圆的基本性质复习课件

．r
O
S = nπr2
360
2024/10/13
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2024/10/13
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2024/10/13
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
本 第1部分 圆的基本性质
章 第2部分 与圆有关的位置关系
安
排 第3部分 正多边形和圆
复 习
第4部分
弧长和面积的计算
内 容
第5部分
有关作图
2024/10/13
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
2024/10/13
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
2024/10/13
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.

弦、弦心距四组量中有一组量相等，
那么它所对应的其余三组量也相等。
B
D
（知一推三）
E
A
O
F
C
4、在一个圆中，垂直于弦的直径 平分弦，平分弦所对的弧。
平分弦（此弦非直径）的直径垂直 弦且平分弦所对的弧。
弦的垂直平分线过圆心，并且平分 弦所对的弧。
练习3
如图，已知⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂 足为E。请在图中找出相等的线段或角。
初三数学专题复习
圆的基本性质
基本概念复习
一、定义： 圆是到定点距离等于定长的点的集合。 其中，定点即为此圆的圆心， 定长为此圆的半径。
练习 1 已知：⊙A的半径为3，那么与⊙A
相切，且半径为1的圆的圆心O的轨迹 是什么？
外切：圆心距d=AO=3+1=4； 内切：圆心距d=AO=3-1=2。
示 ．Ｏ
图1
图2
C F
A
O
E
探索提高:
已知:⊙O中,CD⊥直径AB,CE平分∠DCO
交⊙O与E.
求证:A⌒E=B⌒E.
C
A
O
B
D
E
C 又∵CE平分∠DCO，
A
O
D
∴∠DCE=OCE=OEC B∴CD∥OE
E 证明:连接OE
∵CO=EO， ∴∠OCE=∠OEC。
∵CD⊥AB，∴OE ⊥AB。
。
即∠AOE= ∠BOE=90
P
A
O
B
P
解：连接PO，
易得AO=BO=PO。
A
O
B ∴∠A=∠APO； ∠B=∠BPO，
∵∠A+∠AP。O+∠B+ ∠BPO=180

弧长计算
01
根据给定的圆心角，利用弧长公式计算对应的弧长。
扇形面积计算
02
根据给定的圆心角和半径，利用扇形面积公式计算对应的面积
。
正弦定理和余弦定理在圆中的应用
03
利用正弦定理和余弦定理解决与圆相关的问题。
圆的实际应用
机械零件设计
在机械零件设计中，经常需要用 到圆的性质和定理来设计轴、齿
轮等部件。
点在圆外
如果点到圆心的距离大于半径，则点 在圆外。
点在圆内
如果点到圆心的距离小于半径，则点 在圆内。
点在圆上
如果点到圆心的距离等于半径，则点 在圆上。
直线与圆的位置关系
相离
如果直线到圆心的距离大 于半径，则直线与圆相离 。
相切
如果直线到圆心的距离等 于半径，则直线与圆相切 。
相交
如果直线到圆心的距离小 于半径，则直线与圆相交 。
圆的一般方程是$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中 $D, E, F$是常数。
圆的基本性质
01
02
03
04
圆心到圆上任一点的距离都等 于半径。
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆是轴对称图形，任何经过圆 心的直线都是它的对称轴。
弦、直径、弧、切线等与圆相 关的概念。
圆的应用
圆与扇形
总结词
扇形是圆的一部分，其弧长小于圆的周长，由Байду номын сангаас条半径和圆弧围成。扇形的面积 可以通过公式 A = (θ/360) × πr^2 来计算，其中 θ 是扇形的圆心角，r 是半径 。
详细描述
扇形是圆的一部分，其弧长等于圆心角与圆周率的乘积除以360，即弧长 = θ/360 × 2πr。扇形的面积等于圆心角与圆面积的乘积除以360，即面积 = θ/360 × πr^2。

圆的综合问题
圆的运动问题
总结词
理解运动问题中的变量和常量，掌握运动过程中圆的变化规 律。
详细描述
在解决圆的运动问题时，需要理解圆心和半径在运动过程中 的变化规律，以及这些变化对圆的面积、周长等量的影响。 同时，要善于利用代数和几何方法来求解相关问题。
圆的面积和周长问题
总结词
掌握计算圆面积和周长的公式，理解半径与面积、周长的关系。
扇形面积公式
若圆心角为 $alpha$，半径为 $r$，则扇形面积 $S_{扇形} = frac{1}{2} alpha r^{2}$。
圆与直线的位置关系
相切
直线与圆只有一个公共点，即直 线与圆相切。
相交
直线与圆有两个公共点，即直线与 圆相交。
相离
直线与圆没有公共点，即直线与圆 相离。
02
圆的定理与性质
圆的内接四边形
总结词
理解内接四边形的性质和判定定理
详细描述
圆的内接四边形具有一系列重要的性质，如对角互补、外角等于内对 角等。这些性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握。
总结词
掌握内接四边形的面积和周长的计算方法
详细描述
圆的内接四边形的面积和周长的计算涉及到圆的半径和内角，需要灵 活运用圆的性质和三角函数的知识。
总结词 详细描述
总结词 详细描述
理解弦的重要定理和性质
弦在圆中具有很多重要的定理和性质，如垂径定理、弦心距定 理等。这些定理和性质在解题过程中经常用到，需要熟练掌握
。
掌握弦长的计算方法以及与弦相关问题的解决方法
弦长的计算以及与弦相关问题的解决方法是解决与弦相关问题 的关键，需要熟练掌握其应用方法。
03
圆的数学建模
总结词

4. 在艺术和文学作品中，圆常被用来象征完美、完整和无限。
总结词：说明圆在实际生活中的应用
1. 日常生活用品，如碗、盘子和轮胎的设计都利用了圆的特性。
3. 物理学中的波、磁场和力场理论中经常用到圆或圆的性质。
01
02
03
04
05
06
02
圆的周长与面积
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占的平面的大小。
03
圆与其他几何形状的应用
在实际生活中，这些几何形状的应用非常广泛，如建筑设计、机械制造等。
01
与圆相关的其他几何形状
圆与椭圆、圆环等其他几何形状有着密切的联系。
02
圆与其他几何形状的相似性
圆与其他几何形状在某些性质上具有相似性，如周长、面积等。
03
圆的方程
标准方程是描述圆的最基本形式，包含了圆心和半径的信息。
圆的复习课PPT课件
圆的定义与性质圆的周长与面积圆的方程圆的几何证明圆的实际应用
contents
目录
01
圆的定义与性质
总结词
描述圆的基本定义
详细描述
圆是平面内所有点到一个固定点（圆心）的距离等于一个固定长度（半径）的点的集合。
ห้องสมุดไป่ตู้
详细描述
2. 建筑学中，圆或圆弧常用于设计美观和功能性的建筑结构。
公式推导
总结词：参数方程是另一种描述圆的方式，通过引入参数来表示圆的各个部分。
04
圆的几何证明
总结词
总结词
总结词
总结词
01
02
03
04
理解圆的相交性质，掌握证明方法
理解弦心距定理，掌握应用弦心距定理证明弦与圆相交的方法

定义 以点 O 为圆心的圆记作☉ O ，
线段 OA 叫作半径
(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它
的对称轴；
对称
(2)圆是中心对称图形， 圆心
是它的对称中心；
性 (3)圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度都与
自身重合
考点清单
考点 ❷
垂径定理及其推论【省卷T26，长沙T9】
垂径定理 【2022课标要求变化：选学内容变为必学内容】
弦 AC 的长为4 3 ，则∠ COB ＝ 60
☉ O 的半径 r ＝ 4
∠ BD A＝ 90°
°，
.
⁠
∠ B A C＝ 30°
由 垂 径 定 理 得 CD ＝ 2 3
∠ COB ＝ 60°

r＝
sin60°
＝4
考点清单
考点 ❶
圆的定义及对称性
圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，
其中定点称为 圆心 ，定长称为半径，
若四边形 OABC 是菱形，则∠ D ＝ 60
°.
⁠
∠ ABC ＝∠ AOC
∠ ABC ＋∠ D ＝180°
∠ AOC ＝2∠ D
3∠ D ＝180°
∠ D ＝60°
例4题 图
对点演练
5. (2024·广元)如下图，已知四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边
形，点 E 为 AD 延长线上一点，∠ AOC ＝128°，则∠ CDE ＝

03
重难精讲
变式探究
第六单元 第26讲
重点精讲·变式探究
例1 (2023·永州改编)如下图，☉ O 是一个盛有水的容器的横
截面，☉ O 的半径为 10 cm，水面的宽 CD ＝12 cm，往容器中

在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．
A′ B
B′
·
O
A
例：（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，
且OD//AC。求证：CD=BD
证明：㈡ 连接AD，
AC // OD OA OD
CAD ODA OAD
∴ ⌒CD= ⌒BD
CD BD
通过证弧相等，得到弦相等
即并直 且径 平分CDA⌒垂B直 及于A⌒C弦BAB，平分弦AB,
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧．
A
C
·O
E B
D
课堂作业47页：第1题
B
E
A
C
F
·O
D
B
A E
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．对 应的弦心距也相等.
相等的 圆心角
下面结论中正确的是_①___、__②________。
①AB=√AE ②BD=D√E ④×
③∠E=2∠×EBC
（3）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径， 且OD//AC。过点D做DG⊥AE，垂足为G，则四边形DGCF 是什么四边形？为什么？
证明：∵AB是直径， DG⊥AE ∴∠FCG=∠DGC=90°
所对的弧相等 所对的弦相等 弦心距相等
A′
D′ B′
·
O
B
D A
课堂作业49页：第2题
A
E
F
O
B
D
C
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits

(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC， ∴∠5＝∠6，∵∠3＝∠2， ∴△AED∽△CEB.
8.(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD， 若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( A ) A.65° B.55° C.50° D.75°
C
D
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半
(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE.
13.如图，⊙O外接于△ABC，延长BO交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD于 点E. (1)求证：∠BAC＝∠BCE； (2)若∠BAC＝60°，BC＝2 ，求⊙O的半径．
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
B
2.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于 点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是( C ) A.50° B.100° C.130° D.150°
3.(2024·临夏州)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD的度数为( D ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
(1)证明：连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DCE＋∠BCE＝90°， ∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°， ∴∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠BCE.
C
90°
6.(2024·龙东)如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ 65° .
7.(2023·贵州)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交A B于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角：∠1(答案不唯一)，图中与△ACD全等的三角 形是 △BCD ； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等

03
圆的基本性质
圆心到圆上任一点的距离相等；直径所对的圆周角为直 角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
圆与点的位置关系
总结词
理解圆与点之间的位置 关系，掌握判断方法
点在圆外
点到圆心的距离大于半 径
点在圆上
点到圆心的距离等于半 径
点在圆内
点到圆心的距离小于半 径
圆与直线的位置关系
总结词
理解圆与直线之间的位置关系，掌握判断方 法
利用代数方法解题
对于一些较为复杂的问题 ，可以通过代数方法进行 求解，例如设未知数、列 方程等。
利用几何方法解题
对于一些较为直观的问题 ，可以通过几何方法进行 求解，例如作辅助线、构 造等腰三角形等。
谢谢聆听
总结词
圆的切线垂直于经过切点的半径。
详细描述
这是圆的切线的一个重要性质。如果一条直线是圆的切线，那么这条直线将垂直于经过切点的半径。
切线长定理
总结词
从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等。
详细描述
这是切线长定理的表述。如果从一个 圆外一点引出两条切线，那么这两条 切线的长度是相等的。
04 圆的综合问题
圆的综合应用题
01
总结词
涉及多个知识点，需要综合运用圆的性质和定理来解答。
02 03
详细描述
这类题目通常涉及圆的多个方面，如圆心角与弧长、弦长之间的关系， 圆与圆的位置关系，以及与三角形、四边形的结合等。解题时需要综合 考虑这些知识点，并灵活运用定理和性质。
示例
在圆O中，弦AB与CD相交于点P，若AP:PB=2:3,CP=10,DP=6,则弦AB 的长为多少？
圆的专题复习课件
汇报人： 202X-01-05

推论
平分弦（不是直径）的直径㉒______于弦，并且㉓______弦所对的两条弧
平分
平分
垂直
平分
4
结论
；㉔______ ；㉕______；㉖______； 是直径（在同圆或等圆中，若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”）（注： 不是直径）
续表
考点
5
圆的内接四边形
圆内接多边形
推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑫______，所对的弦⑬______，即若 ，则
相等
相等
推论
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑭______，所对的优弧和劣弧分别⑮______，即若 ，则
相等
相等
续表
考点
圆周角定理及其推论
定理
在一个圆中，一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的⑯______
圆心
续表
弧
圆上任意两点间的部分叫作弧
大于半圆的弧叫做⑤______（如 ）
小于半圆的弧叫做⑥______（如 ）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；能够重合的两个圆叫做等圆
优弧
劣弧
续表
圆心角
顶点在⑦______的角叫做圆心角（如 ）
圆周角
顶点在⑧____上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如 ）
重难点突破
重难点
1
圆周角定理及其推论
例1题图
【例1】 如图，在 中， 为直径，弦 ， ，连接 ，则 等于( )
A. B. C. D.
思路点拨:由等腰三角形的性质得到 的度数，由平行线的性质得到 ，再利用圆周角定理得到 ，从而求解．
√

2
O E1C D
BO⊥AD
8．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别
与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：
①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记
△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则
S1=S2，那么( D ).
C
A．①是真命题 ②是假命题
B．①是假命题 ②是真命题 D
并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交
⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD于点M．
求证： (2)CE=DF．
(2) ∵△ACO≌△BDO， A
B O
∴OC=OD，
∵OM⊥CD， C E M F
D
∴CM=DM， EM＝FM，
∴CM－EM=DM－FM.
∴CE=DF.
D
5.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上 的两点，分别连接AC、BC、CD、OD，若 ∠DOB=140°，则∠ACD= ( A).
A.20° B. 30° C. 40° D.70° C
A
O
B
D
6.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G， 连接 CF，∠C=30°，CF= 2 ，3 则OG的长是( A).
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第24章 圆 期末复习(2)
圆的基本性质
复习要点
1.圆 (1)平面上到定点的 距离 等于定长的所有 点 组成
的图形叫做圆； 定点称为圆心， 定长 称为半径. (2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的
直线；圆又是中心对称图形，对称中心是 圆心 . (3)不在同一条直线上的 三个点确定一个圆.
AB=AC， ∠ BAC=36°，在AB上取点D(不与点
A，B重合)，连接BD，AD，则∠BAD＋

全效优等生
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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全效优等生
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
全效优等生
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.

例 4 如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和 动点 P，AC＝12AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A，B 两点重合)，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．
考点聚焦
归类探究
(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中 画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
(3) ∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.
∴∠CPB＝∠CAB＝60°.
∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，
∴△PBC 为等边三角形．
又 CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.
考点聚焦
归类探究
归类探究
归类探究
探究一 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
例 1 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦
CD⊥AB，垂足为 P.若 CD＝8，OP＝3，则⊙O
的半径为( B )
A．10
B．8
C．5
D．3
考点聚焦
归类探究
解 析 连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4. 在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5.
[方法点析] 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条 弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的 计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
考点聚焦
归类探究
探究二 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．

A.①② B.②③ C.③④ D.①④
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引
的两条切线长相等; P
1 2
并且这一点和圆心的
连线平分两条切线的
夹角.
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
A ●O
B
六.三角形的内切圆
A
I
B
C
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
八.正多边形和圆
（1）.有关概念 （2）.常用的方法 F （3）.正多边形的作图
.o
点p在⊙o上
Op=r
.p 点p在⊙o外
Op＞r
不在同一直线上的三个点确定一个圆
这个三角形叫做圆的内接三角形 这个圆叫做三角形的外接圆 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心
·C
· A
·o
·B
五.直线与圆的位置关系
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
三、圆周角定理及推论
B B
●O
D
E ●O
A
C
A
Байду номын сангаас
C
定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。
三、圆周角定理及推论
C
A
●O
B
推论2:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
． (3)弦心距
O
上午3时58分