1.4.3正切函数的性质和图象

0
4
2
4
tan
5
t42a,n又2y tan5x在
0，
2
5是增函数
4
5
tan(11 ) tan(13 ).
4
5
第13页，共15页。
练习
1、比较大小：
(1)tan1380 __<___tan1430 。
(2)tan(- 13π)__>___tan(- 17π)
4
5
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
2
第15页，共15页。
区间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝
值域：R
36
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
第14页，共15页。
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 2 作法: (1) 等分： 把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
第6页，共15页。
正
渐
切
进 线
曲
线 渐 进 线
性质 :
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R
,k
Z
第9页，共15页。
练习
1．求下列函数的定义域：
（1）y tan 2x
(2) y tan( x)
4
第10页，共15页。

y
的终边 的终边
y
y
y




的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y




的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y




的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2

2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x


2

k
,k

Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1

0
2

3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，

周期是
2

2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x

1.4.3 正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.

-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6


3
2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x

2k

3
,
k

Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x

Tk,k3Z,
tan

2
x

3


2
T

解得

ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T


即T


2
因此,函数的单调递增区间是:
2k

，2k 3

3

, k Z. 2
周期T


另解：周期T