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迭代法的加速

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§4迭代法的加速法

§4迭代法的加速法
§4 迭代法的加速法(加速收敛技巧)
4.1 Aitken(埃特金)加速方法
设
假1)设x简k 单klxi迭m*,代kxxkk序10列x,x1*{*,xkc,}(线,若性0等收号c敛成 1于立x,*则, 即xk
(4.1)
x* ,是精确解)
2) xk2 2xk1 xk 0,k 0,1,. (若等号成立,则{ xk }不收敛.因为
x0 x1
x1 x* x3 x2 x0
从图中可以看出 x3
x
~x0
比 x2 更接近于 x*.
说明: (1)这里的 x3 并不是简单收敛列 {xk }k 0 中的 x3.
(2)对某些不收敛的情况,用埃特金方法“加速”也有可能收敛.
4.2 Steffenson迭代方法
在埃特金加速法中, 只要有三个相邻点就可以进行加速,把 简单迭代与埃特金加速方法结合起来可建立Steffenso迭代方法.
x* x*
0.
比x：*原klim简 x单xkk序1列xx*{*xk }c更, 快0 地c收敛1 于x*.
(4.3)
ek2 ek2 ek ek ek 1 ek＋1
分析: 该定理的证明用数学分析中证明极限的技巧.
证明: 记ek xk x* ,
由 (4.2) 得
x* x*
则有
lim ek1 c, lim ek2 c2.k xk
则
x~k x*
x* 2x*
x~k xk
x* x*
xk
x*
( xk1 xk )2 xk2 2xk1
( ek 1 1)2
xk
1
ek 2
ek 2 ek1
1
x*
1
ek
(ek1 ek ek2 2ek1

加速迭代法matlab

加速迭代法matlab

加速迭代法matlab什么是加速迭代法(matlab)？迭代法是一种解决数值计算问题的常用方法，它通过逐步逼近目标值来求解问题。

在一些复杂的问题中，迭代法的收敛速度可能较慢，使得求解过程变得缓慢和低效。

为了提高迭代法的收敛速度，加速迭代法在迭代过程中引入了一些技巧和方法。

在Matlab中，我们可以使用加速迭代法来加快问题的求解速度。

为了更好地理解加速迭代法的原理和应用，让我们从最简单的迭代法开始介绍。

假设我们要求解方程f(x)=0的根，其中f(x)是一个连续函数。

我们可以使用迭代法来逼近方程的根。

具体的迭代公式可以写为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)其中x_n是第n次迭代的逼近值，x_(n+1)是第n+1次迭代的逼近值，f'(x_n)是f(x)在x_n处的导数。

这个迭代公式的意义是，我们通过将函数f(x)在当前迭代点x_n的切线与x轴的交点作为下一次迭代点x_(n+1)，来逐渐逼近方程的根。

但是，这个简单的迭代法可能会收敛得很慢。

为了加快迭代的速度，我们可以使用加速迭代法。

这种方法通过在迭代公式中引入修正项，来提高收敛速度。

其中一种常用的加速迭代法是牛顿迭代法。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n) - f''(x_n)/2f'(x_n)^2在这个迭代公式中，我们引入了二阶导数f''(x_n)的影响，通过修正项来降低迭代过程中的误差。

在Matlab中，我们可以使用牛顿迭代法来求解方程的根。

具体的实现方法如下：1. 首先，我们需要定义连续函数f(x)以及它的一阶和二阶导数。

在Matlab 中，我们可以使用函数句柄来表示这些函数。

2. 其次，我们需要定义初始的逼近值x0。

3. 然后，我们可以使用一个循环来迭代计算逼近值。

在每次迭代中，我们使用牛顿迭代法的公式更新逼近值。

第四章 迭代法4.1 2迭代过程的收敛性 迭代加速

第四章 迭代法4.1 2迭代过程的收敛性 迭代加速

(x*) = x*
简证： f(a) = a - (a) 0 , f(b) = b - (b) 0 x* = (x*) y* = (y*)
x * y * ( x*) ( y*) | '( ) | x * y * L x * y * 矛盾！
收敛性分析
xk 1 '( xk ) xk x* 1 '( xk )
设： '( ) '( xk )
( k ) '( k ) x k x x k 1 x 1 '( k ) x
x 缺点：每次迭代需计算 '( k )
如何避免计算导数？
( x*) x*, '( x*) ''( x*) ( p 1) ( x*) 0, ( p ) ( x*) 0
ek 1 1 ( p) lim p ( x*) k e p! k 证明：充分性. 根据泰勒展开有 ( p ) ( k ) xk 1 ( xk ) ( x*) '( x*)( xk x*) ... ( xk x*) p
后验估计: 先验估计:
1 | xk x* | | xk 1 xk | 1 L Lk | xk x* | | x1 x0 | 1 L
可用| x k+1-xk | 来 控制收敛精 度, L 越小收敛越快.
证: (a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯一。
| xk x* | ( xk 1 ) ( x*) | '( ) | | xk 1 x* | L | xk 1 x* |
1 2.375 3 1904

数值分析迭代加速牛顿法及弦截法

数值分析迭代加速牛顿法及弦截法

以上两式相除得
xk1 xk1
C C
xk xk
C C
2 .
据此反复递推有
xk xk
C C
x0 x0
2k
C C
.
第14页/共34页
(4.6)
记
q x0 C x0 C
整理(4.6)式，得
q2k xk C 2 C 1 q2k .
对任意初值x0>0，总有|q|<1，故由上式推知，当 k→∞时xk C ，即迭代过程恒收敛.
值x0, x1△，那么当邻域△充分小时，弦截法(5.2)将 按阶
p 1 5 1.618. 2
收敛到x*. 这里p是方程λ2-λ-1=0的正根. 定理证明可见P116.
第26页/共34页
因为(5.2)式用到前两点xk-1和xk的值，故此方法又 称为双点割线法.
如果把(5.2)式中的xk-1改为x0，即迭代公式为
比较困难，为此可以利用已求函数值 f(xk),f(xk-1),来
回避导数值 f(xk)的计算. 这类方法是建立在插值原理
基础上的，下面介绍弦截法与抛物线法.
第22页/共34页
3.5.1 弦截(割线)法
设 xk, xk-1是 f(x)=0的近似根，我们利用 f(xk), f(xk-1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x)=0 的根作为方程 f(x)=0 的新的近似根 xk+1，由于
x*
x
(4.2)的计算结果.
y=f(x)
xk+2xk+1xk
第9页/共34页
牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
(x) x f (x)
f ( x)
设x*是 f(x) 的一个单根，即 f(x*)=0，f(x*)≠0, 有

数值计算中的迭代算法与加速技术研究

数值计算中的迭代算法与加速技术研究

数值计算中的迭代算法与加速技术研究数值计算是数学的一个分支，涉及对数学问题的近似求解。

迭代算法是数值计算的一种基本方法，它通过代数运算的重复迭代来逐步逼近某种目标值。

本文将探讨数值计算中的迭代算法与加速技术所涉及的基本原理和算法，并介绍一些常见的数值计算问题和对应的解决方法。

一、迭代算法的基本原理迭代算法是数值计算中广泛使用的一种方法，它通过不断迭代、逐步逼近目标值的方式来解决数值计算问题。

在数值计算过程中，我们通常需要求解某个方程的解（或零点）、最小值或最大值等等问题，这些问题都可以通过迭代算法来解决。

迭代算法的基本原理是：从一个初值开始，利用某种函数关系式进行计算并更新当前值，直到满足一个预设的终止条件或达到一定的迭代次数为止。

迭代算法一般都是从一个初始值开始逐步逼近目标值，因此其结果不一定完全精确，但可以通过提高迭代次数和优化算法以达到更高的精度。

二、常见的迭代算法和加速技术1.二分法：二分法是一种简单而有效的迭代算法，用于求解方程的解或零点。

其基本思想是：根据中间值的大小关系和目标函数在该点的取值关系来缩小解集合的范围。

二分法每次将当前解集合划分为两个子集合，然后选择包含解的子集继续迭代，直到满足预设终止条件或达到一定的迭代次数为止。

2.牛顿法：牛顿法是一种求解非线性方程、最优化问题和函数拟合问题的经典迭代算法。

其基本思想是：通过对目标函数进行泰勒展开，在当前迭代点附近进行一次近似的线性求解，然后使用求解结果来更新当前迭代点，直到满足预设收敛条件或达到迭代次数为止。

3.雅可比迭代法：雅可比迭代法是线性代数中经典的迭代算法，用于求解线性方程组的解。

其基本思想是：将线性方程组的解集合分解为对角线部分和非对角线部分，然后对非对角线部分进行更新，直至满足预设终止条件或达到一定的迭代次数为止。

4.共轭梯度法：共轭梯度法是求解对称正定线性方程组的迭代算法，相比于一般的迭代算法具有更快的收敛速度。

其基本思想是：将解空间分解为不同的共轭方向，在每个方向上的更新都是独立进行的，因此可以同时处理多个方向的更新，从而提高算法的效率。

方程的加速迭代法

方程的加速迭代法

方程的加速迭代法2021-2021（1）专业课程实践论文题目：方程的加速迭代方法一、算法理论Aitken加速迭代算法基本原理：对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。

但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。

设x0是跟x*的某个预测值，只迭代公式校正一次x1?f(x0),而由微分中值定理有：x1?x*?f?。

(t)?(x0?x*)（其中t介于x*与x0之间）假定f'?x?改变不大，近似的取某个近似值L，则由x1?x*?L?(x0?x*)得到x*?L?x0x1?1?L1?L,可以期望按上式右端求得x2?x?LL??x1?x0?x1是比x1更好的近似值，将每得到一次改进?0?x1?1?L1?L1?L?和xk分别表示第K步的校正值和改进值，则加速迭代计值算做一步，并用xk算方案可表述如下：??1?f?xk? 校正：xk??1?改进：xk?1?xk??1?xk?L??xk1?L然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数f??x?的有关信息L，实际使用不便。

仍设已知x*的某个猜测值为x0，将校正值x1?f?x0?,再校正一次，又得x2?f?x1?。

由于x2?x*?L??x1?x*?将它与式x*?L?x0x1联立，消去未知L，然后有 ?1?L1?Lx*?x2??x2?x1?2x0?2?x1?x2这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的信息，但是它需要用2次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：??1?f?xk? 校正：xk???1?f?xk??1?改进：xk?1?xk???1?再校正：xk?xk???1?xk??1?2???1?2?xk??1?xkxk上述处理过程称为Aitken方法。

如下用2个题说明：例题（1）用Aitken加速迭代算法通过编程计算x3?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求精度达到0.0001。

迭代法的加速1

迭代法的加速1 问题的提出在实际问题中，常常遇到非线性方程的求解问题，我们可以采用不动点迭代法求解非线性方程的根。

迭代法（iterative method ）就是用某些收敛于所给问题的精确解的极限过程来采用逐步逼近的一种计算方法，其思想是构造不动点方程，然后得到迭代公式，反复用此公式算出近似值，使之逐步精确化。

使用迭代法的困难所在是计算量难以估计。

有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变的很大而失去使用价值。

因此，迭代过程的加速具有重要意义。

迭代法加速，就是要寻找一种改进迭代法直接产生的序列的收敛速度的方法，使原来不收敛的序列变成收敛，使原来收敛较慢的序列变得收敛快。

2 迭代法的加速（Steffensen 加速迭代）2.1 将AitKen 加速技巧与不动点迭代相结合设是)*(*x x ϕ=是)(x ϕ的不动点，记，k k x x e -=*，利用中值定理有),('*)(*)(**11k kk k k k k x x x x x x x x e e ξϕϕϕ=--=--=++ k ξ在k x 与*x 之间。

通常)('k ξϕ依赖于k ，若)('x ϕ变化不大，设)('k ξϕC ≈,于是有 )*(*1k k x x C x x -≈-+)*(*12++-≈-k k x x C x x从上两式消去C ，则得kk k k x x x x x x x x --≈--+++****112 解得k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +---≈+--=+++++++122112212)(2* 若记...,1,0,)(12211=+---=++++-k x x x x x x x k k k k k k k (2.3.1) 用序列}{k x -作为不动点*x 的新近似，一般说，它比不动点迭代法收敛更快。

其收敛性：0**lim =---x x x x k 推出其序列超收敛性；实际上迭代法(2.3.1)可改为....,1,0,2)(),(),(21=+---===+k x y z x y x x y z x y kk k k k k k k k k k ϕϕ(2.3.2) 称为Steffensen 迭代法，它是将原不动点迭代计算两次合并成一步得到，可改为另一种不动点迭代法),(1k k x x ψ=+(2.3.3)其中xx x x x x x +---=)(2))((])([)(2ϕϕϕϕψ(2.3.4) Steffensen 迭代具有比不动点迭代更高的收敛速度，若原迭代p 阶收敛的，则Steffensen 加速后p+1阶收敛。

5_6+迭代法的收敛阶和AitKen加速方法1

§6 迭代法的收敛阶和 AitKen 加速方法 一、 迭代法的收敛阶
定义：对于方程 x = g ( x ) ，若迭代过程 xk +1 = g ( xk )（初 值为 x0 ）收敛于 x* ，且
| x* − xk +1 | =c≠0 lim * k →∞ | x − x | p k
其中 p ≥ 1 ，则称迭代过程 p 阶收敛。当 p = 1 （这时 要求 0 < c < 1 ）时称为线性收敛；当 p ≥ 1 时称为超线 。 性收敛；当 p = 2 时称为二次收敛（平方收敛）
( xk +1 − xk +1 ) 2 ⇒ x * ≈ xk − xk + 2 − 2 xk +1 + xk ˆ ⇒ xk ( xk +1 − xk +1 ) 2 xk − xk + 2 − 2 xk +1 + xk
xk 收敛于 x* 的速度要快。 一般说来比
2． AitKen 加速方法
⎧迭代: yk = g ( xk ), zk = g ( xk ) ⎪ ( y k − xk ) 2 ⎨ ⎪加速: xk +1 = xk − z − 2 y + x k k k ⎩
k = 0,1, 2,
注： 1） p 是衡量迭代过程收敛快慢的指标， p 越大， 收敛越快， p 越小，收敛越慢；
g ′( x* ) ≠ 0 时，为线性收敛； 2）一般迭代法，当
3）牛顿法在单根附近为二次收敛。
二、 AitKen 加速方法 1． 推导 设
x* − xk +1 = c (0 < c < 1) lim xk = x* , 且 lim * k →∞ k →∞ x − x k x* − xk +1 ⇒ * ≈c x −ห้องสมุดไป่ตู้xk x* − xk + 2 x* − xk +1 ⇒ * ≈ * x − xk +1 x − xk

几何迭代法的加速

几何迭代法的加速一、引言介绍几何迭代法的基本思想和发展历程，阐述几何迭代法加速的重要性。

二、几何迭代法基础知识阐述几何迭代法的基本流程和算法原理，讲解几何迭代法的收敛性条件及其证明。

三、几何迭代法的加速方法介绍几何迭代法的常用加速方法，包括优化初始估计、迭代步长控制、全局算法和多尺度算法等。

四、实验结果和分析通过实验，验证几何迭代法加速方法的有效性，并分析各加速方法的优缺点及适用性。

五、结论与展望总结几何迭代法加速的研究现状和成果，并展望未来的研究方向和发展趋势。

几何迭代法是一种求解非线性方程组的迭代方法，其基本思想是利用仿射变换将原始问题转化为一个线性问题，然后通过线性求解的方式来逼近非线性的解。

几何迭代法的应用领域非常广泛，涉及到计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计等许多领域。

几何迭代法最初由Levenberg和Marquardt分别在1963年和1963年提出，他们的方法都基于Gauss-Newton方法，但有些区别。

在1975年，Ikelheimer和Kaufman首先提出了仿射不变迭代法，他们的方法利用仿射变换来消除非线性性，并通过线性化的形式逼近非线性解。

此后，大量的研究工作对几何迭代法进行了深入探讨，更加完善和优化了这种迭代方法。

几何迭代法的基本思想是将非线性问题转化为等价的线性问题，然后通过求解线性问题来逼近非线性解。

在几何迭代法中，我们需要寻找一个映射关系，将非线性的问题映射到线性的问题中。

一般情况下，这个映射关系是基于仿射变换来实现的。

在迭代的过程中，我们会利用已知点的位置和求解出来的仿射变换来逼近未知点的位置。

当仿射变换逼近到一定的精度时，我们就可以认为已经得到了一个近似的解。

几何迭代法的算法步骤一般如下：（1）选取一个初始值（通常是一个较好的估计初值）；（2）进行仿射变换，将非线性问题转化为相应的线性问题；（3）求解线性系统，得到仿射变换的系数；（4）利用求解出来的仿射变换来逼近未知点的位置，更新估计的初值；（5）判断收敛条件是否达成，如果达成则得到了一个近似解；否则继续迭代。

解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧

解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧
网络上最近火起来的新的加速技巧——牛顿迭代法，在非线性方程求解问题上已经得到了广泛的应用以及发展。

它能够以极快的速度解决非线性方程，从而节省宝贵的人力物力。

牛顿迭代法采用了一种独特的“逐步搜索技术”，可以在较小的时间内找到一个解决复杂非线性方程的近似最优解。

牛顿迭代法利用历史数据和技术运算，估算方程组在某个参数位置的近似梯度幅值，并预计方程组在这个参数位置，从而推导出新的参数的位置。

然而，牛顿迭代法最大的缺点之一在于：在求解过程中，数值计算费时费力，以至于某些历史数据无法获得或取得时间过长。

所以，为了进一步提高牛顿迭代法的运算速度，一种新的加速技巧突然焕发出了新的活力。

这种新的加速技巧就是“夹持函数法”，用一个正则化的夹持函数和具有更强的收敛能力的调节因子，来保证牛顿迭代法的精确性和收敛速度。

通过该方法，牛顿迭代法的收敛性和收敛速度有了明显的提高，有助于更快得出满意的结果。

归纳起来，牛顿迭代法以其高效的计算速度来解决复杂非线性方程，是一个很有前景的解决技术。

而新的加速技巧——“夹持函数法”，进一步提高了牛顿迭代法的收敛性和收敛速率。

在未来，希望不断地探索出新的求解方法，努力让牛顿迭代法变得更加强大，为更多复杂网络给出有效解决方案。

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求K，使得
| ( x ) | | 1 K Kg ( x ) | 1
3 f ( x ) x 3 x 1 0 在 (1, 2) 的实根。 例：求
如果用 中有
1 3 x ( x 1) g ( x )进行迭代，则在(1, 3
2)
| g ( x ) | | x 2 | 1
0
注
用Steffensen方法加速有个有趣的 现象：能使发散的迭代公式收敛！
下面用图形说明这一作用
y
y=x
~ g( x ) x 1 0 ~) x1 g ( x 1
2 ~ ( x1 x0 ) x1 x0 ~ x x1 2 x 1 0
y = g (x )
o
~ x* x x x 1 0 1
0.5，则对应
3 3 1 3 x x ( x 1) 2 6
即产生收敛序
列。
二、Aitken加速法
设 xk 是根 x* 的某个预测值，用迭代公
式校正一次得： 假设 g ( x ) 在所考虑范围内改变不大，
其估计值为L，则有
xk 1 g( xk )
xk 1 x g( xk ) g( x )


再校正一次，
相 除


zk x
L( yk x )
yk x xk x zk x yk x
所以
2
xk yk ( z k ) ( yk xk ) x xk z k 2 yk xk z k 2 yk xk
2
具体的计算公式为：
迭代
迭代 改进
yk g( xk )
z k g( yk )
xk 1 ( yk xk ) xk z k 2 yk xk
2
这就是Steffensen加速法
Steffensen 加速：
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x1 g( x ˆ 0 ), x2 g( x1 ), x ˆ ˆ , ... ... x
xk xk 1 ( xk 2 ) ( xk 1 xk ) 所以 x xk xk 2 2 xk 1 xk xk 2 2 xk 1 xk
2 2
Aitken 加速：
y y = g(x)
一般地，有：
ˆK x ( x K 1 x K )2 xK x K 2 x K 1 x K 2 x0 , x1 g( x0 ), x 2 g( x1 ),
K 3 现令 ( x ) (1 K ) x Kg ( x ) (1 K ) x ( x 1) 3
希望 | ( x ) | | 1 K Kx | 1 ，即 2 在 (1, 2) 上可取任意 K 0 ，例如K =
2
2 K 0 2 x 1


xk 1 x g( xk ) g( x ) L( x k x )
将



xk 1再校正一次，
xk 2 g( xk 1 )


相 除

xk 2 x L( xk 1 x )
xk 1 x xk x xk 2 x xk 1 x
设 xk 是根 x* 的某个预测值，用迭代公
式校正一次得：
yk g( xk )
假设 g ( x ) 在所考虑范围内改变不大， 其估计值为L，则有
yk x g( xk ) g( x )


yk x g( xk ) g( x ) L( x k x )
将



yk
z k g( yk )
x1
x
y=x
P(x1, x2)
ˆ 0 , x 3 g( x 2 ), x ˆ 1 , x4 g( x 3 ), x
P(x0, x1)
ˆ K 比x K 收敛 x
... ...
x1
x*
x
2
ˆ x
( x1 x0 ) 2 ˆ x0 x x0 2 x1 x 2
x0
x
得略快。
三、Steffensen加速法
7.3 迭代法的加速
/* accelerating convergence */
一、待定参数法 二、Aitken加速法
三、Steffense’(x) | 1，则将 x = g(x) 等价地改造为
x x Kx Kg ( x ) (1 K ) x Kg ( x ) ( x )