中学数学思想方法讲座讲稿
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数学思想与数学方法简介
临汾学院科研部 李建堂
1．1、什么是数学思想
数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是人们对数学内容和数学方法的本质认识，是对数学知识、方法的进一步抽象和概括，是对数学规律的理性认识，是指导人们学习数学、解决数学问题的观点（如函数观点、统计观点、集合观点等）、原则。然而，我们所谈的中学数学思想指的是基本、常见、较浅显的数学思想，如定义、定理、公式、法则等；人们常用数学思想来泛指某些具有重要意义的、丰富内容的、体系相当完整的数学成果，如：集合思想、函数思想、方程思想、统计思想、公理化思想等等。 211Jian
2 1．2、什么是数学方法
一般地，方法是指人们为了实现某种目的而采取的行为手段、方式、措施、策略等，它是一种实践活动，人们在实践活动中为实现这一目标，可以创设情境，有效地选择各种手段、方式、技巧、程序、措施、途径、策略等加以实现。我们把讲授数学、学习数学、探究数学、应用数学等活动均称之为数学活动。数学方法就是人们从事这种数学活动时所用的方法，是指某一数学活动过程的程序、手段和途径，是实施有关数学思想的策略。
1．3、数学思想与数学方法的联系
数学思想是数学方法的灵魂，是处理问题的基本观点，是数学基础知识和基本方法的本质概括，是精神实质和理论的依据，是创造性地发展数学的指导思想，它来源于基础知识和基本方法，高于知识与方法，指导知识和方法的运用，能使知识向深、高层次发311Jian
3 展；数学方法则是处理、探索、解决数学问题，实现数学思想的技巧手段和有效策略，是数学思想的表现形式。
当我们用同一个数学成果去解决某个问题时，可称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，可称之为思想。
一般地，数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想的指导下，运用相应的数学技能手段、策略实现的。数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。“数学思想方法”暂时没有严格的定义，它是在数学科学的发展中逐步形成起来的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂，是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的。我们认为：数学思想方法是人们从事数学实践活动的程序和途径，是解决数学问题的过程，是实施数学思想的有效手段，是数411Jian
4 学思想在数学实践活动中的具体反映，也是人们对感性认识的积累过程。数学思想的意义比数学思想方法的意义更为深刻，它对数学思想方法起指导作用。
二、中学数学中常用的基本数学思想方法
2.1、用字母表示数的思想方法：它是转化思想的体现。
例1、某件工程，甲单独做需要x天完成，乙单独做需要y天完成。若先由甲做z（z﹤x）天后，剩下部分再由乙继续做，问乙需做几天可以完成全部工程？
解：甲每天做x1. 乙每天做y1, 甲做Z天做了ZX1=xZ
剩下部分=1-xZ=xZx
剩下部分再由乙继续做，问乙需做 511Jian
5 （xZx）y1 611Jian
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例2、已知a-b=2,a-c=1.求(2a-b-c) +(c-b)的值
解：（a-b）-(a-c)=c-b
2 - 1 = 1
(2a-b-c)=（a-b）+(a-c)=2+1=3
2．2、数形结合思想方法：就是把“数”与“形”结合起来对数学问题进行分析、研究，从而解决问题的一种方法。要求能运用代数、三角知识，通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题，通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题，能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。
例1、已知线段AB=6cm，点P在线段AB711Jian
7 上，点E、F分别是AP和BP的中点，求线段EF的长。
例2、对每个实数x，设 f(x)取
4x+1,x+2,-2x+4中的最小值，那么f(x)的最大值是______。
分析：如图，函数y=f(x)的图像是图中的实线，
2.3、函数思想方法：
就是从运动变化的角度去看数学问题中的数量关系，通过函数形式对这种数量关811Jian
8 系进行描述、分析、探究。要求会用解析式把问题中两个变量间的对应关系表示出来，能充分运用函数的知识、方法来解决相关的问题。
例3、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天开支20元的各种费用。房价定为多少时，宾馆的利润最大？（九年级《数学》下册第28页习题第6题）
解：设空闲房间数为x则定价为180+10x元这时的利润为：y=(50-x)( 180+10x)-(50-x)20
=-10x2+340x+8000
2.4、方程思想方法：就是根据数学问题中的已知量与未知量间的数量关系，运用数学符号语言使问题转化为解方程的一种思维方式。要求学会分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系.学会911Jian
9 通过适当设元,列出方程或方程组。
例4、有一片草场,若供给10头牛吃，可以吃20天；若供给15头牛吃，可以吃10天。那么这批饲料供给25头牛吃，可以吃多少天?
分析与解答：设每头牛每天吃的草的量为x斤，则10头牛20天吃
10*20*x=200x,
15头牛10天吃15*10*x=150x,
200x>150x,吃20天时比吃10天时草多了。
这说明草在长，每天长多少呢？（200x-150x）/(20-10)=5x 这说明每天长出的草等于5头牛1天的吃草量，这样的话。。。。。。 从每次的牛中分出5头牛，让这5头牛吃新长出草，其余的牛吃原有的草： 1011Jian
10 思考题：火车站售票厅（或者医院挂号大厅）从某时刻起（这时大厅内已有若干人排队等侯并且还有人源源不断地从外面走进来）若同时开8个窗口则15分钟售完，若同时开9个窗口则12分钟售完，若同时开10个窗口多少分钟售完？ 注：（1）“售完”是指再来的人就不用排队；（2）假定每分钟从外面走进来的人数是相等的。
牛的 总数 吃新草 的牛数 吃旧草 的牛数 用的 天数 10 5 5 20 15 5 10 10 20 5 15 100÷15= 1111Jian
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