2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
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2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．（5分）复数z
1＝2+3i，z
2
＝，若z
1＝z
2，则a，b分别为（ ）
A．a＝﹣3，b＝2 B．a＝2，b＝﹣3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣2，b＝3
2．（5分）集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x2﹣2x＝0），则A∩B中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（5
分）函数的图象的大致形状是（ ）
A
． B
．
C
． D
．
4．（5分）若
sin，且α∈（0
，），则tanα＝（ ）
A
． B
． C
． D
．
5．（5
分）已知向量
、满足
||＝1，
||＝2，
||＝，则
||＝（ ）
A．2 B． C． D．
6．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则正三棱柱的外接球的表面积是（ ）
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A
． B
． C
． D
．
7．（5分）已知命题p：|x﹣1|≤1，命题q
：≥1，则¬p是¬q的（ ）
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》
时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为
此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人
称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n
为（ ）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）
A．6 B．12 C．24 D．48
9．（5分）等差数列{a
n}的前n项和为S
n，已知a
1＝13，S
3＝S
11，当S
n最大时，n的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
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10．（5
分）已知向量，若
的值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
11．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x
）＝，则
函数g（x）＝xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的所有零点之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（5分）已知点P
是椭圆上的动点，F
1（﹣c，0）、F
2
（c，0）为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F
1PF
2的角平分线上的一点，
且F
1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（ ）
A．（0，c） B．（0，a） C．（b，a） D．（c，a）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分。共20分．把答案填在答题纸中相应的横线上)
13．（5分）已知抛物线的方程x
＝y2，则该抛物线的准线方程是 ．
14．（5分）已知正数x，y满足x2+y2＝1
，则
+的最小值为 ．
15．（5分）已知正项数列{x
n}满足x
n+2
＝，n＝1，2，3，…，若x
1＝1，x
2＝2，则x
2019
＝ ．
16．（5分）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，
利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（﹣2，3
）且法向量为＝（4，﹣1）的直
线（点法式）方程为4×（x+2）+（﹣1）×（y﹣3）＝0，化简得4x﹣y+11＝0．类比以
上方法，在空间直角坐标系中，经过点B（2，3，4
）且法向量为＝（﹣1，﹣2，1）的
平面（点法式）方程为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)
17．（12分）西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示；其为五边形
ABCDE．其中三角形区域ABE为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所，AB，
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BC，CD，DE，EA，为运动小道（不考虑宽度）∠BCD＝∠CDE＝120°，∠BAE＝60°，
DE＝2BC＝2CD＝6千米．
（1）求小道BE的长度；
（2）求球类活动场所△ABE的面积最大值．
18．（12分）已知数列{a
n}是首项为a
1
＝，公比q
＝的等比数列，设b
n+2＝a
n（n∈N*），
数列{c
n}满足c
n＝a
n•b
n
（1）求证：{b
n}是等差数列；
（2）求数列{c
n}的前n项和S
n．
19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形且∠ADC＝90°，AB∥CD，
AC⊥BD垂足为G，PG是四棱锥P﹣ABCD的高，∠DAC＝∠DPC＝60°，PD＝2，PC
＝1．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求三棱锥P﹣ACD的体积．
20．（12分）已知动直线l与焦点坐标为（﹣3，0）
，离心率为的曲线C相交于M，N两
点（O为曲线C的坐标原点），且S
△OMN＝10．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）证明：x
12+x
22和y
12+y
22都为定值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x．
（1）设g（x）＝lnx﹣f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；
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（2）对任意正数x恒有f（x）+f
（）≥（x
+）lnm，求m的取值范围．
考生请从以下两题中任选一题作答，并将你所选择的题号进行填涂，如果多做，则按所做
的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，直线的参
数方程为，（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2（sinθ﹣cosθ）．
（1）写出直线l的方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若点P为圆C上一动点，求点P到直线l的最小距离．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣m|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|1≤x≤7}，求实数m的值；
（2）满足（1）的条件，若f（x）+f（x+5）≥t对一切实数x恒成立，求实数t的取值范
围．
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2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．【解答】解：由题意得：2+3i
＝，
故﹣3+2i＝a+bi，
故a＝﹣3，b＝2，
故选：A．
2．【解答】解：集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x2﹣2x＝0）＝{x|x＝0或x＝2}，
则A∩B＝{0，2}，其中元素的个数为2．
故选：C．
3．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）
＝，
∴x＞0时，图象与y＝ax在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝ax的图象关于x
轴对称，
故选：C．
4．【解答】解：∵
sin，且α∈（0
，），
∴cosα＝
＝
＝
则tanα
＝
＝
＝，
故选：D．
5．【解答】解：根据题意得，
（
﹣）2
＝2
+2﹣
2
•
又（
+）2
＝2
+2
•
+2＝
1+4+2
•＝6
∴
2
•＝1，
∴（
﹣）2＝1+4﹣1＝4， ∴＝2．
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故选：A．
6．【解答】解：由题意可得正三棱柱的示意图如图，它的高是2，底面是边长为4的正三角
形，其中上下底面的中点连线的中点O′即几何体外接球的球心，线段OC即半径
由几何体的性质知，O′是三角形的中心，可求得OO′＝1，
又OC
＝
＝，所以球的表面积为4π
×
＝．
故选：A．
7．【解答】解：p：|x﹣1|≤1
﹣1≤x﹣1≤1，
0≤x≤2，
q
：≥1，
0＜0≤1
∵q是p的充分不必要条件，
根据一个命题和它的逆否命题真假性相同，
∴¬p是¬q的充分而不必要条件
8．【解答】解：模拟执行程序，可得：
n＝3，S
＝3×sin120
°＝，
不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S
＝6×sin60
°＝，
不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S
＝×12×sin30°＝3，
不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S
＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，
满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．
故选：C．
9．【解答】解：∵S
3＝S
11，∴S
11﹣S
3＝a
4+a
5+a
6+…+a
11＝0，
故可得（a
4+a
11）+（a
5+a
10）+…+（a
7+a
8）＝4（a
7+a
8）＝0，
