2020年高考文科数学《 基本初等函数》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 幂函数的图像与性质
例1 已知幂函数()x f y =的图象过点
），（2
221，则()2log 2f 的值为( ) A.
2
1
B ．2
1
-
C ．1-
D ．1
【答案】A
【解析】由幂函数()a
x x f =的图象过点），（2221，得22)21()21(==αf ，2
1=a ，则幂函数()21
x x f =， ∴()2
1
22=f ，∴()2
1
2log 2=
f .故选A . 【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式. 【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型()a
x x f =.
例2 如果幂函数()2
3212++-=p p x x f ()Z p ∈是偶函数，且在()+∞,0上是增函数，求p 的值，并写出相应的
函数()x f 的解析式.
【答案】1=p ，()2
x x f =.
【解析】因为()x f 在()+∞,0上是增函数，
所以02
3
212>++-
p p ，
，所以31<<-p . 又因为()x f 是偶函数且Z p ∈，所以1=p ，故()2
x x f =.
【易错点】易忘记Z p ∈这一关键条件，以及幂函数在()+∞,0递增时指数的特征.
【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数()a
x x f =的奇偶性特征，以及幂函数在()+∞,0上是单调递增时幂函
数的指数恒为正数.
题型二 二次函数的图像和性质（最值）
例1 已知()532
-+=x x x f ，[]1,+∈t t x ，若()x f 的最小值为()t h ，写出()t h 的表达式 .
2
【答案】⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧->-+-≤<---≤-+=)23(53)2325
(4
29)25(15)(2
2
t t t t t t t t h
【解析】如图所示，函数图像的对称轴为2
3
-=x （1）当231-≤+t ，即2
5-≤t 时，()()1512
-+=+=t t t f t h . （2）当123+≤-≤t t ，即23
25-≤<-t 时，()42923-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=f t h .
（3）当2
3-
>t 时，()()532
-+==t t t f t h . 综上可得22551,
22953(),42
2335.
2
t t t h t t t t t ⎧⎛
⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎪
⎪⎛⎫=--<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛
⎫+->-⎪ ⎪⎝⎭⎩
≤≤ 【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论. 【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.
例2 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+-=020222
x x
x x x x x f ，若关于x 的不等式()[]()02
2<-+b x af x f 恰有1个整数解，则
实数a 的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
【答案】D
【解析】作出函数()x f 的图象如图实线部分所示，由
()[]()0
22<-+b x af x f 得
()2
4242
222b a a x f b a a ++-<<+--，若0≠b ，则()0=x f 满足不等式，即不等式有2个整数解，
不满足题意，所以0=b ，所以()0<<-x f a ，且整数解x 只能是3，当42<【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.
【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题. 题型三 指数函数 例1 已知奇函数
()f x 在R 上是增函数.若21log 5
a f ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c
的大小关系为（ ）.
A.a b c <<
B.b a c <<
C.c b a <<
D.c a b << 【答案】C
【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以()2
2211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛
⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，又因为()f x 在
R 上是增函数，且0.8
22202
2log 4log 4.1log 5<<=<<，所以()()0.82212log 4.1log 5
f f f ⎛
⎫<<- ⎪⎝
⎭
，即
c b a <<.故选C ．
【思维点拨】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。首先根据奇函数的性质和对数
运算法则，，再比较比较大小.
例2 设函数1,0()2,0
x
x x f x x +⎧=⎨
>⎩≤，则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________． 【答案】
()2log 5a f =0.8
22log 5,log 4.1,2
1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
