广东省广州市天河中学2019高考数学(文科)一轮复习基础知识检测：直线与圆锥曲线位置关系01

广东省广州市天河中学高考数学一轮复习直线、平面垂直判定与性质01基础知识检测文基础热身1．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥β，α∥β，则m∥αD．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④4．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为________．能力提升5．下列命题中错误．．的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′7．如图K44－1，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．90°9．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3]10．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一) 11．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．12．如图K44－2所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图K44－213．如图K44－3所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是________．14．(10分) 如图K44－4，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2 5.(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．图K44－415．(13分)如图K44－5，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．图K44－5难点突破16．(12分)在如图K44－6所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC ＝BC＝1，∠ACB＝90°，AE＝2CD＝2.(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求证：DF⊥平面ABE；(3)求三棱锥D－BCE的体积．答案解析【基础热身】1．B [解析] 由线面垂直的定义，知q⇒p；反之，直线a与平面α内无数条直线垂直，则直线a与平面α不一定垂直，故选B.2．B [解析] B选项为直线与平面垂直的判定方法：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．3．D [解析] 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．4．60°[解析] 翻折后，原三角形的三个顶点构成等边三角形．【能力提升】5．D [解析] 若平面α⊥平面β，在平面α内与交线不相交的直线平行于平面β，故A正确；B中若α内存在直线垂直于平面β，则α⊥β，与题设矛盾，所以B正确；由面面垂直的性质知选项C正确．由A正确可推出D错误．6．B [解析] 连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.7．C [解析] ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM . 又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ， 故PA ＝PB ＝PC .8．C [解析]取BC 中点E ，连接DE 、AE ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12，tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3， ∴∠ADE ＝60°.9．B [解析] (1)错；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m ⊥β”的必要条件，命题错误；(4)只有当异面直线a ，b 垂直时可以作出满足要求的平面，命题错误．10．充分不必要 [解析] 若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的任意直线，故l ⊥m 且l ⊥n ，但若l ⊥m 且l ⊥n ，不能得出l ⊥α.11．2 [解析] 对于①，由直线l ⊥平面α，α∥β，得l ⊥β，又直线m ⊂平面β，故l ⊥m ，故①正确；对于②，由条件不一定得到l ∥m ，还有l 与m 垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.12．DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等) [解析] 连接AC ，则BD ⊥AC ，由PA ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥PA ，∴BD ⊥平面PAC ，则BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13．①②③ [解析] 由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A －A 1BD 是一个正三棱锥，因此A 点在平面A 1BD 上的射影H 是三角形A 1BD 的中心，故①正确；又因为平面CB 1D 1与平面A 1BD 平行，所以AH ⊥平面CB 1D 1，故②正确；从而可得AC 1⊥平面CB 1D 1，即AC 1与B 1C 垂直，所成的角等于90°，③也正确．14．[解答] (1)证明：在△ABD 中， ∵AD ＝2，BD ＝4，AB ＝25，∴AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴AD ⊥BD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD .(2)过P 作PO ⊥AD 交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD . ∵△PAD 是边长为2的等边三角形，∴PO ＝ 3. 由(1)知，AD ⊥BD ，在Rt △ABD 中，斜边上的高为h ＝AD ·BD AB ＝455.∵AB ∥DC ，∴S △ACD ＝12CD ·h ＝12×5×455＝2.∴V A －PCD ＝V P －ACD ＝13S △ACD ·PO ＝13×2×3＝233.15．[解答] (1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 得AD ⊥BC .又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC .因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面PAD . 故BC ⊥PA .(2)如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M ，连接CM ， 由(1)中知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC .又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC .在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6，在Rt △POA 中，PA 2＝AO 2＋OP 2＝25，得PA ＝5，又cos ∠BPA ＝PA 2＋PB 2－AB 22PA ·PB ＝13，从而PM ＝PB cos ∠BPA ＝2，所以AM ＝PA －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.【难点突破】16．[解答] (1)证明：取AB 的中点M ， 连接FM ，CM ，在△ABE 中，F ，M 分别是EB ，AB 的中点，∴FM 綊12AE .又∵CD ∥AE ，CD ＝12AE ，∴FM 綊CD ，∴四边形FMCD 为平行四边形， ∴DF ∥CM .∵CM ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC .(2)证明：∵AC ＝BC ，M 为AB 的中点，∴CM ⊥AB . 又AE ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，∴CM ⊥AE .又AE ∩AB ＝A ，∴CM ⊥平面ABE . 由(1)得DF ∥CM ，∴DF ⊥平面ABE . (3)∵CD ∥AE ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AC ，CD ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，∴AC ⊥平面BCD .又由CD ∥AE 得 V 三棱锥D －BCE ＝V 三棱锥E －BCD ＝V 三棱锥A －BCD ，∴V 三棱锥D －BCE ＝13S △BCD ·AC ＝13×12×1×1×1＝16.。

直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －4y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．过点P (－2,3)作圆x 2＋(y ＋1)2＝4的切线，则切线方程为( ) A ．x ＋2＝0或3x ＋4y ＋6＝0 B ．x ＋2＝0或3x ＋4y －6＝0 C ．x －2＝0或3x ＋4y －6＝0 D ．x －2＝0和3x ＋4y ＋6＝04．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，|MN |≥23，则k 的取值范围是________．能力提升5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝16． 过点M (1,2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝07．x 2＋y 2＝1的圆心O 到直线2ax ＋by ＝1的距离为22，若点P 的坐标(a ，b )，则|OP |的最大值为( )A. 2B.2＋1 C ．1 D ．28．若函数f (x )＝1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定9．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________．10．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．11．与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1相内切的半径最小的圆的方程是________．12．(13分) 已知两点A(0,1)，B(2，m)，如果经过A与B且与x轴相切的圆有且只有一个，求m的值及圆的方程．难点突破13．(6分)(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相切，则实数ab的取值范围是________．(6分)(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 2答案解析【基础热身】 1．A [解析] a ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，反之，则有a ＝± 2.因此p 是q 的充分不必要条件．故选A.2．A [解析] 由题意知直线垂直于y 轴，所以k ＝0，故选A.3．B [解析] 若切线斜率存在，设切线方程为y ＝k (x ＋2)＋3，即kx －y ＋2k ＋3＝0，已知圆的圆心为(0，－1)，半径为2，所以|2k ＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，所以切线方程为y ＝－34(x ＋2)＋3，即3x ＋4y －6＝0；当斜率不存在时，由图可知切线方程为x ＋2＝0，故选B. 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 [解析] 因为|MN |≥23，所以圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离不大于22－32＝1，即|3k ＋1|k 2＋1≤1，解得－34≤k ≤0.【能力提升】5．A [解析] 设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1(a >0，b >0)，则有|4a －3b |5＝b ＝1，所以a ＝2，b ＝1，所以方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.6．D [解析] 当劣弧最短时，直线l 被圆截得的弦最短，此时有CM ⊥l ，而k CM ＝2－01－2＝－2，所以直线l 的斜率为12，方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.故选D.7．A [解析] 由已知得12a 2＋b2＝22，所以2a 2＋b 2＝2，所以|OP |2＝a 2＋b 2＝2－a 2≤2，所以|OP |≤ 2.故选A.8．B [解析] f ′(x )＝a be ax ，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝a b，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b ，切线方程为y －1b ＝a bx ，即ax －by ＋1＝0.它与圆x 2＋y 2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点在圆内．故选B.9．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 [解析] 根据轴对称关系得圆C 2的圆心为(2，－2)，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.10．1或177[解析] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，解得k ＝1或177. 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝254 [解析] 作图可知，所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径为52，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝254.12．[解答] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1－b 2＝b 2，2－a 2＋m －b 2＝b 2，消去b 得(1－m )a 2－4a ＋4＋m 2－m ＝0.当m ＝1时，a ＝1，所以b ＝1，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1；当m ≠1时，由Δ＝0得m (m 2－2m ＋5)＝0，所以m ＝0，从而a ＝2，b ＝52，圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.综上知，m ＝1时，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1；m ＝0时，圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.【难点突破】13．(1)－12≤ab ≤12 (2)B [解析] (1)由题可知原点到直线距离为1，有1a 2＋b 2＝1，得a 2＋b 2＝1.又由基本不等式得a 2＋b 2≥2|ab |，所以|ab |≤12，得－12≤ab ≤12.(2)将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心G (1,3)．最长弦AC 为过点E 的直径，则|AC |＝210；最短弦BD 为与GE 垂直的弦，易知|BG |＝10，|EG |＝0－12＋1－32＝5，|BD |＝2|BE |＝2|BG |2－|EG |2＝2 5.所以所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.。

直线与圆02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1． (1)求经过直线x-y=1与2x+y=2的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程。

(2)在直线x-y+4=0 上求一点P, 使它到点 M （-2，-4）、N(4,6)的距离相等。

【答案】(1)联立x-y=1与2x+y=2得⎩⎨⎧=+=-221y x y x 解得0,1==y x∴直线x-y=1与2x+y=2的交点是()0,1将()0,1代入x+2y+m=0求得m=-1∴所求直线方程为x+2y-1=0 (法二）易知所求直线的斜率21-=k ，由点斜式得()1210--=-x y 化简得x+2y-1=0(2)解：由直线x －y ＋4＝0，得y ＝x ＋4，点P 在该直线上．∴可设P 点的坐标为(a ，a ＋4)．∴[]()[]()()()()()()()()()()23a 2482248264444)2(222222222222-=-+-=+++∴-+-=+++-++-=--++--解得a a a a a a a a a a a a 解得a ＝－32，从而a ＋4＝－32＋4＝52． ∴P ⎝⎛⎭⎫－32，522．已知椭圆的一个顶点为B （0，－1），焦点在x 轴上，若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3．（1）、求椭圆的方程；(2)、设直线l 与椭圆相交于不同的两点M 、N, 直线l 的斜率为k （k ≠0），当｜BM ｜＝｜BN ｜时，求直线l 纵截距的取值范围．【答案】（1）、椭圆方程为 x 2+3y 2＝3 (2）设P 为弦MN 的中点．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1y 3x ,m kx y 22得（3k 2＋1）x 2＋6kmx ＋3（m 2－1）＝0．由Δ＞0，得m 2＜3k 2＋1 ①，∴x P ＝1k 3mk 32x x 2N M +-=+，从而，y P ＝kx p ＋m ＝1k 3m 2+．∴k BP ＝km 31k 3m 2++-．由MN ⊥BP ，得km 31k 3m 2++-＝－k 1，即2m ＝3k 2＋1 ②．将②代入①，得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2．由②得k 2＝(2m-1)/3＞0．解得m ＞1/2．故所求m 的取值范围为（1/2，2）．3．已知直线方程为07)12()3(=+-++y x λλ.(1）证明：不论λ为何实数,直线恒过定点.(2）直线m 过（1）中的定点且在两坐标轴的截距的绝对值相等，求满足条件的直线m 方程.【答案】（1）07)12()3(=+-++y x λλ073)2(=+-++⇒y x y x λ令⎩⎨⎧=+-=+07302y x y x ⎩⎨⎧=-=∴12y x 故 直线过定点)1,2(- (2）当截距为0时，直线m 的方程为x y 21-= 当截距不为0时，设直线m 的方程为1=+by a x ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=112ba b a ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=∴3311b a b a 或 31-=--=+∴y x y x 或故直线m 的方程为0301,02=+-=++=+y x y x y x 或.4．已知：以点C (t, 2t)(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O, A ，与y 轴交于点O, B ，其中O 为原点．(Ⅰ）当t=2时，求圆C 的方程；(Ⅱ）求证：△OAB 的面积为定值；(Ⅲ）设直线y = –2x+4与圆C 交于点M, N ，若ON OM =，求圆C 的方程．【答案】（Ⅰ）圆C 的方程是 22(2)(1)5x y -+-=(Ⅱ）O C 过原点圆 ，2224t t OC +=∴．设圆C 的方程是 22224)2()(t t t y t x +=-+- 令0=x ，得t y y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021== 4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值． (Ⅲ）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ．21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 212=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离551<=d ，5．已知圆C 通过不同的三点P(m,0)Q(2,0)R(0,1)、、，且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.(1）试求圆C 的方程；(2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足CP CA CP CB ⋅=⋅，①试求直线AB 的斜率；②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。

直线与圆锥曲线的位置关系基础热身1．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分) P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．难点突破16．(12分)已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设AP →＝λPB →，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．答案解析【基础热身】1．C [解析] 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C [解析] 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B [解析] 当x ≥0时，方程是y 29－x 24＝1，当x <0时，方程是y 29＋x 24＝1，作图即知．4．A [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解不等式组得－153<k <－1. 【能力提升】5．B [解析] 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ， ∴OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＋3p2＝212p . 6．B [解析] 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以x 21a2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0(x －x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a 2a 2－b 2. a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|FA |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k＝223. 9．D [解析] 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴FB →＝(3,4)，FA →＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝－85×2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) [解析] 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)×(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 [解析] 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx－6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x [解析] 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l的方程是y －2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，又y 1＋y 22＝2，即2k ＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56 [解析] 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m 2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9，则|PQ |＝1＋m2⎝ ⎛⎭⎪⎫－160m 16m 2－92－4·16216m 2－9＝＋m 2|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9.设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9，故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝＋m 2|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．[解答] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty－2pm ＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m，∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p＋m ＝2p y 1－n y 21＋2pm ＋2p y 2－ny 22＋2pm＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－n y 21－y 1y 2＋y 2－n y 22－y 1y 2＝2p ·y 2y 1－n －y 1y 2－ny 1y 2y 1－y 2＝2p ·n y 1－y 2y 1y 2y 1－y 2＝2p ·n y 1y 2＝2p ·n －2pm ＝－nm又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN15．[解答] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线a 2－b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．[解答] (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意， 设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点． 设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k 2x 2＋x 12－4x 1x 2]＝4＋k2k 2－2k ＋， 点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2， ∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4k －4＋k －2，∵S △ABO ＝42，∴4k －4＋k －2＝42，∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)， ∴k ＝0或k ＝2.当k ＝0时，方程(*)的解为x ＝±2 2. 若x 1＝22，x 2＝－22，则λ＝2－22－22－2＝3－22；若x 1＝－22，x 2＝22，则λ＝2＋2222－2＝3＋2 2.当k ＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x 1＝4＋22，x 2＝4－22，则λ＝－2－222－22＝3＋22；若x 1＝4－22，x 2＝4＋22，则λ＝－2＋222＋22＝3－2 2.所以λ＝3＋22或3－2 2.。

第四讲直线与圆锥曲线的综合应用题组1直线与圆锥曲线的位置关系1.[2015新课标全国Ⅰ,5,5分][文]已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.122.[2014新课标全国Ⅱ,10,5分][文]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.303B.6C.12D.733.[2015浙江,5,5分]如图10-4-1,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()图10-4-1A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+14.[2015四川,10,5分][文]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)5.[2016全国卷Ⅲ,20,12分][文]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.6.[2015湖北,22,14分][文]一种画椭圆的工具如图10-4-2(1)所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图10-4-2(2)所示的平面直角坐标系.(1)(2)图10-4-2(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点,若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.7.[2015山东,21,14分][文]平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且点(,12)在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E:x24a +y24b=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.题组2圆锥曲线的综合应用8.[2017全国卷Ⅱ,20,12分][文]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.9.[2017山东,21,14分][文]如图10-4-3所示,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,点N是M关于O的对称点,☉N 的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.图10-4-310.[2016北京,19,14分][文]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;(Ⅱ)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.A组基础题1.[2018中原名校高三第三次质量考评,11]已知双曲线x24-y22=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,2),则△APF周长的最小值为() A.4(1+2) B.4+2C.2(2+6) D.6+322.[2018唐山市高三五校联考,10]直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.33. [2017郑州市第三次质量预测,10]椭圆x25+y24=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.55B.655C.855D.4554.[2017福建省高三质检,8]过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于()A.2B.3C.4D.55.[2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10-4-2,点F是抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且AF=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线Γ的方程;(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记△BCD的面积为S,证明S为定值.图10-4-26.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,20]已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)过点(1,32),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(12,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.B组提升题7.[2018辽宁五校联考,12]一条动直线l与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若AB=2AG,则(OA-OB)2-4OG2的最大值为() A.24 B.16 C.8 D.-168.[2017广州市高三毕业班综合测试,8]已知F1,F2分别是椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(22,1) B.(12,1) C.(0,22) D.(0,12)9.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M:x2a2+y2=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则k1k2的取值范围为()A.(1,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)10.[2018湘东五校联考,20]已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图10-4-3,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.①若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值;②当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311.[2017天星第二次联考,20]已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,坐标原点O到直线l的距离为22.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上是否存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标与直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案1.B 解法一 因为抛物线C :y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线l 的方程为x=-2 ①,设椭圆E 的方程为x 2a +y 2b =1(a>b>0),所以椭圆E 的半焦距c=2,又椭圆E 的离心率为12,所以a=4,b=2 3,椭圆E 的方程为x 216+y 212=1 ②,联立①②,解得A (-2,3),B (-2,-3)或A (-2,-3),B (-2,3),所以|AB|=6,选B .解法二 因为抛物线C :y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线l 的方程为x=-2,设椭圆E 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),所以椭圆E 的半焦距c=2,又椭圆E 的离心率为12,所以a=4,b=2 3,由于准线x=-2过椭圆E 的左焦点,所以AB 为椭圆E 的通径,所以|AB|=2b 2a=6,选B .2.C 抛物线C :y 2=3x 的焦点为F (34,0),所以AB 所在的直线方程为y= 33(x-34),将y= 33(x-34)代入y 2=3x ,消去y 整理得x 2-212x+916=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=212,由抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+p=212+32=12,故选C .3.A 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图D 10-4-2所示,过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2,过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2,则S △BCF S △ACF=|BC ||AC |=|BB 2||AA 2|=|BF |-1|AF |-1.故选A .图D 10-4-24.D 当直线l 的斜率不存在时,这样的直线l 恰有2条,即x=5±r ,所以0<r<5;所以当直线l 的斜率存在时,这样的直线l 有2条即可,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则 x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,又y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),k AB =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=2y 0.设圆心为C (5,0),则k CM =y 0x 0-5.因为直线l 与圆相切,所以2y 0·y0x 0-5=-1,解得x 0=3,所以y 02=r 2-4,所以r>2,又y 02<4x 0,即r 2-4<12,所以2<r<4.所以当2<r<4时,直线l 有2条,当斜率不存在时,直线l 有2条.故直线l 恰有4条时,2<r<4.5.由题设可知,F(12,0).设l1:y=a,l2:y=b,且a≠b,ab≠0,则A(a 22,a),B(b22,b),P(-12,a),Q(-12,b),a+b2).记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(Ⅰ)由题可知,R(-12,a+b2),因为F在线段AB上,故1+ab=0.设AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a =a-ba-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a|×|FD|=12|b-a|·|x1-12|,S△PQF=|a-b|2.由题设可得2×12|b-a|×|x1-12|=|a-b|2,解得x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y),所以a+b2=y.当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE,可得2a+b =yx-1(x≠1).又a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合,点(1,0)在曲线y2=x-1上.所以所求轨迹方程为y2=x-1.6.(Ⅰ)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4.当M,N在x轴上时,等号成立; 同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为x 216+y24=1.(Ⅱ)(1)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=12×4×4=8.(2)当直线l的斜率存在时,如图D 10-4-3所示,设直线l:y=kx+m(k≠±12).由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点, 所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4①.由y=kx+m,x-2y=0,可得P(2m1-2k,m1-2k);同理可得Q(-2m1+2k,m1+2k).由原点O到直线PQ的距离为d=1+k2和|PQ|=2P-x Q|,可得S△OPQ=12·|PQ|·d=12·|m|·|x P-x Q|=12·|m|·|2m1-2k+2m1+2k|=|2m21-4k2|②.将①代入②得,S△OPQ=|2m21-4k |=8|4k2+14k-1|.当k2>14时,S△OPQ=8(4k2+14k-1)=8(1+24k-1)>8;当0≤k2<14时,S△OPQ=8(4k2+11-4k2)=8(-1+21-4k2).因为0≤k2<14,所以0<1-4k2≤1,21-4k2≥2,所以S△OPQ=8(-1+21-4k2)≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ有最小值,其最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.图D 10-4-37.(Ⅰ)由题意知3a +14b=1,又a2-b2a=32,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为x 24+y2=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1. (i)设P (x 0,y 0),|OQ ||OP |=λ(λ>0), 由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为P 在椭圆C 上,所以x 024+y 02=1.又Q 在椭圆E 上,所以(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2.(ii)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2 ①. 所以x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-161+4k 2.所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4-m 21+4k 2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m|·|x 1-x 2|=2 16k 2+4-m 2|m |1+4k=2 (16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2 (4-m 21+4k )m 21+4k .设m 21+4k =t ,将y=kx+m 代入椭圆C 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由Δ≥0,可得 m 2≤1+4k 2 ②. 由①②可知 0<t ≤1,因此 S=2 (4-t )t =2 -t 2+4t ,故 S ≤2 3, 当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时,S 取得最大值2 3, 由(i)知,△ABQ 的面积为3S , 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.8.(1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),NP =(x-x 0,y ),NM =(0,y 0), 由NP= NM 得x 0=x ,y 0= 22y. 因为M (x 0,y 0)在C上,所以x 022+y 02=1,所以x 22+y 22=1.因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2. (2)由题意知F (-1,0).设Q (-3,t ),P (m ,n ),则 OQ =(-3,t ),PF =(-1-m ,-n ),所以OQ ·PF =3+3m-tn , 又OP=(m ,n ),PQ =(-3-m ,t-n ), 所以由OP ·PQ=1得-3m-m 2+tn-n 2=1,又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0. 所以OQ ·PF =0,即OQ ⊥PF ,又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.9.(Ⅰ)由椭圆的离心率为 22,得a= c ,所以a 2=2(a 2-b 2).又当y=1时,|x|= 2,x 2=a 2-a 2b 2,所以a 2-a 2b 2=2,所以a 2=4,b 2=2, 因此椭圆C 的方程为x 24+y 22=1. (Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立直线l 与椭圆C 的方程,得 y =kx +m ,x 2+2y 2=4,消去y ,得(2k 2+1)·x 2+4kmx+2m 2-4=0, 由Δ>0得m 2<4k 2+2 (*).。

命题及其关系、充分条件、必要条件基础热身1．下列说法中准确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a|≠|b|B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|C ．若|a|≠|b|，则a ≠－bD ．若|a|＝|b|，则a ＝－b3． 在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC→”是“|AC →|＝|BC →|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M6．命题“存有x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列8．命题“存有x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题”是“－16≤a ≤0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的____________条件．10．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为________________________．11．若命题“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．12．(13分)已知条件p ：|5x －1|>a (a >0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选择适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题能够是什么？并说明为什么这个命题是符合要求的命题．难点突破13．(12分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a 的取值范围．答案解析【基础热身】1．D [解析] 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性．2．D [解析] 利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ”，故答案为D.3．C [解析] ∵－π<A －B <π，∴bc cos A ＝ac cos B ⇔sin B cos A ＝sin A cos B ⇔sin(A －B )＝0⇔A ＝B ⇔a ＝b ，于是“AB →·AC →＝BA →·BC→”是“|AC→|＝|BC →|”的充要条件． 4．m >2 [解析] A ＝{x |－1<x <3}，由题意x ∈A ⇒x ∈B ，但x ∈B /⇒x ∈A ，∴(－－1，m ＋1)，∴m >2.【水平提升】5．D [解析] 命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是“若b ∈M ，则a ∉M ”，又原命题与逆否命题为等价命题，故选D.6．A [解析] “∃x 0∈R ，使x 20＋ax 0－4a <0”为假，即“任意x ∈R ，使x 2＋ax －4a ≥0”为真，从而Δ≤0，解得－16≤a ≤0.故选A.7．A [解析] 由c n ∥b n 可知a n ＋1a n＝n ＋1n ， 故a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1·a 1＝21·32·43·…·n n －1·a 1＝na 1，即任意n ∈N *如果c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列．8．C [解析] 若存有x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题，即对任意的x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0恒成立，于是Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，同时当－16≤a ≤0，恒有Δ≤0，于是可知“存有x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题”是“－16≤a ≤0”的充要条件，选C.9．充分不必要 [解析] 若a ＝(x ＋2,1)与b ＝(2,2－x )共线，则有(x ＋2)(2－x )＝2，解得x ＝±2，所以“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的充分不必要条件．10．“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”11．[－3,0] [解析] 原命题是真命题，则ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0， 故－3≤a ≤0.12．[解答] 已知条件p ：5x －1<－a ，或5x －1>a ，∴x <1－a 5，或x >1＋a 5；已知条件q ：2x 2－3x ＋1>0，∴x <12，或x >1.令a ＝4，则p 即x <－35，或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故能够选择的一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，由以上过程可知这个命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．【难点突破】13．[解答] (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 94≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得a ≤3－52或a ≥3＋52，所以13<a ≤3－52.当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得a ≥－12，所以－12≤a <13. 综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。

指数与指数函数02基础热身1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＞0且a ≠12．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.其中准确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④能力提升5．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]6．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图像大致为( )－7．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )，b (a >b )，如1]( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72 D ．49．计算：(log 25)2－4log 25＋4＋log 215＝________.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．11．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2的单调增区间为________．12．(13分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．13．(12分)已知函数f (x )＝2|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋2m －8.(1)若m＝2，求函数g(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝2|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解，求实数m的取值范围；(3)若对任意x1∈(－∞，4]，均存有x2∈[4，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．答案解析【基础热身】1．C [解析] 由已知得⎩⎨⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1，得a ＝2.2．B [解析]由1<x <2，可知1<x 3<8；－1<x －2<0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2.3．B [解析] 当a <b <0，a ＝b ＝0，a >b >0时，都存有a 、b 使⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故①②⑤准确，③④不准确，所以选B.4．B [解析] ∵a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，∴①错；②显然准确；解⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③准确；∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③准确． 【水平提升】5．D [解析] y ＝(2x )2－3×2x＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －322＋34∈[1,7]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －322∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，254. ∴2x －32∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52.∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．6．A [解析] 要使函数有意义，需e x －e －x ≠0，所以其定义域为{x |x ≠0}，又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，所以当x >0时函数为减函数，故选A.7．C [解析] 由定义知f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≥0，2x ，x <0，而x ≥0时，2－x ∈(0,1]；x <0时，2x ∈(0,1)，∴函数f (x )的值域为(0,1]．8．C [解析] 依题意：2x 1－1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝32－(x 2－1)．又函数y 1＝2x 与y 2＝log 2x 互为反函数，∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝72.故选C.9．－2 [解析] 原式＝(log 25－2)2－log 25＝log 25－2－log 25＝－2.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 数形结合．当a >1时，只有一个公共点，不符合题意．当0<a <1时，知0<2a <1，∴0＜a ＜12.11.14，＋∞ [解析] 设u ＝6＋x －2x 2，则u ＝－2x －142＋498，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞上为减函数，又0<12<1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.12．[解答] (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0， y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，∴f (x )为增函数． 当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数，∴f (x )为增函数．故当a ＞0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1.故b 的取值范围是(－∞，－1]．【难点突破】13．[解答] (1)m ＝2时，g (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －4(x ≥2)，－x 2＋2x －4(x <2).函数g (x )的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调减区间为(1,2)． (2)由f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有唯一解， 得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有唯一解． 当x －m ＝－m 时，得x ＝0∈[－4，＋∞)；当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4， 即m <－2或m ＝0.综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0.(3)f (x )＝⎩⎨⎧2x －m(x ≥m )，2m －x (x <m ).则f (x )的值域应是g (x )的值域的子集．①当4≤m ≤8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得4≤m ≤5或8≥m ≥6.②当m >8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，m 2上单调递增，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2，m 上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，g (4)＝6m －24>g (m )＝2m－8，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得m >8.③0<m <4时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即72≤m <4.④m ≤0时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即m ≥72(舍去)．综上，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，5∪[6，＋∞)．。

直线与圆锥曲线的位置关系02基础热身1．双曲线x 29－y 216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．斜率为1的直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长的最大值为( )A.255 B.4105 C.455 D.21053．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为135°的弦AB ，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 24．设抛物线C 的顶点为原点，焦点F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点(2,2)，则直线l 的方程为________．能力提升5．动圆M 的圆心M 在抛物线y 2＝4x 上移动，且动圆恒与直线l ：x ＝－1相切，则动圆M 恒过点( )A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(1,0)D ．(2,0) 6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M 点，若MF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23279．过原点的直线l 被双曲线y 2－x 2＝1截得的弦长为22，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°或150° B．45°或135° C ．60°或120° D．75°或105°10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于________．12．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .15．(13分)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与(1)中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l的方程．难点突破16．(12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．答案解析【基础热身】1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x 代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 25，25，于是弦长为2|OM |＝4105.故选B.3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB 所在的直线方程为y ＝－x ＋1代入抛物线方程，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得|AB |＝2－＝8.故选C.4．y ＝x [解析] 由题意知，抛物线C 的方程y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， l ：y －2＝x －2，即y ＝x .【能力提升】5．C [解析] 因为直线l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M 到F 的距离等于M 到抛物线准线l 的距离．所以动圆M 恒过抛物线的焦点F (1,0)．故选C.6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，该不等式表明点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x 29＋y 24＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C [解析] 由题意知△F 1MF 2是直角三角形，且|F 1F 2|＝2c ，∠MF 2F 1＝30°，所以|MF 1|＝2c 3，于是点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2c 3.所以c 2a 2－4c 23b 2＝1，即c 2a 2－4c 2c 2－a 2＝1，将e ＝c a 代入，化简整理，得3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13(舍去)，或e 2＝3，所以e ＝ 3.故选C.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝1－x 代入椭圆方程，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b－1＝0，则x 1＋x 22＝b a ＋b ，即线段AB 中点的横坐标为ba ＋b ，代入直线方程y ＝1－x 得纵坐标为aa ＋b，所以过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ab ＝32.故选A. 9．C [解析] 设直线l 方程为y ＝kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴x ＝±1k 2－1，y ＝±kk 2－1， ∴两交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－1，k k 2－1， B ⎝⎛⎭⎪⎫－1k 2－1，－k k 2－1，由两点间距离公式得，|AB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2－12＝(22)2，解得k ＝±3，∴倾斜角为60°或120°.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c 22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2. 11.223[解析] 设椭圆的半焦距为c .因为四边形OABC 为平行四边形，∵BC ∥OA ，|BC |＝|OA |，所以点C 的横坐标为a 2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB ＝30°，所以3b 2＝33×a 2，即a ＝3b ，a 2＝9a 2－9c 2， 所以8a 2＝9c 2，所以离心率e ＝223.12．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·yx －1＝4， 即y 2＝2(x －1)．13．(1，5) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a >0，b －2a <0，即b <2a ，所以c 2－a 2<4a 2，那么e ＝c a< 5.又e >1，所以e ∈(1，5)．14．[解答] 证明：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA ，故AC 过原点O .15．[解答] (1)设圆M 的半径为r ， 因为圆M 与圆F 1内切，所以MF 2＝r ， 所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝ 3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S △AOF 1.因为S △ABF 1＝32，所以S △AOF 1＝34.不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S △AOF 1＝12·OF 1·y 1＝34，所以y 1＝32，x 1＝±3，即A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32， 所以直线l 的斜率为±12，故所求直线方程为x ±2y ＝0. 【难点突破】 16．[解答] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x－c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。

直线、平面平行的判定与性质基础热身1．已知直线l、m，平面α，且m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )图K43－1A．①③ B．①④ C．②③ D．②④能力提升5．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥βD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α图K43－26．如图K43－2所示，在四面体A－BCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°图K43－37．有一木块如图K43－3所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( )A．0 B．1C．2 D．无数8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( ) A．16 B．24或245C．14 D．20图K43－49．如图K43－4所示，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台10．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αl∥m⇒l∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l∥mm∥α⇒l∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l⊥βα⊥β⇒l∥α.11．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．图K43－512．如图K43－5所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，点Q 在CD 上，则PQ ＝________.13．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β； ④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．14．(10分)如图K43－6所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ；(2)求三棱锥P －EFG 的体积．15．(13分)如图K43－7，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点，O 为面对角线A 1C 1的中点．(1)求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B ；(2)求证：MO⊥平面A1C1B.难点突破16．(12分)如图K43－8，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．图K43－8答案解析【基础热身】1．D [解析] 由l∥m可知，l∥α或l⊂α；l∥α且m⊂α，则l∥m或l与m异面，故选D.2．B [解析] 在α内存在直线与l相交，所以A不正确；若α内存在直线与l平行，又∵l⊄α，则有l∥α，与题设相矛盾，∴B正确，C不正确；在α内不过l与α交点的直线与l异面，D不正确．3．D [解析] A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．4．B [解析] 对图①，可通过面面平行得到线面平行．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B.【能力提升】5．D [解析] 可构造正方体ABCD－A1B1C1D1辅助求解．对于A，记平面AD1＝α，平面AB1＝β，CC1＝a，满足A中条件，但α、β不平行，A错误．对于B ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，DD 1＝a ，满足B 中条件，但α、β不平行，B 错误．对于C ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，DD 1＝a ，BB 1＝b ，满足C 中条件，但α、β不平行，C 错误，排除A 、B 、C ，故选D.6．C [解析] 由PQ ∥MN ∥AC ，QM ∥PN ∥BD ，PQ ⊥QM ，可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确，排除法选C.7．B [解析] ∵BC ∥平面A ′C ′，∴BC ∥B ′C ′，∴在平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′，则EF ∥BC ，所以过EF 、BC 所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，选B.8．B [解析] 根据题意可出现以下两种情况，由面面平行的性质定理，得AB ∥CD ，则PA AC ＝PB BD， 可求出BD 的长分别为245或24.9．D [解析] A 项，由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，EH ∥面BB 1C 1C ，又因为面EFGH ∩面BB 1C 1C ＝FG ，所以EH ∥FG ；B 项，由EH ∥A 1D 1知EH ⊥面AA 1B 1B ，则EH ⊥EF ，又因为四边形EFGH 为平行四边形，所以四边形EFGH 是矩形；C 项，由于面AA 1EFB ∥面DD 1HGC ，且A 1D 1∥AD ∥BC ∥FG ∥EH ，所以Ω是棱柱．故选D.10．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.11．6 [解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE I ，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．12.223a [解析]连接AC ，由平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，得MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . ∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝223a .13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故③是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故④为假命题．14．[解答] (1)证明：取AD 的中点H ，连接GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . 又G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面． ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH .又PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG .(2)由题易得GC ⊥面PCD ，∴三棱锥以GC 为高，△PEF 为底．PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ，又EF ∥CD ，∴PD ⊥EF ，即∠PFE ＝90°，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.又GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13×12×1＝16.15．[解答] 证明：(1)连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .又∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理MP ∥C 1B . 而MN 与MP 相交，MN ，MP ⊂平面MNP ，C 1B ，A 1B ⊂平面A 1C 1B ，∴平面MNP ∥平面A 1C 1B . (2)连接C 1M 和A 1M ，设正方体的边长为a ， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有C 1M ＝A 1M ， 又∵O 为A 1C 1的中点， ∴A 1C 1⊥MO .连接BO 和BM ，在三角形BMO 中， 经计算知OB ＝62a ，OM ＝32a ，BM ＝32a ，∴OB 2＋MO 2＝MB 2，即BO ⊥MO .又A 1C 1∩BO ＝O ，∴MO ⊥平面A 1C 1B .【难点突破】16．[解答] (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ， 所以DE ∥平面BCP .(2)因为D 、E 、F 、G 分别为AP 、AC 、BC 、PB 的中点， 所以DE ∥PC ∥FG ， DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形． 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，所以平行四边形DEFG 为矩形． (3)存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC 、AB 的中点M ，N ，连接ME 、EN 、NG 、MG 、MN .与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG .所以Q 为满足条件的点．。

第十五单元 直线与圆锥曲线的关系考点一 直线与椭圆的综合应用1.(2016年全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,A 、B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ).A.13B.12C.23D.34【解析】如图,由题意得A (-a ,0),B (a ,0),F (-c ,0).由PF ⊥x 轴,得P -c ,b 2a .设E (0,m ), 由PF ∥OE ,得|MF |=|AF |, 则|MF|=m (a -c ). ①又由OE ∥MF ,得12|OE||MF |=|BO ||BF |,则|MF|=m (a +c )2a. ②由①②得a-c=1(a+c ),即a=3c ,∴e=c =1. 【答案】A2.(2014年全国Ⅱ卷)设F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a ,b.【解析】(1)由c= a 2-b 2及题设知M c ,b 2a,2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac ,解得c a =12或c a=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴, 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点, 故b 2=4,即b 2=4a. ①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|.设N (x 1,y 1),由题意知y 1<0,则 2(-c -x 1)=c,-2y 1=2,即 x 1=-32c,y 1=-1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1. ②将①及c= a 2-b 2代入②,得9(a 2-4a)4a 2+14a =1, 解得a=7,b 2=4a=28,故a=7,b=2 7.3.(2017年全国Ⅰ卷)已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3 -1, 3,P 4 1,3中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.【解析】(1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过P 3,P 4两点. 又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,椭圆C 不经过点P 1,所以点P 2在椭圆C 上.因此 1b2=1,1a 2+34b 2=1,解得 a 2=4,b 2=1. 故C 的方程为x 2+y 2=1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,如果l 与x 轴垂直,设l :x=t ,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A ,B 两点的坐标分别为 t ,4-t 22, t ,-4-t 22.则k 1+k 2=4-t 2-2-4-t 2+2=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l :y=kx+m (m ≠1),将y=kx+m 代入x 2+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-11+y 2-12=kx 1+m-1x 1+kx 2+m-1x 2=2kx 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)12.由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0. 即(2k+1)²4m 2-44k 2+1+(m-1)²-8km4k 2+1=0.解得k=-m +12. 当且仅当m>-1时,Δ>0.所以l :y=-m +12x+m ,即y+1=-m +12(x-2), 所以l 过定点(2,-1).4.(2015年全国Ⅱ卷)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点 m 3,m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.【解析】(1)根据题意,因为直线不平行于坐标轴,所以斜率k必然存在,故设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),则A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=x1+x22=-kbk2+9,y M=kx M+b=9bk2+9.于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =-9k,即k OM²k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)不妨设四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点m,m,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,且k≠3.由(1)得OM的方程为y=-9kx.设点P的横坐标为x P.由y=-9 k x,9x2+y2=m2,得x P2=k2m29k2+81,即x P=3k+9.将点m,m的坐标代入直线l的方程,得b=m(3-k),因此x M=k(k-3)m3(k2+9).四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是±km3k+9=2³k(k-3)m3(k2+9).解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB为平行四边形.5.(2016年全国Ⅱ卷)已知椭圆E:x 2+y2=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.【解析】(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,椭圆E的方程为x24+y23=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为π4,因此直线AM 的方程为y=x+2. 将x=y-2代入x 24+y 23=1,得7y 2-12y=0,解得y=0或y=127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2³1³12³12=144. (2)由题意知t>3,k>0,A (- t ,0).将直线AM 的方程y=k (x+ t )代入x 2+y 2=1, 得(3+tk 2)x 2+2 t ²tk 2x+t 2k 2-3t=0.由x 1²(- t )=t 2k 2-3t 3+tk 2,得x 1=t (3-t k 2)3+tk 2,故|AM|=|x 1+ t | 2=6 t (1+k 2)3+tk 2.由题设知,直线AN 的方程为y=-1(x+ t ),故同理可得|AN|=6k t (1+k 2)3k 2+t.由2|AM|=|AN|, 得23+tk2=k 3k 2+t,即(k 3-2)t=3k (2k-1).当k= 23时上式不成立,因此t=3k(2k-1)k 3-2.t>3等价于k 3-2k 2+k-2k 3-2=(k-2)(k 2+1)k 3-2<0,即k-2k 3-2<0,由此得 k-2>0,k 3-2<0或 k-2<0,k 3-2>0,解得 23<k<2.因此k 的取值范围是( 23,2).考点二 直线与抛物线的综合应用6.(2017年全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ).A.16B.14C.12D.10【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k 1(x-1),与抛物线方程y 2=4x 联立,得k 12x 2-(2k 12+4)x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理l 2与抛物线交点x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可得|AB|+|CD|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥216k 12k 22+8=16.当且仅当k 1=-k 2=1或k 1=-k 2=-1时取等号. 【答案】A7.(2015年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N 两点. (1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程.(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由.【解析】(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a )或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又因为y'=x2,所以y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ), 即 a x-y-a=0.y=x 24在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0.故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. (2)存在符合题意的点.证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程,得x 2-4kx-4a=0.故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a. 从而k 1+k 2=y 1-b x 1+y 2-b x 2=2kx 1x 2+(a-b)(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a .当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2,由x=my+2,y2=2x,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y12,x2=y22,故x1x2=(y1y2)2=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1²y2x2=-44=-1.所以OA⊥OB,故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),因此AP²BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,(也可结论:以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,直接写出)即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得,y1y2=-4,x1x2=4,所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-1时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-1,圆M的半径为85,圆M的方程为 x-92+ y+12=85.9.(2016年全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【解析】由题意知F1,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A a2,a,B b2,b,P-1,a,Q-1,b,R-1,a+b.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于点F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=b-0-12-12=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=1|b-a||FD|=1|b-a| x1-1,S△PQF=|a-b|2.由题设可得|b-a| x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y),当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE,可得2a+b =yx-1(x≠1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),满足方程y2=x-1.故所求轨迹方程为y2=x-1.考点三直线、圆与圆锥曲线的综合10.(2017年全国Ⅱ卷)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x 2+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OP²PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM,得(x-x0,y)=2(0,y0),即x-x0=0,y=2y0,解得x0=x,y0=y2代入椭圆方程x022+y02=1,得x2+y2=2,故点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0),设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQ²PF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OP²PQ=1,得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQ²PF=0,即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.11.(2013年全国Ⅰ卷)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x2+y2=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),因为|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP|=R1,可求得Q(-4,0),所以可设l :y=k (x+4),由l 与圆M 相切得|3k |1+k =1,解得k=± 24.当k= 24时,y= 24x+ 2代入x 24+y 23=1并整理,得7x 2+8x-8=0,解得x 1,2=4±6 27.所以|AB|= 1+k 2|x 2-x 1|=187.当k=- 24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=2 3或|AB|=187.12.(2016年全国Ⅰ卷)设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程;(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)如图,圆A 的圆心为A (-1,0),半径R=4,因为BE ∥AC ,所以∠C=∠EBD.又因为AC=AD ,所以∠C=∠EDB ,于是∠EBD=∠EDB ,所以|EB|=|ED|.故|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4为定值. 因为|AB|=2,点E 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由c=1,a=2,得b 2=3,所以点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0).(2)因为直线l 与x 轴不重合,故可设l 的方程为x=my+1, 过点B 且与l 垂直的直线方程为y=m (x-1).由 x 24+y 23=1,x =my +1,得(3m 2+4)y 2+6my-9=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1²y 2=-93m 2+4.得|MN|= m 2+1² -6m 3m 2+4 -4 -93m 2+4 =12(m 2+1)3m 2+4. 由 x 2+y 2+2x-15=0,y =m (x -1),得(m 2+1)x 2-2(m 2-1)x+m 2-15=0. 设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),则x 3+x 4=2(m 2-1)m 2+1,x 3²x 4=m 2-15m 2+1. 得|PQ|= m 2+1² 2(m2-1)m 2+12-4m 2-15m 2+1 =4 3m 2+4m 2+1.四边形MPNQ 的面积S=1|MN|²|PQ|=24 m 2+12=24 1-12,因为m 2≥0,所以0<12≤1,故12≤S<8 3.即四边形MPNQ 面积的取值范围是[12,8 3).高频考点:直线与圆锥曲线的位置关系及弦长、中点弦问题,最值、取值范围、证明问题,定点、定值、探索性问题.命题特点:主要考查解答题,分数为12分,常常以不同曲线(圆、椭圆、抛物线)的位置关系为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质,利用待定系数法先确定曲线的标准方程,再进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等,题目综合性较强,往往与向量(共线、垂直、数量积)结合,涉及方程组的联立、根的判别式、根与系数的关系等.§15.1 直线与圆锥曲线的位置关系一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax+By+C=0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程.即Ax+By+C=0,F(x,y)=0消去y,得ax2+bx+c=0.(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C;Δ<0⇔直线与圆锥曲线C.(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“³”.(1)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点.()(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.()(3)直线y=kx+1与椭圆x25+y29=1恒有两个公共点.()(4)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦中,最短的弦长是2p.()(5)过椭圆x2a2+y2b2=1的焦点的弦中,最短的弦长为2b2a.()二圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2|x1-x2|=2²(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2²|y1-y2|=1+1k2²(y1+y2)2-4y1y2.三直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.四辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外,易忽视直线与抛物线的对称轴平行或重合时也相交于一点.若直线y=kx与双曲线x2-y2=2相交,则k的取值范围是().A.(0,1)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是().A.1,-2B.-23,1 3C.12,-1 3D.-13,1 2教材习题)点P是椭圆16x2+25y2=1600上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,又知点P在x轴的上方,F2是椭圆的右焦点,直线PF2 -43,则△PF1F2的面积为.知识清单一、(1)相交相切相离(2)平行平行或重合基础训练1.【答案】(1)³(2)³(3)√(4)√(5)√2.【解析】双曲线x2-y2=2的渐近线方程为y=±x,若直线与双曲线相交,由数形结合,得k∈(-1,1).故选C.【答案】C3.【解析】过点(0,1)的直线与抛物线相切时有两条,又与对称轴平行的直线y=1与抛物线也只有一个公共点,故满足条件的直线有3条.【答案】C4.【解析】联立y=x+1,x2+2y2=4,得x2+2(x+1)2-4=0,即3x2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-2,纵坐标为-2+1=1,即-2,1,故选B.【答案】B5.【解析】椭圆的标准方程为x 2100+y264=1,则F1(-6,0),F2(6,0),故直线PF2的方程为y=-43(x-6).将直线方程代入16x2+25y2=1600,得19x2-225x+650=0,解得x1=5或x2=130.当x2=130时,y2<0.由x1=5,得y1=43,故S△PF1F2=1F1F2|y1|=1³12³43=243.【答案】243题型一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用【例1】(2017宜昌一中检测)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是().A.-12,12B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】由题意可知y2=8x的准线为x=-2,所以点Q的坐标为(-2,0).当直线l的斜率k=0时,直线与抛物线的交点为(0,0);当直线l的斜率k≠0时,设直线l的方程为y=k(x+2)(斜率k显然存在),联立y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,由Δ=[4(k2-2)]2-4³(4k2)³k2≥0,得-1≤k≤1且k≠0.综上可知,k的取值范围是[-1,1].故选C.【答案】C【变式训练1】(1)(2017兰州检测)若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为().A.3B.2C.1D.0(2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().A.-15,15B.0,15C.-153,0 D.-153,-1【解析】(1)∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,∴422>2,即m2+n2<4.∴m 2+n2<m2+4-m2=1-5m2<1,∴点(m,n)在椭圆x 29+y24=1的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y24=1的交点有2个.故选B.(2)(法一)由y=kx+2,x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0,∵直线与双曲线右支有两个不同交点,∴1-k2≠0,Δ=16k2-4(1-k2)×(-10)>0, x1+x2=4k1-k2>0,x1x2=-101-k2>0,解得-153<k<-1.故选D.(法二)当直线与双曲线右支相切时,k=-153,直线y=kx+2过定点(0,2),当k=-1时,直线与双曲线的渐近线平行,顺时针旋转直线y=-x+2时,直线与双曲线右支有两个交点,∴k的取值范围为-153<k<-1.【答案】(1)B(2)D题型二中点问题【例2】中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2,直线l与双曲线C交于A,B两点,线段AB的中点M在第一象限,并且在抛物线y2=2px(p>0)上,且点M到抛物线焦点的距离为p,则直线l的斜率为().A.1B.2C.32D.52【解析】因为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2,所以1+ba2=2,即ba=,所以双曲线方程为x2a2-y23a2=1.因为第一象限内的点M到抛物线y2=2px焦点的距离为p,故点M的坐标为p2,p.(法一)由题意知直线l的斜率存在,设直线l:y-p=k x-p2,联立y-p=k x-p2,x2a2-y23a2=1,得(3-k2)x2-(2kp-k2p)x-k2p24-p2+kp2-3a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2kp-k2p3-k2.又因为x1+x22=p 2 ,所以2kp -k 2p 3-k2=p ,解得k=32.(法二)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入双曲线方程得x 12a 2-y 123a 2=1,x 22a 2-y 223a 2=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2,依题意x 1+x 2=p ,y 1+y 2=2p ,所以直线l 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=3(x 1+x 2)12=3.故选C.【答案】C【变式训练2】(1)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x=-1,直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若线段AB 的中点为(2,1),则直线l 的方程为( ).A.y=2x-3B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=x-1(2)已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点,则直线l 的方程是 .【解析】(1)设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则p =1,所以抛物线的方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),所以直线l 的斜率为k=y 1-y 2x 1-x 2=4y1+y 2=2,所以直线l 的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.故选A .(2)设直线l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x212.又因为x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,所以y 1-y 2x 1-x 2=-12,故直线l 的方程为y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0. 【答案】(1)A (2)x+2y-8=0题型三 弦长与面积问题【例3】(2017凉山一诊)设椭圆E :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为1,E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点(0,2)且倾斜角为60°的直线交椭圆E 于A ,B 两点,求△AOB 的面积. 【解析】(1)由题意得c a =12,且a-c=1,∴a=2,c=1.∴b 2=a 2-c 2=3,故椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)过点(0,2)的直线l 的方程为y= 3x+2,代入椭圆方程x 24+y 23=1,可得15x 2+16 3x+4=0,Δ>0恒成立.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-16 315,x 1x 2=415, ∴|AB|= 2|x 1-x 2|=2 (x 1+x 2)2-4x 1x 2=8 3315. ∵点O 到直线AB 的距离d=21+k =1,∴S △ABC =|AB |2d=4 3315.【变式训练3】已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ).A.2B.4 5C.4 10D.8 10【解析】设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t ,由 x 2+4y 2=4,y =x +t ,消去y ,得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0,则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.∴|AB|= 1+k 2|x 1-x 2|= 1+k 2² (x 1+x 2)2-4x 1x 2= -85t 2-4×4(t 2-1)5=4 25² 5-t 2,当t=0时,|AB|max =4 105. 【答案】C方法 对称问题求解策略【突破训练】(2015年浙江卷)已知椭圆x 2+y 2=1上两个不同的点A ,B 关于直线y=mx+1对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).【解析】(1)(法一)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y=-1mx+b ,由 x 22+y 2=1,y =-1mx +b,消去y ,得 12+1m 2 x 2-2b mx+b 2-1=0,∵直线y=-1m x+b 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点,∴Δ=-2b 2+2+42>0, ①将AB 的中点M2mb m 2+2,m 2bm 2+2代入直线方程y=mx+12,解得b=-m 2+22m 2, ②由①②得m<- 6或m> 6.(法二)由题意知m ≠0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆x 22+y 2=1上符合条件的两个点,M (x 0,y 0)是AB 的中点,则x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0. ∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-(x 1+x 2)2(y 1+y 2)=-x02y.∵点A ,B 关于直线y=mx+1对称,∴k AB =-x 0=-1,即y 0=mx 0, ③又y 0=mx 0+12, ④由③④得x 0=1m ,y 0=12.∵点M (x 0,y 0)在椭圆内部,∴x 022+y 02<1,即m 2>23,∴m<- 63或m> 63.(2)令t=1m ∈ - 62,0 ∪ 0, 62 ,则|AB|= t 2+1² -2t 4+2t 2+32t 2+12, 且点O 到直线AB 的距离为d=2+122.设△AOB 的面积为S (t ),∴S (t )=12|AB|²d=12-2 t 2-12+2≤ 22,当且仅当t 2=1时,等号成立,故△AOB 面积的最大值为 2.1.(2017山西质检)设AB 为过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( ).A.p 2B.pC.2pD.无法确定【解析】当弦AB 垂直于对称轴时,|AB|最短,此时x=p 2,∴y=±p ,|AB|min =2p.故选C. 【答案】C2.(2017福州质检)抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线x-y=0与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为( ).A.y=2x 2B.y 2=2x C.x 2=2yD.y 2=-2x【解析】A ,B 两点其中一个点的坐标是(0,0),由AB 的中点坐标为(1,1),可知另一个点的坐标为(2,2),代入y 2=2px 中,可得p=1,所以抛物线C 的方程为y 2=2x.【答案】B3.(2017赣州二模)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).A.54B.5C. 52D. 【解析】双曲线x 22-y 2b2=1的一条渐近线为y=bx ,联立方程组y =b ax,y =x 2+1,消去y ,得x 2-b x+1=0.因为方程有唯一的解,所以Δ= b a2-4=0,得b a=2.所以e=c a = a 2+b2a = 1+ b a2= 5.选D. 【答案】D4.(2017太原一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若 AB =6,则△AOB 的面积为( ).A. 6B.2 2C.2 3D.4【解析】设直线AB 的方程为y=k (x-1), 与抛物线方程联立可得y 2-4ky-4=0,则 y 1-y 2 =4 1+1k 2.由弦长公式可得 1+k2y 1-y 2 =4 1+1k2 =6,∴k2=2.∴S △AOB =1³ OF ³ y 1-y 2 =1³1³2 6= 6.故选A.【答案】A5.(2017山东质检)已知双曲线C :x 24-y 25=1的右焦点为F ,过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,若|AB|=5,则满足条件的l 的条数为 .【解析】因为a 2=4,b 2=5,c 2=9,所以F (3,0).若点A ,B 都在双曲线的右支上,当AB 垂直于x 轴时,将x=3代入x 24-y 25=1,得y=±52,所以|AB|=5,满足题意;若点A ,B 分别在双曲线的两支上,因为a=2,所以两个顶点的距离为2+2=4<5,所以满足|AB|=5的直线有2条,且关于x 轴对称.综上可知,一共有3条.【答案】36.(2017南昌月考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减并整理,得y 2-y 1x 2-x 1=b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=4b 2a 2.∵k=1,∴4b 2a 2=1,∴b a =±12.故双曲线的渐近线方程为y=±12x.【答案】y=±1x7.(2017年北京卷)已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点 0,12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.【解析】(1)由抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1),得p=12.所以抛物线C 的方程为y 2=x ,其焦点坐标为 14,0 ,准线方程为x=-14.(2)(法一)由题意,设直线l 的方程为y=kx+12(k ≠0),l与抛物线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由y =kx +12,y 2=x,得4k 2x 2+(4k-4)x+1=0,则x 1+x 2=1-k k2,x 1x 2=14k 2.因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y=x ,点A 的坐标为(x 1,y 1). 因为直线ON 的方程为y=y2x 2x ,所以点B 的坐标为 x 1,y 2x 1x 2.因为y 1+y 2x 12-2x 1=y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 22=kx 1+12 x 2+ kx 2+12x 1-2x 1x 2x 2=(2k -2)x 1x 2+12(x 1+x 2)x 2=(2k -2)×14k 2+1-k 2k22=0,所以y 1+y 2x 1x 2=2x 1.故A 为线段BM 的中点.(法二)要证A 为BM 的中点,且x A ,x B ,x M 相同,只需证2y A =y M +y B ,等式两边同时除以x M ,则有2k OA =k OM +k ON . 因为k OM +k ON =y1x 1+y2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=kx 1+12 x 2+ kx 2+12x 1x 1x 2=2kx 1x 2+12(x 1+x 2)12=2k +14k 2+12×1-kk 214k2=2.又k OA =k OP =1,所以等式成立,即A 为线段BM 的中点.8.(2015年四川卷)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ).A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 【解析】如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则 y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).当l 的斜率k 不存在时,符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时,x 1≠x 2,则有y 1+y 2²y 1-y 2x 1-x 2=2,又y 1+y 2=2y 0,所以y 0k=2. 由CM ⊥AB ,得k ²y 0-0x 0-5=-1,即y 0k=5-x 0,因此2=5-x 0,x 0=3,即点M 必在直线x=3上.将点x=3代入y 2=4x ,得y 2=12,则有-2 <y 0<2 .因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2+y 02=r 2,故r 2=y 02+4<12+4=16.又y 02+4>4(为保证有4条,当k 存在时,y 0≠0),所以4<r 2<16,即2<r<4,故选D.【答案】D9.(2017岳阳二模)直线3x-4y+4=0与抛物线x 2=4y 、圆x 2+(y-1)2=1从左至右的交点依次为A ,B ,C ,D ,则|CD ||AB |的值为 .【解析】如图,抛物线x 2=4y 的焦点为F (0,1),直线3x-4y+4=0过点(0,1).设A (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由x 2=4y,3x -4y +4=0,得4y 2-17y+4=0,解得y 1=1,y 2=4.∴A (-1,1),D (4,4),∴|AF|=54,|DF|=5,∴|CD ||AB |=|DF |-1|AF |-1=5-154-1=16. 【答案】1610.(2017湖南联考)已知点N (1,2),过点N 的直线交双曲线x 2-y 22=1于A ,B 两点,且ON=12(OA +OB ),则直线AB 的方程为 . 【解析】由题意知直线AB 的斜率存在,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵ON =12(OA +OB ),∴N 是AB 的中点,∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=4.∵x 12-y 122=1,x 22-y 222=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2=1. ∴直线AB 的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.【答案】x-y+1=011.(2017咸阳市模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,点A 在椭圆C 上, AF 1 =2,∠F 1AF 2=60°,过点F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,N 为PQ 的中点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点M 0,18,且MN ⊥PQ ,求直线MN 所在的直线方程.【解析】(1)由e=12,得a=2c ,因为 AF 1 =2, AF 2 =2a-2,由余弦定理得 AF 1|2+ AF 2 2-2 AF 1 ·AF 2 cos A= |F 1F 2|2,解得c=1,a=2,所以b 2=a 2-c 2=3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)因为直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为y=k (x-1),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立 y =k (x -1),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0. 则x 1+x 2=8k 23+4k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k=-6k3+4k 2.此时N4k 23+4k2,-3k3+4k2 ,又M 0,18 ,则k MN =18+3k 3+4k 20-4k23+4k2=-24k +3+4k 232k 2. 因为MN ⊥PQ ,所以k MN =-1k ,得k=12或k=32.则k MN =-2或k MN =-2.所以直线MN 的方程为16x+8y-1=0或16x+24y-3=0.12.(2017青岛市质检)已知椭圆Γ:x 22+y 2=1(a>1)的左焦点为F 1,右顶点为A 1,上顶点为B 1,过F 1,A 1,B 1三点的圆P 的圆心坐标为3- 2,1- 6.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y=kx+m (k ,m 为常数,k ≠0)与椭圆Γ交于不同的两点M 和N. ①当直线l 过点E (1,0),且EM +2EN=0时,求直线l 的方程; ②当坐标原点O 到直线l 的距离为 3,且△MON 的面积为 3时,求直线l 的倾斜角.【解析】(1)∵A1(a,0),B1(0,1),∴A1B1的中点为a2,12,A1B1的斜率为-1a,∴A1B1的垂直平分线方程为y-1=a x-a.∵圆P过点F1,A1,B1三点,∴圆心P在A1B1的垂直平分线上.∴1-62-12=a3-22-a2,解得a=3或a=-2(舍去).∴椭圆的方程为x 2+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x23+y2=1,y=kx+m,可得(3k2+1)y2-2my+m2-3k2=0,∴y1+y2=2m3k2+1,y1y2=m2-3k23k2+1.③①∵直线l过点E(1,0),∴k+m=0.④∵EM+2EN=0,∴(x1-1,y1)+2(x2-1,y2)=(0,0).∴y1+2y2=0.⑤由③④⑤可得,k=1,m=-1或k=-1,m=1.∴直线l的方程为y=x-1或y=-x+1.②∵坐标原点O到直线l的距离为3,∴|m|k+1=32⇒m2=34(k2+1).⑥结合③得|MN|=1+k2|y2-y1|=1+k2³(y1+y2)2-4y1y2=1+1k2³2m3k2+12-4×m2-3k23k2+1,⑦由⑥⑦得|MN|=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2,∴S △MON =12|MN|³ 32= 343(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2.∵△MON 的面积为 3,∴34 3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2= 32,解得k=± 33.设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ=± 3,∵0≤θ<π,∴θ=π6或θ=5π6.§15.2 直线与椭圆的综合应用一 椭圆的焦点弦1.a+c 与a-c 分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长2b 2a ,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值.二 直线与椭圆的位置关系的研究方法1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算.2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.范围(最值)问题:(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).☞左学右考已知经过点(0,且斜率为k的直线l与椭圆x 2+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是().A.-22,22B.-∞,-22∪22,+∞C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为).A.55B.105C.255D.2105若点O和点F分别为椭圆x 29+y28=1的中心点和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP²FP的最小值为.已知椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,A 、B 为椭圆C 的左、右顶点,P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点,直线x=4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点.若点D (7,0),则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点,其坐标为 .基础训练1.【解析】由题意得,直线l 的方程为y=kx+ 2,代入椭圆方程并整理,得 12+k 2 x 2+2 2kx+1=0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ=8k 2-4 12+k 2 =4k 2-2>0,解得k<- 22或k> 22,即k 的取值范围为 -∞,- 22∪22,+∞ .故选B.【答案】B2.【解析】点A (-1,0)关于直线l 的对称点为A'(-3,2),连接A'B 交直线l 于点P ,则椭圆C 的长轴长的最小值为|A'B|=2 ,所以椭圆C 的离心率的最大值为c a = 5= 55,故选A.【答案】A3.【解析】设P (x ,y )(-3≤x ≤3,-2 2≤y ≤2 2)为椭圆x 29+y 28=1上的任意一点,依题意得左焦点F (-1,0),∴OP =(x ,y ),FP =(x+1,y ),∴OP ²FP=x (x+1)+y 2=x 2+x+72-8x 29=19x +922+234. ∵-3≤x ≤3,∴32≤x+92≤152,∴94≤ x +92 2≤2254. ∴14≤19 x +92 2≤254,∴6≤19 x +92 2+234≤12,即6≤OP ²FP ≤12.故最小值为6. 【答案】64.【解析】设点P (x 0,y 0),M (4,y M ),N (4,y N ),则直线PA 、PB 所在的直线方程分别为y=y 0x 0+2(x+2)、y=y 0x 0-2(x-2),依题意,可求得y M =6y 0x0+2,y N =2y 0x 0-2.∵DM =(-3,y M ),DN =(-3,y N ),∴DM ²DN =9+12y 02x 02-4.又x 024+y 023=1,∴12-3x 02=4y 02,即12y 02x 02-4=-9,∴DM ²DN =0,∴MN 为过D 、M 、N 三点的圆的直径.设定点为E (t ,0),则MN 为线段DE 的垂直平分线,∴7+t2=4,解得t=1,故定点坐标为(1,0).【答案】(1,0)题型一 椭圆中的定值问题【例1】(2015年四川卷)如图,椭圆E :x 22+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是 2,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC ²PD =-1.(1)求椭圆E 的方程.(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ²OB +λPA ²PB 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ), 又点P 的坐标为(0,1),且PC ²PD =-1,所以 1-b 2=-1,c a = 22,a 2-b 2=c 2,解得 a =2,b = 2, 所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立 x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0, 所以x 1+x 2=-4k2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.从而OA ²OB +λPA ²PB =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=(-2λ-4)k 2+(-2λ-1)2k 2+1=-λ-12k 2+1-λ-2,所以当λ=1时,-λ-12k 2+1-λ-2=-3,此时OA ²OB +λPA ²PB =-3为定值.当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 即为直线CD ,此时OA²OB +λPA ²PB =OC ²OD +λPC ²PD =-2-λ,当λ=1时,也满足OA ²OB +λPA ²PB =-3. 故存在常数λ=1,使得OA ²OB +λPA ²PB 为定值-3.【变式训练1】(2016年北京卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为 32,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0),△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:|AN|²|BM|为定值. 【解析】(1)由题意得c a= 32,12ab =1,a 2=b 2+c 2,解得 a =2,b =1, 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知,A (2,0),B (0,1).设P (x 0,y 0),则x 02+4y 02=4.当x 0≠0时,直线PA 的方程为y=y 0x 0-2(x-2).令x=0,得y M =-2y 0x 0-2,从而|BM|=|1-y M |=1+2y 0x 0-2.直线PB 的方程为y=y 0-1x 0x+1.令y=0,得x N =-x 0y 0-1,从而|AN|=|2-x N |=2+x0y 0-1. 所以|AN|²|BM|= 2+x 0y 0-1 ² 1+2y 0x 0-2=x 02+4y 02+4x 0y 0-4x 0-8y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2=4x 0y 0-4x 0-8y 0+8x 0y 0-x 0-2y 0+2=4.当x 0=0时,y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN|²|BM|=4.综上所述,|AN|²|BM|为定值.题型二 椭圆中的定点问题【例2】(2017河南洛阳模拟)设M 是焦距为2的椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上一点,A ,B 是椭圆E 的左、右顶点,直线MA ,MB 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2=-12.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上点N (x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0yb 2=1.若点P 是直线x=2上任意一点,从点P 向椭圆E 作切线,切点分别为C ,D ,求证:直线CD 恒过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)设A (-a ,0),B (a ,0),M (m ,n ), 则m 2a 2+n 2b 2=1,即n 2=b 2²a 2-m 2a 2. 由k 1k 2=-12,即n m +a ²n m -a =-12, 得n 2m 2-a2=-12, 则a 2=2b 2.又c 2=a 2-b 2=1,解得a 2=2,b 2=1.所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)设点P (2,t ),切点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),。