2020年高考理科数学原创专题卷：《基本初等函数》

2020年全国各地⾼考真题分类汇编—函数1．（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）2．（2020•天津）函数y＝的图象⼤致为（）A．B．C．D．3．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减4．（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜05．（2020•浙江）函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]7．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减8．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的⼤⼩关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b9．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A．B．C．D．10．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b12．（2020•新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b213．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）14．（2020•⼭东）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天15．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常⽤数学模型之⼀，可应⽤于流⾏病学领域．有学者根据公布数据建⽴了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最⼤确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69 16．（2020•北京）函数f（x）＝+lnx的定义域是．17．（2020•北京）为满⾜⼈⺠对美好⽣活的向往，环保部⻔要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⽤﹣的⼤⼩评价在[a，b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；②在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；③在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污⽔治理能⼒最强．其中所有正确结论的序号是．18．（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是．19．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝．20．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．21．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满⾜下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，则a的取值范围是．22．（2020•上海）已知⾮空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成⽴，则称函数f（x）具有A性质．（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．23．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为⻋辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求⻋辆密度q的最⼤值．24．（2020•上海）有⼀条⻓为120⽶的步⾏道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA 为x轴正半轴建⽴直⻆坐标系，设点B（x，0），现要建设另⼀座垃圾投放点ω2（t，0），函数f t（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过f t（x）与坐标轴围成的⾯积来测算扔垃圾的便利程度，⾯积越⼩越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能⽐建在中点时更加便利？参考答案与试题解析⼀．选择题（共15⼩题）1．（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．令t＝x2﹣4x﹣5，∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒⼤于0，则（a，+∞）⊆（5，+∞），即a≥5．∴a的取值范围是[5，+∞）．故选：D．2．（2020•天津）函数y＝的图象⼤致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．3．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【解答】解：因为f（x）＝x3﹣，则f（﹣x）＝﹣x3+＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1＝在（0，+∞）为减函数，y2＝﹣在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3﹣单调递增，故选：A．4．（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【解答】解：⽅法⼀：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0．⽅法⼆：取x＝﹣1，y＝0，满⾜2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，此时ln（y﹣x+1）＝ln2＞0，ln|x﹣y|＝ln1＝0，可排除BCD．故选：A．5．（2020•浙江）函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝f（x）＝x cos x+sin x，则f（﹣x）＝﹣x cos x﹣sin x＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，故选：A．6．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的⼤致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．7．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减【解答】解：由，得x．⼜f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．⼜对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．8．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的⼤⼩关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．9．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为a log34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4﹣a＝＝，故选：B．10．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log 32＝＜＝，b＝log53＝＞＝，c＝，∴a＜c＜b．故选：A．11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵＝＝log53•log58＜＝＜1，∴a＜b；∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，综上，c＞b＞a．故选：A．12．（2020•新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b） a＜2b；故选：B．13．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，即k＝x+在（，+∞）还有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．14．（2020•⼭东）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【解答】解：把R0＝3.28，T＝6代⼊R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．15．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常⽤数学模型之⼀，可应⽤于流⾏病学领域．有学者根据公布数据建⽴了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最⼤确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得t≈66，故选：C．⼆．填空题（共6⼩题）16．（2020•北京）函数f（x）＝+lnx的定义域是{x|x＞0}．【解答】解：要使函数有意义，则，所以，所以x＞0，所以函数的定义域为{x|x＞0}，故答案为：{x|x＞0}．17．（2020•北京）为满⾜⼈⺠对美好⽣活的向往，环保部⻔要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⽤﹣的⼤⼩评价在[a，b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；②在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；③在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污⽔治理能⼒最强．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：设甲企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⼄企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝g（t）．对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒为，⼄企业的污⽔治理能⼒为﹣．由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴＞﹣，即甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故①正确；对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率⼩于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，∴在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故②正确；对于③，在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都⼩于污⽔达标排放量，∴在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污⽔治理能⼒最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．18．（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是﹣4．【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝x，可得f（8）＝8＝4，则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，故答案为：﹣4．19．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝1．【解答】解：根据题意，函数y＝a•3x+为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即a•3（﹣x）+＝a•3x+，变形可得：a（3x﹣3﹣x）＝（3x﹣3﹣x），必有a＝1；故答案为：1．20．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，则y＝f（x+a）与y＝x有交点，所以，即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，故答案为：[，+∞）．21．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满⾜下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1，⼜因为关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．三．解答题（共3⼩题）22．（2020•上海）已知⾮空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成⽴，则称函数f（x）具有A性质．（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x为减函数，∴f（x）＜f（x﹣1），∴f（x）＝﹣x具有A性质；∵g（x）＝2x为增函数，∴g（x）＞g（x﹣1），∴g（x）＝2x不具有A性质；（2）依题意，对任意t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成⽴，∴为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得a≥1，当a≥1时，函数单调递增，满⾜对任意t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成⽴，综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．（3）∵D为整数集，具有A性质的函数均为常值函数，∴当t＝﹣2，f（x）＝f（x﹣2）恒成⽴，即f（2k）＝p（k∈Z），f（2n﹣1）＝q（n∈Z），由题意，p＝q，则f（2k）＝f（2n﹣1），当x＝2k，f（x）＝f（x+2n﹣2k﹣1），∴m＝2n﹣2k﹣1（n，k∈Z），当x＝2n﹣1，f（x）＝f（x+2k﹣2n+1），∴m＝2k﹣2n+1（n，k∈Z），综上，m为奇数．23．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为⻋辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求⻋辆密度q的最⼤值．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越⼤，x越⼩，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最⼤为85，于是只需令，解得x＞3，故道路密度x的取值范围为（3，40）．（2）把x＝80，v＝50代⼊v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，①当0＜x＜40时，令y＝，则y'＝，若0＜x＜＜1，则y'＞0，y单调递增，由于y＞0，所以q＝100x﹣135•＜100；若＜x＜40，则y'＜0，y单调递减，此时有q单调递增，所以q＜100×40﹣135×≈4000＞100．②当40≤x≤80时，q是关于x的⼆次函数，开⼝向下，对称轴为x＝，此时q有最⼤值，为＞4000．综上所述，⻋辆密度q的最⼤值为．24．（2020•上海）有⼀条⻓为120⽶的步⾏道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA 为x轴正半轴建⽴直⻆坐标系，设点B（x，0），现要建设另⼀座垃圾投放点ω2（t，0），函数f t（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过f t（x）与坐标轴围成的⾯积来测算扔垃圾的便利程度，⾯积越⼩越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能⽐建在中点时更加便利？【解答】解：（1）投放点ω1（120，0），ω2（60，0），f60（10）表示与B（10，0）距离最近的投放点（即ω2）的距离，所以f60（10）＝|60﹣10|＝50，同理分析，f60（80）＝|60﹣80|＝20，f60（95）＝|120﹣95|＝25，由题意得，f60（x）＝{|60﹣x|，|120﹣x|}min，则当|60﹣x|≤|120﹣x|，即x≤90时，f60（x）＝|60﹣x|；当|60﹣x|＞|120﹣x|，即x＞90时，f60（x）＝|120﹣x|；综上f60（x）＝；（2）由题意得f t（x）＝{|t﹣x|，|120﹣x|}min，所以f t（x）＝，则f t（x）与坐标轴围成的⾯积如阴影部分所示，所以S＝t2+＝t2﹣60t+3600，由题意，S＜S（60），即t2﹣60t+3600＜2700，解得20＜t＜60，即垃圾投放点ω2建在（20，0）与（60，0）之间时，⽐建在中点时更加便利．考点卡⽚1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的⾃变量的取值范围．求解函数定义域的常规⽅法：①分⺟不等于零；②根式（开偶次⽅）被开⽅式≥0；③对数的真数⼤于零，以及对数底数⼤于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题⽅法点拨】求函数定义域，⼀般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的⾃变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如⻓度、⾯积必须⼤于零、⼈数必须为⾃然数等）．（3）若⼀函数解析式是由⼏个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这⼏个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同⼀对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满⾜的范围是⼀样的；②函数g （x）中的⾃变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题⽅向】⾼考会考中多以⼩题形式出现，也可以是⼤题中的⼀⼩题．2．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题⽅法点拨：⼀般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直⻆坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题⽅向：⼀般考试是以⼩题形式出现，或⼤题中的⼀问，常⻅考题是，常⻅函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利⽤描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．⾸先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最⼤值点、最⼩值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利⽤图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上⽅图将x轴下⽅图翻折上去y＝|f（x）|．解题⽅法点拨1、画函数图象的⼀般⽅法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析⼏何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利⽤图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上⾯两种⽅法都失效时，则可采⽤描点法．为了通过描少量点，就能得到⽐较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的⽅法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性⽅⾯，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利⽤上述⽅法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利⽤上述⽅法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项⽆法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破⼝．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最⾼点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的⾛向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利⽤函数的图象研究⽅程根的个数有关⽅程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利⽤此法也可由解的个数求参数值．4、⽅法归纳：（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每⼀次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握⼏种基本函数的图象，如⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常⽤的⽅法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种⽅法﹣﹣识图的⽅法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等⽅⾯来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常⽤⽅法有：①定性分析法，也就是通过对问题进⾏定性的分析，从⽽得出图象的上升（或下降）的趋势，利⽤这⼀特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利⽤这⼀函数模型来分析解决问题．3．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】⼀般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个⾃变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这⼀区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题⽅法点拨】证明函数的单调性⽤定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利⽤函数的导数证明函数单调性的步骤：第⼀步：求函数的定义域．若题设中有对数函数⼀定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第⼆步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利⽤f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从⼩到⼤顺次将定义域分成若⼲个⼩开区间，并列表．第四步：由f′（x）在⼩开区间内的正、负值判断f（x）在⼩开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成⽴问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题⽅向】从近三年的⾼考试题来看，函数单调性的判断和应⽤以及函数的最值问题是⾼考的热点，题型既有选择题、填空题，⼜有解答题，难度中等偏⾼；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应⽤，主观题在考查基本概念、重要⽅法的基础上，⼜注重考查函数⽅程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想⽅法．预测明年⾼考仍将以利⽤导数求函数的单调区间，研究单调性及利⽤单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能⼒．4．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常⻅的⼀般以两个函数的为主．【解题⽅法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题⽅向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．5．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题⽅法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运⽤f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运⽤f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内⼀般是⽤f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性⼀致，⽽偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．⾮奇⾮偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题⽅向】函数奇偶性的应⽤．本知识点是⾼考的⾼频率考点，⼤家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象⼀起分析，确保答题的正确率．6．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，⼀般情况下也就是把它们并列在⼀起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各⾃的性质，在做题时能融会贯通，灵活运⽤．在重复⼀下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题⽅法点拨】参照奇偶函数的性质那⼀考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运⽤f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运⽤f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内⼀般是⽤f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性⼀致，⽽偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x） a＝1【命题⽅向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运⽤奇偶函数的性质是⼀个基本前提，另外做题的时候多多总结，⼀定要重视这⼀个知识点．7．抽象函数及其应⽤【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了⼀些体现函数特征的式⼦的⼀类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之⼀．【解题⽅法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），它的原型就是y ＝kx ；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f （xy ）＝f （x ）+f （y ），求证f （1）＝f （﹣1）＝0令x ＝y ＝1，则f （1）＝2f （1） f （1）＝0令x ＝y ＝﹣1，同理可推出f （﹣1）＝0③既然是函数，也可以运⽤相关的函数性质推断它的单调性；【命题⽅向】抽象函数及其应⽤．抽象函数是⼀个重点，也是⼀个难点，解题的主要⽅法也就是我上⾯提到的这两种．⾼考中⼀般以中档题和⼩题为主，要引起重视．8．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象和性质：y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域R 值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同⼀坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越⼤，函数图象在第⼀象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越⼩，函数图象在第⼀象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利⽤指数函数的性质⽐较⼤⼩：若底数相同⽽指数不同，⽤指数函数的单调性⽐较：若底数不同⽽指数相同，⽤作商法⽐较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．9．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．10．对数值⼤⼩的⽐较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利⽤对数函数的单调性来⽐较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引⼊中间变量（1，﹣1，0）进⾏⽐较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利⽤函数图象或利⽤换底公式化为同底的再进⾏⽐较．（画图的⽅法：在第⼀象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增⼤）11．对数函数的图象与性质【知识点归纳】12．反函数【知识点归纳】【定义】⼀般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，⽤y 把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何⼀个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯⼀的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是⾃变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了⻆⾊（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是⼀⼀映射；（3）⼀个函数与它的反函数在相应区间上单调性⼀致；（4）⼤部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C。

（2）基本初等函数1、.已知()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=( )A ．3-B ．1-C ．1D ．32、已知()2112f x x-=,则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A.4B.14C.16D.1163、已知函数()2234,4()log 3,4x x f x x x -⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩若()5f m =,则()30f m -= ( )A.1073-B.1073C. 10727-D.107274、下列函数中，在单调递减，且是偶函数的是（ ） A.22y x =B.3y x=C.21y x =-+D.1()2xy =5、函数2sin 2x y x =的图象可能是( )A. B.C. D .6、二次函数24y ax x a =++的最大值是3,则a =( )A.-1B.1C.-2D.12-7、若函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A.1a =或2a = B.1a = C.2a =D.1a >,且2a ≠8、当103x <≤时，log 8x a x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.B. C. D.9、已知函数23()log (3)f x x ax =-+，若函数()f x 的值域为R ，则a 的取值范围是( )A.((),-∞-⋃+∞ B.(),⎡-∞-⋃+∞⎣C.⎡-⎣D.(- 10、幂函数yx α=中α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C 为( )A. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B. 1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. 11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭11、给出下列命题: ①幂函数图像不过第四象限; ②0y x =的图像是一条直线; ③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤,则它的值域是{}|1y y ≤;④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >,则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭;⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤,则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤.其中假命题的序号是__________.12、已知函数()cos 2sin f x x x =+，若对任意实数x ，恒有()()()12f f x f αα≤≤，则()12cos αα-= ____________.13、函数[]1()4226,0,3x x f x x +=-⋅-∈的最大值为_________,最小值为_________.14、已知函数()23x f x x =--的零点0(1)(Z)x k k k ∈+∈，，则k =_________. 15、已知二次函数()2()=0f x ax bx c a ++≠的图象过点()0,1，且函数()f x 只有一个零点1-．（1）求()f x 表达式；（2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在5y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围．答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：∵()()32+1f x g x x x -=+,∴()()321f x g x x x ---=-++.又()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()321f x g x x x +=-++，∴()()1+11f g =.2答案及解析： 答案：C解析：方法一：令1122x -=可得14x =∴11161216f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 方法二：令12x t -=则12tx -= ∴()()241f t t =-∴1162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3答案及解析： 答案：C解析：24,()5345m m f m -<⎧=⇔⎨-=⎩或()24,35,m log m ≥+=⎧⎨⎩ 解得4,m 4,429,m m m <⎧⎧⎨⎨==⎩⎩≥(舍去)或 所以29m =,故()()31073013427f m f ---=-=-=. 故选C.4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：D解析：令()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.6答案及解析：答案：A解析：根据题意,二次函数24y ax x a =++的最大值是3,则2041634a a a<⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得1a =-.7答案及解析： 答案：C解析：由指数函数的概念,得2331a a -+=,解得1a =或2a =.当1a =时,底数是1,不符合题意,舍去;当2a =时,符合题意,故选C.8答案及解析： 答案：B解析：log 8,log 0x a a x x >∴>，而10,013x a <≤∴<<.作出8x y =与log a y x =的大致图象如图所示，则只需满足1231log 82log ,3a a a a >==∴>1a <<,故选B9答案及解析： 答案：B 解析：10答案及解析： 答案：C解析：根据幂函数1y x -=,0y x =,12y x =,y x =,2y x =,3y x =的图象和解析式可知,当1α=-,12α=,1α=,3α=时,相应幂函数的值域与定义域相同, 故选C.11答案及解析： 答案：② ③ ④ ⑤ 解析：由幂函数图像易知① 正确;0y x =的图像是直线1y =上去掉点(0,1),② 错误;函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤,则它的值域是{}|01y y <≤,③ 错误;函数1y x =的定义域是{}|2x x >,则它的值域是1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,④ 错误;若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤,则它的定义域也可能是{}|02x x ≤≤,⑤ 错误,所以假命题的序号是② ③ ④ ⑤.12答案及解析： 答案：14- 解析：13答案及解析： 答案：26;-10解析：由题知2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤,令2x t =,∵03x ≤≤,∴18t ≤≤,∴函数()f x 可化为22()46(2)10(18)g t t t t t =--=--≤≤,∴当[]1,2t ∈时,()g t 是减函数;当(]2,8t ∈时,()g t 是增函数,故当8t =,即3x =时,()f x 取得最大值26;当2t =,即1x =时,()f x 取得最小值-10.14答案及解析： 答案：2或-3 解析：15答案及解析： 答案：（1）由二次函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图象过点()0,1，且函数()f x 只有一个零点1-，得f (0)c 1b 12a f (1)a b c 0==⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得1,2,1a b c ===．∴()2()1f x x =+； （2）令()[]2()531,1,1g x f x x m x x m x =--=-+-∈-，则()23g x x '=-，当[]1,1x ∈-时()0g x '≤恒成立，∴()g x 在[]1,1-上为减函数， ()min 1311g x m m =-+-=--，由10m -->，得1m <-．解析：。

2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一 指数运算与对数运算 例1 已知函数2log ,0,()31,0,xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩则f (f (1))＋f 31log 2⎛⎫⎪⎝⎭的值是( ) A.5 B.3C.－1D.72【答案】A【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，31log 0,2<∴Q f 31log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31log 23-+1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 【易错点】确定31log 2的范围再代入. 【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数. 例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2log 1,0,6,0,x x f x x -≤⎧⎨->⎩（）（）则f (2 019)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】D【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 【易错点】转化过程【思维点拨】x >6时可以将函数看作周期函数，得到f (2 019)＝f (3)，然后再带入3，得出f (3)＝f (－3). 题型二 指对幂函数的图象与简单性质 例1 函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【答案】D 【解析】由f (x )＝a x－b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【易错点】注意b 的符号【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．例2 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a【答案】B【解析】由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小. 【思维点拨】函数()fx m -的图象关于x m =对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b 一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小. 题型三 二次函数的图象与性质例1 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】（－22，0） 【解析】由于f (x )＝x 2＋mx －1＝mx ＋(x 2－1)，可视f (x )为关于m 的一次函数，故根据题意有 2222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=++<⎪⎨+=++++<⎪⎩解得－22<m <0. 【思维点拨】恒成立问题转化为最值问题. 例2 已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值． 【答案】a<1时,f (x )min =a -2；a ≥1时，f (x )min =－1a.【解析】①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2. ②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x ＝1a .当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝1()f a＝1a －2a ＝－1a .当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧， ∴f (x )在[0，1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝2,1,1, 1.a a a a-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩【易错点】忽略a ＝0情形；对称轴不确定分类讨论【思维点拨】二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下：(1)当2ba-∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时，f (x )的最小值在对称轴处取得，其最小值是2424b ac bf a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；若2b a -≤m ＋n 2，f (x )的最大值为f (n )；若2b a -≥m ＋n 2，f (x )的最大值为f (m )．(2)当2b a -∉[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若2b a-<m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <2ba-，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．(3)当不能确定对称轴2ba-是否属于区间[m ，n ]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值． 题型四 函数图象的综合考查 例1 函数ln x xy x=的图象可能是( )【答案】B.【解析】法一 函ln x x y x =的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数ln x xy x=的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B.法二 由已知，设ln x xy x=，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B.【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的奇偶性，进而分析图象对称性.例2 函数2()x xe ef x x --=的图像大致为 （ ）【答案】B【解析】 由f (x )的奇偶性，排除A ；f (1)>0,排除D ；当x 趋近于正无穷大时，f (x )趋近于正无穷大,故选B. 【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值. 题型五 复合函数的简单性质 例1 设f (x )＝lg 2()1a x+-是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】(－1，0).【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg11xx+-，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<11xx+-<1，∴－1<x <0. 【易错点】奇偶性判断【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x 时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数.常见奇函数：1()log 1ax f x x +=-或1log 1a xx-+；)()log af x x =+或)log ax常见偶函数：()f x （如log a y x =）、2()f x （如21log 1ay x =+）例2 若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，求a 的取值范围.【答案】[22]-【解析】令2()u g x x ax a ==--，∵函数2log y u =-为减函数，∴在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，∴12(10ag ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得22a -≤≤，所以，a的取值范围为[22]-.【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组. 题型六 函数性质综合例1 设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C.【解析】设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图象上，即－x ＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C. 【易错点】关于直线对称的函数求法例2 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 【答案】①②④【解析】由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：2()u g x x ax a ==--当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3， 因此②④正确，③不正确．【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．【巩固训练】题型一 指数运算与对数运算 1. 设函数211log ,1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩（2）则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.2. 化简：2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝________. 【答案】2.【解析】原式＝2lg 5＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(1－lg 5)2＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋1＝(lg 2＋lg 5)2＋1＝2. 3.已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为____________． 【答案】3.【解析】原式＝2228log 3log log 833+==. 题型二 指对幂函数的图象与简单性质1. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4 【答案】B【解析】f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＋1＝0， ∴a ＝12.2.若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝23log x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b【答案】A【解析】当x >1时，223220,1,log 0,33xa b x c x ⎛⎫<=<=>=< ⎪⎝⎭所以c <a <b .3. 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.(0,2B.2C ．(1，2)D ．(2，2) 【答案】B【解析】由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x 1(0)2x <≤，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点1(,2)2.把点1(,2)2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是2. 题型三 二次函数的图象与性质1.若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时220x ax ++>恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】9,.2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】分离参数a ,可得2,a x x >--则当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，令()()221,10,f x x f x x x '=--=-+>所以f (x )在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，所以199()(),.222f x f a ≤=->-也可利用二次函数性质分类讨论.2.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，0 B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 【答案】D【解析】二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0,1]， 所以a ＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. a ＞0也可利用f (x )＝ax 2－2ax ＋c=a (x 2－2x )＋c=a (x －1)2－a ＋c 在对称轴左边递减得到. 3.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．【答案】（1）a ＝2；（2）[2,3]．【解析】(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a ]． ∴22125,(1)()1251,a a f a f a a a -+==⎧⎧⎨⎨=-+=⎩⎩即解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数， ∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2. ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]． 题型四 函数图象的综合考查1.函数的图象大致是（ ）【答案】D4lg ||||x x y x=【解析】 从奇偶性可排除B ，且易知当x >1时，原函数大于0，排除A ，当x >0时，对函数3lg y x x =求导单调性可排除C.故选D.2.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )【答案】B.【解析】自变量x 满足2110x x x x--=>，当x ＞0时，可得x ＞1，当x ＜0时，可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D ；函数y ＝1x x -单调递增，故函数f (x )＝ln(1x x-)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B. 3.函数y ＝22x x e -在[－2,2]的图象大致为( )【答案】D.【解析】利用导数研究函数y ＝22xx e -在[0,2]上的图象，利用排除法求解．∵f (x )＝22xx e -|，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝22xx e -，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝22xx e -在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D. 题型五 复合函数的简单性质 1.已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 ． 【答案】1.【解析】由奇函数得：()()22+log =log 11a x a x f x f x x x -=---+-，,1=1a x x x a x--++,21a =,因为1a ≠-,所以1.a =2.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a的取值范围为________． 【答案】(1,25).【解析】 当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则1()02a a g >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得1＜a ＜2 5. 3.函数1421xx y +=++的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】令2x ＝t ，则函数1421xx y +=++可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 题型六 函数性质综合1.设方程21411log 0log 024x xx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的根分别为x 1，x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2【答案】A.【解析】方程21411log 0log 024x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的根分别为x 1，x 2，所以1211log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21241log 4x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得x 2＝12，令f (x )＝21log 2xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A.11 2.若函数6,2,()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4，＋∞)，求实数a 的取值范围． 【答案】(]1,2 【解析】当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x ＞2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a ＞1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.3.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）a ＝2，b ＝1;（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。

2020年高考数学（理）一轮复习讲练测第二单元单元测试【满分：100分 时间：90分钟】一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．（2019·安徽芜湖一中模拟）若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[2,8]【答案】A【解析】函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．（2019·福建双十中学模拟）设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)【答案】B【解析】 f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg(1－x )>0的解集，解得－9＜x ＜1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.3．（2019·浙江镇海中学模拟）已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【答案】C【解析】要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C.4．（2019·河北唐山一中模拟）奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )． 又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)， 所以f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )． 所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， 故该函数是周期为8的周期函数． 又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0. 所以f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.5．（2019·江苏启东中学模拟）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【答案】D【解析】∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)＜f (0)＜f (1)， 即f (－25)＜f (80)＜f (11)．6．（2019·江西高安中学模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)【答案】C【解析】当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1为周期的函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝21－x －1＝2⎝⎛⎭⎫12x －1.方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(－∞，1)．7．（2019·河南师大附中模拟）已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2,3]D ．[1,2]【答案】B【解析】由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2， 求得－2≤t ≤ 2.再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B.8. （2019·广东 惠州一中模拟） 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，32 C.⎣⎡⎭⎫32，2 D.⎝⎛⎭⎫32，2【答案】C【解析】由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.故选C.9．（2019·湖北 荆州中学模拟）已知点A (1,0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛⎭⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．故选B.10．（2019·广西柳州铁一中模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，eB.⎣⎡⎭⎫12，eC.⎝⎛⎦⎤12，e eD.⎝⎛⎭⎫12，ee 【答案】D【解析】若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx－12有4个交点．作出函数y ＝f (x )的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方． ∴k ×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝ln m ＋12m ＝1m ，∴m ＝ e.此时，k＝1m ＝e e ，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee ，故选D.11．（2019·陕西交大附中模拟）已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sin π2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤17，15∪(5,7) D.⎝⎛⎭⎫17，15∪[5,7)【答案】A【解析】当a ＞1时，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|＜1，log a |5|＜1，故a ＞5；当0＜a ＜1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.12. （2019·四川雅安中学模拟）将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A.5B.8C.9D.10【答案】A【解析】∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝⎛⎭⎫12t5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f (k )＝a ·⎝⎛⎭⎫12k 5＝14a ，即⎝⎛⎭⎫12k5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 二、填空题(本大题共4小题，共16分)13．（2019·海南加积中学模拟）函数y ＝x ＋－x 2＋10x －23的最小值为________．【答案】5－ 2【解析】原函数可化为：y ＝x ＋2－x －52.由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤2， 令x －5＝2cos α，那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π， 于是y ＝2cos α＋5＋2sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋5. 因为α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数的最小值为5－ 2.14．（2019·广东广雅中学模拟）对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)【解析】依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x －a ＝－(e －x －a )，即a ＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15．（2019·江西南昌十中模拟）定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数， 设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2， 所以实数m 的取值范围是(0,2)．16. （2019·河北辛集中学模拟）函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________.【答案】2【解析】因为f (x )＝x ＋1x ＝1x ＋1，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 22＝1，即y 1＋y 2＝2.三、解答题(本大题共3小题，共36分)17．（12分）（2019·浙江温州中学模拟）设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．【解析】令t ＝a x (a ＞0，且a ≠1)， 则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13. ②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.18．（12分）（2019·河北石家庄二中模拟）已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f x x－4ln x 的零点个数．【解析】(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， 所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋g (x )极大值极小值当0＜x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4＜0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．19．（12分）（2019·安徽淮北一中模拟）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x (x ＞0)件产品的销售收入是R (x )＝－14x 2＋500x (元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a 元进货后，又以每件b 元销售，且b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？并求P (x )的最大值； (2)求乐观系数λ的值；(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．【解析】 (1)依题意设总利润为L (x )，则L (x )＝－14x 2＋500x －100x －40 000＝－14x 2＋400x －40000(x ＞0)，∴P (x )＝－14x 2＋400x －40 000x ＝－14x －40 000x ＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x ＝40 000x ，即x ＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b ＝a ＋λ(c －a )，得λ＝b －ac －a. ∵b －a 是c －b ，c －a 的比例中项， ∴(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边同时除以(b －a )2，得1＝（c －a ）－（b －a ）b －a ·c －a b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a b －a －1c －ab －a ， ∴1＝⎝⎛⎭⎫1λ－1·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)．故乐观系数λ的值为5－12. (3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400.由b＝a＋λ(c－a)，结合(2)可得b－a＝λ(c－a)＝100(5－1)，∴b＝100(5＋3)．故a与b的值分别为400,100(5＋3)．。

2020年高考数学真题分类汇编：基本初等函数一、单选题(共14题；共28分)1．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log 32，b=log 53，c= 23，则（ ） A ．a<c<bB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b【答案】A【解析】【解答】因为 a =13log 323<13log 39=23=c ， b =13log 533>13log 525=23=c ， 所以 a <c <b . 故答案为：A【分析】分别将a,b 改写为 a =13log 323 ， b =13log 533 ，再利用单调性比较即可.2．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）已知55<84，134<85．设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（ ）A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<a<b【答案】A【解析】【解答】由题意可知 a 、 b 、 c ∈(0,1) ， a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1 ， ∴a <b ；由 b =log 85 ，得 8b =5 ，由 55<84 ，得 85b <84 ， ∴5b <4 ，可得 b <45 ；由 c =log 138 ，得 13c =8 ，由 134<85 ，得 134<135c ， ∴5c >4 ，可得 c >45.综上所述， a <b <c . 故答案为：A.【分析】由题意可得a 、b 、 c ∈(0,1) ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85 ，得 8b =5 ，结合 55<84 可得出 b <45 ，由 c =log 138 ，得 13c =8 ，结合134<85 ，可得出 c >45 ，综合可得出a 、b,c 的大小关系.3．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 f(x)=x 3−1x3 ,则 f(x) （ ）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【解答】因为函数f(x)=x3−1x3定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y=1x3=x−3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x3−1x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．故答案为：A．【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．4．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）设alog34=2，则4−a=（）A．116B．19C．18D．16【答案】B【解析】【解答】由alog34=2可得log34a=2，所以4a=9，所以有4−a=19，故答案为：B.【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log34a=2，即4a=9，进而求得4−a=19，得到结果.5．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)（）A．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减【答案】D【解析】【解答】由f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|得f(x)定义域为{x|x≠±12}，关于坐标原点对称，又f(−x)=ln|1−2x|−ln|−2x−1|=ln|2x−1|−ln|2x+1|=−f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，可排除AC；当x∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(1−2x)，∵y=ln(2x+1)在(−12,12)上单调递增，y=ln(1−2x)在(−12,12)上单调递减，∴f(x)在(−12,12)上单调递增，排除B；当x∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x−1)−ln(1−2x)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f(μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f(x)在(−∞,−12)上单调递减，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据奇偶性的定义可判断出f(x)为奇函数，排除AC；当x∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f(x)单调递增，排除B；当x∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f(x)单调递减，从而得到结果.6．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）若2a+log2a=4b+2log4b，则（）A．a>2b B．a<2b C．a>b2D．a<b2【答案】B【解析】【解答】设f(x)=2x+log2x，则f(x)为增函数，因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b所以f(a)−f(2b)=2a+log2a−(22b+log22b)=22b+log2b−(22b+log22b)=log212=−1< 0，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.f(a)−f(b2)=2a+log2a−(2b2+log2b2)=22b+log2b−(2b2+log2b2)=22b−2b2−log2b，当b=1时，f(a)−f(b2)=2>0，此时f(a)>f(b2)，有a>b2当b=2时，f(a)−f(b2)=−1<0，此时f(a)<f(b2)，有a<b2，所以C、D不符合题意.故答案为：B.【分析】设f(x)=2x+log2x，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.7．（2分）（2020·新高考Ⅲ）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（）A．[−1,1]∪[3,+∞)B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞)D．[−1,0]∪[1,3]【答案】D【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：{x<0−2≤x−1≤0或x−1≥2或{x>00≤x−1≤2或x−1≤−2或x=0解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故答案为：D.【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.8．（2分）（2020·天津）设a=30.7,b=(13)−0.8,c=log0.70.8，则a,b,c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】D【解析】【解答】因为a=30.7>1，b=(13)−0.8=30.8>30.7=a，c=log0.70.8<log0.70.7=1，所以c<1<a<b.故答案为：D.【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系.9．（2分）（2020·天津）已知函数f(x)={x3,x⩾0,−x,x<0.若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．(−∞,−12)∪(2√2,+∞)B．(−∞,−12)∪(0,2√2)C．(−∞,0)∪(0,2√2)D．(−∞,0)∪(2√2,+∞)【答案】D【解析】【解答】注意到g(0)=0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx−2|=f(x)|x|恰有3个实根即可，令ℎ(x)=f(x)|x|，即y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|的图象有3个不同交点.因为ℎ(x)=f(x)|x|={x2,x>01,x<0，当k=0时，此时y=2，如图1，y=2与ℎ(x)=f(x)|x|有2个不同交点，不满足题意；当k<0时，如图2，此时y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|恒有3个不同交点，满足题意；当k>0时，如图3，当y=kx−2与y=x2相切时，联立方程得x2−kx+2=0，令Δ=0得k2−8=0，解得k=2√2（负值舍去），所以k>2√2.综上，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞) .故答案为：D.【分析】由g(0)=0，结合已知，将问题转化为y=|kx−2|与ℎ(x)=f(x)|x|有3个不同交点，分k=0,k<0,k>0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.10．（2分）（2020·天津）函数y=4xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】由函数的解析式可得：f(−x)=−4xx2+1=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；当x=1时，y=41+1=2>0，B不符合题意.故答案为：A.【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.11．（2分）（2020·北京）已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A．(−1,1)B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1)D．(−∞,0)∪(1,+∞)【答案】D【解析】【解答】因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故答案为：D.【分析】作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.12．（2分）（2020·浙江）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：y＝f（x）＝xcosx+sinx，则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，故答案为：A．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．13．（2分）（2020·浙江）已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（）A．a＜0B．a＞0C．b＜0D．b＞0【答案】C【解析】【解答】解：设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的图象与x轴有三个交点，即f（x）有三个零点a，b，2a+b且f（0）＝﹣ab（2a+b），由题意知，f（0）≥0恒成立，则ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0，可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0恒成立，排除B，D；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．则有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三种情况，此时a＝b＜0显然成立；若b＝b+2a，则a＝0不成立；若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，综上b＜0恒成立．故答案为：C．【分析】设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），求得f（x）的零点，根据f（0）≥0恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．14．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）若2x−2y<3−x−3−y，则（）A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<0【答案】A【解析】【解答】由 2x −2y <3−x −3−y 得： 2x −3−x <2y −3−y ，令 f(t)=2t −3−t ，∵y =2x 为 R 上的增函数， y =3−x 为 R 上的减函数， ∴f(t) 为R 上的增函数， ∴x <y ，∵y −x >0 ， ∴y −x +1>1 ， ∴ln(y −x +1)>0 ，则A 符合题意，B 不符合题意； ∵|x −y| 与 1 的大小不确定，CD 无法确定. 故答案为：A.【分析】将不等式变为 2x −3−x <2y −3−y ，根据 f(t)=2t −3−t 的单调性知 x <y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.二、多选题(共2题；共6分)15．（3分）（2020·新高考Ⅲ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a)2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，当且仅当 a =b =12时，等号成立，A 符合题意；对于B ， a −b =2a −1>−1 ，所以 2a−b >2−1=12，B 符合题意；对于C ， log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2， 当且仅当 a =b =12时，等号成立，C 不正确；对于D ，因为 (√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2 ，所以 √a +√b ≤√2 ，当且仅当 a =b =12时，等号成立，D 符合题意；故答案为：ABD【分析】根据 a +b =1 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.16．（3分）（2020·新高考Ⅲ）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,⋯,n ，且 P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n),∑p i n i=1=1 ，定义X 的信息熵 H(X)=−∑p i n i=1log 2p i .（ ）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大C．若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=p j+p2m+1−j(j=1,2,⋯,m)，则H(X)≤H(Y)【答案】A,C【解析】【解答】对于A选项，若n=1，则i=1,p1=1，所以H(X)=−(1×log21)=0，所以A选项正确.对于B选项，若n=2，则i=1,2，p2=1−p1，所以H(X)=−[p1⋅log2p1+(1−p1)⋅log2(1−p1)]，当p1=14时，H(X)=−(14⋅log214+34⋅log234)，当p1=34时，H(X)=−(34⋅log234+14⋅log214)，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)=−(1n⋅log21n)×n=−log21n=log2n，则H(X)随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若n=2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=p j+p2m+1−j（j=1,2,⋯,m）.H(X)=−∑p i⋅log2p i2mi=1=∑p i⋅log21pi 2mi=1=p1⋅log21p1+p2⋅log21p2+⋯+p2m−1⋅log21p2m−1+p2m⋅log21p2m.H(Y)=(p1+p2m)⋅log21p1+p2m+(p2+p2m−1)⋅log21p2+p2m−1+⋯+(p m+p m+1)⋅log21p m+p m+1=p1⋅log21p1+p2m+p2⋅log21p2+p2m−1+⋯+p2m−1⋅log21p2+p2m−1+p2m⋅log21p1+p2m由于p i>0(i=1,2,⋯,2m)，所以1p i>1p i+p2m+1−i，所以log21p i>log21p i+p2m+1−i，所以p i⋅log21p i>p i⋅log21p i+p2m+1−i，所以H(X)>H(Y)，所以D选项错误.故答案为：AC【分析】对于A选项，求得H(X)，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出H(X)，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.三、填空题(共2题；共2分)17．（1分）（2020·北京）函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是．【答案】(0,+∞)【解析】【解答】由题意得{x>0x+1≠0，∴x>0故答案为：(0,+∞)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.18．（1分）（2020·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(-8)的值是. 【答案】-4【解析】【解答】f(8)=823=4，因为f(x)为奇函数，所以f(−8)=−f(8)=−4故答案为：-4【分析】先求f(8)，再根据奇函数求f(−8)四、解答题(共1题；共10分)19．（10分）（2020·新课标Ⅲ·理）已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．（1）（5分）画出y=f(x)的图像；（2）（5分）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．【答案】（1）解：因为f(x)={x+3, x≥15x−1, −13<x<1−x−3, x≤−13，作出图象，如图所示：（2）解：将函数f(x)的图象向左平移1个单位，可得函数f(x+1)的图象，如图所示：由−x−3=5(x+1)−1，解得x=−7 6．所以不等式的解集为(−∞,−7 6)．【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数f(x)的解析式，作出图象；（2）作出函数f(x+1)的图象，根据图象即可解出．。

（2）基本初等函数1、.已知()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=( )A ．3-B ．1-C ．1D ．32、已知()2112f x x-=,则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A.4B.14C.16D.1163、已知函数()2234,4()log 3,4x x f x x x -⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩若()5f m =,则()30f m -= ( )A.1073-B.1073C. 10727-D.107274、下列函数中，在单调递减，且是偶函数的是（ ） A.22y x =B.3y x=C.21y x =-+D.1()2xy =5、函数2sin 2x y x =的图象可能是( )A. B.C. D .6、二次函数24y ax x a =++的最大值是3,则a =( )A.-1B.1C.-2D.12-7、若函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A.1a =或2a = B.1a = C.2a =D.1a >,且2a ≠8、当103x <≤时，log 8x a x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.B. C. D.9、已知函数23()log (3)f x x ax =-+，若函数()f x 的值域为R ，则a 的取值范围是( )A.((),-∞-⋃+∞ B.(),⎡-∞-⋃+∞⎣C.⎡-⎣D.(- 10、幂函数yx α=中α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C 为( )A. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B. 1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. 11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭11、给出下列命题: ①幂函数图像不过第四象限; ②0y x =的图像是一条直线; ③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤,则它的值域是{}|1y y ≤;④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >,则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭;⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤,则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤.其中假命题的序号是__________.12、已知函数()cos 2sin f x x x =+，若对任意实数x ，恒有()()()12f f x f αα≤≤，则()12cos αα-= ____________.13、函数[]1()4226,0,3x x f x x +=-⋅-∈的最大值为_________,最小值为_________.14、已知函数()23x f x x =--的零点0(1)(Z)x k k k ∈+∈，，则k =_________. 15、已知二次函数()2()=0f x ax bx c a ++≠的图象过点()0,1，且函数()f x 只有一个零点1-．（1）求()f x 表达式；（2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在5y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围．答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：∵()()32+1f x g x x x -=+,∴()()321f x g x x x ---=-++.又()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()321f x g x x x +=-++，∴()()1+11f g =.2答案及解析： 答案：C解析：方法一：令1122x -=可得14x =∴11161216f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 方法二：令12x t -=则12tx -= ∴()()241f t t =-∴1162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3答案及解析： 答案：C解析：24,()5345m m f m -<⎧=⇔⎨-=⎩或()24,35,m log m ≥+=⎧⎨⎩ 解得4,m 4,429,m m m <⎧⎧⎨⎨==⎩⎩≥(舍去)或 所以29m =,故()()31073013427f m f ---=-=-=. 故选C.4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：D解析：令()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.6答案及解析：答案：A解析：根据题意,二次函数24y ax x a =++的最大值是3,则2041634a a a<⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得1a =-.7答案及解析： 答案：C解析：由指数函数的概念,得2331a a -+=,解得1a =或2a =.当1a =时,底数是1,不符合题意,舍去;当2a =时,符合题意,故选C.8答案及解析： 答案：B解析：log 8,log 0x a a x x >∴>，而10,013x a <≤∴<<.作出8x y =与log a y x =的大致图象如图所示，则只需满足1231log 82log ,3a a a a >==∴>1a <<,故选B9答案及解析： 答案：B 解析：10答案及解析： 答案：C解析：根据幂函数1y x -=,0y x =,12y x =,y x =,2y x =,3y x =的图象和解析式可知,当1α=-,12α=,1α=,3α=时,相应幂函数的值域与定义域相同, 故选C.11答案及解析： 答案：② ③ ④ ⑤ 解析：由幂函数图像易知① 正确;0y x =的图像是直线1y =上去掉点(0,1),② 错误;函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤,则它的值域是{}|01y y <≤,③ 错误;函数1y x =的定义域是{}|2x x >,则它的值域是1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,④ 错误;若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤,则它的定义域也可能是{}|02x x ≤≤,⑤ 错误,所以假命题的序号是② ③ ④ ⑤.12答案及解析： 答案：14- 解析：13答案及解析： 答案：26;-10解析：由题知2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤,令2x t =,∵03x ≤≤,∴18t ≤≤,∴函数()f x 可化为22()46(2)10(18)g t t t t t =--=--≤≤,∴当[]1,2t ∈时,()g t 是减函数;当(]2,8t ∈时,()g t 是增函数,故当8t =,即3x =时,()f x 取得最大值26;当2t =,即1x =时,()f x 取得最小值-10.14答案及解析： 答案：2或-3 解析：15答案及解析： 答案：（1）由二次函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图象过点()0,1，且函数()f x 只有一个零点1-，得f (0)c 1b 12a f (1)a b c 0==⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得1,2,1a b c ===．∴()2()1f x x =+； （2）令()[]2()531,1,1g x f x x m x x m x =--=-+-∈-，则()23g x x '=-，当[]1,1x ∈-时()0g x '≤恒成立，∴()g x 在[]1,1-上为减函数， ()min 1311g x m m =-+-=--，由10m -->，得1m <-．解析：。

函数概念与基本初等函数(理科数学)1．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，令h（x），则h′（x），当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．2．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．3．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．故选：B．4．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax ﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．故选：C．5．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．6．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．7．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．8．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．9．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．10．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，则a①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣（x）a≤x，即有﹣（x）≤a，由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；由y x22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2a≤2②由①②可得，a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1，可得x，切点为（，）代入y a，解得a；当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，由1，可得x＝2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y a，解得a＝2．由图象平移可得，a≤2．故选：A．11．【2016年新课标2理科12】已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）＝（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y，即y＝1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）] ＝m．故选：B．12．【2016年上海理科18】设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）．g（x），h（x）．②∵f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）＝f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）＝h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）＝g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）＝g（x+T），h（x）＝h（x+T），同理可得：f（x）＝f（x+T），因此②正确．故选：D．13．【2016年天津理科08】已知函数f（x）（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}【解答】解：y＝log a（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x，则△＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0，解得a或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．14．【2015年新课标2理科10】如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x时，BP＝tan x，AP，此时f（x）tan x，0≤x，此时单调递增，当P在CD边上运动时，x且x时，如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ，∴OQ，∴PD＝AO﹣OQ＝1，PC＝BO+OQ＝1，∴P A+PB，当x时，P A+PB＝2，当P在AD边上运动时，x≤π，P A+PB tan x，由对称性可知函数f（x）关于x对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．15．【2015年浙江理科07】存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x），对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．16．【2015年北京理科07】如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选：C．17．【2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．故选：C．18．【2015年天津理科07】已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1＝2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．19．【2015年天津理科08】已知函数f（x），函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．即h（x），作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x）2，当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x）2，故当b时，h（x）＝b，有两个交点，当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）＝b恰有4个根，则满足b＜2，故选：D．20．【2014年上海理科18】设f（x），若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）＝a2，由题意得：a2≤x a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．21．【2013年新课标1理科11】已知函数f（x），若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．22．【2013年天津理科08】已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：取a时，f（x）x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x）|x|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得x＜0；（2）0≤x时，解得0；（3）x时，解得，综上知，a时，A＝（，），符合题意，排除B、D；取a＝1时，f（x）＝x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a＝1，A＝∅，不合题意，排除C，故选：A．23．【2011年新课标1理科12】函数y的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：函数y1，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H＝x B+x G＝x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．24．【2011年北京理科08】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12}【解答】解：当t＝0时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）＝9，故选项D不正确．当t＝1时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知N（t）＝12，故选项A不正确．当t＝2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知N（t）＝11，故选项B不正确．故选：C．25．【2011年天津理科08】对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣x2），由图可知，当c∈函数f（x）与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选：B．26．【2010年新课标1理科11】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．27．【2010年上海理科17】若x0是方程的解，则x0属于区间（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：∵，，∴x0属于区间（，）．故选：C．28．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，∴k．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．29．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝．【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：631．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a，设g（x），则g′（x），由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a设h（x），则h′（x），由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）32．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，故答案为：833．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．34．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|x a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．【解答】解：由题可知|x a|+a≤5，即|x a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x5，又因为1≤x≤4，4≤x5，所以2a﹣5≤4，解得a，故答案为：（﹣∞，]．35．【2016年江苏11】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x），其中a∈R，若f（）＝f（），则f（5a）的值是．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x），∴f（）＝f（）a，f（）＝f（）＝||，∴a，∴f（5a）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，故答案为：36．【2016年浙江理科12】已知a＞b＞1，若log a b+log b a，a b＝b a，则a＝，b＝．【解答】解：设t＝log b a，由a＞b＞1知t＞1，代入log a b+log b a得，即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t（舍去），所以log b a＝2，即a＝b2，因为a b＝b a，所以b2b＝b a，则a＝2b＝b2，解得b＝2，a＝4，故答案为：4；2．37．【2015年江苏13】已知函数f（x）＝|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为．【解答】解：由|f（x）+g（x）|＝1可得g（x）＝﹣f（x）±1．g（x）与h（x）＝﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）＝﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为4．故答案为：4．38．【2015年北京理科14】设函数f（x），①若a＝1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【解答】解：①当a＝1时，f（x），当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x）2﹣1，当1＜x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当x时，f（x）min＝f（）＝﹣1，②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）＝与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以a＜1，若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a＜1，或a≥2．39．【2014年江苏13】已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y ＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．40．【2014年天津理科14】已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．【解答】解：由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，作出函数y＝f（x），y＝g（x）＝a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）＝a|x﹣1|，当﹣3＜x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，g（x）＝﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x＝﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a＝0，则由△＝（3﹣a）2﹣4a＝0，即a2﹣10a+9＝0，解得a＝1或a＝9，当a＝9时，g（x）＝﹣9（x﹣1），g（0）＝9，此时不成立，∴此时a＝1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）＝﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）＝g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x＝a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a＝0，则由△＝（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，若x＝1，则4＝0不成立，故x≠1，则方程等价为a||＝|x﹣15|，设g（x）＝x﹣15，当x＞1时，g（x）＝x﹣15，当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，当x＜1时，g（x）＝x﹣155﹣4＝1，当且仅当﹣（x﹣1），即x＝﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）41．【2013年上海理科12】设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝9x7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．【解答】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x7因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝9x7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x＝0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x7≥a+1成立，只需要9x7的最小值≥a+1，因为9x7≥26|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．42．【2013年上海理科14】对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）＝{y|y＝g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））＝[1，2），f﹣1（（2，4]）＝[0，1）．若方程f（x）﹣x＝0有解x0，则x0＝．【解答】解：因为g（I）＝{y|y＝g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））＝[1，2），f﹣1（2，4]）＝[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x＝0即f（x）＝x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x＝0即f（x）＝x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x＝0即f（x）＝x无解，又因为方程f（x）﹣x＝0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）＝x0，只有x0＝2，故答案为：2．43．【2012年江苏10】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）其中a，b∈R．若，则a+3b的值为．【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x），∴f（）＝f（）＝1a，f（）；又，∴1a①又f（﹣1）＝f（1），∴2a+b＝0，②由①②解得a＝2，b＝﹣4；∴a+3b＝﹣10．故答案为：﹣10．44．【2012年江苏13】已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）＝x2+ax+b＝0只有一个根，即△＝a2﹣4b＝0，则4b＝a2不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+b＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+b﹣c＝0的两个根x1，x2分别为m，m+6∴两根之差为|x1﹣x2|＝|m+6﹣m|＝6根据韦达定理可知：x1+x2ax1x2b﹣c∵|x1﹣x2|＝6∴ 6∴ 6∴ 6解得c＝9故答案为：945．【2012年北京理科14】已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是．【解答】解：对于①∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．46．【2012年天津理科14】已知函数y的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．【解答】解：y，作出函数y与y＝kx﹣2的图象如图所示：∵函数y的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案为：（0，1）∪（1，4）．47．【2011年江苏11】已知实数a≠0，函数f（x），若f（1﹣a）＝f（1+a），则a的值为．【解答】解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a＝﹣1﹣a﹣2a解得a舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a＝2+2a+a解得a故答案为48．【2011年上海理科13】设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）＝x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为．【解答】解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）＝g（x+1）又∵函数f（x）＝x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]令x+6＝t，当x∈[3，4]时，t＝x+6∈[9，10]此时，f（t）＝t+g（t）＝（x+6）+g（x+6）＝（x+6）+g（x）＝[x+g（x）]+6所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11] (1)同理，令x﹣13＝t，在当x∈[3，4]时，t＝x﹣13∈[﹣10，﹣9]此时，f（t）＝t+g（t）＝（x﹣13）+g（x﹣13）＝（x﹣13）+g（x）＝[x+g（x）]﹣13所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8] (2)…由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]法二：由题意f（x）﹣x＝g（x）在R上成立故f（x+1）﹣（x+1）＝g（x+1）所以f（x+1）﹣f（x）＝1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]49．【2010年江苏11】已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．【解答】解：由题意，可得故答案为：50．【2010年天津理科16】设函数f（x）＝x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是．【解答】解：依据题意得1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即4m21在x∈[，+∞）上恒成立．当x时，函数y1取得最小值，∴4m2，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m或m，故答案为：．。