2018年陕西省渭南市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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2018年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5
分）设集合，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2} B
． C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
2．（5分）设i是虚数单位，若复数z
＝，则z的共轭复数为（ ）
A
．
+i B．
1+i C．1
﹣i D
．
﹣i
3．（5分）已知命题p：∃a，b∈R，a＞b
且，命题q：∀x∈R，sinx+cosx
＜．下
列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取
一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
5．（5分）设实数x，y
满足，则z＝2x﹣3y的最大值为（ ）
A
．﹣ B
．﹣ C．2 D．3
6．（5分）如图，一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）
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A
． B
． C
． D．1
7．（5分）在（x
+）n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则
x3的系数为（ ）
A．15 B．45 C．135 D．405
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（ ）
A．﹣1 B
． C
． D．4
9．（5分）已知F
1，F
2分别为双曲线C
：
﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右
焦点，过F
1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF
2|：
|AF
2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（5分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数f
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（x
）＝x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1无极值点，则角B的最大值是（ ）
A
． B
． C
． D
．
11．（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个
半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该
二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
12．（5分）已知函数f（x
）＝，若存在实数x
1，x
2，x
3，
x
4，满足x
1＜x
2＜x
3＜x
4，且f（x
1）＝f（x
2）＝f（x
3）＝f（x
4），
则
的取值范围是（ ）
A．（0，12） B．（0，16） C．（9，21） D．（15，25）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则|﹣2|＝ ．
14．（5分）过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，若
A、B 两点的横
坐标之和为，则|AB|＝ ．
15．（5分）已知函数y＝cos2x
+sin2x
﹣，x∈（0
，），则该函数的值域为 ．
16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）
＝f（x﹣1），已知当x∈[0，1）时f（x）＝log
0.5（1﹣x），则①函数f（x）的
周期是2；②f（x）在（1，2）上是增函数，在（2，3）上是减函数；③f（x）
的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，f（x）＝log
0.5（x﹣3），其
中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为
必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作
答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知单调的等比数列{a
n}的前n项和为S
n，若S
3＝39，且3a
4是a
6，
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﹣a
5的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b
n}满足b
n＝log
3a
2n+1，且{b
n}的前n项和为T
n
，求．
18．（12分）某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部介于90分
到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[90，100），第二组
[100，110），…，第五组[130，140]．按上述分组方法得到的频率分布直方图
如图所示．将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上
记为“优秀”，不超过100分则记为“及格”．
（Ⅰ）求该班学生在这次数学考试中成绩“良好的”人数；
（Ⅱ）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，
求X的分布列与数学期望．
19．（12分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，BC＝CD＝，
AD＝BD，EC⊥底面ABCD，FD⊥底面ABCD且有EC＝FD＝2．
（Ⅰ）求证：AD⊥BF；
（Ⅱ）若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值．
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20．（12分）已知椭圆C
：（a＞b＞0
）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l
的距离为，求
△AOB面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx．
（Ⅰ）若a＝﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）f（x）的图象与x轴交于A（x
1，0），B（x
2，0）（x
1＜x
2）两点，AB中点
为C（x
0，0），求证：f′（x
0）＜0．
选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy的原点，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极
轴建立极坐标系，已知曲线C
1的极坐标方程为ρ
＝，C
2的参数方程
为（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C
1与C
2的方程化为直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）若C
1与C
2相交于A、B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值m及最小值n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设a，b∈R，且am+bn＝1，求证：a2+b2
≥．
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2018年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5
分）设集合，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2} B
． C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
【解答】
解：∵，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}
∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜2}，
故选：A．
2．（5分）设i是虚数单位，若复数z
＝，则z的共轭复数为（ ）
A
．
+i B．
1+i C．1
﹣i D
．
﹣i
【解答】解：∵z
＝
＝，
∴．
故选：D．
3．（5分）已知命题p：∃a，b∈R，a＞b
且，命题q：∀x∈R，sinx+cosx
＜．下
列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【解答】解：∃a，b∈R，a＞b
且，
比如令a＝1，b＝﹣1，成立，
故命题p是真命题；
∀x∈R，sinx+cosx＝sin（x+）≤＜，
故命题q是真命题，
故p∧q是真命题，
故选：A．
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取
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一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，
则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S
＝，
则对应概率P
＝
＝，
故选：B．
5．（5分）设实数x，y
满足，则z＝2x﹣3y的最大值为（ ）
A
．﹣ B
．﹣ C．2 D．3
【解答】
解：由约束条件，作出可行域如图，
化目标函数z＝2x﹣3y为直线方程的斜截式y
＝x
﹣．
由图可知，当直线y
＝x
﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z
最大，
可得，即A（1，0），z＝2×1﹣2×0＝2．
故选：C．
