2018年苏教版数学必修2 第2章 2.1.3 学业分层测评16

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为________．【解析】直线l1的斜率k1＝x－3－1－2＝3－x3，由题意可知3－x3＝－1，∴x＝6.【答案】 62．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是________三角形．【解析】∵k AB＝－1－12＋1＝－23，k AC＝4－11＋1＝32，∴k AB·k AC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．【答案】直角3．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是________．【解析】∵l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，不妨设斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.【答案】垂直4．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为________.【导学号：41292083】【解析】由题意可知k AB＝4－13－0＝ 3.又l1⊥l2，从而l2的斜率为－3 3.由tan α＝－33，得α＝150°.【答案】150°5．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________.【解析】 l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－(－1)3－a＝1，得a ＝0.由l 1∥l 2， 得－2b ＝1，即b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.【答案】 －26．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，有下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS .其中正确的结论是________．【解析】 由斜率公式知，k PQ ＝－4－26＋4＝－35， k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14， ∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行．故结论正确的为①②④.【答案】 ①②④7．△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(－a,0)，(a,0)(a >0)，边AC ，BC 所在直线的斜率之积等于k .①若k ＝－1，则△ABC 是直角三角形；②若k ＝1，则△ABC 是直角三角形；③若k ＝－2，则△ABC 是锐角三角形；④若k ＝2，则△ABC 是锐角三角形．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】 由k AC ·k BC ＝k ＝－1，知AC ⊥BC ，∠C ＝π2，①正确，②不正确．由k AC ·k BC ＝k ＝－2，知∠C 为锐角，k AC 与k BC 符号相反，③正确，④不正确．【答案】①③8．过点(m，n)且与直线nx－my＋mn＝0平行的直线一定恒过点__________.【导学号：41292084】【解析】过点(m，n)且与直线nx－my＋mn＝0平行的直线方程为m(y－n)＝n(x－m)，即nx－my＝0，此直线恒过定点(0,0)．【答案】(0,0)二、解答题9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线．(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．【解】(1)由k AB＝m－3 2m2＝tan 135°＝－1，解得m＝－32或1.(2)由k AB＝m－32m2，且－7－20－3＝3，故m－32m2＝－13，解得m＝32或－3.(3)令m－32m2＝9＋3－4－2＝－2，解得m＝34或－1.10．如图2－1－9，在平行四边形OABC中，点C(1,3)，A(3,0)，图2－1－9(1)求AB所在直线的方程；(2)过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解】(1)点O(0,0)，点C(1,3)，∴直线OC的斜率为k OC＝3－01－0＝3.AB∥OC，k AB＝3，AB所在直线方程为y＝3x－9.(2)在▱OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC.∴CD所在直线的斜率为k CD＝－1 3.∴CD所在直线方程为y－3＝－13(x－1)，即x＋3y－10＝0.[能力提升]1．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为________．【解析】k PQ＝a＋1－bb－1－a＝－1，k PQ·k l＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.【答案】45°2．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．【解析】由两点的斜率公式可得：k PQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.【答案】－13．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，则a的值为________；(2)若l1⊥l2，则a的值为________．【解析】设直线l1的斜率为k1，则k1＝a－13－1＝a－12.(1)若l1∥l2，则直线l2的斜率k2＝a－1 2.又k2＝4－23＋a－2＝21＋a，∴21＋a＝a －12，解得a ＝±5. 又当a ＝±5时，k AM ≠k BM ，∴A ，B ，M 三点不共线，∴a ＝±5均适合题意．(2)若l 1⊥l 2，①当k 1＝0，即a ＝1时，k 2＝1，此时k 1·k 2＝0≠－1，不符合题意．②当k 1≠0时，则l 2的斜率存在，此时a －12·21＋a＝－1， 解得a ＝0，故l 1⊥l 2时，a ＝0.【答案】 (1)±5 (2)04．如图2－1－10所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路为AC ，另一条小路过点D .问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路AC 与DM 互相垂直？【导学号：41292085】图2－1－10【解】 以点B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3可得C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．法一：直线AC 的方程为x 5＋y 3＝1，即3x ＋5y －15＝0.设过点D (5,3)且与直线AC 垂直的直线方程为5x －3y ＝t ，则t ＝25－9＝16，即过点D(5,3)且与直线AC垂直的直线方程为5x－3y－16＝0.令y＝0，得x＝16 5＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM互相垂直．法二：设点M的坐标为(x,0)，∵AC⊥DM，∴k AC·k DM＝－1.∴3－00－5·3－05－x＝－1，解得x＝5－95＝165＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM互相垂直．。

1.过点A (1，2)，且平行于直线2x －3y ＋5＝0的直线的方程为________．解析：设所求直线方程为2x －3y ＋C ＝0.由于直线过点A (1，2)，∴2×1－3×2＋C ＝0，∴C ＝4.答案：2x －3y ＋4＝02.若直线x ＝1－2y 与2x ＋4y ＋m ＝0重合，则m ＝________．解析：由x ＝1－2y 得y ＝－12x ＋12，由2x ＋4y ＋m ＝0得y ＝－12x －m 4，由题意－m 4＝12，∴m ＝－2.答案：－23.已知两直线l 1：mx ＋y ＝5，l 2：2x ＋(3m －1)y ＝1，当m ＝________ 时，l 1与l 2垂直．解析：3m －1＝0显然不合题意．故(－m )·(－23m －1)＝－1，∴2m ＝1－3m ，∴m ＝15. 答案：154.已知△ABC 三顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (0，2)，C (a ，0)，若AB ⊥BC ，那么a ＝________．解析：k AB ＝2－00－（－1）＝2，k BC ＝0－2a －0＝－2a ，由2·(－2a )＝－1，得a ＝4. 答案：45.过点(4，－5)且与原点距离最远的直线的方程是________．解析：此直线必过(4，－5)，且与(0，0)，(4，－5)的连线垂直，而(0，0)，(4，－5)连线的斜率为－54， ∴所求直线的斜率为45， ∴所求直线的方程为y ＋5＝45(x －4)， 即4x －5y －41＝0.答案：4x －5y －41＝0[A 级 基础达标]1.对于两条不重合的直线l 1，l 2：①若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；②若直线l 1，l 2都有斜率且斜率相等，则l 1∥l 2；③若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数；④若直线l 1，l 2的斜率互为负倒数，则l 1⊥l2.其中正确命题的个数是________．解析：③不正确，它们的斜率还可以一个为0，而另一个不存在．答案：32.经过点A (1，2)和点B (－3，2)的直线l 1与过点C (4，5)和点D (a ，－7)的直线l 2垂直，则a ＝________．解析：∵k 1＝2－2－3－1＝0，又l 1⊥l 2， ∴k 2不存在，故a ＝4.答案：43.与直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距为－2的直线方程是________．解析：∵与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线斜率为43，并且在x 轴上的截距为－2，∴直线过点(－2，0)．由点斜式得方程为y －0＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋8＝0. 答案：4x －3y ＋8＝04.直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为________． 解析：法一：当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，若l 1∥l 2需2m ＝m ＋13≠4－2.① 由①式有m 2＋m －6＝0，解得m ＝2，或m ＝－3.经检验m ＝2，或m ＝－3满足题意．法二：若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝2×3－m (m ＋1)＝0，A 1C 2－A 2C 1＝2×(－2)－m ·4＝－4－4m ≠0.∴m ＝－3或2.答案：－3或25.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1，1)，B (1，5)，C (－3，2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－（－3）＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形6.(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.7.已知四边形ABCD 四个顶点A (m ，n )，B (6，1)，C (3，3)，D (2，5)，试求m ，n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解：k AB ＝n －1m －6，k BC ＝－23，k CD ＝－2，k DA ＝n －5m －2. ∵BC 与CD 即不平行也不垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧AD ⊥DC ，CD ∥AB .即⎩⎪⎨⎪⎧n －5m －2＝12，n －1m －6＝－2.解得⎩⎨⎧m ＝185，n ＝295.[B 级 能力提升]8.已知定点A (0，1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________． 解析：当线段最短时则为AB 与x ＋y ＝0垂直时，∵B 在x ＋y ＝0上，∴B (x ，－x )，则k AB ＝1＋x －x＝1得x ＝－12. ∴B (－12，12)． 答案：(－12，12) 9.已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3，2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________．解析：l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－（－1）3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.答案：－210.(2012·镇江调研)已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6， ∴D (－1，6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．11.(创新题)已知直线l 1过点A (0，－3)，B (－2，a －3)，l 2过点M (0，－a －1)，N (1－a 2，0)．求实数a 为何值时，(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2?解：(1)因为k 1＝a －3－（－3）－2－0＝－a 2，l 1∥l 2， 所以k 2存在且k 2＝0－（－a －1）1－a 2－0＝a ＋11－a 2＝11－a，所以11－a＝－a 2. 所以a ＝2或a ＝－1.①当a ＝2时，M (0，－3)与A (0，－3)重合，所以l 1与l 2重合，不合题意．②当a ＝－1时，k 2不存在，不合题意．综上所述，没有满足条件的a 值使l 1∥l 2.(2)因为k 1＝－a 2，所以，①当a ＝0时，k 1＝0，k 2＝1，不合题意．②当a ≠0时，－a 2·11－a ＝－1，所以a ＝23. 综上所述，当a ＝23时，l 1⊥l 2.。

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．在直角坐标系中，直线＋－＝的斜率是．【解析】直线＋－＝化为斜截式得＝－＋，故直线的斜率为－.【答案】－．已知直线＋－＝在轴上的截距为－，且它的倾斜角是直线－－＝的倾斜角的倍，则＝，＝.【导学号：】【解析】由＋－＝在轴上截距为－，∴＝－，＝－.又－－＝的倾斜角为°.∴直线＋－＝的斜率－＝°，∴＝－.【答案】－－．直线的方程为＋＋＝，若经过原点和第二、四象限，则，，应满足．【解析】过原点，则＝，又过二、四象限，则－<，即>即>.【答案】>且＝．若方程(－－)＋(＋－)＋＋＝表示垂直于轴的直线，则为．【解析】因为方程表示垂直于轴的直线，所以－－＝且＋－≠，解得＝－.【答案】－．若方程(＋－)＋(－)－＋＝表示一条直线，则实数满足．【解析】该方程类似于直线的一般方程，若它表示一条直线，则，的系数不同时为.解＋－＝，得＝－或＝；解－＝，得＝或＝.综上可知实数需满足≠.【答案】≠．直线＋＋－－－＝恒过定点，则此定点是．【解析】＋＋－－－＝，(＋－)＋(－－)＝，则(\\(＋－＝，－－＝，))得(\\(＝，＝.))【答案】()．已知直线－＋＝与两坐标轴围成的三角形面积不大于，则实数的取值范围是．【解析】令＝，则＝；令＝，则＝－，所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是＝－·≤，即≤，所以－≤≤.【答案】[－]．直线：＋(＋)＋＝的倾斜角大于°，则的取值范围是．【解析】当＝－时，直线的倾斜角为°，符合要求；当≠－时，直线的斜率为－，只要－>或－<即可，解得－<<－或<－或>.综上可知，实数的取值范围是∪(，＋∞)．【答案】∪(，＋∞)二、解答题．求经过点(－)，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程.【导学号：】【解】()当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为＝，将(－)代入＝中，得＝－，此时直线方程为＝－，即＋＝.()当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为＋＝，将(－)代入所设方程，解得＝－，此时直线方程为＋＋＝.综上所述，所求直线方程为＋＋＝或＋＝.．设直线的方程为(－－)＋(＋－)＝－，根据下列条件分别求的值．()在轴上的截距为；()斜率为；()经过定点(－，－)．【解】()∵直线过点′()，∴－－＝－，解得＝或＝.又∵＝时，直线的方程为＝，不符合题意，∴＝.。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的是________．①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．【解析】由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．【答案】③2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．【解析】连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．【答案】两个圆锥的组合体3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．图1­1­24【解析】一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．【答案】一个六棱柱中挖去一个圆柱4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．【解析】由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．【答案】圆锥的侧面5．如图1­1­25所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的. 【导学号：60420008】图1­1­25【解析】旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．【答案】圆锥、圆柱6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．①②③④图1­1­26【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】①②③7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.【答案】 38．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．【解析】因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.【答案】πS二、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．【解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图1­1­27所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．图1­1­27【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的半径O 1D 为x .因为OA ＝AB ＝R ，所以△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，所以x ＝l ，故截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．[能力提升]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________． 【解析】 如图以AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm. 【导学号：60420009】【解析】 如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)，∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．【答案】52π2＋43．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．【解析】 由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB2＝5，所以d ＝R2－r2＝12.【答案】 124．如图1­1­28所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：图1­1­28(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．【解】 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA·SM AM ＝4xx2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。

阶段质量检测(二)平面解析几何初步[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)1．点A(2，－3,1)关于点B(－1,0,3)的对称点A′的坐标是____________．2．点P为y轴上一点，且点P到直线3x－4y＋3＝0的距离等于1，则点P的坐标为________．3．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点________．4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相平行，则实数m＝________.5．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．6．三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：x－3y＋2＝0和l3：3x＋ty－1＝0共有两个不同的交点，则t＝________.7．已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2－2x＋2y－14＝0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为__________．8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．9．已知以点M(1,3)为圆心的圆C与直线3x－4y－6＝0相切，则该圆C的方程为____________．10．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是________．11．已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.12．与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．13．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．14．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}，当A∩B ＝B时，r的取值范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． 16．(14分)求分别满足下列条件的直线方程．(1)经过直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋y ＋1＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.17.(14分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．18．(16分)已知P 是直线上一点，将直线l 绕P 点沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点旋转90°－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)已知实数x ，y 满足直线l 的方程，求x 2＋y 2的最小值．19．(16分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？20．(16分)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．答案1．解析：由中点坐标公式的A ′的坐标是(－4,3,5)． 答案：(－4,3,5)2．解析：依题意，设P (0，y 0)，则d ＝|－4y 0＋3|32＋(－4)2＝1，即|4y 0－3|＝5，解得y 0＝－12或2，所以点P 的坐标为(0，－12)或(0,2)．答案：(0，－12)或(0,2)3．解析：由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x＋2)m ＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13.所以此直线必过定点(－2，－13)．答案：(－2，－13)4．解析：由于两直线平行，故m ＋4＝0，从而m ＝－4，当m ＝－4时，两直线平行． 答案：－45．解析：因为直线3x ＋y －1＝0的斜率为－3，所以直线l 的斜率为13.又直线在x 轴上的截距为－2，即直线l 与x 轴的交点为(－2,0)，所以直线l 的方程为y －0＝13(x ＋2)，即x－3y ＋2＝0.答案：x －3y ＋2＝06．解析：依题意可得l 1∥l 3或l 2∥l 3.若l 1∥l 3，则32＝t 1，解得t ＝32；若l 2∥l 3，则31＝t－3，解得t ＝－9.答案：32或－97．解析：将两圆方程相减得x －y ＋2＝0，此即为过两圆交点的公共弦所在的直线方程． 答案：x －y ＋2＝08．解析：圆心为M (3，－1)，半径为2.圆心到直线x ＝－3的距离为3－(－3)＝6，所以|PQ |的最小值为6－2＝4.答案：49．解析：圆心到直线的距离d ＝|3×1－4×3－6|32＋(－4)2＝3，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝910. 解析：如图，设圆的圆心为C ，则C (3,2)．作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|3k ＋1|k 2＋1，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2 ＝24－9k 2＋6k ＋1k 2＋1≥23，即4－9k 2＋6k ＋1k 2＋1≥3，解得－34≤k ≤0.答案：[－34，0]11．解析：设直线斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，圆心(1,0)到直线的距离|k ＋2－2k |k 2＋1＝5，即|2－k |k 2＋1＝5，解得k ＝－12.因为直线与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以k ＝－1a ＝－12，即a ＝2.答案：212．解析：结合图形，可知满足条件的直线有4条．答案：413．解析：设平面上的点为P ，易知ABCD 为凸四边形，设对角线AC 与BD 的交点为P ′，则|P A |＋|PC |≥|AC |＝|AP ′|＋|P ′C |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|BP ′|＋|P ′D |，当且仅当P 与P ′重合时，上面两式等号同时成立，由AC 和BD 的方程解得P ′(2,4)．答案：(2,4)14．解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0＜r ≤2－ 2.答案：(0,2－ 2 ]15．解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则(x －a )2＋(y －6)2＝r 2，得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2，而r ＝|a －13|5∴(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3或a ＝－7，r ＝25或r ＝4 5.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.16.解：(1)将2x ＋y ＋2＝0与3x ＋y ＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4)． 由所求直线与直线2x ＋3y ＋5＝0平行， 则所求直线斜率为－23，从而所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0. (2)设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0， 令y ＝0得到x ＝－m 4，令x ＝0得到y ＝m3，则S ＝12×m 212＝6，解得m ＝±12.从而所求直线方程为4x －3y ±12＝0.17．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．解：(1)依题意，直线l 过直线l 1：3x －y －4＝0与l 2：x ＋2y ＋1＝0的交点P ， 故可设l 方程为3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0.又直线l 1绕点P 逆时针方向旋转角α到l 1，再绕点P 逆时针方向旋转90°－α到l 2，知l ⊥l 2，由两条直线垂直的条件得3＋λ1－2λ(－12)＝－1⇒λ＝－15，代入3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0得： l 的方程为2x －y －3＝0(2)x 2＋y 2的最小值即为原点O 到直线l 的距离d ＝35＝355.19．解：(1)∵k ＝mm 2＋1，∴km 2－m ＋k ＝0(*)，∵m ∈R ，∴当k ≠0时Δ≥0，解得－12≤k ≤12且k ≠0又当k ＝0时，m ＝0，方程(*)有解．所以，综上所述－12≤k ≤12.(2)假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点则∠ACB ＝120°. ∵圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心C (4，－2)到l 的距离为1.故有|4m ＋2(m 2＋1)－4m |m 2＋(m 2＋1)2＝1，整理得3m 4＋5m 2＋3＝0. ∵Δ＝52－4×3×3＜0，∴3m 4＋5m 2＋3＝0无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．20．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2×(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，即圆心C 的坐标为(0,0)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，求得r 2＝2. 于是圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)依题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设l P A ：y －1＝k (x －1)，l PB ：y －1＝－k (x －1)，A 点坐标为(x A ，y A )，B 点坐标为(x B ，y B )．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋k 2－2k －1＝0，因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，所以可得 x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1， 而直线OP 的斜率k OP ＝1，所以k AB ＝k OP ， 所以直线OP 和AB 一定平行．。

学业分层测评(十七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．直线：＋＝与直线：－＝的交点坐标为()，则＝，＝.【解析】将点()代入＋＝，得＝，将点()代入－＝，得＝－.【答案】－．已知为常数，则直线＋＝＋与直线＋＝的交点坐标为．【解析】由(\\(＋＝＋，＋＝，))得(\\(＝(＋)，＝(－).))所以交点坐标为.【答案】．已知(，)与(，)是直线＝＋(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组(\\(＋＝，＋＝))的解的情况是．①无论，，如何，总是无解；②无论，，如何，总有唯一的解；③存在，，，使之恰有两解；④存在，，，使之有无穷多解．【解析】由题意，直线＝＋一定不过原点，，是直线＝＋上不同的两点，则与不平行，因此－≠，所以二元一次方程组(\\(＋＝，＋＝))一定有唯一解．【答案】②．若三条直线＋＋＝，－＋＝和＋＝相交于一点，则的值是．【解析】联立(\\(＋＋＝，－＋＝，))解得(\\(＝－()，＝－()，))将点代入＋＝，解得＝－.【答案】－．直线过直线－＋＝与－＋＝的交点，且垂直于直线＝，则直线的方程是.【导学号：】【解析】由(\\(－＋＝，－＋＝，))解得交点坐标为，故直线过点，斜率为－，所以直线的方程为－＝－，即为＋＋＝.【答案】＋＋＝．直线(＋)＋(－)－＝与直线(＋)＋(＋)＋＝不相交，则＝.【解析】要使两直线不相交，则它们平行，当＋＝时，即＝－，两直线为＝，＝，此时两直线平行，符合题意．当＋≠时，－＝－，解得＝－.所以＝－或＝－.【答案】－或－．直线(－)－(＋)－(－)＝(∈)所经过的定点是．【解析】方程整理为(－－)－(＋－)＝(∈)．由题意知(\\(－－＝，＋－＝，))解得(\\(＝，＝，))即直线过定点()．【答案】()．若直线：＝－与直线＋－＝的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是．【解析】如图，直线＋－＝过点()，()，直线必过点(，－)，当直线过点时，两直线的交点在轴上，此时直线的斜率为＝，倾斜角为°，当直线绕点逆时针旋转时，交点进入第一象限，倾斜角无限趋近于°，从而得出结果．【答案】二、解答题．当<<时，直线：－＝－和：＋＝＋与坐标轴围成一个四边形，求使四边形的面积最小时的值．【解】如图，直线：(－)－(－)＝.。

学业分层测评(十六)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．经过两点()，(－，)的直线与斜率为－的直线平行，则实数的值为．【解析】直线的斜率＝＝，由题意可知＝－，∴＝.【答案】．以(－)，(，－)，()为顶点的三角形是三角形．【解析】∵＝＝－，＝＝，∴·＝－，∴⊥，∠为直角．【答案】直角．直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是．【解析】∵，的斜率是方程－－＝的两根，不妨设斜率分别为，，则·＝－，∴⊥.【答案】垂直．若点()，(，)在直线上，直线⊥，则的倾斜角为.【导学号：】【解析】由题意可知＝＝.又⊥，从而的斜率为－.由α＝－，得α＝°.【答案】°．已知直线的倾斜角为π，直线经过点()，(，－)，且与垂直，直线：＋＋＝与直线平行，则＋＝.【解析】的斜率为－，则的斜率为，＝＝，得＝.由∥，得－＝，即＝－，所以＋＝－.【答案】－．设点(－)，(，－)，()，()，有下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的结论是．【解析】由斜率公式知，＝＝－，＝＝－，＝＝，＝＝－，＝＝，∴∥，⊥，⊥.而≠，∴与不平行．故结论正确的为①②④.【答案】①②④．△的两个顶点，的坐标分别是(－)，()(>)，边，所在直线的斜率之积等于.①若＝－，则△是直角三角形；②若＝，则△是直角三角形；③若＝－，则△是锐角三角形；④若＝，则△是锐角三角形．以上四个命题中，正确命题的序号是．【解析】由·＝＝－，知⊥，∠＝，①正确，②不正确．由·＝＝－，知∠为锐角，与符号相反，③正确，④不正确．【答案】①③．过点(，)且与直线－＋＝平行的直线一定恒过点.【导学号：】【解析】过点(，)且与直线－＋＝平行的直线方程为(－)＝(－)，即－＝，此直线恒过定点()．【答案】()二、解答题．当为何值时，过两点()，(＋，－)的直线．()倾斜角为°；()与过两点()，(，－)的直线垂直；()与过两点(，－)，(－)的直线平行．【解】()由＝＝°＝－，解得＝－或.()由＝，且＝，故＝－，解得＝或－.。

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(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．直线l：x－错误!y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝错误!x＋错误!，k＝错误!，∴α＝30°。

【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝错误!x, 圆的方程化为x2＋（y－2）2＝22,∴r＝2，圆心(0，2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为错误!＝错误!，∴弦长为2错误!。

【答案】2错误!3．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0，1）到直线l的距离d＝错误!＝错误!<1＝r。

故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程错误!＝错误!（x－2)＋3解的个数为________个.【解析】作出y＝错误!和y＝错误!（x－2）＋3＝错误!x＋2的图象(略）．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为错误!.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为（－2，0），所以直线l的方程为y－0＝错误!(x＋2),即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．若曲线（x－1）2＋（y－2）2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k 的值为__________．【解析】依题意得，圆心（1,2）在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4。

学业分层测评(十二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．下列说法中，正确的是．①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为α；②直线的斜率为α，则此直线的倾斜角为α；③若直线的倾斜角为α，则α>；④任意直线都有倾斜角α，且α≠°时，斜率为α.【解析】α＝°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝°时，α＝，故③错；④正确．【答案】④．若三点()，()，共线，则实数的值为．【解析】根据斜率公式得＝－，＝.∵，，三点共线，∴＝，∴＝－.∴＝.【答案】．已知直线的倾斜角为α，且°≤α<°，则直线的斜率的取值范围是．【解析】设直线的斜率为，当°≤α<°时，＝α≥；当α＝°时，无斜率；当°<α<°时；＝α<－，∴直线的斜率的取值范围是(－∞，－)∪[，＋∞)．【答案】(－∞，－)∪[，＋∞)．若直线过原点，且不过第三象限，那么的倾斜角α的取值范围是.【导学号：】【解析】倾斜角的取值范围为°≤α<°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略轴和轴．【答案】°≤α<°或α＝°．已知点()，(－，－)，若直线过点()与线段相交，则直线的斜率的取值范围是．【解析】直线的斜率＝，直线的斜率＝，结合图象，可知直线的斜率的取值范围是≥或≤.【答案】≥或≤．若过点(－＋)和点()的直线的倾斜角α为钝角，则实数的取值范围是．【解析】＝α＝＝，∵α为钝角，∴<，∴<<.【答案】()．已知直线的倾斜角为α，则关于轴对称的直线的倾斜角用α表示为．【解析】设的倾斜角为θ，当α＝°时，θ＝°；当°<α<°时，θ＝°－α.【答案】°或°－α．已知过点(－，)和点(，)的直线的倾斜角α满足°≤α<°，则的取值范围是．【解析】因为°≤α<°，所以≤<，又＝，所以≤<，解得≤<.【答案】≤<二、解答题．△的三个顶点为()，()，()，试求△三边所在直线的斜率和倾斜角．【解】由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为＝＝，不存在，＝＝，故相应的三条直线的倾斜角分别为°，°，°.．过点(，－)的直线与以点()，(－，)为端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围.【导学号：】【解】如图所示，()直线过点()时，即为直线，倾斜角α为最小值，。

学业分层测评(二十二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．圆＋＋－＋＝与圆＋－－－＝的位置关系是．【解析】圆＋＋－＋＝的圆心是(－)，半径长＝；圆＋－－－＝的圆心是()，半径长＝，则＝＝－，故两圆内切．【答案】内切．两圆相交于点()，(，－)，两圆的圆心均在直线：－＋＝上，则＋＝.【解析】由题意可知，⊥，由于＝，故＝－，即＝－，解得＝.又的中点在直线上，故－＋＝，解得＝－，所以＋＝－＝.【答案】．两圆＋＝与(－)＋(＋)＝外切，则正实数的值是．【解析】由题意，得＝＝，∴＝.【答案】．圆：(＋)＋(－)＝与圆：(－)＋(＋)＝相切，则的值为.【导学号：】【解析】圆：(＋)＋(－)＝的圆心为(－，)，半径长为，圆：(－)＋(＋)＝的圆心为(，－)，半径长为.当，外切时有＝＋，即＋－＝，解得＝或＝－；当，内切时有＝－，即＋＋＝，解得＝－或＝－.【答案】－，－，－．已知半径为的动圆与圆(－)＋(＋)＝相切，则动圆圆心的轨迹方程是．【解析】动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(，－)为圆心，以或为半径的圆．【答案】(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝．两个圆：＋＋＋＋＝与：＋－－＋＝的公切线有且仅有条．【解析】：(＋)＋(＋)＝，：(－)＋(－)＝.圆心距＝＝＝.>＋＝＋，∴两圆与相外离有条公切线．【答案】．点在圆＋－－＋＝上，点在圆＋＋＋＋＝上，则的最小值是．【解析】若两圆相交或相切，则最小值为；若两圆外离，则最小值为－－.(－)＋(－)＝的圆心为()，半径＝；(＋)＋(＋)＝的圆心为(－，－)，半径＝.又＝，显然两圆外离，所以的最小值是－.【答案】－．与直线＋－＝和曲线＋－－＋＝都相切的半径最小的圆的标准方程是.【导学号：】【解析】依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(－)＋(－)＝，所以所求圆的圆心在直线＝上，直径为已知圆圆心到直线＋－＝的距离减去已知圆半径，即－＝，设所求圆的圆心为(，)，则错误!得＝＝，所以所求圆的标准方程为＋＝.【答案】＋＝二、解答题．圆的半径为，圆心在直线＋＝上且在轴的下方，轴被圆截得的弦长为.()求圆的方程；()若圆与圆关于直线－＋＝对称，试判断两圆的位置关系．【解】()设圆心坐标为(，－)，则圆的方程为(－)＋(＋)＝，作⊥轴于点，在△中，＝，＝，∴＝，所以－＝⇒＝±，又因为点在轴的下方，所以＝，即(，－)，所以圆的方程为：(－)＋(＋)＝.()点(，－)到直线的距离为＝＝＝＞，所以圆与直线－＋＝相离．。