【精品】PPT课件 第十一讲 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用

-----精品文档------
MSC中国
/
-----精品文档------
ANSYS中国
http：///
-----精品文档------
ABAQUS
/
-----精品文档------
1.3 有限单元法的计算步骤
有限单元法的计算步骤归纳为以下三个 基本步骤： 网格划分（离散化） 单元分析 整体分析
-----精品文档------
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
弹性力学问题的单元分析，就是建立各 个单元的节点位移和节点力之间的关系 式。
由于将单元的节点位移作为基本变量， 单元分析首先要为单元内部的位移确定 一个近似表达式，然后计算单元的应变、 应力，再建立单元中节点力与节点位移 的关系式。
-----精品文档------
1.3.2单元分析
单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移 u、v和两个结点力U、V。
-----精品文档------
有限单元法的数学基础（1）
数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。
在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近 似法的一种变形，发展了用各种不同变 分原理导出的有限元计算公式。
4) 了解有限元软件的基本结构和有限单元法当 前的进展情况。
-----精品文档------
课程评估

Re=
NT
s
Pstds
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 12 /33
4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 4 /33
σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 9 /33
重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
江西五十铃发动机有限公司
图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

John Swanson 博士创建，是目前世界CAE行业最大公 司。
1.2.2 ANSYS10.0 创新之处 1.2.3 ANSYS 10.0 使用环境
ANSYS及ANSYS/LS-DYNA程序可运行与PC机、 NT工作站、UNIX工作站及巨型计算机等各类计算机 及操作系统中，其数据文件在其所有的产品系列和工 作平台上均兼容。并与多种CAD软件共享数据。
2. ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能， 该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非 线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块 可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。
3. ANSYS/Linear plus：该模块是从ANSYS/Structural派 生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静 态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/ 梁大变形分析。
4. ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical 中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可 用于稳态及瞬态热分析。
5. ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解 各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩 流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合， ANSYS/FLOTRAN 是 唯 一 一 个 具 有 设 计 优 化 能 力 的 CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。
8. ANSYS/ED：该模块是一个功能完整的设计模拟程序， 它拥有ANSYS隐式产品的全部功能，只是解题规模受 到了限制（目前节点数1000）。该软件可独立运行， 是理想的培训教学软件。
9. ANSYS/LS-DYNA：该程序是一个显示求解软件，可 解决高度非线性结构动力问题。该程序可模拟板料成 形、碰撞分析、涉及大变形的冲击、非线性材料性能 以及多物体接触分析，它可以加入第一类软件包中运 行，也可以单独运行。

➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵

(i, j, m)
(1-26）
由于 A, bi , ci , b j , c j , bm , cm 与x、y无关，都是常量，因此 [B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵
与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元
被称为常应变单元。
2、单元应力
{} [B]{ }
j
bj
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
1
u
2 A [(ai
bi
x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm x
cm y)um ]
(1-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
j
式中
ai x j ym xm y j
mi
bi y j ym
(i, j, m) (1-17）
bi
x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm
x
cm y)um ]
(1-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
bj
x
c
j
y)
j
(am

1
2A
ai aj am
bi bj bm
x ci c j cm
y
1
简记为
Ni N j Nm 1
这说明，三个形函数中只有二个是独立的。
(3-11)
2. 形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点
为零”的性质，即
在结点i上，
N i xi
,
yi
1 2A
ai
bi xi
ci yi
若令
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-9)
这样，位移模式 就可以写为
u Niui Njuj Nkmukm Niui v Nivi Njvj Nkmvkm Nivi
[N] 形函数矩阵
u
u
v
Ni I
Nj I
NkmI e Ne
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它 们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形
y
Ym vm
m( xm
,
ym
)
X m um
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
j
(
x
j
,
X y
j j
u )
j
0
x
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
1
bi
1
yj ym
y j ym
（i , j , m轮换） (3-5)
1
ci 1
xj xm
x j xm
u N e
（3-1）

以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。

形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法

也就是说所有单元的节点内力都 能用12个位移未知量来表达。
第39页/共44页
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
列出所有节点的内、外力平 衡方程：准确的说是12个方程 可以求解12个未知量（可能是 位移也可能是外力）。
注意：边界上的节点，有些位 移是已知的，有些是外力已知 的。如果没有边界条件，方程 会有无穷多个解。
选择位移插值函数如下：
将i，j，m节点坐标（已知） 代入上式得含待定系数的方程组
第18页/共44页
代入上述位移函数可得：求解6个待定系数
第19页/共44页
其中A 为三 角形 面积 将待定系数代入单元内部位移模式得到任意点位移：
第20页/共44页
式中：
进一步简化，令 单元内部位移模式可以简写为：
第2页/共44页
有限元的单元分析
第3页/共44页
有限元分析实例求解
通过材料力学，弹性力学和有限元法分别求解对比：
例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)
单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
L1 = a L2 = a L3 = a
0 u0 1 u1
2 u2 3 u3
图 2-6
第4页/共44页
x L
0
u
N
N
L
3
5 qa2
dx L
2 EA
L a=
3
3
8 qa2
L-x
N
L
3
2 EA 9 qa2
2 EA
X
x
(a)
(b)
(c)
图 2-1
第14页/共44页
第15页/共44页
有限元的单元分析
第16页/共44页