下载文档原格式
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
第三章 测度论教学目的：1.掌握外测度定义及其性质.2.掌握可测集及其性质. 重点难点：要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.引 入Lebesgue 测度是长度、体积、重量的推广，对于区间],[b a ，a b -是区间长度，对于矩形 ，ab S =是面积.问题:对任意一个集合R E ⊂,能否定义一个“长度”的概念?不妨记其为E ,这就是本章的内容.上一章我们由个数推广到基数,由开区间推广到开集,此处如何推广?对两个区间 ,其“长度”为每个区间长度之和,三个区间类似,那么可数个区间呢?如开集),(1n n n b a G ∞== ,则长度∑∞=-=1)(n n n a b G (长度允许无穷大)可见开集可以定义长度.到此为止并不满意,因开集、闭集都行,但一般集合怎么办?如何定义 “长度”? 即:要考虑对任意集E ,?=E 希望nn E E ∞==1 ,n E E ∑=,而且定义的长度需满足一定的条件,如空集φ的长度为0等等.为此先介绍广义实数. 称λ为一个广义实数,如果R ∈λ或+∞=λ或-∞=λ.即广义实数全体就是在R 中加入了两个新“数”∞+和∞-.(i)广义实数的加法和减法: 若R a ∈,规定±∞=+±∞=±∞+a a )()(; ∞=±∞- )(a ;±∞=-±∞a )(; ±∞=±∞+±∞)()(;±∞=±∞+±∞)()(没有意义. (ii) 广义实数的乘法和除法: 若R a ∈,规定[]][2a 1b 1a 2b⎪⎩⎪⎨⎧∞∞±=⋅±∞=±∞⋅0)()( a a 000=<>a a a(注意此处不要与数分中不定式∞⋅0混同,0lim =n x , ±∞=n y lim ,那么?lim =n n y x 不确定,但此处的∞±指广义实数而不是变量) ;±∞=±∞⋅±∞)()(;-∞=∞⋅±∞)()( ;01=∞±;)(1±∞⋅=∞±a a )0(≠a (iii)广义实数的大小关系:规定+∞<∞-,此外对任何实数R a ∈,+∞<<∞-a .§3.1 引言若I 是一个有界区间,则I 的长度定义为它的两个端点的距离,记为)(I l ;若I 是一个无界区间,则定义I 的长度为∞,也记成)(I l .这样()()1)1,0(]1,0[==l l ,()∞=-∞]0,[l ,()∞=+∞],1[l .我们的目的是希望把上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集上去.不妨设上述的长度概念推广到R 上的一个集族Ω上.对任何Ω∈E (即E 是R 的一个子集),我们把它的长度记为)(E m .对Ω,我们希望满足下面三个条件:)(1Ω所有区间都是Ω中的元；)(2Ω若Ω∈E ,则Ω∈-=E R E c ；)(3ΩΩ中任意至多可数个元的并是Ω中的元.而对m ,我们希望它满足下面三个条件:)(1m 对每一个Ω∈E ,)(E m 是一个非负广义实数,即)(E m 或者是一个非负实数,或者是∞；)(2m 对每一个区间I ,)()(I l I m =；)(3m 若{}1≥n n E 是Ω中任何一列两两不相交的元,则)()(n n E m E m ∑= .注:),(m Ω是一起出来的,是一个关系.显然Ω可以构造,如Ω是R 的子集全体,但无m 满足的三条)(1m ～)(3m .现在R 上随便拿一个集合E ,有开集包含它(如取R G =),则)()(G m E m ≤,而对于开集G ,我们知道∑∞=-=1)(n n n a b G ,所以≤)(E m ∑∞=-1)(n n na b,于是)(E m 可以定义为∑∞=-1)(n n na b的下确界,即包含E 的所有开集G 的长度的下确界.这是一种办法.还有另一种办法:对任意集合R E ⊂,可否拿来闭集F ,使F E ⊃?可以(如取E 中一点作为F ),则)()(E m F m ≤.这样,所有包含在E 里的闭集F 的长度取上确界得)(E m .但G E F ⊂⊂所定义的长度是否满足三条)(1m ～)(3m ?若)(F m 的上确界与)(G m 的下确界相等,则由两边夹就可能定义)(E m .§3.2 Lebesgue 外测度外测度即)(G m 的下确界. 对R E ⊂)(*E m {}nn n n n n I E I I l ⊂∑=≥是一列开区间并且1}{:)(inf称为E 的Lebesgue 外测度,其中)(n I l 是开区间n I 的长度 (由于开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并,所以以上直接用开区间.(我们希望)(*E m 就是前面的m ,满足三条,但不行) .例:设{}1≥n n r 是有理数全体(即{}1≥=n n r Q ),求)(*Q m .解:任取0>ε,)2,2(11+++-=n n n n n r r I εε,则nn I Q ∞=⊂1 ,εε=∑=∑∞=∞=nn n n I l 2)(11所以)(*Q m ε=∑≤∞=)(1n n I l由ε的任意性, 0)(*=Q m .可见,从测度(长度)的观点来说,虽然Q 密密麻麻,但其外测度却是0.由上例可知，R 中任何至多可数子集的外测度为0。
高一数学中的测度论初步怎么理解在高一数学的学习中，我们可能会接触到测度论这个相对较为抽象和复杂的概念。
对于初学者来说，理解测度论可能会有些困难，但通过逐步剖析和深入思考，我们能够逐渐掌握其核心要点。
首先，让我们来谈谈什么是测度。
简单地说，测度是对集合大小的一种度量方式。
但这里的“大小”并非我们日常生活中直观理解的那种大小，而是一种更为数学化、精确化的描述。
想象一下，我们面前有一个线段，它的长度就是一种测度。
同样，一个平面图形的面积、一个立体图形的体积，也都是测度的具体表现形式。
但测度论所研究的可不仅仅是这些直观的几何对象的大小。
比如说，在数轴上给定一个区间 a, b，它的长度 b a 就是这个区间的测度。
再复杂一点，如果我们有一些不连续的点组成的集合，如何去衡量它的“大小”呢？这就需要用到测度论的知识了。
测度论中的一个重要概念是可测集。
一个集合被称为可测集，是指我们能够为它合理地定义一个测度。
那什么样的集合是可测集呢？这可不是一个一眼就能看出来的简单问题。
比如说，对于一些常见的集合，如开区间、闭区间、有限个区间的并集等，我们可以相对容易地定义它们的测度，并且证明它们是可测集。
但对于一些更复杂的集合，判断其可测性就需要用到一些较为高深的数学方法和定理。
在理解可测集的过程中，我们还会涉及到一些重要的性质和定理。
例如，可测集的并集、交集仍然是可测集，这就为我们处理多个集合的测度问题提供了便利。
测度论在数学中的应用非常广泛。
在概率论中，概率实际上就是一种特殊的测度。
通过将随机事件看作是一个集合，其发生的概率就是这个集合的测度。
这使得我们能够用测度论的方法来研究概率问题，为解决各种概率计算和随机现象的分析提供了强大的工具。
在实变函数中，测度论更是起着基础性的作用。
通过引入测度的概念，我们能够更加深入地研究函数的性质，如可积性等。
对于高一的同学来说，要理解测度论的初步知识，关键是要建立起从直观到抽象的思维过渡。
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ⊂为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ⊂为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ⊂，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ⋃==。
2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ⊂， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。
3、设n R I ⊂为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ⊂上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈⊂，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设n R E ⊂有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ⊂为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ⊂，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =。
（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue 可测集的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E ⊂和c B E ⊂，总有()***m A B m A m B ⋃=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；◇ 记{}R n E E ℑ=⊂是可测集，则2c c ℑ=>，其中c 为连续基数；◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集） （1）设1E ，2E ，L ，m E 为互不相交的可测集，则11m m mmi i i i E E ==⋃=∑（有限可加性）；设1E ，2E ，L ，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则11m m mmi i i i E E ==⋃≤∑（次有限可加性）。
（2）设1E ，2E ，L ，k E ，L 为互不相交的可测集，则11m m k k k k E E ∞∞==⋃=∑（可数可加性）；设1E ，2E ，L ，k E ，L 为可测集列（注意没有互不相交的要求），则11m m k k k k E E ∞∞==⋃≤∑（次可数可加性）。
（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
设E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）设{}k E 为单调递增的可测集列，则()1m lim m lim m kk k k k k E E E ∞→∞=→∞⎛⎫=⋃= ⎪⎝⎭；设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则()1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞=⋂=。
（5）一般可测集列测度的极限性设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ⊂为可测集，q B R ⊂为可测集，则A B ⨯为p+q R 上的可测集，且m(A B)=mA mB ⨯⋅。
自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设n ,R E G ⊂（1）若E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
（2）若E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（3）若E 和G 不是可测集，则① ***m m (\)m G G E E ≤+；② 当*m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。
2、利用1和可测集的性质证明：（1）设n ,R E G ⊂都是可测集，则()()m m m +m G E G E G E ⋃+⋂=；【注意：()()m \\G E G E G E ⋃=⋂】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设n ,R E G ⊂（不必为可测集），则()()****m m m +m G E G E G E ⋃+⋂≤。
3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： （1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则m 0P =；【注意：三分Cantor 集的构造1211[0,1]\()n n i n i P I -∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭U U ），其中n i I （11,2,,2n i -=L ）为Cantor 集的构造过程中第n 步去掉的长度均为13n 的开区间】（2）对于任意给定正数01a <<，不改变Cantor 集的构造思想，只是将在Cantor 集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为231111,,,,,3333n a a a a ----L L 的开区间（比如第n 步换为去掉12n -个长度都为13n a-的互不相交的开区间），并记这样得到的集为0P （称为类Cantor 集或一般Cantor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：0m P a =。
4、证明一般可测集列测度的极限性：设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
④ 若*1m k k E ∞=<+∞∑，则k lim k E →∞和k lim k E →∞都是零测集。
三、可测集的结构的知识要点：◇ n R 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F σ型集，G δ型集，Borel 集。
◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）：（1）对任意n R E ⊂，E 与G δ型集的关系（等测包定理）； （2）可测集与开集的关系，可测集与G δ型集的关系； （3）可测集与闭集的关系，可测集与F σ型集的关系。
自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题： （1）如何将一个G δ型集表示成一列单调递减的开集的交集？（2）设n R E ⊂，则存在一列单调递减的开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭I ；（3）设n R E ⊂有界，则存在一列单调递减的有界开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭I 。
注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明： 设R n k E ⊂（1,2,k =L ）为一列单调递增的集列，每个k E 不必为可测集，则（1）存在一列单调递增的G δ型集k G （1,2,k =L ），使得，对每一个1k ≥，k k E G ⊂，且*m m k k E G =；（2）()***1lim m m m lim k k k k k k E E E ∞→∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭U （单调递增集列的外侧度的极限性质）。
3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设n R E ⊂是可测集，则（1）对任意的0ε>，存在开集G ，使得E G ⊂，且()\m G E ε<；（2）存在一列单调递减的开集k G （1,2,k =L ），使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，且()1\k m G E k <； （3）存存在一列单调递增的闭集k F （1,2,k =L ），使得，对每一个1k ≥，k F E ⊂，且()1\k m E F k<。
