《数学方法论》

数学方法论

1所谓数学思想是对数学知识的本质认识是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点

2 什么叫数学方法是指从数学角度提出问题，解决问题的过程中采用的各种方式，手段，途径等

3 怎样区分数学思想与数学方法强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法

4 数学方法的特点具有过程性和层次性的特点

5 数学知识数学方法数学思想是数学知识体系的三个层次

6 数学教育的三大功能科学技术功能思维功能社会文化功能

7 数学思想方法对学生有什么作用数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用

8数学思想方法教学的特点隐喻性活动性主观性差异性

9，什么是化归思想方法 从方法论的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或简单的.熔岩的问题，从认识论的角度看，化归思想方法是用一种联系，发展，运动变化的观点来认识问题，通过对原问题的转换，使之成为另一问题加以认识。它们的科学概括就是数学解决问题的基本思想方法-化归

10，数学语言分为哪几种？

图形语言，文字语言，符号语言。

11，什么是归纳推理方法

归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。

12，什么是类比推理方法

类比是在两个或两类事物间进行对比，找出若干相同或相似点后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。

13.什么叫联想

联想是由某种概念或结果而引起其他相关概念或结果的思维形式。

14，什么叫解析法 将平面几何问题转化为解析几何问题的化归方法就是通常所谓的解析法

15，什么叫数学抽象

1 内容上的特殊性—数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切 2 方法上的特殊性==数学抽象是一种构造性活动，是借助定义和推理进行的逻辑建构3 程度上的特殊性—数学抽象的程度远远超过自然科学中的一般抽象

第五章 数学中的化归方法

就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。

对于上述问题、匈牙利着名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter）在其名着《无穷的玩艺》中曾通过一个有趣的事例进行分析。她所给出的事例是这样的：

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。”

罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。

本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。

§5.1 化归方法的基本思想与原则

人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。

“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段。归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B的解决而得到原问题A的解答。用框图可直观表示为：

1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。

2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称

3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。

4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律

5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题

6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾

7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法

8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式

数学问题在数学发展以及数学教育的意义

（一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”

由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。

科技信喜．　高校理科研究　

数学思维与方法ｉ仑硇逻辑　

西华师范大学数学系　向进　

［摘要］数学思维与方法理论丰富，应用性很强，必须经过应用才能习得，如何在当代的数学教育教学中、生产生活中应用已成为　

时代课题。数学思维方法最新重大突破，主要在现代数学的新领域和研究层次中，特别是在数学向一些学科与社会部门渗透并获得　

应用，研究的对象越来越多，研究的问题越来越复杂。　

［关键词］数学思维方法理论应用　发展　

数学思维与方法是数学知识体系中的核心，它由理性的知识和哲　

学知识组成。对于数学科学的工作者，最重要的就是数学的精神、思想　

和方法，其次才是数学知识。素质教育语境下科学研究和教学改革的发　

展应将数学教育中的思维方法教研推向纵深。　

一、理论概览　

数学与思维的关系可以看作是数学方法论的一个组成部分。数学　

思维从属于一般的人类思维，是数学科学与思维科学有机统一的关于　

数学对象的理性认识过程。“数学思维是人脑和数学对象交互作用，并　

借助数学语言以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的　

间接概括的反映”…。数学思维的特质是抽象性、严谨性和统一性。思维　

对象是事物间的数量关系，往往需要经过多次抽象而形成一个可再认　

识的形式化的东西；形式转化则需要严谨的充分条件和推理；最终需要　

将复杂的思维过程以简化和统一的程式反映数量关系的本质。数学思　

维的结构是由数学思维方式、数学思维基本成分和数学思维个体发展　

状况有机构成的立体结构。数学思维方式是随着主体认识发展而逐步　

丰富和提升的，基本的数学思维方式主要有集合对应思维、公理化结构　

化思维、空间思维、变量思维和程序分析思维；数学思维基本成分是思　

维过程状态中彰显的获得数学知识的手段和方法，包括数学中的形象　

思维、抽象逻辑思维、直觉思维和灵感思维；数学思维的个体发展状况　

以数学思维品质和非智力品质为标志，反映个体在年龄、心理认知等方　

面的差异。　

数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以