数学方法论讲稿

第 1 页 共 53 页 《数学方法论》讲稿

一、概论

1、数学方法论的概论

数学方法论就是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问（徐利治教授在1983年写的《数学方法论选讲》）。

显然数学方法论不仅涉及思维的对象------数学本身的辩证性，也涉及思维过程------认识及反映过程的辩证性，也就是说数学方法论不仅涉及到数学科学而且也涉及到思维科学。

解析几何的创始人笛卡尔曾写过专著《方法论》，他特别强调怎样从数学解题过程中总结出一般的思想方法及法则。他曾说过这样的话：“我们所解决的每个问题，都成为以后解决其它问题的规则。”17世纪伟大的哲学家和数学家莱布尼兹也曾写过《论发明的技巧》等。

2、宏观数学方法论与微观数学方法论

推动数学的发展有两个因素：一是社会生产实践及科学技术发展的客观要求，这是外部因素；二是数学自身内部的矛盾运动，这是内部因素。在数学的整个发展过程中，这两个因素是相互交叉渗透的。

在数学方法论的研究中，如果撇开社会生产实践与科学技术的推动的外部动力，专就数学内部体系结构中特定问题进行研究，这就属于微观数学方法论范畴。

第 2 页 共 53 页 在数学方法论的研究中，如果撇开数学内在因素不提，专门研究数学反战的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求是怎样紧密相连的，这就是属于宏观数学方法论的范畴。

所以，关于数学发展规律的研究属于宏观的数学方法论。关于数学思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观数学方法论。

3、数学方法论的产生与发展以及它在数学历史发展中的一些作用

数学方法的伟大变革，总是引起数学发展的巨大飞跃。每一时期数学发展的水平总是与那一时期数学方法的发展水平相适应的，数学方法与数学是同时产生并同步发展的。

按照数学思想和方法的本质特征的差异，数学的发展大致可分为四个时期：

（1）数学的萌芽时期

从远古时代到公元前6世纪，这是积累事迹材料的时期，也是数学方法发生与积累时期。在这个时期，人类根据生活和生产的需要，主要研究天文历算、土地测量和水利工程计算、航海测量等实际计算和测量问题，总结出许多实际计算和测量方法。

形成自然数、分数以及一些简单图形的概念，创立了初步的算术和几何，而且总结和积累了一些数学研究方法。

（2）常量数学时期

公元前6世纪到公元17世纪。这个时期数学研究的对象主要是客观事物相对静止状态下保持不变的量和形。数学对象是从实

第 3 页 共 53 页 际事物的性质中抽象出来并把它理想化成纯粹的数学研究对象，并运用逻辑方法（主要是演绎法）把过去经验积累的零乱的数学知识整理成为演绎体系。

数学引入了自己专有的符号系统，数学的表述、计算、推理和证明的方法日趋完善，这样，数学就从解决实际问题发展成为独立的科学，并形成了算术、几何、代数、三角等分支。出现了许多新的数学思想和数学方法。如：公理化思想和方法（欧几里得），形式逻辑（归纳法和演绎法，亚里斯多德），归纳逻辑（实验法和归纳法，弗兰西培根），极限的思想和方法（刘徽，九章算术）。

（3）变量数学时期

17世纪中叶到19世纪20年代。这个时期人们对自然界的认识，从研究客观事物的相对静止状态进而探索运动变化规律。数学研究的对象亦从常量到变量、从离散量到连续量、从有限到无限、从简单图形到复杂图形，从静态到动态的扩展，使数学发生了根本的变化。

笛卡尔《几何学》------解析几何------数与形的结合，使数学从分散趋于统一。微积分-----牛顿和莱布尼兹------分析学（函数为研究对象）。

（4）近代和现代数学时期

从19世纪20年代至今。这个时期，数学已成为分支众多，体系庞大的科学，数学的研究对象发生了重大变化，向更一般化、抽象化、多样化发展。

第 4 页 共 53 页 几何由研究现实的1维、2维、3维空间发展到研究n维空间和非欧空间。代数从研究数的运算发展到研究研究抽象代数结构。数学分析从研究函数的基本性态发展到利用更新型的方法在更广阔领域中研究函数。

由此可见，数学方法与数学是同时产生并同步发展的。数学的发展史也就是数学方法论的产生和发展的历史，数学的每一项重大成果的取得无不与数学思想方法的突破与创新有关。

4、学习和研究数学方法论的意义和目的

学习和研究数学方法论不论对促进数学的发展，数学功能的发挥，还是对改革数学教育，培养数学人才，都有十分重大的意义。

特别是对数学教师的业务素质和知识结构的改善，有助于理解数学的本职和规律、理解数学的思维过程和思想方法，促进由对合理方法的不自觉的运用向有意识的自觉应用的转化，从而改善数学教师的业务素质和知识结构，提高驾驭教材的能力；使教师由“知识传授型”转化为“能力传授型”。

作为数学教师，实现教学方法的突破与创新的关键，一是教育观念与教学思想的更新，而是教师本身知识结构与业务素质的改善与提高，三是具有勇于探索积极时间的精神。

要想学好数学方法论，要学习有关的数学史和科学哲学，积极实践，联系实际，不断总结不断积累。

第 5 页 共 53 页 二、数学的发现方法

在数学上要有所发现、有所发明、有所创造和有所前进，首先应将具有一定数量和质量的经验材料，进行加工整理成为数学材料，从而形成数学猜想，建立数学命题，这种思维方法属于数学的发现方法。

提出数学猜想的发现方法是多种多样的，常用的方法有：数学模型方法、观察法与实验法、归纳法与模拟法、抽象法与概括法、一般化方法与特殊化方法等。

§1.数学模型方法（MM方法）

1.1数学模型方法的含义

（一）模型的含义

通过抽象、概括和一般化，把要研究的对象或问题转化为本职（关系或结构）同一的另一对象或问题。通常把被研究的对象或问题称为原型，而把转化后的相对定型的仿真化或理想化的对象或问题称为模型。

模型必须能反映原型的整体结构、关系或某一过程、某一局部、某一侧面的本质特征和变化规律。因此，模型是关于客观对象的整体认识。科学研究的完成标志是从理论上建立合适的模型。

模型分为物质模型和思想模型两种，而科学研究所要建立的是思想模型。

第 6 页 共 53 页 （二）数学模型

1、数学模型的含义

数学模型就是将某种事物的特征和数量关系借助形式化数学语言而建立起来的一种数学结构。换句话说，数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。它不仅实在理想化的条件下，对现实原型近似的、简化的反映，而且常以抽象的数学关系式来解释现实原型的各种特性以及它们之间的规律。

数学模型是将事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系在数量上加以描述。例如：1，2，3，…，n,…是描述离散数量的数学模型。2RS是计算圆形物体面积的数学模型。

2、数学模型的种类

（1）确定性数学模型

确定性数学模型是描述确定性自然现象的数学模型。

例1 在标准大气压下，将水加热，当温度升高到C0100时，水必开始沸腾。这种现象从数量方面描述可用函数关系表示：

设“1”表示水沸腾，“0”表示水部沸腾，)(0Cx表示温度变量，则.100,1,1000,0)(xxxfy当当

函数)(xfy就是一个确定性的数学模型的实例。它也可以用直观模型来表示：

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(2)随机性数学模型

随机性数学模型是描写随即现象的数学模型。

例如：一只鸡蛋孵小鸡，小鸡是雌是雄是一种随机现象，对这种随机现象可用特征函数来表示：

设表示小鸡的性别，1表示雌性，2表示雄性，则

.,1,,0)(21

这可作为小鸡性别的一个数学模型。

（3）模糊性数学模型

模糊性数学模型是描述模糊现象的数学模型。日常生活中会遇到这种现象，它缺乏明确的判断，用不精确的、非定量的模糊概念表达。如“远大于”、“接近于”、“张三个子很高”等就是一些模糊概念。 近几十年发展起来的Fuuzy集合理论和Fuuzy逻辑成为研究这类模型的主要工具。

备注： Fuzzy集合的概念是由美国控制论专家扎德（Zadeh）首次提出的，1965年，他发表了奠基性的论文《模糊集合》（Fuzzy

Sets），这标志着模糊数学的诞生。从诞生至今，Fuzzy集合论得到了迅速发展，模糊数学已逐渐形成了一个新的独立的数学分支，1

100 y

o x

第 8 页 共 53 页 在人工智能、自动控制、计算机等领域有着广泛的应用。为了克服秃头悖论，模糊集合论引入函数隶属度的概念。我们可以给一个形象的解释：给定论域（universe）也即被讨论的全体对象U，U中一部分元素全体称为U上的一个集合（set），模糊集合为了与康托集合（用字母表示）相区别用字母加符号表示，可以记为?，任意指定一个元素μ（行为）。若μ∈?记为1（表示μ绝对地属于模糊集合?），若μ∈?记为0（表示μ绝对地不属于模糊集合?），如果将μ换为具有单位长度的线段，若μ部分地在?内，又部分在?外，则表示了中介隶属关系，μ位于?内部的长度表示了μ对?的隶属程度，可以是0至1之间的任意一个数，见图。

函数隶属度示意图

例3 远大于10的自然数。

我们给出能反映一个数x隶属于“远大于10”的程度的数量关系。如用

32210)10()10()(xxxF来描述x隶属于“远大于10”的程度的数量指标。

0)10(F，

62.010)1050()1050()50(322F，

第 9 页 共 53 页 89.010)10100()10100()100(322F，

00.110)10500()10500()500(322F

可以看出，对不同的自变量x，)(xF取[0,1]的一切值。这个函数)(xF称为隶属函数，函数值)(xF成为元素X关于模糊集合F的隶属度。由此可见，隶属度与1愈接近，说明X对于F的隶属程度愈高。

（4）突变性数学模型

突变性数学模型是描述突变现象的数学模型。

3、数学模型的构造方法

数学模型是反映现实原型的，即是描述客观实体的。但对于同一个实际问题，可能抽象出不同的数学模型；而对于不同的实际问题，也可能抽象为同一个数学模型。

一般地说，构造MM的基本过程可分以下几步：

（1）掌握和积累现实原型的丰富数据和有关数据。

确定所考察问题的系统，并抓住系统的主要矛盾，概括出系统特征的本质方面。

（2）进行数学抽象。

（3）检验。

三、数学模型方法的涵义

用数学模型方法解决问题的步骤：

1.构造数学模型