(曾燕媚)第八单元：排列问题P101例1

《排列》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握排列的基本概念和原理，能够独立完成简单的排列问题，并能够应用所学知识解决实际问题。

二、作业内容1. 基础题：（1）请列举三个不同的三位数，并按照从小到大的顺序排列。

（2）请用数字卡片1-9组成六个不同的三位数，并按照从小到大的顺序排列。

2. 挑战题：（1）假设有5个不同的项目，每个项目需要3名志愿者，现在有15名志愿者可供选择，请问可以组成多少个不同的志愿者团队？（2）假设有5个班级，每个班级需要选择3名学生参加学校的文艺比赛，现在有30名学生可供选择，请问可以组成多少个不同的参赛团队？3. 附加题（选做）：给定一组数字卡片（如1-9），请使用至少三种不同的排列方式，使得卡片的数字能组成最大的数。

三、作业要求1. 独立完成：学生需自行完成作业，不得抄袭或参考他人的答案。

2. 正确性：学生需确保答案的正确性，如有疑问，可与同学讨论或向老师请教。

3. 实践应用：学生需将所学知识应用到实际问题中，培养解决问题的能力。

四、作业评价1. 答案正确性：检查学生的答案是否符合题目要求，是否正确。

2. 理解程度：根据学生的解题过程和答案，评估学生对排列知识的理解程度。

3. 实际应用：观察学生是否能够将所学知识应用到实际问题中，评估学生的实践能力。

五、作业反馈1. 总结问题：总结学生在作业中普遍出现的问题，并在下次课堂上进行讲解和纠正。

2. 表扬优秀：表扬在作业中表现优秀的学生，鼓励进步的学生，给予适当的奖励。

3. 改进建议：根据学生的作业情况，提出对教学方案的改进建议，以更好地满足学生的需求。

通过本次作业，希望帮助学生进一步巩固排列知识，提高他们的解题能力和实践能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本次作业旨在进一步巩固学生对排列知识点的理解，提高他们的应用能力。

通过完成作业，学生应能够：1. 熟练掌握排列数公式；2. 能够根据给定条件，正确计算排列数；3. 学会在实际问题中应用排列知识。

.2排列与排列数第1课时排列与排列数学习任务核心素养1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点)1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养．2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养．教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排．问题：这12位老师的坐法共有多少种？[提示]根据上节所学分步乘法计数原理，这12位老师的不同坐法种数为12×11×10×…×2×1．这节课将学习一种更为简捷的方法来解决这个问题．知识点1排列的概念(1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．(2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列．两个排列相同的条件是什么？[提示]两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×知识点2排列数及排列数公式排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n 个不同对象中取出m个对象的排列数排列数的表示A m n(n，m∈N＋，m≤n)排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n －2)…(n－m＋1) 阶乘式A m n＝n！n－m！阶乘A n n ＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！规定0！＝1，A0n＝1性质A m n＋m A m－1n＝A m n＋1提醒：(1)“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA 是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数”，它是一个数．(2)符号A m n中，总是要求n和m都是正整数，且m≤n．2.89×90×91×92×…×100可表示为()A．A 10100B．A 11100C．A 12100D．A 13100C[A 12100＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89．]3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有() A．3种B．4种C．6种D．12种C[由排列的定义可知，共有A33＝3×2×1＝6种排列方法．]类型1排列的概念【例1】判断下列问题是不是排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[思路点拨]判断是不是排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不属于排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟进训练]1．判断下列问题是不是排列问题．(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？[解](1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．类型2排列的列举问题【例2】(对接教材P10例1)写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[思路点拨](1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出所有情况．[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.[跟进训练]2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法．(1)12(2)14[(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种．]类型3排列数公式的推导及应用1．排列数A m n中，n，m满足什么条件？[提示]n，m∈N＋且m≤n．2．等式A m n＝n A m－1n－1成立吗？[提示]∵A m n＝n！(n－m)！，A m－1n－1＝(n－1)！(n－m)！，∴A m n＝n(n－1)！(n－m)！＝n A m－1n－1.【例3】(1)计算：A59＋A49A610－A510；(2)求3A x8＝4A x－19中的x．[思路点拨](1)可直接运算，也可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x 的范围．[解] (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320． 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320． (2)原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！， 即3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8． 所以原方程的解为x ＝6．1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[跟进训练]3．(1)(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N ＋，且n ＜55)用排列数可表示为________；(2)不等式A x 9＞6A x －29的解集为________． (1)A 1569－n (2){2,3,4,5,6,7} [(1)由(69－n )－(55－n )＋1＝15可知，(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ．(2)原不等式可化为9！(9－x )！＞6×9！(11－x )！，化简得x 2－21x ＋104＞0，解得x ＜8或x ＞13．又⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤90≤x －2≤9x ∈N ＋x －2∈N ＋得2≤x ≤9且x ∈N ＋，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}．]1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．]2．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( )A ．A 4nB ．A n －4nC ．n ！－4!D ．A n －3nD [4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n ．]3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个C [不同结果有A 24＝4×3＝12个．]4．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．120 [利用排列的概念可知不同的分配方法有A 55＝120种．]5．A 66－6A 55＋5A 44＝________．120 [原式＝A 66－A 66＋A 55＝A 55＝5×4×3×2×1＝120．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．如何判断一个问题是否为排列问题？[提示]判断一个问题是不是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排列问题，否则，不是排列问题．2．你是如何理解排列数公式的？[提示]排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适合已知m的排列数计算，而A m n＝n！(n－m)！常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．求解时务必注意隐含条件：n，m∈N＋，m≤n．。

三年级数学学科导学案
备课时间：11月25日编写人：曾苑媚监督人：审核人：执行审核人：
课题：认识几分之几92页例4、例5
【学习目标】
1.使学生初步认识几分之几；会读.会写简单的分数，知道分数各部分的名称。

2.培养学生合作意识.数学思考与语言表达能力。

3.在动手操作.观察比较中，培养学生勇于探索和自主学习的精神，使之获得运用知识解决问题的成功体验。

4.激发学习兴趣，培养合作意识和数学思考方法。

【重点】初步认识几分之几；会读.会写简单的分数。

【难点】理解分数几分之几的含义。

【教学过程】
一、预习指导
1）你知道涂色部分占整个图形的几分之一吗？说一说理由。

二、合作探究
1、动手操作,小组交流.
1）现在请同学们将手中的正方形纸平均分成4份，你喜欢涂几份就涂几份，然后想一想涂色部分是正方形的几分之几?你是怎么想的？
2）结果展示：
涂色部分是整个正方形的（）涂色部分是整个正方形的（）
涂色部分是整个正方形的（）涂色部分是整个正方形的（）
2、
小组合作：把这块月饼平均分成了（）份，三份是它的（）分之（），写作（）
读作：（ ）。

3、把1分米长的一条彩带平均分成了10份。

像4
1， 42，43 ， 103…… 这样的数就都是（ ）。

三、当堂检测
1. 你能把涂色部分用分数表示出来吗？
2. 下面各图中的涂色部分能用43表示的画√，不能表示的画×。

3.在下图里适当的部分涂上颜色，表示它下面的分数。

四、课堂总结
学生反思： （ ） （ ）。

第八单元数学广角——搭配(一), 排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材。

教材中安排学生通过观察、猜测、试验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。

教学重点是渗透排列组合、简单推理等数学思想方法。

难点是培养学生有序、全面地思考问题的意识。

关键是让学生在操作活动中学会学习。

)第1课时排列问题教材第97页的内容。

1．通过观察、猜测、比较等活动，找出最简单的事情的排列数和组合数。

2．初步培养学生有序、全面地思考问题的能力。

3．培养学生的观察、分析及推理能力。

重点：经历探索简单事物排列规律的过程，培养学生有序思考问题的能力。

难点：掌握排列不重复、不遗漏的方法。

课件、数字1～3的卡片各一张。

师：同学们，你们想和老师成为好朋友吗？(想。

)师：朋友见面时，为了表示友好，一般都要握握手。

老师特别想和每个人握一下手，你们愿意与老师握手吗？(愿意。

)老师随意与学生握手，特别注意与情绪激动的孩子先握，有意让秩序乱起来，有意重复握。

师：哎呀，刚才老师和几位小朋友握了手，老师已经记不清了。

给老师想个办法，好吗？师：握手的时候要注意些什么呀？怎么做才能不重不漏？今天我们就一起来学习——排列问题。

(板书课题。

)1．表演握手。

师：先让两个同学表演，他们握手几次？(2次。

)师：三个小朋友，每两个人只能握一次手，一共要握几次手呢？师：一人做裁判，小组的其他三个同学握一握，看一看到底几次。

师：握手的时候要注意些什么呀？怎么做才能不重不漏？师：A和B握手了吗？B和A握手了吗？这算一次，还是两次呀？小组汇报，组长组织小组成员台前表演。

师：他们握手，咱们一起来数吧！(注意握过手的小朋友一边休息。

)有不同意见的小组到台前表演说明。

小结：在我们的生活中有很多类似握手的问题，这其实就是一种有关搭配的问题。

在思考的时候我们要按照一定的顺序，这样就不会重复也不会遗漏。