2012年高考数学二轮复习专题教案：含参数不等式的问题 (1)

19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1). ●案例探究［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )；(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R }(3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.［例2］设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值 范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1}［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). ●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________. 3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k x p +1log (k ∈R +)5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论. 6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7.(★★★★)解不等式log a (x －x 1)＞18.(★★★★★)设函数f (x )=a x满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞). 当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b )∪(－2b，－a 2) 答案：(a 2，2b )∪(－2b，－a 2)3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］ 三、4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x . 若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.(2)f (x )=1818+-x x ，∴f -－1(x )=log 8x x -+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8x x -+11＞log 8kx+1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k . ∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.5.解：由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得 f (－1)≤23. 由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故 2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a ).依题意：ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0，∴f (x )=23x 2+x +1易验证：23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx11011① ②由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx xmx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立，∵2121212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)。

高考数学第二轮专题复习不等式教案一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。

（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

（4）掌握某些简单不等式的解法。

（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。

2012届高考数学不等式知识导航复习教案第七不等式高考导航考试要求重难点击命题展望1不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景2一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图3二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决4基本不等式：≥ (a，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题本重点：1用不等式的性质比较大小；2简单不等式的解法；3二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4基本不等式的应用本难点：1含有参数不等式的解法；2不等式的应用；3线性规划的应用不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移知识网络71不等式的性质典例精析题型一比较大小【例1】已知a＞0，a≠1，P＝lga(a3－a＋1)，Q＝lga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论【变式训练1】已知＝a＋1a－2(a＞2)，n＝x－2(x≥12)，则，n之间的大小关系为()A＜nB＞n≥n D≤n【解析】选本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤(12)－2＝4题型二确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤，求f(3)的取值范围【解析】由已知－4≤f(1)＝a－≤－1，－1≤f(2)＝4a－≤令f(3)＝9a－＝γ(a－)＋μ(4a－)，所以故f(3)＝－3(a－)＋83(4a－)∈[－1,20]题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②a＞db；③b＞ad以其中两个作条，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题对不等式②作等价变形:a＞db&#8660;b －adab＞0(1)由ab＞0，b＞ad&#868;b－adab＞0，即①③&#868;②；(2)由ab＞0，b－adab＞0&#868;b－ad＞0&#868;b＞ad，即①②&#868;③；(3)由b－ad＞0，b－adab＞0&#868;ab＞0，即②③&#868;①故可组成3个正确命题【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条进行恰当的等价变形【变式训练3】a、b、、d均为实数，使不等式ab＞d＞0和ad＜b都成立的一组值(a，b，，d)是_______________(只要写出符合条的一组即可)【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad＜b的条，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3)故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值总结提高1不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条推出与结论相反的结果在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条与结论及其逻辑关系，要注意条的弱化与加强，不可想当然如在应用ab＞0，a＞b&#868;1a＜1b 这一性质时，不可弱化为a＞b&#868;1a＜1b，也不可强化为a＞b＞0&#868;1a＜1b2题设条含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍3比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键72简单不等式的解法典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x2－2x－3＞0；(2)已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(&#870;RA)∩B【解析】(1)方程两根为x1＝－1，x2＝3，所以原不等式解集为{x|x＜－1或x＞3}(2)因为A＝{x|13＜x＜2}，&#870;RA＝{x|x≤13或x≥2}，B＝{x|x≤－12或x≥1}，所以A∪B＝{x|x≤－12或x＞13}，(&#870;RA)∩B＝{x|x≤－12或x≥2}【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”【变式训练1】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为()A(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B[－3，－1][－3，－1]∪(0，＋∞)D[－3，＋∞)【解析】选由已知对x≤0时f(x)＝x2＋bx＋，且f(－4)＝f(0)，知其对称轴为x＝－2，故－b2＝－2&#868;b＝4又f(－2)＝0，代入得＝4，故f(x)＝分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式x2＋(－2)x－2＞0 (∈R)【解析】当＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；当≠0时，可分为两种情况：(1)＞0 时，方程x2＋(－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝2所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞2}；(2)＜0时，原不等式可化为－x2＋(2－)x＋2＜0，其对应方程两根为x1＝－1，x2＝2，x2－x1＝2－(－1)＝＋2①＜－2时，＋2＜0，＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜2}；②＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为&#8709;；③－2＜＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|2＜x＜－1}综上所述：当＜－2时，解集为{x|－1＜x＜2}；当＝－2时，解集为&#8709;；当－2＜＜0时，解集为{x|2＜x＜－1}；当＝0时，解集为{x|x＜－1}；当＞0时，解集为{x|x＜－1或x＞2}【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集【变式训练2】解关于x的不等式ax－1x＋1＞0【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞1a或x＜－1}；当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为&#8709;；当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜1a}题型三一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax2＋bx＋＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式x2＋bx ＋a＜0的解集【解析】由于ax2＋bx＋＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，且ax2＋bx＋＝0的两根为1、3，则－ba＝1＋3，a＝1×3，即ba＝－4，a＝3又a＜0，不等式x2＋bx＋a＜0可以化为ax2＋bax＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0，解得x＜13或x＞1【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根【变式训练3】(2009江西)若不等式9－x2≤(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则＝【解析】2作出函数＝9－x2和＝(x＋2)－2的图象，函数＝9－x2的图象是一个半圆，函数＝(x＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a＝1，即1是方程9－x2＝(x＋2)－2的根，代入得＝2总结提高1解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集2当含有参数时，需分类讨论分类标准往往根据需要而设定如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等3要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用73二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是()A2B4D8【解析】选B由f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数因为f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当x∈(－2,4)时，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋b≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是()A12Bπ41Dπ2【解析】选当a＝b＝1时，满足x＋≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1本题关键是确定点所形成的区域形状题型二利用线性规划求最值(1)z＝x＋2－4的最大值；(2)z＝x2＋2－10＋2的最小值；(3)z＝2＋1x＋1的取值范围【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，(7,9)(1)易知直线x＋2－4＝z过点时，z最大所以x＝7，＝9时，z取最大值21(2)z＝x2＋(－)2表示可行域内任一点(x，)到定点(0,)的距离的平方，过点作直线A的垂线，易知垂足N在线段A上，故z的最小值是(|0－＋2|2)2＝92(3)z＝2&#8226;－(－12)x－(－1)表示可行域内任一点(x，)与定点Q(－1，－12)连线斜率的2倍因为QA＝74，QB＝38，所以z的取值范围为[34，72]【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键【变式训练2】已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求a＋b的最小值【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立则作出点(a，b)表示的平面区域令z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0与6a－b＋9＝0的交点A的坐标为(－1,3)当直线z＝a＋b过点A(－1,3)时，z＝a＋b取最小值2题型三线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 3，第二种有6 3假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料018 3，第二种木料0083，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料009 3，第二种木料028 3，可获利润10元木器厂在现有木料条下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为，所获利润为z，则z＝6x＋10，当直线l：6x＋10＝0平移到经过点(30,100)时，z＝6x ＋10最大zax＝6×30＋10×100＝3 100，所以生产圆桌30张，衣柜100个可获得最大利润3 100元【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，≥0)，然后画出可行域，利用图形求解【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋3千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条下，最少要花费元【解析】00设需3千克的x袋，24千克的袋，则目标函数z＝140x ＋120，约束条为当x＝1时，≥7124，即＝3，这时zin＝140＋120×3＝00总结提高1用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条和目标函数是关键2可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域3若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点4实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找74基本不等式及应用典例精析题型一利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，∈R＋，且x－(x＋)＝1，则()Ax＋≥2(2＋1) Bx＋≤2(2＋1)x＋≤2(2＋1)2 Dx＋≥(2＋1)2(2)已知a，b∈R＋，则ab，a＋b2，a2＋b22，2aba＋b的大小顺序是【解析】(1)选A由已知得x＝1＋(x＋)，又x≤(x＋2)2，所以(x＋2)2≥1＋(x＋)解得x＋≥2(2＋1)或x＋≤2(1－2)因为x＋＞0，所以x＋≥2(2＋1)(2)由a＋b2≥ab有a＋b≥2ab，即a＋b≥2abab，所以ab≥2aba＋b又a＋b2＝a2＋2ab＋b24≤2(a2＋b2)4，所以a2＋b22≥a＋b2，所以a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而，可作为结论使用【变式训练1】设a＞b＞，不等式1a－b＋1b－＞λa－恒成立，则λ的取值范围是【解析】(－∞，4)因为a＞b＞，所以a－b＞0，b－＞0，a－＞0而(a－)(1a－b＋1b－)＝[(a－b)＋(b－)](1a－b＋1b－)≥4，所以λ＜4 题型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x＜4，则函数＝4x－2＋14x－的最大值为；(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为()A3 B2 2 D32【解析】(1)因为x＜4，所以－4x＞0所以＝4x－2＋14x－＝－(－4x＋1－4x)＋3≤－2＋3＝1当且仅当－4x＝1－4x，即x＝1时，等号成立所以x＝1时，ax＝1(2)选因为f(x)≥0，所以所以≥b24a又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，f(1)f′(0)＝a＋b＋b＝1＋a＋b≥1＋4a2＋b24ab≥1＋24a2b24ab＝2，当且仅当＝b24a且4a2＝b2时等号成立【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条，避免出现错误【变式训练2】已知x，a，b，成等差数列，x，，d，成等比数列，求(a＋b)2d的取值范围【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋，d＝x，所以(a＋b)2d＝(x＋)2x＝2＋x＋x，当x＞0时，(a＋b)2d≥4；当x＜0时，(a＋b)2d≤0，故(a＋b)2d的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)题型三应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条？请说明理由【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)设平均每天所支付的总费用为1，则1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝900x＋9x＋10 809≥2 ＋10 809＝10 989，当且仅当9x＝900x，即x＝10时，取等号即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若厂家利用此优惠条，则至少应3天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条后，每x(x≥3)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为2，则2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×09＝900x＋9x＋9 729(x≥3)因为2′＝9－900x2，当x≥3时，2′＞0所以2＝900x＋9x＋9 729在[3，＋∞)上是增函数所以x＝3时，2取最小值70 4887由70 4887＜10 989知，该厂可以利用此优惠条【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值当等号不能成立时，常利用函数的单调性处理【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab，且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18所以S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12，当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立总结提高1基本不等式的几种常见变形公式：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)；2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)注意不等式成立的条及等号成立的条2合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立3多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立7不等式的综合应用典例精析题型一含参数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有－2，求的取值范围【解析】由x2－x－2＞0有x＜－1或x＞2，由2x2＋(＋2)x＋＜0有(2x＋)(x＋)＜0因为－2是原不等式组的解，所以＜2由(2x＋)(x＋)＜0有－2＜x＜－因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－≤3，即－3≤＜2，故的取值范围是[－3,2)【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁【变式训练1】不等式(－1)na＜2＋(－1)n＋1n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围【解析】当n为奇数时，－a＜2＋1n，即a＞－(2＋1n)而－(2＋1n)＜－2，则a≥－2；当n为偶数时，a＜2－1n，而2－1n≥2－12＝32，所以a＜32综上可得－2≤a＜32【点拨】不等式中出现了(－1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论题型二不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)＝2x－ax2＋2在区间[－1,1]上是增函数(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A及t∈[－1,1]，不等式2＋t＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)f′(x)＝4＋2ax－2x2(x2＋2)2，因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立所以A＝{a|－1≤a≤1} (2)由f(x)＝1x得x2－ax－2＝0设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2从而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋8，因为a∈[－1,1]，所以a2＋8≤3，即|x1－x2|ax＝3不等式对任意a∈A及t∈[－1,1]不等式恒成立，即2＋t－2≥0恒成立设g(t)＝2＋t－2＝t＋2－2，则解得≥2或≤－2故的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了【变式训练2】设a，b＞0，且ab＝1，不等式aa2＋1＋bb2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是【解析】[1，＋∞)因为ab＝1，所以aa2＋1＋bb2＋1＝2a＋b≤22ab＝1，所以λ≥1题型三不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火0 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均12元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为，则t＝×1000x－100＝10x－2，＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝12xt＋100x＋60(00＋100t)＝12x×10x－2＋100x＋30 000＋60 000x－2＝100(x－2)＋62 00x－2＋31 40≥2100(x－2)&#8226;62 00x－2＋31 40＝36 40，当且仅当100(x－2)＝62 00x－2，即x＝27时，有最小值36 40，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 40元【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x ，，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为π2，因为操场周长为400，所以2x＋2×π2＝400，即2x＋π＝400(0＜x＜200,0＜＜400π)，所以S＝x＝12π&#8226;(2x)&#8226;(π)≤12π&#8226;2x＋π22＝20 000π，由解得所以当且仅当时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 和200π时，矩形区域面积最大总结提高1不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题2建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等3解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验。

导数应用的题型与方法一．复习目标：1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, logx的a导数）。

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。

掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

二．考试要求：⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, logx的a导数）。

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2012届高考数学第二轮考点参数取值问题的题型与方法专题复习教案第30－34时：参数取值问题的题型与方法（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x R时，不等式a+s2x&lt; 4sinx+ 恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+s2x&lt; a+要使上式恒成立，只需a+大于4sinx+s2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+s2x的最值问题。

f(x)= 4sinx+s2x= 2sin2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,∴a+&gt;3即&gt;a+2上式等价于或，解得a&lt;8说明：注意到题目中出现了sinx及s2x，而s2x=1 2sin2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

另解：a+s2x&lt; 4sinx+ 即a+1 2sin2x&lt; 4sinx+ ,令sinx=t,则t [ 1,1],整理得2t2 4t+4 a+ &gt;0,( t [ 1,1])恒成立。

设f(t)= 2t2 4t+4 a+ 则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[ 1，1]内单调递减。

只需f(1)&gt;0,即&gt;a 2(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数，使不等式f( sinx) f(2 sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。

分析：由单调性与定义域，原不等式等价于sinx≤2 sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于对于任意x∈R恒成立。