2020版高考数学(理)一轮总复习层级快练：第二章 函数与基本初等函数 作业6 含解析

配套课时作业1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x★答案★ B解析 对于A ，y ＝x 3是奇函数；对于B ，y ＝|x |＋1为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增；对于C ，y ＝－x 2＋1为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减；对于D ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数．故选B.2．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0时，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x ) ★答案★ B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．3．(2019·安庆模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数．若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b ★答案★ B解析 由已知得，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，b ＝f (－2)＝f (2)，而1<20.3<2<log 25，故c >b >a .故选B.4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 ★答案★ A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.5．(2019·大连双基测试)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14★答案★ B解析 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称， 由于函数f (x )在[0,1]上是增函数， 故f (x )在[－1,0]上也是增函数，综上函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 6．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 ★答案★ A解析 由g (x )是奇函数，可得g (－x )＝－g (x )，∴|g (x )|＝|g (－x )|，即|g (x )|为偶函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．故选A.7．已知函数f (x )在[0,4]上是增函数，且函数y ＝f (x ＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (4)<f (5)B ．f (2)<f (5)<f (4)C ．f (5)<f (4)<f (2)D ．f (4)<f (2)<f (5) ★答案★ B解析 因为函数y ＝f (x ＋4)是偶函数，所以函数y ＝f (x ＋4)的图象关于直线x ＝0对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以f (5)＝f (3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(5)<f(4)．故选B.8．(2019·湖南模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3★答案★ C解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.9．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12.则f(6)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．2 ★答案★ D解析当x>12时，由f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D.10．已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R都有f(x1＋x2)－f(x1)＝f(x2)＋5，则下列命题正确的是()A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数C．f(x)＋5是奇函数D．f(x)＋5是偶函数★答案★ C解析取x1＝x2＝0，得f(0＋0)－f(0)＝f(0)＋5，所以f(0)＝－5.令x1＝x，x2＝－x，则f[x＋(－x)]－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(0)－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(－x)＋5＝－[f(x)＋5]，所以函数f(x)＋5是奇函数，故选C.11．(2018·贵阳适应性监测)若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝()A．{x|－2<x<0或x>2}B．{x|0<x<2或x>4}C．{x|x<0或2<x<4}D．{x|x<－2或x>2}★答案★ B解析当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当－2<x－2<0或x－2>2，即0<x<2或x>4时，有f(x－2)>0.故选B.12．已知函数f(x)＝－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)★答案★ A解析设F(x)＝f(x)－3＝－3x3－5x，则F(x)为奇函数，且在R上为减函数．f(a)＋f(a－2)>6等价于f(a－2)－3>－f(a)＋3＝－[f(a)－3]，即F(a－2)>－F(a)＝F(－a)，所以a－2<－a，即a<1，故选A.13．若函数f(x)＝x ln (x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.★答案★ 1解析解法一：由题意得f(x)＝x ln (x＋a＋x2)＝f(－x)＝－x ln (a＋x2－x)，所以a＋x2＋x＝1a＋x2－x，解得a＝1.解法二：令g(x)＝ln (x＋a＋x2)，由f(x)为偶函数，则有g(x)＝ln (x＋a＋x2)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．14．(2018·衡水模拟)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.★答案★－1解析∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3.因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.15．(2019·河南重点中学模拟)已知f (x ＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－2x (x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值为________．★答案★ －12解析 f (x ＋1)是周期为2的函数，则f (x )也是周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 由f (x ＋1)是奇函数，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)， 即f (x )＝－f (2－x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.16．(2019·金版创新)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，当f (1)＝2时，f (2018)＋f (2019)的值为________．★答案★ －72解析 由f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，f (1)＝2，得f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝2，f (6)＝－3，f (7)＝－12，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (2018)＋f (2019)＝f (2)＋f (3)＝－72.17．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，解得－2<m <1.② 综合①②可知－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)． 18．(2019·吉林模拟)已知函数f (x )＝ax ＋bx 2＋1为定义在R 上的奇函数，且f (1)＝12.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断并证明函数f (x )在(－1,0)上的单调性． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f (1)＝a ＋b 2＝12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，所以f (x )＝x x 2＋1. (2)函数f (x )在(－1,0)上单调递增． 证明如下：任取x 1，x 2∈(－1,0)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝(1－x 1x 2)(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,0)上单调递增．19．已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数； (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0， 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．20．(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x ＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)∵f (x )的定义域R 关于原点对称，且 f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝(2－x －1)·2x (2－x ＋1)·2x ＝1－2x 1＋2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增． 证明如下：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝2(2x 2－2x 1)(2x 2＋1)(2x 1＋1)，∵函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴2x 2>2x 1，故2x 2－2x 1>0，∴f (x 2)>f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上单调递增． (3)∵f (k ·3x )＋f (3x －9x ＋2)<0， ∴f (k ·3x )<－f (3x －9x ＋2)， 又f (x )为奇函数， ∴f (k ·3x )<f (－3x ＋9x －2)． ∵f (x )在R 上是增函数，∴k ·3x <－3x ＋9x －2对任意x ≥1恒成立， ∴k <3x －23x －1对任意x ≥1恒成立． 设t ＝3x ，则t ≥3，∵y ＝t －2t －1在[3，＋∞)上为增函数， ∴当t ＝3时，函数y ＝t －2t －1取得最小值， 且y min ＝3－23－1＝43.∴k <43，∴实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________. 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减， 所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3， 又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )❷，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )❷，那么函数f (x )是奇函数 图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)． [答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________． 解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14. 答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x1－x ＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.。

【课时训练】第6节 函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=x B.f (x )=e x C .f (x )=cos x D.f (x )=e x －e －x答案为：D解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f (－x )=e－x =1e x ≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )=cos(－x )=cos x ≠－f (x )，故不是；对于D ，f (－x )=e －x －e x =－(e x －e －x )=－f (x )，是奇函数，故选D.2.(2018江南十校联考)设函数f (x )=x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( )A .f (x )是奇函数 B.f (x )在R 上单调递增 C .f (x )的值域为R D.f (x )是周期函数答案为：D解析：因为f (－x )=－x ＋sin(－x )=－(x ＋sin x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )=1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误.3.(2018兰州模拟)已知函数f (x )=ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A .－13 B.13 C.－12 D.12答案为：B解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )=f (x )，∴b =0.又a －1=－2a ，∴a =13，∴a ＋b =13.故选B.4.(2018四川遂宁一模)已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)=f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )=2x 2，则f (2 019)=( )A .－2 B.2 C.－98 D.98答案为：B解析：由f (x ＋4)=f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2 019)=f (504×4＋3)=f (3)，又f (3)=f (－1)，且f (－1)=2，∴f (2 019)=2.5.(2018安徽十大名校年联考)设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )=－ln x ，则e f (73)的值为( )A.35 B.34 C.43 D.53答案为：D解析：因为函数以4为周期，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－4=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53=－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53=ln53，所以e f (73)=eln 53=53.故选D.6.(2018东北三校二模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)=3，则f (5)＋f (6)的值为( )A .－3 B.－2 C.2 D.3答案为：C解析：依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)=－f (2)=0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).故选C.7.(2018福建泉州模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )A .(1，＋∞)B .(2，＋∞)C .(－∞，－1)∪(1，＋∞)D .(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案为：B解析：由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B.8.(2018江西九江七校联考)已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )=0，y =f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)=4，则f (2 014)=( )A .0 B.－4 C.－8 D.－16答案为：B解析：由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)=－f (x )，∴f (x ＋12)=f [(x ＋6)＋6]=－f (x ＋6)=f (x )，∴函数f (x )的周期T =12.把y =f (x －1)的图象向左平移1个单位得y =f (x －1＋1)=f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)=f (167×12＋10)=f (10)=f (10－12)=f (－2)=－f (2)=－4.故选B.二、填空题9.(2018山东菏泽模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )=9x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)=________.答案为：－3解析：∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12=－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当0<x <1时，f (x )=9x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52=－912=－3. 又f (2)=f (0)=0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)=－3.10.(2018广东珠海二中、斗门一中联考)若函数f (x )=ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则f (2a －b )=________.答案为：5解析：∵函数f (x )=ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，∴－1－a ＋2a =0，即a =1.∵f (x )=f (－x )，∴ax 2＋bx ＋1=ax 2－bx ＋1，∴b =0， 即f (x )=x 2＋1. 则f (2a －b )=f (2)=5.11.(2018山东泰安模拟)已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时， f (x )=x ＋1，则当x <0时， f (x )=________.答案为：－－x －1解析：∵f (x )为奇函数，且x >0时， f (x )=x ＋1，∴当x <0时，即－x >0，有 f (x )=－f (－x )=－(－x ＋1)，即x <0时， f (x )=－(－x ＋1)=－－x －1.12.(2018山东烟台模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2＋2x .若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________.答案为：(－2,1)解析：∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时， f (x )=－x 2＋2x .做出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数.由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.三、解答题13.(2018云南民族中学月考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )=－(－x )2＋2(－x )=－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )=－f (x )，于是x <0时， f (x )=x 2＋2x =x 2＋mx ，所以m =2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].14.(2018天津六校期中联考)已知函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)=f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)=1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.【解】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)=f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1=x 2=1，得f (1)=2f (1)，∴f (1)=0.(2)f (x )为偶函数.证明：令x 1=x 2=－1，有f (1)=f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)=12f (1)=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f (－x )=f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )=f (x )，∴f (x )为偶函数. (3)依题意有f (4×4)=f (4)＋f (4)=2，又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17).。

第一节函数及其表示高考概览：1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．(函数分段不超过三段)[知识梳理]1．函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．[辨识巧记]1．一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．2．两个关注点(1)分段函数是一个函数．(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(必修1P 17例1(1)改编)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析]由⎩⎨⎧2x －1≥0，x －2≠0得x ≥0且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．故选C.[答案] C3．(必修1P 23练习T 2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 根据函数的定义，结合图象可知选项B 符合．故选B. [答案] B4．(2019·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0C ．f (x )＝2n ＋1x2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)[解析] 对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故选C.[答案] C5．(2018·哈尔滨师大附中等校一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( ) A ．－10 B ．10 C ．－2 D ．2[解析] ∵f (1)＝21－4＝－2，∴f [f (1)]＝f (－2)＝－2.故选C. [答案] C考点一 函数与映射的概念【例1】 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？①A ＝N ，B ＝N ，f ：x →y ＝(x －1)2； ②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x －1；④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应．(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 2[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (2)在A中，由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≥0，可知f (x )的定义域为[1，＋∞)；由x 2－1≥0，可知g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为它们的定义域不同，所以A 不成立．在B 中，f (x )＝x 2＝|x |，其定义域为R ；g (x )＝(x )2＝x ，其定义域为[0，＋∞)．它们的解析式和定义域都不同，所以B不成立．在C中，f(x)＝x2－1x－1＝x＋1，其定义域为{x|x≠1}；g(x)＝x＋1的定义域为R.因为它们的定义域不同，所以C不成立．在D中，g(t)＝t2＝|t|，与f(x)＝|x|的对应关系和定义域都相同，所以D成立．故选D.[答案](1)见解析(2)D映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．(3)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．[对点训练]1．下列图象中不能作为函数图象的是()[解析]B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.[答案] B2．(2018·江西抚州月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则映射gA．1 B．2 C．3 D．4[解析]由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.故选A.[答案] A考点二 函数的解析式函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对求解析式的考查，题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)配凑法求函数解析式； (2)换元法求函数解析式； (3)待定系数法求函数解析式； (4)解方程组法求函数解析式． 角度1：配凑法求函数解析式【例2－1】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________； (2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________.[思路引导] (1)观察x ＋1与x ＋2x 的关系→配方求得 →注意定义域(2)观察x ＋1x 与x 2＋1x 2的关系→配方求得 →注意定义域[解析] (1)∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 又x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2. ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．[答案] (1)x 2－1(x ≥1) (2)x 2－2(x ≥2或x ≤－2)角度2：换元法求函数解析式【例2－2】 已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x )的解析式为________． [思路引导] 令1－cos x ＝t →用t 表示sin 2x →求出f (x )，并写出t 的取值范围即f (x )[解析] ∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， 设1－cos x ＝t (0≤t ≤2)，则cos x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t . 故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)． [答案] f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) 角度3：待定系数法求函数解析式【例2－3】 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－ 2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. [思路引导] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)→代入已知条件→解出a 、b →得f (x )[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[答案] 2x ＋7角度4：解方程组法求函数解析式【例2－4】 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x－1，则f (x )＝________.[解析] 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝23x ＋13.[答案] 23x ＋13求函数解析式的方法策略[对点训练]1．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.[解析] 令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．[答案] lg 2x －1(x >1)2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. [答案] 12x 2－32x ＋23．(2019·湖南模拟)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．考点三 分段函数【例3】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3(2)(2019·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．[思路引导] (1)根据已知f (0)，f (－1)的值列方程→求出a 与b 的值→进而求出f [f (－3)]的值(2)分段解f (x )≥－1→求并集[解析] (1)由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝(12)－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1， 解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．[答案] (1)B (2){x |－4≤x ≤2}分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋3)，x <6，log 2x ，x ≥6则f (－1)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 当x <6时，f (x )＝f (x ＋3)， 则f (－1)＝f (2)＝f (5)＝f (8)， 当x ≥6时，f (x )＝log 2x ，所以f (－1)＝f (8)＝log 28＝3，故选C. [答案] C2．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－34 B.34 C ．－35 D.35[解析] 当a >0时，1－a <1<1＋a ，则f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ，则a ＝－32(舍)， 当a <0时，1＋a <1<1－a ，则f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝2＋3a ，即a ＝－34. 综上，可得a ＝－34.故选A. [答案] A解题方法系列②——解有关分段函数的不等式问题 素养解读：分段函数问题一直是高考考查的热点，纵观近几年的高考试卷，分段函数问题的考查逐渐成为重点．下面就分段函数不等式求解进行分析．【典例】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．[切入点] (1)写出f (x ＋1)的解析式；(2)f [f (a )]的解析式并不易求出，可考虑用图象求解．[关键点](1)每一段上x的取值范围是求交集，最后各段求并集；(2)结合图象将f[f(a)]<2转化为f(a)的取值范围问题．[规范解答](1)当x＋1<0，即x<－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x ＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－2≤x≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋2]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋2]．(2)f(x)的图象如图，由图象知，满足f[f(a)]≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤ 2.[答案](1)(－∞，－1＋2](2)a≤ 2[解题反思](1)要解不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1，就要把f(x＋1)转变为具体的表达式，观察已知分段函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，易知需要对x ＋1的符号进行分类讨论，即分为x ＋1<0和x ＋1≥0两类．(2)本题实际上利用了换元法．令t ＝f (a )通过f (x )的图象得出f (t )≤2的解集t 的取值范围，再通过t ＝f (a )的范围，结合图象得出a 的取值范围，这种利用图象求解分段函数的关键是必须分清t 既在f (t )中是自变量，又在t ＝f (a )中成为函数值．解决有关分段函数的不等式问题通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，利用图象特点，数形结合解不等式．[感悟体验]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析]f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x≤2，或⎩⎨⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1，故选D.[答案] D2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________．[解析] 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3. 所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).其图象如右图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点．故k 的取值范围是[－2,1)．[答案] [－2,1)课后跟踪训练(四)基础巩固练一、选择题1．(2019·长春模拟)下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根；②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数；③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方．其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③[解析] ①中对于A 中任一元素在B 中有两个元素与之对应，故①不是A 到B 的映射；②中A ＝R ，A 中元素0在f ：x →x 的倒数作用下在B 中没有唯一元素对应，故②不是A 到B 的映射；③④符合映射的定义，故选C.[答案] C2．(2019·山东滨州期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋1)，x <1，3x ，x ≥1，则f (－1＋log 35)＝( )A ．15 B.53 C ．5 D.15[解析] ∵1<log 35<2，∴－1＋log 35∈(0,1)，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋1)＝f (log 35)＝3log 35＝5，故选C.[答案] C3．(2019·山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1[解析] 解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.故选B.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.故选B.[答案] B4．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.故选C.[答案] C5．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞)[解析] 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1， ∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. [答案] A 二、填空题6．(2019·湖南衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. [答案] 97．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f (x －3)＋2，x >0，则f (9)＝________.[解析] f (9)＝f (6)＋2＝f (3)＋4＝f (0)＋6＝0＋2＋6＝8. [答案] 88．f (2sin x2－1)＝cos x ＋1，则f (x )的解析式为________． [解析] ∵f (2sin x 2－1)＝1－2sin 2x 2＋1＝2－2sin 2x 2 设2sin x2－1＝t ，则－3≤t ≤1，sin x 2＝t ＋12，∴f (t )＝2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋122＝－12t 2－t ＋32. 故f (x )＝－12x 2－x ＋32(－3≤x ≤1)． [答案] －12x 2－x ＋32(－3≤x ≤1) 三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10.如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．[解] 利用分段函数建立关系式．当点P 在线段AB 上，即0<x ≤1时，y ＝12x ；当点P 在线段BC 上，即1<x ≤2时，y ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫12＋1×1－12(x －1)×1－12×(2－x )×12＝14(3－x )．所以所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，14(3－x )，1<x ≤2.能力提升练11．(2019·西安调考)若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (2)的值为( )A ．1B ．－1C ．－32 D.32 [解析] 由f (x )＋2f (1x )＝3x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＋2f (12)＝6，f (12)＋2f (2)＝32.消去f (12)，得f (2)＝－1.故选B. [答案] B12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[]0，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[)1，＋∞[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C. [答案] C13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] ①当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1>1，得x >－14，∴－14<x ≤0；②当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋x －12＋1>1恒成立；③当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>1恒成立． 综上所述，x >－14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[解]拓展延伸练15．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析]由已知可得x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D. [答案] D16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12 [解析][答案] D第二节 函数的定义域与值域高考概览：1.会求一些简单函数的定义域；2.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域．[知识梳理]1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域： ①整式函数的定义域为R . ②分式函数中分母不等于0.③偶次根式函数被开方式大于或等于0. ④一次函数、二次函数的定义域均为R . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}． ⑥指数函数的定义域为R . ⑦对数函数的定义域为(0，＋∞)． 2．函数的值域 基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a }；当a <0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a }．(3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .[辨识巧记]两个注意点(1)当一个函数是由有限个基本初等函数通过和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，用区间表示时，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解析式相同定义域不同的两函数，其值域也不相同．( ) (2)函数y ＝log a (x －1)的值域为[0，＋∞)．( ) (3)函数y ＝x ＋1x 的值域为(0，＋∞)．( ) (4)函数y ＝4x ＋2x 的值域为[－14，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(必修1P 74T 7(2)改编)设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3)[解析] 由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C. [答案] C3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [解析] 因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.故选B.[答案] B5．函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (代数换元法)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54考点一 求函数的定义域函数的定义域是函数有意义的自变量的取值范围，高考中常以选择题形式出现，难度较低．常见的命题角度有： (1)具体函数的定义域； (2)抽象函数的定义域． 角度1：具体函数的定义域【例1－1】 (2019·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3][解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1⇒－1<x ≤3，且x ≠0，故选D.[答案] D角度2：抽象函数的定义域【例1－2】 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是________．[思路引导]由已知得x ∈(0，1)→求2x ＋1的范围→得f (x )的定义域[解析] 令t ＝2x ＋1，由0<x <1，得1<t <3.∴f (x )的定义域为(1,3)． [答案] (1,3)[拓展探究] (1)本例改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？(2)本例的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？ [解] (1)∵f (x )的定义域为(0,1)， ∴0<2x ＋1<1，得－12<x <0.故f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－12，0.(2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，即0<x <1， ∴1<2x ＋1<3，∴f (x )的定义域为(1,3)． 由1<1－x <3，得－2<x <0. ∴f (1－x )的定义域为(－2,0)．求函数定义域的策略[对点训练]1．(2019·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1][解析]由题意得⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0且ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案] C2．已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为________．[解析] ∵－1≤x ≤1， ∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2， 解得2≤x ≤4.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]． [答案] [2，4]考点二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域： (1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ； (3)y ＝x ＋4＋9－x 2； (4)y ＝2x 2＋4x －7x 2＋2x ＋3；(5)y ＝log 3x ＋log x 3－1.[解] (1)由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.(2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值， ∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π，∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1. ∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]．(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx 2＋2yx ＋3y ＝2x 2＋4x －7，整理得(y －2)x 2＋2(y －2)x ＋3y ＋7＝0.显然y ≠2(运用判别式法之前，应先讨论x 2的系数)． 将上式看作关于x 的一元二次方程．易知原函数的定义域为R ，则上述关于x 的一元二次方程有实根，所以Δ＝[2(y －2)]2－4(y －2)(3y ＋7)≥0.解不等式得－92≤y ≤2.又y ≠2，∴原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，2. (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1变形得y ＝log 3x ＋1log 3x －1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x <0，即x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(1)求函数值域，一定要注意到函数的定义域；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围，如本例(2)(3)． (3)本例中(4)用了判别式“Δ”法，此方法适用y ＝ax 2＋bx ＋c px 2＋qx ＋r (ap ≠0，x ∈R )类型(即f (x )是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x 值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论)，但若给定x 一个范围，则此方法不再适用，可考虑转化为其他方法求解．[对点训练]1．函数y ＝2－sin x2＋sin x的值域为________．[解析] 解法一：y ＝2－sin x 2＋sin x ＝－1＋42＋sin x ，因为－1≤sin x ≤1，所以1≤2＋sin x ≤3，所以43≤42＋sin x ≤4，所以13≤－1＋42＋sin x≤3，故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.解法二：由已知得sin x ＝2－2y 1＋y ，∵sin ∈[－1,1]，∴－1≤2－2y1＋y≤1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 1＋y 2≤1，解得13≤y ≤3. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． [解析] y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2当x <－1时，y >3；当x >2时，y >3，故函数的值域为[3，＋∞)． [答案] [3，＋∞)考点三 函数定义域与值域的应用【例3】 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[思路引导] (1)函数的定义域为R →对∀x ∈R ，mx 2＋4mx ＋3≠0→对m 分类求解(2)求出y ＝－x ＋6(x ≤2)的值域→讨论y ＝3＋log a x (x >2)的值域→由集合的包含关系求出a 的范围[解析] (1)∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意； 当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，0≤m <34，即m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.故选D.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为函数f (x )＝－x ＋6(x ≤2)的值域与函数f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域的并集．因为函数f (x )＝－x ＋6(x ≤2)的值域为[4，＋∞)，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为[4，＋∞)，所以函数f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域应为集合[4，＋∞)的子集． 当a >1时，y ＝log a x ＋3在(2，＋∞)上单调递增，所以只需log a 2＋3≥4，即log a 2≥1＝log a a ，解得1<a ≤2.当0<a <1时，x →＋∞时，y ＝log a x ＋3→－∞，不符合题意．综上，1<a ≤2.[答案] (1)D (2)(1,2](1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域．[对点训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][解析] 由函数f (x )的解析式，得f (0)＝a 2；当x ≤0时，f (x )≥a 2；当x >0时，f (x )≥2＋a .∵f (0)是f (x )的最小值，∴a 2≤a ＋2，且a ≥0.解得0≤a ≤2.故选D.[答案] D2．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.[解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.[答案] －32解题方法系列③——利用几何意义求函数的值域素养解读：函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举．【典例】 (1)函数f (x )＝sin x 2－cos x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－3，3](2)函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8的值域为________． [切入点] 根据式子的结构特点联想其几何意义，数形结合求解．[关键点] 构造满足条件的几何图形．[规范解答] (1)可以看成过A (2,0)，B (cos x ，－sin x )两点直线的斜率，B 点在单位圆上运动．如图：易求得k 1＝33，k 2＝－33.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.故选A.(2)f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2表示x 轴上的动点P (x,0)与两定点A (1,1)和B (2，－2)的距离之和．由图可知，|P A |＋|PB |≥|AB |.|AB |＝10，故函数f (x )的值域为[10，＋∞)．[答案] (1)A (2)[10，＋∞)几何法求值域的步骤[感悟体验]定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝min{|x ＋1|，|x－2|}的值域为________．[解析] 根据题意，作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．由图象可知，函数f (x )＝min{|x ＋1|，|x －2|}的值域为[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)课后跟踪训练(五)基础巩固练一、选择题1．(2018·山东临沂月考)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得x ∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．故选C.[答案] C2．(2018·陕西宝鸡月考)若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[2,8][解析] 函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.[答案] A3．(2018·山东滨州期末)函数y ＝12x ＋log 12x ，x ∈[1,2)的值域为( )A ．[12，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34 [解析] ∵函数y ＝12x ＋log 12x 在[1,2)上是减函数，∴－34<y ≤12，即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，12.故选C.[答案] C4．(2018·江西宜春月考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] [解析] 函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[－2,2]，故选D. [答案] D5．(2018·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5][解析] ∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.[答案] C 二、填空题6．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12，∴函数y ＝1－x2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1]8．(2018·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________． [解析] ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎨⎧x >－1，－4<x <1，即－1<x <1，∴所求函数的定义域是(－1,1)． [答案] (－1,1) 三、解答题9．求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1；(4)y ＝1－x 21＋x 2.[解] (1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (2)解法一：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. 解法二：函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12.(3)x ≠－1且由已知得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0(*) 方程有解，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0， 即y 2＋2y －3≥0 解得y ≥1或y ≤－3 由x ＝－1不满足(*)∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞) (4)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2. 由1＋x 2≥1，得0<21＋x2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1. 故函数的值域为(－1,1]．10．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数， ①当1－a 2≠0时有⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511.能力提升练11．(2019·湖南邵阳期末)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)[解析] ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.[答案] B12．(2019·广东珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a >0，且a ≥－1，解得－1≤a <12，故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析]由已知得1⊕x ＝⎩⎨⎧1－2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎨⎧ f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎨⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．拓展延伸练15．(2019·江西鄱阳月考)已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 [解析] 对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C.[答案] C16．(2019·江苏南京、盐城一模)设函数y ＝e x ＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[解析]∵e x＋1e x≥2e x·1e x＝2，∴函数y＝ex＋1e x－a的值域为[2－a，＋∞)．又∵A⊆[0，＋∞)，∴2－a≥0，即a≤2.[答案](－∞，2]第三节函数的单调性与最值高考概览：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．[知识梳理]1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值[辨识巧记]1．两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．单调性的两种等价形式。

配套课时作业1．“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 ★答案★ D解析 若函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减，则有－3a2≥－2，即a ≤43，所以“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减”的既不充分也不必要条件．2．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)★答案★ A解析 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.故选A.3．(2019·无锡模拟)函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) ★答案★ A解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．4．(2019·重庆模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c ★答案★ D解析 ∵f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又由已知可得f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，即f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (e)．选D.5．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数★答案★ B解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0；由y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，知b <0.所以y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程为x ＝－b2a <0.又因为y ＝ax 2＋bx 的图象是开口向下的抛物线，所以y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数．故选B.6．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )是R 上的增函数，对实数a ，b ，若a ＋b >0，则有( )A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b ) ★答案★ A解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a . ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴选A.7．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 ★答案★ B解析 设f (x )＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，故F (x )的值域就是函数y ＝t ＋1t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3的值域．又t ＋1t ≥2，当t ＝1时，y 取最小值2；当t ＝12时，y ＝52；当t ＝3时，y ＝103.故函数F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.8．(2019·金版创新)设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知m>0，n<0，且f(m)<f(n)，那么一定有()A．m＋n<0 B．m＋n>0C．f(－m)>f(－n) D．f(－m)·f(－n)<0★答案★ B解析因为m>0，所以－m<0.由函数f(x)为偶函数，得f(m)＝f(－m)，故不等式f(m)<f(n)可化为f(－m)<f(n)．又函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，－m<0，n<0，所以－m<n，即m＋n>0.故选B.9．(2018·郑州质检)函数y＝x2＋x－6的单调增区间是()A．(－∞，－3) B．[2，＋∞)C．[0,2) D．[－3,2]★答案★ B解析∵x2＋x－6≥0，∴x≥2或x≤－3，又∵y＝x2＋x－6是由y＝t，t ∈[0，＋∞)和t＝x2＋x－6，x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)两个函数复合而成，而函数t＝x2＋x－6在[2，＋∞)上是增函数，y＝t在[0，＋∞)上是增函数，又因为y＝x2＋x－6的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，所以y＝x2＋x－6的单调增区间是[2，＋∞)．故选B.10．(2018·安徽合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0★答案★ B解析设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，∴x≤－y，∴x＋y≤0.11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝f(x) x在区间(0，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数★答案★ A解析∵f(x)＝x2－2ax＋a在(0，＋∞)上有最小值，∴a>0.∴g(x)＝f(x)x＝x＋ax－2a在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．12．(2019·常州模拟)已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，构造函数F (x )，定义如下：当|f (x )|≥g (x )时，F (x )＝|f (x )|，当|f (x )|<g (x )时，F (x )＝－g (x )，那么F (x )( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值 ★答案★ B解析 画出函数F (x )的图象，如图所示，由图象可知，当x ＝0时，F (x )取得最小值，此时F (x )＝x 2－1，故最小值为－1；函数的图象向右上方无限延展，所以F (x )无最大值，故选B.13．(2018·河南郑州月考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．★答案★ [－2,0]解析 f (x )＝x 2＋a |x －1|＝⎩⎨⎧x 2＋ax －a ，x ≥1，x 2－ax ＋a ，x <1，要使f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤1，a2≤0，得－2≤a ≤0，所以实数a 的取值范围是[－2,0]．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．★答案★ [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．15．(2018·湖南模拟)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． ★答案★ 14解析 令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，所以当t ＝12，即x＝14时，y max ＝14.16．(2019·南京模拟)已知奇函数f (x )在R 上为增函数，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．★答案★ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 因为奇函数f (x )在R 上为增函数，所以由f (mx －2)＋f (x )<0，得f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，即mx －2<－x ，所以(m ＋1)x <2.当m ＝－1时，不等式(m ＋1)x <2恒成立；当－1<m ≤2时，x <2m ＋1恒成立，此时x <22＋1＝23；当－2≤m <－1时，x >2m ＋1恒成立，此时2－2＋1<x ，即－2<x .综上，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23. 17．(2018·四川模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意，a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.∵1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1， ∴2－1x 1x 2>0，∴h (x 1)<h (x 2)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，h (x )>h (1)＝3， 又a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立，故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3]． 18．函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若函数f (x )的定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，116，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．解 因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－12，所以其图象的对称轴为x ＝－12. (1)因为3≥x ≥0>－12，所以f (x )的值域为[f (0)，f (3)]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，474.(2)因为x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，所以x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝32.19．(2019·福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足下面三个条件：①对任意正数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f (ab )； ②当x >1时，f (x )<0； ③f (2)＝－1. (1)求f (1)的值；(2)试用单调性的定义证明：函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f (3x －1)>2的x 的取值集合．解 (1)由f (a )＋f (b )＝f (ab )得f (1)＋f (1)＝f (1)，则f (1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f (x 2)，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1.由x 2x 1>1得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，则f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)∵f (2)＝－1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝－2， 又f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x <512.故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.20．(2019·绍兴模拟)已知函数f (x )＝px ＋q x (p ，q 为常数)，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，关于x 的不等式f (x )≥2－m 恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝52，2p ＋q 2＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝12，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋12x . (2)由(1)可得f (x )＝2x ＋12x . 任取x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－4x 1x 2)2x 1x 2，∵0<x 1<x 2≤12，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<14，1－4x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减．∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. 要使对任意的x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，函数f (x )≥2－m 恒成立，只需f (x )min ≥2－m ， 即2≥2－m ，解得m ≥0.∴实数m 的取值范围为[0，＋∞)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

题组层级快练(十)1．(2019·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．若log a 23<1(a>0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(1，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(23，1)答案 C解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．3．(2019·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b>c C ．a ＜b ＜c D ．a>b>c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233>log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b>c ，故选B. 4．函数y ＝ln1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5．(2019·衡水中学调研卷)若0＜a ＜1，则不等式1log a x >1的解是( )A ．x>aB ．a ＜x ＜1C ．x>1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.6．(2014·新课标全国Ⅱ，理)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.8．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C.9．(2019·南京金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.10．(2017·课标全国Ⅱ)设0＜a ＜1，则( ) A ．log 2a>log 2 a B ．log2a>log 2a C ．log 2a<log 2aD ．log 2a<log2a答案 B解析 ∵0＜a ＜1，∴0＜a 2＜a ＜a ＜1，∴在A 中，log 2a ＝log 2a ，故A 错误； 在B 中，log2a>log 2a ，故B 正确；在C 中，log 2a>log 2a ，故C 错误；在D 中，log 2a>log 2a ，故D 错误．11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3. 12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4，7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.13．已知函数f(x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析 方法一：f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x ＋1)－(－x)2＋1] ＝x[ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)]－2x 2＋2＝xln e 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x －2x 2＋2＝2x 2－2x 2＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B. 方法二：∵f(a)＝aln(e 2a ＋1)－a 2＋1＝2，∴f(－a)＝－aln(e －2a ＋1)－a 2＋1＝－aln 1＋e2a e2a －a 2＋1＝－aln(1＋e 2a )＋2a 2－a 2＋1＝－aln(e 2a ＋1)＋a 2＋1＝－[aln(e 2a ＋1)－a 2＋1]＋2 ＝－f(a)＋2＝0.故选B. 14．log 327－log 33＋(5－1)0－(94)12＋cos 4π3＝________．答案 0解析 原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.15．(1)若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则a ∈________，x ∈________． (2)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (3)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)(1，＋∞) (1，＋∞) (2)a>1 (3)0<a<1 16．函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________． 答案 －14解析 f(x)＝12log 2x ·[2(log 2x ＋1)]＝(log 2x)2＋log 2x ＝(log 2x ＋12)2－14，∴当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f(x)最小值为－14.17．(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝lgx ，若f(ab)＝1，则f(a 2)＋f(b 2)＝________． 答案 2解析 由f(ab)＝1，得ab ＝10.于是f(a 2)＋f(b 2)＝lga 2＋lgb 2＝2(lg|a|＋lg|b|)＝2lg|ab|＝2lg10＝2.18．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1；(2)若0＜a＜b且f(a)>f(b)．证明：ab＜1.答案略解析(1)由|lga|＝|lgb|，得－lga＝lgb.∴ab＝1.(2)由题设f(a)>f(b)，即|lga|>|lgb|.上式等价于(lga)2>(lgb)2，即(lga＋lgb)(lga－lgb)>0，lg(ab)lg ab>0，由已知b>a>0，得0＜ab＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.。

题组层级快练(七)1．(2019·合肥质检)以下函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x|答案 B解析 因为y ＝x 3是奇函数，y ＝|x|＋1，y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x|均为偶函数，因此选项A 错误；又因为y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x|＝(12)|x|在(0，＋∞)上均为减函数，只有y ＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，因此C ，D 两项错误，只有选项B 正确．2．函数f(x)＝x ＋9x(x ≠0)是( ) A ．奇函数，且在(0，3)上是增函数B ．奇函数，且在(0，3)上是减函数C ．偶函数，且在(0，3)上是增函数D ．偶函数，且在(0，3)上是减函数 答案 B解析 因为f(－x)＝－x ＋9－x＝－(x ＋9x )＝－f(x)，因此函数f(x)＝x ＋9x 为奇函数．当x 1，x 2∈(0，3)(x 1<x 2)时，f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋9x 1－(x 2＋9x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－9x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2<9，因此(x 1－x 2)x 1x 2－9x 1x 2>0，因此f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在(0，3)上是减函数，应选B.3．假设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋8(a ≠0)是偶函数，那么g(x)＝2ax 3＋bx 2＋9x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案 A解析 由于f(x)＝ax 2＋bx ＋8(a ≠0)是偶函数，因此b ＝0，因此g(x)＝2ax 3＋9x(a ≠0)，因此g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax 3＋9x)＝－g(x)，因此g(x)＝2ax 3＋9x 是奇函数．应选A.4．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )A ．－x(1－x)B ．x(1－x)C ．－x(1＋x)D ．x(1＋x) 答案 B解析 当x<0时，那么－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．5．函数f(x)是概念域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，假设f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是( )A．增函数B．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A 6．(2019·山东临沭一中月考)已知概念在R 上的函数f(x)的知足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝( )A ．－3B ．0C ．1D ．3答案 B解析 用－x 换x ，可将f(x ＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴T ＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)．∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.7．假设概念在R 上的奇函数f(x)知足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，那么f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)的大小关系是( )A ．f(2 015)<f(2 016)<f(2 017)B ．f(2 015)>f(2 016)>f(2 017)C ．f(2 016)>f(2 015)>f(2 017)D ．f(2 016)<f(2 017)<f(2 015) 答案 A解析 因为概念在R 上的奇函数f(x)知足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，因此f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，因此f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2 015)<f(2 016)<f(2 017)．8．已知概念在R 上的函数f(x)知足：y ＝f(x －1)的图像关于(1，0)点对称，且当x ≥0时恒有f(x －32)＝f(x ＋12)，当x ∈[0，2)时，f(x)＝e x －1，那么f(2 016)＋f(－2 015)＝( )A ．1－eB ．e －1C ．－1－eD ．e ＋1 答案 A解析 y ＝f(x －1)的图像关于(1，0)点对称，那么f(x)关于原点对称．当x ≥0时恒有f(x －32)＝f(x ＋12)，即函数f(x)的周期为2.因此f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.应选A.9．(2019·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝(x 2－2x)·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 答案 A解析 设t ＝x －1，那么f(x)＝(x 2－2x)sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sint ＋t ＋2，t ∈[－2，2]．记g(t)＝(t 2－1)sint ＋t ＋2，那么函数y ＝g(t)－2＝(t 2－1)sint ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g(t)－2的最大值为M －2，最小值为m －2，因此M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.应选A.10．(2019·北京大兴期末)给出以下函数：①f(x)＝sinx ；②f(x)＝tanx ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x>1，x ，－1≤x ≤1，－x －2，x<－1；④f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，－2－x ，x<0.那么它们一起具有的性质是( ) A ．周期性B ．偶函数C ．奇函数D ．无最大值答案 C解析 f(x)＝sinx 为奇函数，周期为2π且有最大值；f(x)＝tanx 为奇函数且周期为π，但无最大值；作出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x>1，x ，－1≤x ≤1，－x －2，x<－1的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；作出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，－2－x ，x<0的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值． 因此这些函数一起具有的性质是奇函数．11．若是函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x>0，f （x ），x<0是奇函数，那么f(x)＝________． 答案 2x ＋3解析 令x<0，因此－x>0，g(－x)＝－2x －3.因为g(x)是奇函数，因此g(x)＝－g(－x)＝2x ＋3，因此f(x)＝2x ＋3.12．已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1.假设g(x)＝f(x)＋2，那么g(－1)＝________．答案 －1解析 令H(x)＝f(x)＋x 2，那么H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.13．(1)假设f(x)＝12x －1＋a 是奇函数，那么a ＝________． (2)(2019·成都一诊)已知函数f(x)＝x ＋2－a x 4＋3是奇函数，那么实数a 的值为________． (3)(2021·课标全国Ⅰ)假设函数f(x)＝xln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，那么a ＝________．(4)假设函数f(x)＝x 2－|x ＋a|为偶函数，那么实数a ＝________．答案 (1)12(2)2 (3)1 (4)0 解析 (1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得121－1＋a ＋12－1－1＋a ＝0，解得a ＝12. (2)方式一：因为函数f(x)为奇函数，因此f(0)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2.方式二：因为函数f(x)为奇函数，因此f(x)＋f(－x)＝0，即x ＋2－a x 4＋3＋－x ＋2－a x 4＋3＝0，即x ＋2－a －x ＋2－a ＝0，解得a ＝2.(3)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(a ＋x 2－x)＝xln(x ＋a ＋x 2)，那么ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(a ＋x 2－x)＝0，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得lna ＝0，∴a ＝1.(4)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x －a|＝|x ＋a|，两边平方得4ax ＝0.∴a ＝0.故填0.14．已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，那么x 的取值范围为________．答案 (－2，23) 解析 易知原函数在R 上单调递增，且为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0⇒f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应有mx －2<－x ⇒mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2，2]恒成立．令g(m)＝xm ＋x －2，现在只需⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0即可，解得－2<x<23. 15．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，那么不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________． 答案 {x|－1<x<0或0<x<1}解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图像如下图，那么不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．16．假设f(x)是概念在(－1，1)上的奇函数，且x ∈[0，1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)＋f(x －12)＜0的解集． 答案 {x|－12＜x ＜14} 解析 ∵f(x)为奇函数，且在[0，1)上为增函数，∴f(x)在(－1，0)上也是增函数．∴f(x)在(－1，1)上为增函数．f(x)＋f(x －12)＜0⇔f(x)＜－f(x －12)＝f(12－x)⇔⎩⎨⎧－1＜x ＜1，－1＜12－x ＜1，x ＜12－x⇔－12＜x ＜14. ∴不等式f(x)＋f(x －12)＜0的解集为{x|－12＜x ＜14}． 17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，假设关于x ≥0，都有f(x ＋2)＝－f(x)，且当x ∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值．答案(1)f(0)＝0，f(2)＝0(2)f(3)＝－1(3)1解析(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.。