陕西省榆林市2017年高考数学一模试卷(理科)含答案解析

陕西省榆林市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（ ）

A．{x|﹣3＜x≤3} B．{x|﹣1≤x＜3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2}

3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（ ）

A．﹣ B．﹣7 C． D．7

4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（ ）

A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0

B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0

C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0

D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0

5．在等比数列{an} 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于（ ）

A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3

6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（ ）

A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z

8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）

A．9 B．121 C．130 D．17021

9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．1

10．5的展开式中，x5y2的系数为（ ）

A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90

11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（ ）

A． B． C． D．

12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（ ）

A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2） B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2） C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2） D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= ．

14．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．

15．设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是 ．

16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分）

17．（12分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．

（Ⅰ）用向量，表示．

（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．

18．（12分）某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为．

（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率； （Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．

19．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．

（1）证明：EM⊥BF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足： +=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．

（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．

（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；

（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；

（3）已知c1＞0，且cn+1=f′（cn）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．

（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）求证：f（x）≥．

2017年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．

【解答】解： =，

则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（ ）

A．{x|﹣3＜x≤3} B．{x|﹣1≤x＜3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．

【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，

∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；

由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，

∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}， 则P∩Q={﹣1，0，1，2}．

故选D

【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．

3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（ ）

A．﹣ B．﹣7 C． D．7

【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．

【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．

【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，

∴tan（α+）==，

故选C．

【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．

4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（ ）

A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0

B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0

C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0

D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0

【考点】命题的否定．

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．

【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，

所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0

故选：D

【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．

5．在等比数列{an} 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于（ ）

A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3

【考点】等比关系的确定．

【分析】由数列{Sn+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）

代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解

【解答】解：由题意可得q≠1

由数列{Sn+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列

则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）

代入等比数列的前n项和公式整理可得

（6+4q）2=24（1+q+q2）+12

解可得 q=3

故选C．

【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．

6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．

【解答】解：∵

∴

∴

∵ ∴两个向量的夹角余弦为

故选C

【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．

7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（ ）

A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．

【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称

∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0

∴sin（φ）=0

∴φ=kπ

∴φ=

故选：D

【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．

8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）