高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 变化率问题 导数的概念

3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念[教材研读]预习课本P 72～76，思考以下问题气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么r (V )＝ 33V 4π.1．当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球的平均膨胀率是多少？2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率又是多少？3．函数的瞬时变化率与平均变化率有何关系？[要点梳理]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数的瞬时变化率3.导数的概念[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．自变量x从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是导数．()2．导数的物理意义就是刻画瞬时速度．()3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率等于2.()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一求函数的平均变化率(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x ) ①从0.1到0.2的平均变化率． ②在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． [思路导引] 应用平均变化率公式f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.[解析] (1)A 、B 两点间的平均变化率为1－33－1＝－1，所以选B.(2)①因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.②f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . [答案] (1)B (2)①0.9 ②6x 0＋3Δx(1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式． [跟踪训练]已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415. 因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．题型二 求瞬时速度思考：瞬时速度与平均速度的关系？提示：瞬时速度就是自变量的改变量趋近于0时，平均变化率的极限值．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位： s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路导引] (1)由平均变化率公式求平均速度，(2)瞬时速度公式V ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. [解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3(Δt )2－12Δt Δt ＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s ＝s (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (3)求平均速度ΔsΔt ； (4)求瞬时速度，v ＝lim Δt →0ΔsΔt .[跟踪训练]一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[解] 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4aΔt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a ＋aΔt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0ΔsΔt＝4a (m/s)．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.题型三 利用定义求函数在某一处的导数求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．[思路导引] 利用导数公式[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx1＋Δx ，∴ΔyΔx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx＝1＋11＋Δx， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而y ′|x ＝1＝2.求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤[跟踪训练]求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数．[解]∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝(3＋Δx)2＋5(3＋Δx)－(32＋5×3)＝9＋6Δx＋(Δx)2＋15＋5Δx－9－15＝(Δx)2＋11Δx，∴ΔyΔx＝(Δx)2＋11ΔxΔx＝Δx＋11，∴y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx＋11)＝11.课堂归纳小结1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平均变化率的求法．如例1.(2)瞬时速度的求法．如例2.(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法．如例3.3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3[解析] v －＝s (2.1)－s (2)2.1－2＝0.410.1＝4.1.∴选B. [答案] B2．一质点的运动方程是s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6C ．3Δt －6D ．－3Δt －6[解析] v －＝s (1＋Δt )－s (1)1＋Δt －1＝－3Δt 2－6Δt Δt ＝－3Δt －6.∴选D. [答案] D3．作直线运动的一物体，其位移s 与时间t 的关系为s ＝3t －t 2，t ∈[0，＋∞)，则其初速度是( )A．0 B．3 C．－2 D．3－2t[解析]v0＝f′(0)＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.∴选B.[答案] B4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于() A．2 B．－2 C．3 D．不确定[解析]f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0aΔxΔx＝a＝2.∴选A.[答案] A5．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[解析]v t＝3＝f′(3)＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝limΔt→0(Δt＋5)＝5.∴选C.[答案] C。

1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。

第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx.①平均速度；②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即_______________＝limx→ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limx→ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的，记为或即f′(x0) ＝limx→ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔyΔx等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1 C．2 D．－24．设f(x)在x＝x0处可导，则limx→f(x0－Δx)－f(x0)Δx等于()A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升 12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

3.1.1 变化率问题内容和内容解析：变化率是建立数学重要概念——导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。

新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。

对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。

目标和目标解析：1、通过微积分发展史的认识，了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的精神与智慧；2、通过实例，理解平均变化率及其几何意义，初步感受以直代曲的思想；能计算函数的平均变化率；3、通过实例，培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。

教学问题诊断分析：微积分概念的产生、形成、建立、完善经历了一个漫长的过程，在这个过程中，极限思想的形成到数学化经过了无数数学家的努力。

两千年的形成的一个知识，学生需要在十几个课时就要接受，他们最大的困难也在对极限思想的理解。

平均变化率是理解瞬时变化率的基础，虽然平均变化率的定义很简单，运用也很简单，但是理解以直代曲的意识，极限的思想是这节课要给建立的基本意识。

另外如何用平均变化率解决实际问题，关键在于能不能把实际问题转化为数学问题，这也是学生遇到的难点。

例如温度突降，突增；吹气球时为什么越到后面膨胀越来越慢。

学生需要把生活常识与数学联系起来，并解决它，是难点。

本节课存在大量的计算，对于文科生，公式多了，计算量大了，都对他们是考验。

这也是这节课面临一个难点。

教学支持条件分析：学情分析：作为文科生，数学是他们的拦路虎。

部分文科生就是因为数学不好才选择文科，我现在班上学生就是这样的情况。

班级优势：我班一共只有31名学生，我会在上课期间用大量的时间巡视他们的书写过程，并在课堂及时个别辅导。

技术手段：本节课需要动态演示，我利用了几何画板；并且利用投影将学生书写当面批改。

教学过程设计：一、启中入在物理上，我们会遇到这样的问题：1、如图1，从图象我们可以得知：物体是匀速运动，物体在不同时刻的速度都是一样的。

导数的概念的教学设计人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ）第三章第一节《导数的概念》（第三课时）一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：表1. 知识主体结构比较通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程.难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x0可导→f(x)在开区间（，b）内可导→f(x)在开区间（，b）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f(x)的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+△x的变化率的极限,是f(x)在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间（，b）内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数. （4）y= f(x)在x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，表示为这也是求f′(x0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词．．．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.引导激趣概括抽象互动导标类比拓展分层作业引导小结回归体验概念导析3.1 引导激趣设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.问题：割线的变化过程中，①△x与△y有什么变化？②有什么含义？③在△x→0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f(x)在x0处可导的定．义．，完成“导数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率抽象舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限即f′(x0)= =（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）3.3 互动导标设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f(x)在开区间（，b）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次..①研究：函数y=2x+5在下列各点的变化率：（1）x=1，（2）x=2，（3）x=3②研究：函数y=x2在下列各点的变化率：（1）x=1，（2）x=2，（3）x=3定义：函数f(x)在开区间．．．．．．(，b)内可．．．．．．，就说f(x)在开区间．．(，b)内每一点可导导．.3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f(x)在开区间（，b）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次.已有认知：物体在时刻t0的速度：物体在时刻t的速度．．新认知：函数f(x)在开区间．．．.．．．．(，b)内可导．．．．．．，就说f(x)在开区间．．(，b)内每一点可导点拨：映射→函数对于（，b）内每一个确定的值x0，对应着一个确定的导数值，这样就在开区间（，b）内构成一个新函数导函数（导数）3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：（1）f′(x0)与相等吗？（2）与f′(x0) 相等吗？试讨论:f′(x0)与区别与联系.反思：“f(x)在点x0处的导数”，“f(x)在开区间（，b）内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f(x)在点x0处可导↓f(x)在开区间（，b）内可导↓f(x)在开区间（，b）内的导函数↓导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在“做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？k=或k=v0＝或v=（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题A组：①已知S=πr2，求②已知V=，求③已知y=x2+3x求（1）；(2) 求︱x=2例题B组：④已知，求，并思考的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f(x)在点x0处的导数”，“导函数”和“导数”之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；（3）用定义求导的方法，步骤；（4）导数的作用.3.8分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必做题:1.教材第114页，第2，3，4题.2．若f′(x0)=a，（1）求的值.（2）求的值.思考题：1.已知y=x3 求（1）；（2）︱x=0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.2.讨论y=|x|在x=0处是否可导？选做题：求证：如果函数y=f(x)在x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续.。