2015高考数学(文)一轮方法测评练：2-方法强化练——函数与基本初等函数

第3讲 函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·温州二模)若函数f (x )＝sin x (x ＋a )2是奇函数，则a 的值为________． 解析 由f (－1)＝－f (1)，得sin (－1)(－1＋a )2＝－sin 1(1＋a )2， ∴(－1＋a )2＝(1＋a )2解得a ＝0.答案 02．(2014·温岭中学模拟)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________.解析 f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.答案 －23．(2013·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3.答案 34．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为______．解析 f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)．答案 (－1,0)∪(1,3)5．(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 依题意知f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2，联立f (x )＋g (x )＝a x－a －x ＋2，解得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x ，故a ＝2，f (2)＝22－2－2＝4－14＝154.答案 1546．(2013·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1. 答案 17．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎨⎧ |1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．(2013·临沂模拟)下列函数①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝2x 中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．解析 因为①是奇函数，所以不成立．③在(0，＋∞)上单调递减，不成立，④为非奇非偶函数，不成立，所以填②.答案 ②二、解答题9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．解 当x ＜0时， －x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1.因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ －2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ∈[－1，0)，x ，x ∈[0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝________.解析 由f (x －2)＝－f (x )得f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期是4，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案 122．(2014·郑州模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1＜x 1＜x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2＜52＜3，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 b ＜a ＜c3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3＜x ＜4时，－1＜x －4＜0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确． 答案 ①②④二、解答题4．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论． 解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f [2－(x ＋2)]＝f [2＋(x ＋2)]＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)由⎩⎨⎧ f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎨⎧f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒ f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期T ＝10.由f (3)＝f (1)＝0，得f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0.故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y＝f(x)在[0,2 014]上有404个解，在[－2 014,0]上有402个解，所以函数y＝f(x)在[－2 014,2 014]上共有806个解.。

课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。

基础达标检测一、选择题1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] 本题考查了代入法求函数解析式．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件，故选C.代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(2013·重庆高考)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) [答案] C[解析] 本题考查函数的定义域．⎭⎬⎫x －2>0x －2≠1⇒x >2且x ≠3，故选C.(理)已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定[答案] B[解析] f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.3．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( ) A ．y ＝|x |x 与y ＝1 B ．y ＝xx 与y ＝x 0C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x >1)1－x (x <1)D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1 [答案] B[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x ≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x ≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x <0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝log a a x ，g (x )＝a log a x (a >0，a ≠1) B ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝2x －1(x ∈R )，g (x )＝2x －1(x ∈Z )D ．f (x )＝x 2－4x －2，g (t )＝t 2－4t －2[答案] D[解析] 选项A 、B 、C 中函数的定义域不同．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4或2，选B.5．(2013·全国大纲)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12) C ．(－1,0) D ．(12，1)[答案] B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0) ∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.6．在给定的映射f ：(x ，y )→(2x ＋y ，xy )(x ，y ∈R )作用下，点(16，－16)的原像是( )A ．(16，－136)B ．(13，－12)或(－14，23)C ．(136，－16)D ．(12，－13)或(－23，14) [答案] B[解析]由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝16xy ＝－16解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23故选B.二、填空题7．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案] (0，6][解析] 本题考查函数定义域的求法，此题应该让被开方数大于或等于零．由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤12，∴log 6x ≤log 6 6. ∴0<x ≤6，∴函数的定义域为(0，6]．求函数的定义域要根据函数的解析式的不同表达形式分别对待，另外此题易错点为对数的真数x >0.8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.[答案]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1≤x ≤2[解析] 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，(1，32)和(1，32)，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为x )]>g [f (x )]的x 的值是________．[答案] 2 2[解析] f [g (1)]＝f (3)＝2.故f [g (x )]>g [f (x )]的解为x ＝2. 三、解答题10．已知扇形周长为10cm ，求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系S ＝f (r )，并确定其定义域．[解析] 设弧长为l ，则l ＝10－2r ， 所以S ＝12lr ＝(5－r )r ＝－r 2＋5r .由⎩⎨⎧r >0，l >0，l <2πr得5π＋1<r <5. ∴S ＝f (r )＝－r 2＋5r ，其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π＋1，5. 能力强化训练一、选择题1．(文)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23， f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] 本题考查了分段函数与函数值的求解．f (10)＝lg10＝1，f (1)＝1＋1＝2，故选B ，分段函数是由于定义域的不同引起函数的表达式不同，它是一个函数，解分段函数问题要注意函数的定义域与解析式的对应．2．(改编题)设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2015(x )＝( )A.1＋x 1－xB.x －1x ＋1 C ．x D ．－1x[答案] B[解析] 由已知条件得到f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1(x )1－f 1(x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2(x )1－f 2(x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3(x )1－f 3(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x1－x，易知f n (x )是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3， 所以f 2015(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1.二、填空题3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[答案] －x (x ＋1)2[解析] 本题主要考查了求函数解析式． ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1∴f (x )＝f (x ＋1)2＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－(x ＋1)2·x .4．(文)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④[解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．(理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 12(x 2－1)；(3)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .[解析](1)由⎩⎨⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5. (2)由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1， ∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2}．(3)由1－1x >0，得x >1或x <0，∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[解析] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)．f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称，∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x .①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。

2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数1.函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1 3.函数f(x)=1)(log 122-x 的定义域为( )A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞) 4.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)5.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或86.设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .7.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.1+=x y B.y=(x-1)2 C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1) 8.已知实数x,y 满足a x <a y (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.111122+>+y x B.ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C.sin x>sin y D.x 3>y 3 9.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=B.f(x)=x 3C.f(x)=D.f(x)=3x10.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.11.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.313.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则 f=( )A. B. C.0 D.-14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.15.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=则f= .16.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.试比较e a-1与a e-1的大小,并证明你的结论.17.对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+4b 2-c=0且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为 .18.若函数f(x)=cos 2x+asin x 在区间是减函数,则a 的取值范围是 . 19.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a (x>0),g(x)=log a x 的图象可能是( )20.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( ) A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a21.函数f(x)=)4(log 221-x 的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)22.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )23.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f =2f(x);③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( )A.①②③B.②③C.①③D.①② 24.已知4a =2,lg x=a,则x= .25.函数f(x)=)2(log log 22x x ⋅的最小值为 .26.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )27.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)28.已知函数f(x)=x 2+e x 21 (x<0)与g(x)=x 2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A. B.(-∞,) C. D.29.已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .30.已知函数f(x)=|x 2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 .31.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 32.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 .(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)33.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A. B. C. D.34.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)35.已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.36.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)参考答案1. C2. A3. C4. D5. D6. (-∞,]7. A 8. D 9. D 10. (-1,3)11. C 12. C 13. A 14. B 15. 116.解析(1)证明:因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+e x=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立,令t=e x(x>0),则t>1,所以m≤-=-对任意t>1成立.因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)=e x+-a(-x3+3x),则g'(x)=e x-+3a(x2-1).当x≥1时,e x->0,x2-1≥0,又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x0∈[1,+∞),使+-a(-+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>.令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h'(x)=1-.令h'(x)=0,得x=e-1.当x∈(0,e-1)时,h'(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调减函数;当x∈(e-1,+∞)时,h'(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数.所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0;当x∈(e-1,e)⊆(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对任意的x∈(1,e)成立.①当a∈⊆(1,e)时,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,从而e a-1<a e-1;②当a=e时,e a-1=a e-1;③当a∈(e,+∞)⊆(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故e a-1>a e-1.综上所述,当a∈时,e a-1<a e-1;当a=e时,e a-1=a e-1;当a∈(e,+∞)时,e a-1>a e-1.17. -2 18. (-∞,2] 19. D 20. C21. D 22. B 23. A 24. 25. -26. C 27. B 28. B 29.30. (0,1)∪(9,+∞) 31. D 32. 33. B 34. (1)(2)x 35. (2,+∞) 36. ①③④。

2015届高考数学一轮复习单元检测：函数概念与基本初等函数(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每题5分，共40分)1．若二次函数y ＝f (x )满足f (5＋x )＝f (5－x )，且方程f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．5B ．10C ．20 D.52解析：∵f (x ＋5)＝f (5－x )，∴f (x )的对称轴为x 0＝5，x 1＋x 2＝2x 0＝10. 答案：B2．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2＋x B ．y ＝－x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1解析：选项A ，C 为非奇非偶函数，选项B 为奇函数． 答案：D3．（2014·湛江模拟）已知函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (2，＋∞)解析：由题意可知，a >0，故内函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0,1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1,2)．答案：B4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析：由f (0)＝0得b ＝－1.∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案：A5．若奇函数f (x )在区间[3,7]上是减函数且有最大值4，则f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值为－4B ．增函数且最大值为－4C ．减函数且最小值为－4D ．减函数且最大值为－4 解析：奇函数的图象关于原点对称．答案：C6．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )一定存在零点的区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞) 解析：∵f (2)·f (3)＜0， ∴f (x )在(2,3)内一定存在零点． 答案：C7．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |解析：选项A 为奇函数，选项C ，D 在(0，＋∞)是减函数． 答案：B8．下列函数中，是奇函数且定义域与值域相同的函数是( )A ．y ＝12(e x ＋e －x )B ．y ＝lg 1－x 1＋xC ．y ＝－x 3D ．y ＝－|x |解析：A 项和D 项为偶函数，B 项和C 项为奇函数，而B 项的定义域与值域不同，只有C 项的定义域和值域均为R.答案：C9.（2014·太原模拟）函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A. (－∞，4)B. (0，＋∞)C. (0,4]D. [4，＋∞)解析：设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]． 答案：C二、填空题(每题5分，共30分)10．若关于x 的方程x 2－32x －k ＝0在(－1,1)上有实根，则k 的取值范围是__________．解析：k ＝x 2－32x ＝234⎛⎫ ⎪⎝⎭x-－916，x ∈(－1,1)，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－916，52.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－916，52 11．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析：∵y ＝f (x )＋x 2为奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－f (x )－x 2，在此式中令x ＝1得f (－1)＝－3.∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 答案：－1 12．函数y ＝(13logx )2＋13logx ＋1的单调增区间为__________．解析：定义域为(0，＋∞)，令u ＝13logx ，则y ＝u 2＋u ＋1.u 在(0，＋∞)上是减函数，而y 在u ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数， u ＝13logx ≤－12，则13l og x ≤13log 1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即x ≥ 3.故原函数的单调增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析：∵f (x )为奇函数，x ≤0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－x 2－4x >x ⇒－5<x <0，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－4x >x⇒x >5.答案：(－5,0)∪(5，＋∞)14．已知函数x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝12e-，则x ，y ，z 从小到大排列为________．解析：ln π>ln e ＝1，y ＝log 52＝1log 25<12，z ＝1-2e＝1e ，12<1e<1.∴y <z <x .答案：y <z <x15．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是奇函数，则实数a ＝________. 解析：由条件知，g (x )＝e x ＋a e －x为奇函数，故g (0)＝0，得a ＝－1. 答案：－1三、解答题(共80分)16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )的最小值为1；x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解析：(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，－a ≤－5或－a ≥5，∴a ≥5或a ≤－5. 即a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．17．(12分)已知函数f (x )＝bxax 2＋1(b ≠0，a ＞0)． (1)判断f (x )的奇偶性；解析：(1)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－bxax 2＋1＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝12log 24，求a ，b 的值．解析：(2)由f (1)＝ba ＋1＝12，则a －2b ＋1＝0， 又log 3(4a －b )＝12log 24＝1，即4a －b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3解得a ＝1，b ＝1.18.(14分)对于函数f (x )，若存在x 0∈R 使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点； 解析：(1)∵a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3， 由f (x )＝x ⇒x 2－2x －3＝0⇒x ＝－1或x ＝3， ∴f (x )的不动点为－1和3.(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解析：(2)由题设知ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1＝x 有两个不等实根，即为ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不等实根，∴Δ＝b 2－4a (b －1)>0⇒b 2－4ab ＋4a >0恒成立．∴(－4a )2－4×4a <0⇒0<a <1. 故a 的取值范围是(0,1)．19．(14分)设海拔x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝c e kx，其中c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa,1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600 m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．解析：将x ＝0，y ＝1.01×105；x ＝1 000 , y ＝0.90×105,代入y ＝c e kx 得：⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e k ·00.90×105＝c e k ·1 000 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.01×105， ①0.90×105＝c e 1 000k. ②将①代入②得： 0．90×105＝1.01×105e1 000k⇒k ＝11 000×ln 0.901.01，计算得：k ＝－1.15×10－4. ∴y ＝1.01×105×e－1.15×10－4x . 将 x ＝600 代入，得：y ＝1.01×105×41.1510600e⨯⨯－－，计算得：y ＝0.943×105(Pa)．答：在600 m 高空的大气压约为0.943×105Pa.20.(14分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1、1.2、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝ab x＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．解析：根据题意，该产品的月产量y 是月份x 的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．设y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，y 2＝g (x )＝ab x＋c ，根据已知有⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝1.2，9p ＋3q ＋r ＝1.3和⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7和⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.所以f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f (4)＝1.3，g (4)＝1.35.显然g (4)更接近于1.37，故选用y ＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好． 21．(14分)已知函数f (x )＝3x 2－6x －5.(1)设g (x )＝f (x )－2x 2＋mx ，其中m ∈R，求g (x )在[1,3]上的最小值； 解析：(1)g (x )＝x 2＋(m －6)x －5，对称轴方程为x ＝6－m 2，分6－m 2<1,1≤6－m 2≤3，6－m2>3三种情况分类讨论，易得，g min(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3m －14，m <0，－m 2＋12m －564，0≤m ≤4，m －10，m >4.(2)若对于任意的a ∈[1,2]，关于x 的不等式f (x )≤x 2－(2a ＋6)x ＋a ＋b 在区间[1,3]上恒成立，求实数b 的取值范围．解析：(2)不等式可化为2x 2＋2ax －(a ＋b ＋5)≤0， 令φ(x )＝2x 2＋2ax －(a ＋b ＋5)，对称轴x ＝－a2.由已知得－a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12，∴φmax(x )＝φ(3)＝5a －b ＋13，∴只要当a ∈[1,2]时，5a －b ＋13≤0恒成立即可，而当a ∈[1,2]时，b ≥5a ＋13恒成立， ∴b 的取值范围是[23，＋∞)．。

第7讲 函数的图象及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案 y ＝(x －1)2＋32．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝y . ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －24．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)5．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的．∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2]7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0,1]二、解答题9．已知函数f (x )＝x 1＋x . (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1＜x ＜0，即x ∈(－1,0)．答案 (－1,0)2．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0， 当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2 3．(2013·宿迁模拟)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝k x ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝k x ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13＜k ＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 二、解答题4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎨⎧ (x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。

1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：选B.因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排除选项A 和C ；又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D ，故选B.2．(2016·山西省第三次四校联考)已知偶函数f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1C ．3 D.3＋2解析：选D.因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f (2 016)＋f (2 017)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 016)＋f (2 017)＝f (672×3＋0)＋f (672×3＋1)＝f (0)＋f (1)，而由图像可知f (1)＝1，f (0)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＝0＋1＝1.4．(2016·江西省高考适应性测试)已知函数f (x )＝x －2，g (x )＝x 3＋tan x ，那么( )A ．f (x )·g (x )是奇函数B ．f (x )·g (x )是偶函数C ．f (x )＋g (x )是奇函数D ．f (x )＋g (x )是偶函数解析：选A.由已知易得f (x )＝f (－x )，g (x )＝－g (－x )，故f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数，A 正确，B 错误；f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数．5．(2016·郑州调研)已知函数f (x )在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f (3)＜f (1)，则( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (0)＞f (－1)C ．f (－1)＜f (1)D ．f (－3)＞f (－5)解析：选A.函数f (x )在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f (3)＜f (1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f (x )在区间[－5，5]上是减函数． 选项A 中，－3＜－1，故f (－3)＞f (－1)．选项B 中，0＞－1，故f (0)＜f (－1)．同理，选项C 中f (－1)＞f (1)，选项D 中f (－3)＜f (－5)．6．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f (x )的图像如图．当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．7．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________． 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.★答案☆：－－x －18．若f (x )＝k ·2x ＋2－x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________．解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． ★答案☆：1 －19．若偶函数y ＝f (x )为R 上周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：因为y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)，所以f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，1－a ＝0.所以a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.★答案☆：－110．(2016·河北省衡水中学一调考试)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1， 则g (－x )＝－2x －sin x x 2＋1＝－g (x )， 所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.★答案☆：211．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.1．(2016·河南省适应性模拟练习)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1 B ．－1C.45 D ．－45解析：选B.因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )的周期为4，由4<log 220<5得f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 2 45＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．3．(2016·菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。

高效达标A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲5，7，9一、 选择题（每小题5分，共25分）1.（2014·铁岭模拟）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（C ）解析：图A 没有零点，因此不能用二分法求零点；图B 与图D 中均为不变号零点，不能用二分法求零点；只有图C 可用二分法求零点.2.（2014·淄博月考）设方程log 4 x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ＝0，log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则（A ）A. 0＜x 1x 2＜1B. x 1x 2＝1C. 1＜x 1x 2＜2D. x 1x 2≥2解析： log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ＝0的根x 2＝12.设f （x ）＝log 4 x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ，∵f （1）·f （2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－116＜0，∴1＜x 1＜2，故0＜x 1x 2＜1. 3.（2013·山东调研）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2 x ，x ＞1，则函数f （x ）的零点为（D ）A. 12，0B. －2，0C. 12D. 0 解析：当x≤1时，由f （x ）＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由 f （x ）＝1＋log 2 x ＝0，解得x ＝12，又x ＞1，∴此时方程无解.综上函数f （x ）的零点只有0.故选D.4.（2014·洛阳统考）函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋2x －3＝0得x ＝－3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋ln x ＝0得x ＝e 2，∴f （x ）的零点个数为2.故选C.5.（2014·东北三校联考）已知函数f （x ）＝xe x －ax －1，则关于 f （x ）的零点的叙述正确的是（B ）A. 当a ＝0时，函数f （x ）有两个零点B. 函数f （x ）必有一个零点是正数C. 当a ＜0时，函数f （x ）有两个零点D. 当a ＞0时，函数f （x ）只有一个零点解析：由f （x ）＝0得e x ＝a ＋1x ，在同一坐标系中作出y ＝e x 与 y ＝1x 的图像，可观察出A ，C ，D 选项错误，选项B 正确.二、 填空题（每小题5分，共15分） 6.（2014·青州质检）用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解（精确到0.001）时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是 7 .解析：设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n ＜0.001，即 2n ＞100，由26＝64，27＝128知n ＝7.7.（2013·潍坊质检）若函数f （x ）＝e x －a －2x 恰有一个零点，则实数a的取值范围是 （－∞，0]解析：令f （x ）＝e x －a －2x ＝0，得e x ＝a ＋2x ，设y 1＝e x ，y 2＝a ＋2x ，分别作出y 1，y 2的图像，观察图像可知a≤0时，两图像只有一个交点.8.（2013·抚顺模拟）若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x≤x 0的最大整数解是 2解析：令f （x ）＝ln x －6＋2x ，则f （1）＝ln 1－6＋2＝－4＜0， f （2）＝ln 2－6＋4＝ln 2－2＜0， f （3）＝ln 3＞0，∴2＜x 0＜3.∴不等式x≤x 0的最大整数解为2.三、 解答题（共10分）9.若关于x 的方程mx 2＋2（m ＋3）x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围.解析： 令f （x ）＝mx 2＋2（m ＋3）x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f （4）＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，f （4）＞0.（4分） 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，26m ＋38＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，26m ＋38＞0.解得－1913＜m ＜0，（8分） 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1913，0. （10分） B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.（2013·蚌埠二模）在下列区间中，函数f （x ）＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为（C ）A. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，0B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，14C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12D. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，34 解析：函数f （x ）连续，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝e 0.5＋2－3＝e －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝4e －2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＜0，故C 正确.2.（2013·长沙质检）函数f（x）＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（B）A. （－∞，1]B. （－∞，0]∪{1}C. （－∞，0）∪（0，1]D. （－∞，1）解析：当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1，则x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数的零点等价于方程f（x）＝mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf（0）＜0，即m＜0.综上知选B.3.（2013·连云港模拟）已知函数f（x）＝2x－log12x，实数a，b，c满足a＜b＜c，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，则下列结论一定成立的是（C）A. x0＞cB. x0＜cC. x0＞aD. x0＜a解析：由于函数f（x）＝2x－log12x为增函数，故若a＜b＜c，f（a）·f （b）f（c）＜0，则有如下两种情况：①f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；②f（a）＜0＜f（b）＜f（c），又x0是函数的一个零点，即f（x0）＝0，故当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0＝f（x0）时，由单调性可得x0＞c＞a，又当f（a）＜0＝f （x0）＜f（b）＜f（c）时，也有x0＞a.4.（2013·天津联考）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）在[－2，2]上的图像如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是（B）A. 函数f（g（x））的零点有且仅有6个B. 函数g（f（x））的零点有且仅有3个C. 函数f（f（x））的零点有且仅有5个D. 函数g（g（x））的零点有且仅有4个解析：对于A选项，设g（x）＝t，令f（t）＝0，由f（x）的图像可知方程有3个根，分别为－2＜t1＜－1，t2＝0，1＜t3＜2，由g（x）的图像知，若g（x）＝t1，则方程有2个根；若g（x）＝0，则方程有2个根；若g（x）＝t3，则方程有2个根.故方程f（g（x））＝0有6个根，故A正确；对于B选项，设f（x）＝t，令g（t）＝0，由g（x）的图像知，g（t）＝0有两根，分别为－2＜t1＜－1，0＜t2＜1，由f（x）的图像知f（x）＝t1有1个根，f（x）＝t2有3个根.故g（f（x））＝0有4个根，故B错误；对于C选项，设f（x）＝t，令f（t）＝0，由f（x）的图像知f（t）＝0有3个根，分别为－2＜t1＜－1，t2＝0，1＜t3＜2，由f（x）的图像知f（x）＝t1有1个根，f（x）＝t2有3个根，f（x）＝t3有1个根，∴f（f（x））＝0有5个根，故C正确；对于D 选项，设g（x）＝t，令g（t）＝0，由g（x）的图像知g（t）＝0有2个根，分别为－2＜t1＜－1，0＜t2＜1，由g（x）的图像知，g（x）＝t1有2个根，g（x ）＝t 2有2个根，故g （g （x ））＝0有4个根，故D 正确.二、 填空题（每小题5分，共10分）5. 对于定义域为D 的函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b]⊆D （a ＜b ），使得{y|y ＝f （x ），x ∈M}＝M ，则称区间M 为函数 f （x ）的“等值区间”.给出下列四个函数：①f （x ）＝2x ；②f（x ）＝x 3；③f（x ）＝sin x ；④f（x ）＝log 2 x ＋1. 则存在“等值区间”的函数是 ②④ .（把正确的序号都填上）解析： 问题等价于方程f （x ）＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x ＞x ，故函数f （x ）＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f （x ）＝x 3存在三个等值区间[－1，0]，[0，1]，[－1，1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图像，可知函数f （x ）＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f （x ）＝log 2 x ＋1存在等值区间[1，2].6. 已知函数f （x ）满足f （x ＋1）＝f （x －1），且f （x ）是偶函数，当x∈[0，1]时， f （x ）＝x ，若在区间[－1，3]上函数g （x ）＝f （x ）－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是 ⎝⎛⎦⎥⎥0，14 解析：由f （x ＋1）＝f （x －1）得f （x ＋2）＝f （x ），则f （x ）是周期为2的函数.∵f（x ）是偶函数，当x∈[0，1]时， f （x ）＝x ，∴当x∈[－1，0]时， f （x ）＝－x ，易得当x∈[1，2]时， f （x ）＝－x ＋2，当x∈[2，3]时， f （x ）＝x －2.在区间[－1，3]上函数 g （x ）＝f （x ）－kx －k 有 4个零点，即函数y ＝f （x ）与y ＝kx ＋k 的图像在区间[－1，3]上有4个不同的交点.作出函数y ＝f（x ）与y ＝kx ＋k 的图像如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，14.三、 解答题（共20分）7.（8分）（2013·郑州模拟）设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，函数F （x ）＝f （x ）－x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）.（1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f （x ）与m 的大小. 解析：（1）由题意知，F （x ）＝f （x ）－x ＝a （x －m ）（x －n ），当m ＝－1，n ＝2时，不等式F （x ）＞0即为a （x ＋1）（x －2）＞0.当a ＞0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x|x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x|－1＜x ＜2}.（4分）（2）f （x ）－m ＝a （x －m ）（x －n ）＋x －m ＝（x －m ）（ax －an ＋1）， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0， ∴f （x ）－m ＜0，即f （x ）＜m.（8分）8.（12分）已知函数f （x ）＝|x －a|－a 2ln x ，a ∈R. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：1＜x 1＜a ＜x 2＜a 2. 解析：（1）由题意，函数的定义域为（0，＋∞），（1分）当a≤0时， f （x ）＝|x －a|－a 2ln x ＝x －a －a 2ln x ， f ′（x ）＝1－a 2x＞0，函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）.（3分）当a＞0时，f（x）＝|x－a|－a2ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧x－a－a2ln x，x≥a，a－x－a2ln x，0＜x＜a，（4分）若x≥a，f′（x）＝1－a2x＝2x－a2x＞0，此时函数f（x）单调递增，若0＜x＜a，f′（x）＝－1－a2x＜0，此时函数f（x）单调递减，综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，＋∞）. （6分）（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，至多只有一个零点，不合题意；（7分）则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a]，单调递增区间为[a，＋∞），由题意，必须f（a）＝－a2ln a＜0，解得a＞1.由f（1）＝a－1－a2ln 1＝a－1＞0，f（a）＜0，得x1∈（1，a）. 而f（a2）＝a2－a－aln a＝a（a－1－ln a），（9分）下面证明：a＞1时，a－1－ln a＞0.设g（x）＝x－1－ln x，x＞1，则g′（x）＝1－1x＝x－1x＞0，∴g（x）在（1，＋∞）上单调递增，则g（x）＞g（1）＝0，∴f（a2）＝a2－a－aln a＝a（a－1－ln a）＞0，又f（a）＜0，∴x2∈（a，a2）.综上，1＜x1＜a＜x2＜a2. （12分）。

2015届高考数学一轮复习单元检测： 基本初等函数(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案：A2．(2013·江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]答案：B 3．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )A.14B.22C.24D.12答案：C4．函数f (x )＝2－|x |的值域是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．R解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，作图象如下：故所求值域为(0,1]．答案：A5.[2014·济南调研]下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A. (－∞，1]B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D. [1,2)答案：D6．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．( 0,1) C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：画y ＝|log 12x |的图象如下：由图象知单调增区间为[1，＋∞)． 答案：D7．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )解析：因为当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B 、C ；当x＝－2时，2x －x 2＝14－4＜0，故排除D ，所以选A.答案：A8.log 2716log 34的值为 ( )A ．2 B.32 C ．1 D.23答案：D9．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案：D10．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.()1，2 D.()2，2答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．图中一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；其中情境A 、B 、C 、D 分别对应的图象是__________(填序号)．答案：①③④②12．设f (x )是定义在区间(－1,1)上的奇函数，它在区间[0,1)上单调递减，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是(－1,1)的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，且在[0,1)上递减． ∴f (1－a )＋f (1－a 2)＜0即等价于 f (1－a )＜f (a 2－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＞a 2－1，－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1.答案：(0,1)13．已知a ＞0且a ≠1，则函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点________．答案：(2，－2) 14．函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log 2x (x ＞0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f (－2)的值为________．解析：∵y ＝f (x )与y ＝log 2x (x >0)的图象关于y ＝x 对称， ∴f (x )＝2x ，∴f (－2)＝2－2＝14.答案：14三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)计算：(1)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(2)23×612×332.解析：(1)原式＝lg(4×3)1＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12 1＋lg 1.2＝lg 12lg 10＋lg 1.2＝1.(2)原式＝2627×612×694＝2627×12×94＝2627×27＝2636＝2×3＝6.或原式＝2×312×1216×⎝⎛⎭⎪⎫3213＝2×312×316×(22)16×313×2－13＝21＋2×16－13×312＋16＋13＝2×3＝6.16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－12x＋1.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断并用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性．解析：17.(本小题满分14分)若f(x)＝x2－x＋b且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．(2)x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)且log 2f (x )＜f (1)．解析：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ∴(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ∴log 2a (log2a －1)＝0∵a ≠1，∴log 2a －1＝0，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4，∴a 2－a ＋b ＝4， ∴b ＝4－a 2＋a ＝2，故f (x )＝x 2－x ＋2 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74∴当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2＞2，log 2(x 2－x ＋2)＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或0＜x ＜1，－1＜x ＜2，∴0＜x ＜1.18．(本小题满分14分)已知n ∈N *，f (n )＝n ·0.9n ，比较f (n )与f (n ＋1)大小，并求f (n )的最大值．解析：f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)·0.9n ＋1－n ·0.9n ＝0.9n (0.9n ＋0.9－n )＝9－n 10·0.9n ，∵0.9n >0，∴当0<n <9时，f (n ＋1)>f (n )； 当n ＝9时，f (n ＋1)＝f (n )，即f (10)＝f (9)； 当n >9时，f (n ＋1)<f (n )．综上所述，f (1)<f (2)<…<f (9)＝f (10)>f (11)>… ∴当n ＝9或n ＝10时，f (n )最大， 最大值为f (9)＝9×0.99.19.(本小题满分14分)一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，且砍伐到原面积的一半时，所用时间是T 年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的25%.已知到今年止，森林剩余面积为原来的22. (1)问：到今年止，该森林已砍伐了多少年？(2)问：今后最多还能砍伐多少年？解析：设每年砍伐面积的百分比为b (0<b <1)，则a (1－b )T ＝12a ，∴(1－b )T＝12，lg(1－b )＝lg 12T .(1)设到今年为止，该森林已砍伐了x 年，∴a (1－b )x ＝22a ⇒x lg(1－b )＝lg 22.于是x ·lg 12T ＝lg 22⇒x ＝T2. 这表明到今年止，该森林已砍伐了T2年．(2)设从开始砍伐到至少保留原面积的25%，需y 年．∴a (1－b )y≥14a ⇒y lg(1－b )≥lg 14，∴y ·lg 12T ≥lg 14⇒y ≤2T .因此今后最多还能砍伐的年数为 2T －T 2＝3T2.20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(其中a ＞1＞b ＞0)．(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)在函数f (x )的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线行于x 轴．解析：(1)a x －b x ＞0⇒a x ＞b x⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ＞1，∵a ＞1＞b ＞0，∴ab ＞1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0. ∴x ＞0.即函数定义域为(0，＋∞)．(2)一方面，x ＞0，a ＞1，y ＝a x 在(0，＋∞)上为增函数，另一方面，x ＞0,0＜b ＜1，y ＝－b x 在(0，＋∞)上也是增函数．∴函数y ＝a x －b x 在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )＝lg(a x －b x )在(0，＋∞)上为增函数．故不存在这样的点，使过这两点的直线平行于x 轴．。

第5讲 指数与指数函数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．解析 由条件可知在(0，＋∞)上，函数f (x )递增，所以③满足． 答案 ③2．函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．解析 当a ＞1时单调递增，且在y 轴上的截距为0＜1－1a＜1时，故①，②不正确；当0＜a ＜1时单调递减，且在y 轴上的截距为1－1a＜0，故③不正确；④正确．答案 ④ 3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．解析.答案4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于________． 解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10. 答案105．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b ∈(0,1)．答案 (0,1)6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b . 答案 a ＞c ＞b7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1) 8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________． 解析 当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.答案12或32二、解答题9．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e xa ＋ae x ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a＝0，即a 2＋1＝0，显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e xa ＋ae x ＝e －x a ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1a (e x －e －x )＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a＝0，得a ＝±1.10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解 令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 解析 由图象平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9.答案 92．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3a x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3a x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，－3a＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤13，6113．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c＋3a ________2(比较大小)．解析 作f (x )＝|3x －1|的图象如图所示，由图可知，要使c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0且a ＞0， ∴3c ＜1＜3a ，∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1， 又f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案 ＜ 二、解答题4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13t 在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4a ＋3＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。

专题二 基本初等函数、导数及其应用1. 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．112.已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a3.函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为( )4.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0.其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5.设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π] 时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π) 且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．86.如右图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图像大致是( )7.已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )8.设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．9.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．10.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B ⎝⎛⎭⎫12，1、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．11.设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B . (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．12.设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(Ⅰ)求f (x )的最小值；(Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．13.设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(Ⅰ)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(Ⅱ)当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5.14.已知f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1，2])的反函数．专题二 基本初等函数、导数及其应用1.C 前m 年的年平均产量最高，而Sm m最大，由图可知，前9年(含第9年)直线递增，当m ＞9(m ∈N ＋)时，总产量S n 递增放慢，故m ＝9.2.A ∵b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，且b >1， 又c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .3.D y ＝cos6x 2x －2－x 为奇函数，排除A 项．y ＝cos6x 有无穷多个零点，排除C 项．当x →0＋时，2x－2－x ＞0，cos6x →1，∴y ＞0，故选D.4.C ∵f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，∴f (x )在(－∞，1)，(3＋∞)上单调递增， f (x ) 在(1，3)上单调递减． 又f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴f (x )的草图如下．由图象可知f (1)>0，f (3)<0且a <1<b <3<c ， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－abc >0abc >0， 故0<abc <4. ∴a >0.即0<a <1<b <3<c . ∴f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0. 故选C.5.B 由已知可得f (x )的图象(如图)， 由图可得零点个数为4.6.A 当0<t <1时，S (t )＝12×t ×2t ×sin π6＝12t 2；当t ≥1时，S (t )＝S △OAB ＋S 扇形 ＝12×1×2×12＋12·3(t －1)·AB ＝12－3·AB 2＋32AB ·t . 而AB 2＝1＋4－2×2×cos π6＝5－2 3.∴32AB >1，即直线的倾斜角大于45°.∴选A.7.B 由f (x )――→关于y 轴对称f (－x )――→右移2个单位f [－(x －2)]――→沿x 轴翻折－f (2－x )． 8.2 f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，∴f (x )max ＋f (x )min ＝M ＋m ＝2.9.－10 ∵f (32)＝f (－12)，∴f (12)＝f (－12)，∴12b ＋232＝－12a ＋1，易求得3a ＋2b ＝－2， 又f (1)＝f (－1)，∴－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0， ∴a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋3b ＝－10. 10.14由题意易得 f (x )＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤12）－2x ＋2（12<x ≤1），∴y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧2x 2（0≤x ≤12）－2x 2＋2x （12<x ≤1），∴所围成的图形的面积为S ＝∫1202x 2d x ＋∫112(－2x 2＋2x ) d x＝23x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋（－23x 3＋x 2）112＝23×(12)3＋(－23)×1＋1＋23×(12)3－(12)2 ＝112－23＋1＋112－14 ＝14. 11.解：令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3)．(1)①当0＜a ≤13时，Δ≥0.方程g (x )＝0的两个根分别为x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94，x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94.所以g (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.因为x 1，x 2＞0，所以D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.②当13＜a ＜1时，Δ＜0，则g (x )＞0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述，当0＜a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13＜a ＜1时，D ＝(0，＋∞)． (2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝1.①当0＜a ≤13时，由(1)知D ＝(0，x 1)∪ (x 2，＋∞)．因为g (a )＝2a 2－3(1＋a )a ＋6a ＝a (3－a )＞0， g (1)＝2－3(1＋a )＋6a ＝3a －1≤0， 所以0＜a ＜x 1＜1≤x 2，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (0，a ) a (a ，x 1) (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － ＋f (x ) ↗ 极大值 ↘ ↗所以f (x )的极大值点为x ＝a ，没有极小值点．②当13＜a ＜1时，由(1)知D ＝(0，＋∞)，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (0，a ) a (a ，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f (x )的极大值点为x ＝a ，极小值点为x ＝1.综上所述，当0＜a ≤13时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，没有极小值点；当13＜a ＜1时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，一个极小值点x ＝1. 12.解：(Ⅰ)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(1a ，＋∞)上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，1a )上递减．所以当x ＝1a 时，f (x )取最小值为2＋b .(Ⅱ)f ′(x )＝a －1ax2，由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)，将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.13.证明：(Ⅰ)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.① 令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0， 即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(Ⅱ)法一：记h (x )＝f (x )－9（x －1）x ＋5，由(Ⅰ)得h ′(x )＝1x ＋12x －54（x ＋5）2＝2＋x 2x －54（x ＋5）2<x ＋54x －54（x ＋5）2＝（x ＋5）3－216x 4x （x ＋5）2.令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时， g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0.因此g (x )在(1，3)内是递减函数．又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1，3)内是递减函数， 又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5.法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(Ⅰ)得 h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎡⎦⎤3x （x －1）＋（x ＋5）⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1，3)内单调递减， 又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9（x －1）x ＋5.14.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10， －23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－23<x <13，得－23<x <13. (2)当x ∈[1，2]时，2－x ∈[0，1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg 2]．。

2015 届高考数学（文科）一轮总复习函数与基本初等函数 I第二篇函数与基本初等函数I第 1 讲函数及其表示基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1 ．以下各组函数表示同样函数的是________．①f(x) ＝ x2 ，g(x) ＝ (x)2 ；② f(x) ＝ 1， g(x) ＝ x2；③ f(x)＝x，x≥0，－x，x分析①中的两个函数的定义域分别是R 和 [0 ，＋∞ ) ，不同样；②中的两个函数的对应法例不一致；④中的两个函数的定义域分别是R和 {x|x ≠ 1} ，不同样，只管它们的对应法例一致，但也不是同样函数；③中的两个函数的定义域都是R，对应法例都是g(x) ＝|x| ，只管表示自变量的字母不一样，但它们依旧是同样函数．答案③2 ．(2014 ?镇江一模 ) 函数 f(x)＝lnxx－1＋x12的定义域为________．分析要使函数存心义，则有x≥0， xx － 1＞ 0，即 x≥ 0，x x－1 0，解得x ＞1.答案(1 ，＋∞ )3 ．f(x)＝log21－ x1， x＜ 1，x－ 2， x≥ 1，若f(a)＝3，则a＝________.分析令 log2(1 －a) ＋ 1＝3，得 a＝－ 3；令 a－ 2＝ 3，得 a＝ 33( 舍去 ) ，因此 a＝－ 3.答案－ 34 ．(2013 ?江西师大附中模拟 ) 已知函数 f(x) ＝1－ x， x≤0，ax，x＞ 0，若 f(1) ＝ f( － 1) ，则实数 a 的值等于 ______．分析由 f(1)＝f(－1)，得a＝1－(－1)＝2.答案 25 ． (2014 ?保定模拟 ) 设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是________．分析∵ g(x ＋ 2) ＝ f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴ g(x) ＝ 2x －1.答案g(x) ＝ 2x－ 16 ．(2014 ?徐州质检 ) 函数 f(x) ＝ lnx － 2x＋ 1 的定义域是______．分析由题意知 x－ 2x＋ 1＞0，即(x － 2)(x ＋ 1) ＞ 0，解得 x＞ 2 或 x＜－ 1.答案{x|x ＞ 2，或 x＜－ 1}7 ．(2013 ?福建卷 ) 已知函数f(x)＝2x3，x＜0，－tanx，0≤ x＜π 2，则 ff π 4＝________.分析 f π 4＝－ tan π4＝－ 1，∴ff π 4＝ f( － 1) ＝ 2×( － 1)3 ＝－ 2.答案－ 28．已知 f1 － x1＋ x＝1－ x21＋x2 ，则 f(x) 的分析式为________．分析因此进而答案令 t ＝ 1－ x1＋ x，由此得 x＝ 1－ t1 ＋ t ，f(t)＝1－1－t1＋t21＋1－t1＋t2＝2t1＋t2f(x)的分析式为f(x)＝2x1＋x2(x≠－1)．f(x)＝2x1＋x2(x≠－1)，二、解答题9．已知 f(x) 是二次函数，若 f(0) ＝0，且 f(x ＋ 1) ＝ f(x)＋x＋ 1. 求函数 f(x) 的分析式．解设 f(x) ＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) ，又 f(0) ＝ 0，∴c＝ 0，即 f(x) ＝ax2＋ bx.又 f(x ＋1) ＝ f(x) ＋ x＋ 1.∴a(x ＋ 1)2 ＋b(x ＋ 1) ＝ ax2 ＋ (b ＋ 1)x ＋ 1.∴(2a ＋ b)x ＋a＋ b＝ (b ＋ 1)x ＋ 1，∴2a＋ b＝ b＋ 1， a＋ b＝ 1，解得 a＝ 12， b＝ 12. ∴ f(x)＝12x2＋12x.10 ．某人开汽车沿一条直线以 60/h 的速度从 A 地到 150远处的 B 地．在 B 地逗留 1h 后，再以 50/h 的速度返回 A 地，把汽车与 A 地的距离 s() 表示为时间的函数，并画出函数的图象．解由题意知： s＝ 60t ， 0≤ t 象如下图．t(h)(从A地出发开始)≤ 52，150， 52其图能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．设函数 y＝ f(x) 的定义域是 [0,4] ，则函数 g(x) ＝ f 4xlnx 的定义域是 ________．分析由已知 0≤4x≤ 4，且 lnx ≠ 0， x＞0? 0＜x＜ 1.答案(0,1)2．已知函数 y＝ f(x) 的图象对于直线 x＝－ 1 对称，且当 x∈(0 ，＋∞ ) 时，有 f(x) ＝ 1x，则当 x∈ ( －∞，－ 2) 时，f(x)的分析式为________．分析当 x∈ ( －∞，－ 2) 时，则－ 2－ x∈ (0 ，＋∞ ) ，∴f(x) ＝－ 1x＋ 2.1]答案f(x)＝－1x＋ 23 ．(2013 ?潍坊模拟 ) 设函数， log81x ， x 1f(x) ＝ 2－x， xf(x)＝14 的x 值为________．分析当 x∈ ( －∞，1] 时，2－ x＝ 14＝ 2－ 2，∴x＝ 2( 舍去 ) ；当 x∈ (1 ，＋∞ ) 时， log81x ＝ 14，即 x＝81＝ 3＝ 3.答案 3二、解答题4．若函数 f(x) ＝12x2－ x＋a 的定义域和值域均为 [1 ，b](b>1) ，求 a， b 的值．解∵ f(x)＝12(x－1)2＋a－12，∴其对称轴为x ＝1，即函数 f(x)在[1，b]上单一递加．∴f(x)in ＝ f(1) ＝ a－12＝ 1，①f(x)ax＝ f(b)＝12b2－b＋a＝b，②又 b>1，由①②解得a＝32， b＝ 3，∴ a，b 的值分别为32， 3.。