方程的加速迭代法
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2013-2014（1）专业课程实践论文题目：方程的加速迭代方法
一、算法理论
Aitken 加速迭代算法基本原理：
对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。
但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。
设0x 是跟*x 的某个预测值，只迭代公式校正一次)(01x f x =,而由微分中值定理有：)x (x (t)f x x **-⨯'=-01（其中t 介于*x 与0x 之间）。
假定()x f '改变不大，近似的取某个近似值L ，则由)(*0*1x x L x x -⨯≈-得到
L
x L L x x -⨯-
-=
1101
*,可以期望按上式右端求得
()L
x x L x L L x L x x --⨯+
=-⨯--=
11101101
2是比1x 更好的近似值，将每得到一次改进值算做一步，并用k
x '和k x 分别表示第K 步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案可表述如下：
校正：1+'k
x ()k x f = 改进：=+1k x ()L
x x L x k k
k
--'⨯+'++111
然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数()x f '的有关信息L ，实际使用不便。
仍设已知*x 的某个猜测值为0x ，将校正值()01x f x =,再校正一次，又得
()12x f x =。
由于≈-*2x x ()*1L x x -⨯将它与式
=
*x L
x L L x -⨯-
-1101
联立，消去未知L ，然后有 =*x ()2
102
1222x x x x x x +⨯---
这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的
信息，但是它需要用2次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：
校正：()k k
x f x ='+1 再校正：()11++'=''k k
x f x 改进：()k k k
k k k k x x x x x x x +'⨯-'''-''-''=++++++112
11112
上述处理过程称为Aitken 方法。
如下用2个题说明：
例题（1）用Aitken 加速迭代算法通过编程计算013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求精度达到0001.0。
例题（2）用Aitken 加速迭代算法通过编程计算023=--x x 在[1，2]内的近似根，要求精度达到001.0。
二、算法框图
否
三、算法程序
（1）题程序：
#include<iostream>
#include<cmath>
double s(double t)
{
return (t*t*t-1);
}
using namespace std;
int main()
{
int i;
double x,x0,x1,x2,e;
cout<<"请输入迭代初始值x0"<<",和控制精度e"<<endl; cin>>x0>>e;
i=0;
while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)>e)
{
i++;
x1=s(x0);
x2=s(x1);
x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); }
x=x0;
cout<<"近似根x="<<x<<endl;
cout<<"所需迭代次数i="<<i<<endl;
return 0;
}
（2）题程序：
#include<iostream>
#include<cmath>
double s(double t)
{
return (t*t*t-2);
}
using namespace std;
int main()
{
int i;
double x,x0,x1,x2,e;
cout<<"请输入迭代初始值x0"<<",和控制精度e"<<endl; cin>>x0>>e;
i=0;
while(fabs(x0*x0*x0-x0-2)>e)
{
i++;
x1=s(x0);
x2=s(x1);
x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); }
x=x0;
cout<<"近似根x="<<x<<endl;
cout<<"所需迭代次数i="<<i<<endl;
return 0;
}
四、算法实现
例1. 用Aitken 加速迭代算法通过编程计算013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求精度达到0001.0。
解：运行程序
（1）输入0x 的初始值是1.5以及精度值0.0001.然后按回车。
（2）得到结果近似根=x 1.32472，所需迭代次数为5次。
当精度达到0.0001时，程序运行结果如下图：
Aitken 迭代法是将迭代值在迭代一次，此时对于发散的1-3
1k
k x x =+迭代公式，经过Aitken 迭代法处理后却获得了相当好的收敛性。
例2. 用Aitken 加速迭代算法通过编程计算023=--x x 在[1,2]内的近似根，要求精度达到0.1。
解：运行程序
（1）首先输入0x 的初始值是2，以及精度值0.1按回车。
x 1.53466，迭代次数为19 （2）得到结果近似根
当精度达到0.1时，程序运行结果如下图：。
