp*(1-s))/4;b = (yi*(t-1)+yj*(1-t)+ym*(1+t)+yp*(-1-t))/4;c = (xi*(t-1)+xj*(1-t)+xm*(1+t)+xp*(-1-t))/4;d = (xi*(s-1)+xj*(-1-s)+xm*(1+s)+xp*(1-s))/4;B1 = [a*(t-1)/4-b*(s-1)/4 0 ; 0 c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 ;c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 a*(t-1)/4-b*(s-1)/4];B2 = [a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4 0 ; 0 c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 ;c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4];B3 = [a*(t+1)/4-b*(s+1)/4 0 ; 0 c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 ;c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 a*(t+1)/4-b*(s+1)/4];B4 = [a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4 0 ; 0 c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 ;c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4];Bfirst = [B1 B2 B3 B4];Jfirst = [0 1-t t-s s-1 ; t-1 0 s+1 -s-t ;s-t -s-1 0 t+1 ; 1-s s+t -t-1 0];J = [xi xj xm xp]*Jfirst*[yi ; yj ; ym ; yp]/8;B = Bfirst/J;if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endBD = J*transpose(B)*D*B;r = int(int(BD, t, -1, 1), s, -1, 1);z = h*r;k = double(z);3、求总体刚度矩阵程序function z = Quad2D4Node_Assembly(KK,k,i,j,m,p)%该函数进行单元刚度矩阵的组装%输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j、m、p%输出整体刚度矩阵KK%---------------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;DOF(5)=2*m-1;DOF(6)=2*m;DOF(7)=2*p-1;DOF(8)=2*p;for n1=1:8for n2=1:8KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;4、求应力程序function stress= Quad2D4Node_Stress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,u,ID) %该函数计算单元的应力%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度h，%输入4个节点i、j、m、p的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)%输入单元的位移列阵u(8X1)%输出单元的应力stress(3X1)%由于它为常应力单元，则单元的应力分量为Sx,Sy,Sxy%---------------------------------------------------------------syms s t;a = (yi*(s-1)+yj*(-1-s)+ym*(1+s)+yp*(1-s))/4;b = (yi*(t-1)+yj*(1-t)+ym*(1+t)+yp*(-1-t))/4;c = (xi*(t-1)+xj*(1-t)+xm*(1+t)+xp*(-1-t))/4;d = (xi*(s-1)+xj*(-1-s)+xm*(1+s)+xp*(1-s))/4;B1 = [a*(t-1)/4-b*(s-1)/4 0 ; 0 c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 ;c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 a*(t-1)/4-b*(s-1)/4];B2 = [a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4 0 ; 0 c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 ;c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4];B3 = [a*(t+1)/4-b*(s+1)/4 0 ; 0 c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 ;c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 a*(t+1)/4-b*(s+1)/4];B4 = [a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4 0 ; 0 c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 ;c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4];Bfirst = [B1 B2 B3 B4];Jfirst = [0 1-t t-s s-1 ; t-1 0 s+1 -s-t ;s-t -s-1 0 t+1 ; 1-s s+t -t-1 0];J = [xi xj xm xp]*Jfirst*[yi ; yj ; ym ; yp]/8;B = Bfirst/J;if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endstr1 = D*B*u;str2 = subs(str1, {s,t}, {0,0});stress = double(str2);。

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

有限元三角形单元和四边形单元
有限元分析是工程应用最广泛的方法之一，它可以帮助我们了解结构内部力学行为特征。

对于有限元分析来说，有两种典型的单元：三角形单元和四边形单元。

三角形单元由三个顶点组成，四边形单元由四个顶点组成。

其基本概念是根据有限元分析的原则，将被研究的区域分解成若干个小的连续单元，单元由每个顶点表示，并且形成多边形，以此来模拟物体总体的行为。

三角形单元的特性是它的每个内角都能满足三角函数，可以极大的提高计算质量，避免出现趋势不准确的情况。

在较大范围内，一致性面积越小，他们之间的拉伸应力也就越小，更有利于精确计算。

而四边形单元则更加适合于细粒度的物体，在对细粒度物体进行研究时，可以将其细分成多个正方形小块，从而简化计算难度，提高计算效率。

在有限元分析中，三角形单元和四边形单元可以因应不同的需求而采用，只要能充分构建出更准确的结构行为模型，增加更多的灵活性和应用场景就可以得到更精准的计算结果。