第21节：多边形与平行四边形

专题08 多边形及平行四边形的性质知识网络重难突破知识点一多边形的有关概念1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。

组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。

2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。

多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。

3.四边形的内角和等于360o。

n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。

任何多边形的外角和为360o。

【典例1】（2020春•鹿城区校级期中）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．6B．7C．8D．9【变式训练】1．（2019秋•温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．6条B．8条C．9条D．12条2．（2020•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14B．15C．16D．173．（2019春•西湖区校级月考）若一个多边形减去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4．（2020•如皋市校级模拟）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．知识点二平行四边形及其性质1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。

4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。

【典例2】（2020春•丽水期中）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．【变式训练】1．（2019春•嘉兴期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝14，AC＝6，则△OBC的周长为．2．（2019春•天台县期末）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE 与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝°．3．（2019春•温州期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为．4．（2018秋•吴兴区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）连接BF，若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝3，求BF的长．5．（2019•黄石模拟）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．知识点三中心对称1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】 B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=3 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF ∥AO ，且PF=12AO ， ∵PF ⊥BD ，∴∠PFD=90°， ∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE ⊥AC ，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP ，∴PE ∥OD ，∵点P 是AD 的中点，∴PE 是△AOD 的中位线，∴PE=12OD ， ∵PE=PF ，∴AO=OD ，且AO ⊥OD ，∴平行四边形ABCD 是正方形，设BC=x ，则x+12x ，∵ -4，∴x ， 解得x=4，即BC=4．【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD 是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）是双曲线上的一点，Q 为坐标平面上的一动点，PA ⊥x 轴，QB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，是否可以使△OBQ 与△OAP 面积相等？（3）如图2，点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。

第 部分 四边形第一单元第1课时 多边形与平行四边形二、知识梳理(一) 多边形1．多边形的概念：（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上 的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形叫做多边形。

（2）正多边形：在平面内，各内角 都相等， 各边 也都相等的多边形叫正多边形。

各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形；各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形。

正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形。

2．多边形的内角和与外角和:（1）内角和：n 边形的内角和等于（n ─2）∙180 ；正n 边形的一个内角等于nn180)2( .（2）外角和：多边形的外角和等于360°.（注：多边形的外角和是定值，与边数无关）. 3.多边形的对角线:（1）概念：在多边形中，连接 互不相邻 的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. (2) n 边形有2)3( n n 条对角线 4.平面图形的镶嵌:（1）概念：用形状 、大小 完全相同的一种或几种 平面图形 进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的 镶嵌 . （2）镶嵌的条件：在同一顶点的几个角的和等于360°. (二) 平行四边形1.平行四边形的概念： 两组对边分别平行 的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的两组对边分别 平行且相等 . （2）角：平行四边形的对角 相等 ，邻角 互补 。

图1图2图4 （3）对角线：平行四边形的对角线 互相平分 。

（4）平行四边形对称性：平行四边形是中心对称图形，其对称中心是 对角线交点 ；经过对称中心的任意一条直线将平行四边形面积平分. 3.平行四边形的判定方法：（1）边：①两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形（平行四边形的概念）；②一组对边 平行且相等 的四边形是开行四边形； ③两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形.（2）角：两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形. （3）对角线：对角线 互相平分 的四边形是平行四边形. 4.平行四边形面积：平行四边形面积=底×高.三、课堂训练考查目标：多边形的内角和与外角和 1．已知一个多边形的内角和是外角和的23，则这个多边形的边数是 5 . [举一反三]一个多边形的内角和是720°，则这个多有的边数为 6 . [举一反三]矩形的外角和等于 360° 考查目标：正多边形的概念2．一个正多边形的每一个外角都是40°，这个多边形的边数是 9 .[举一反三]一个正多边形的一个内角是144°，它是一个 10 边形. 考查目标：平面图形的镶嵌3．下列多边形中，不能单独铺满地面的是（ C ） （A ）正三角形 （B ）正方形 （C ）正五边形 （D ）正六边形[举一反三]现有四种地砖，它们的形状分别为正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺地面.选择的方式有（ B ） （A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 考查目标：平行四边形的性质4．如图1.在□ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB .垂足为E ，若∠EAD =53°，则∠BCE 的度数为（ B ）（A ）53° （B ）37° （C ）47° （D ）123°[举一反三] 如图2.在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（ A ）（A ）AC ⊥BD （B ）AB =CD （C ）BO =OD （D ）∠BAD =∠BCD5．如图3.在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB =3.则□ABCD 的周长（ C ） （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15图5图5 第3题第6题第7题[举一反三]如图4在□ABCD 中，已知AB =6cm ，AD =8cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ A ）（A ）2cm （B ）4cm （C ）6cm （D ）8cm 考查目标：平行四边形的判定6．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ）（A ）两组对边分别平行 （B ）一组对边平行另一组对边相等 （C ）一组对边平等且相等 （D ）两组对边分别相等 [举一反三]在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，再添加一个条件：_AD =BC (答案不唯一)______,使四边形ABCD 成为平行四边形 考查目标：平行四边形的面积 7．平行四边形花坛的底是6m ，高是4m ，则它的面积是 24cm 2[举一反三].如图5，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点， 且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4、6）.（1）请直接写出这个平行四边形的第四个顶点的坐标；（2）求此平行四边形的面积. 解：（1）第四个顶点的坐标为（7，7）或（5，1）或（1，5）（2）把⊿ABC 补成正方形，面积为9，减去三个小直角三角形 的面积可得S ⊿ABC =4，∴平行四边形的面积为8 【达标训练】1.（2013.长沙市）下列多边形中，内角和与外角和相等的是( A ) ．（A ）四边形 （B ）五边形 （C ）六边形 （D ）八边形 2.（2013.梅州市）已知一个多边形的内角和小于它的外角和.则这个多边形的边数是（ A ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.（2013.襄阳市）如图□ABCD 的对角线相交于点O ，且AB =5， ⊿OCD 的周长为23,则□ABCD 的两条对角线的和是（ C ） （A ）18 （B ）28 （C ）36 （D ）464.（2013.杭州市）在□ABCD 中，下列结论一定正确的是( B ) ．（A ）AC ⊥BD （B ）∠A +∠B =180° （C ）AB =CD （D ）∠A ≠∠C5.（2011.泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O .给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC .其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ C ） （A ）1组 （B ）2组 （C ）3组 （D ）4组6.（2013.江西省）如图. □ABCD 与□DCEF 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 25° ．7.（2013.安徽省）如图.P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点.⊿PEF 、⊿PDC 、⊿P AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2.则S 1+S 2= 8 .8.（2013.烟台市）如图.□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BC =12，则⊿DOE 的周长为 15 ．C 9.（2013.北京市）如图.在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE、CF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°.求DE的长答案：（1）证明：在□ABCD中AD∥BC，AD=BC.∵F是AD的中点，∴DF=12AD.又∵CE=12BC，∴DF=CE且DF∥CE，∴四边形CEDF为平行四边形.（2）解：过点D作DH⊥BE于H，在□ABCD，AB∥CD.∵∠B=60°，∴∠DCE=60°.∵AB=4，∴CD=4.∴在Rt⊿CDH中，CH=12CD=2，DH=32.在□CEDF中，CE=DF=12AD=3，∴EH=CE-CH=3-2=1.在Rt⊿DHE中，DE=22HEDH =221)32( =13.10.（2011.常德）如图.已知四边形ABCD是平行四边形（1）求证：⊿MEF∽⊿MBA（2）若AF、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线，求证DF=EC.【答案】（1）证明：在□ABCD中，∵CD∥AB，∴∠MEF=∠MBA，∠MFE=∠MAB，∴⊿MEF∽⊿MBA.（2）证明：在□ABCD中，CD∥AB，∠DF A=∠F AB，又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠F AB∴∠DAF=∠DF A，∴AD=DF，同理可得EC=BC，∵在□ABCD中，AD=BC，∴DF=EC.。

第一讲多边形和平行四边形【知识概述】在之前的学习中，通过全等三角形的研究，对于三角形做过非常透彻的研究．这一讲中，将介绍更丰富多彩的多边形，并重点研究平行四边形，探讨它的性质和判定定理．在模块一中，将介绍多边形的相关性质，包括多边形的边、对角线、内角和以及外角和等性质；模块二中，重点介绍平行四边形的性质，并探究其与三角形的知识相结合的应用；模块三中，进一步介绍平行四边形的判定方法，结合性质综合运用．【知识结构】模块一 多边形【知识精要】 1. 多边形：由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形； 注意：（1）多边形由若干条线段组成，图形中不能包含曲线； （2）多边形必然是封闭的图形；（3）组成多边形的线段至少有三条，三角形是最简单的多边形； （4）多边形的各顶点通常用大写的英文字母表示，并用这些字母顺次排列来称呼多边形，如图（1-1），叫做五边形ABCDE ；2. 多边形的相关定义：（1）n 边形：由n 条线段组成的图形就叫做n 边形；（2）边和顶点：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边，相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；（3）内角：多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角，如图（1-1）中，A ∠，B ∠，C ∠，D ∠，E ∠都是五边形的内角；（4）外角：多边形的一个内角的邻补角，就是这个内角所对应的外角，叫做多边形的外角；（5）对角线：联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1-1）中，AC ，AD 都是多边形的对角线；（6）凸多边形和凹多边形：对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫凸多边形，否则叫做凹多边形，如图（1-1），五边形ABCDE 就是凸多边形，图（1-2）中，四边形FGHK 就是凹多边形． 注意：（1）组成n 边形的n 条线段应该依次首尾相连，不能相交；（2）组成多边形的每一条线段的每一个端点都应该是两条线段的公共端点，都是多边形的顶点；（3）本章所讨论的多边形都是凸多边形； （4）凸多边形的对角线全部都在多边形内部；（5）凸多边形所有内角不超过180︒，凹多边形的内角中，至少有一个超过180︒； （6）正多边形：所有的边都相等，所有的内角都相等的多边形，叫做正多边形．EB图（1-1）F GHK图（1-2）3. 多边形内角和定理：n 边形的内角和等于()2180n -⋅︒． 证明：已知三角形内角和为180︒．以四边形为例，如图（1-3），对于四边形ABCD ，连对角线AC ，将四边形分成两个三角形，故四边形内角和即为这两个三角形内角和之和，为1802360︒⨯=︒；再以五边形为例，如图（1-1），对于五边形ABCDE ，连对角线AC 、AD ，将五边形分成三个三角形，故五边形内角和即为这三个三角形内角和之和，为1803540︒⨯=︒； 由n 边形的任意一个出发顶点，除了这个顶点本身和相邻两个顶点，可与剩下的()3n -个顶点相连，得到()3n -条对角线，将多边形分割成()2n -个三角形，这些三角形所有的内角加起来刚好是n 边形的内角和，故可得到n 边形的内角和等于()2180n -⋅︒． 相关结论：（1）任意多边形的外角和总是360︒； 证明：任意多边形所有内角和外角相加的总和都是180n ⋅︒（每个顶点处都是180︒），已知内角和为()2180n -⋅︒，故外角和为()1802180360n n ⋅︒--⋅︒=︒． （2）n 边形共有()32n n -条对角线；证明：从n 边形的任意一个顶点出发可连()3n -条对角线，故总共连出()3n n -条对角线，又由于在这一过程中，每条对角线被重复计算了两次，故n 边形共有()32n n -条对角线．【典型例题】1. 一个正十二边形，它有__________条边，__________个内角，__________个顶点，它的内角和为__________度，每一个内角的度数为__________度，外角和为__________度，对角线的数量为__________条；当它的边数增加一条时，内角和增加__________度，对角线增加__________条．【名师点拨】正n 边形首先具有n 边形的所有性质，然后还另有所有边和角都相等的特性，抓住这些性质就可以轻松答题．【答案】12，12，12，1800，150，360，54，180，11．【解析】首先正十二边形有十二边形的性质，有12条边，12个内角，12个顶点；图（1-3）根据内角和的计算公式，()2180n -⋅︒，将12n =代入得内角和为1800︒； 由正十二边形的内角全部相等得每一个内角的度数为180012150÷=︒； n 边形的外角和总为360︒，故正十二边形的外角和也为360︒； 对角线的数量由计算公式()32n n -，将12n =代入得对角线数量为54；当边数增加一条时，由内角和公式可得内角和增加180︒，对角线数量变为65条，增加了11条．2. （1）一个多边形，从一个顶点出发可引6条对角线，这个多边形的内角和为__________，有__________条对角线；（2）一个多边形的每一个内角都是135︒，则它的内角和为__________，有__________条对角线；（3）一个多边形的每一个外角都等于24︒，则它的内角和为__________，有__________条对角线．【名师点拨】多边形已知内角、外角等条件时，要转化到对角线等问题，关键是求出多边形的边数，再进行计算．【答案】（1）1260︒，27；（2）1080︒，20；（3）2160︒，90．【解析】（1）由一个顶点出发可引6条对角线，说明这个多边形共有9个顶点， 即这是一个九边形，故内角和即将9n =代入()21801260n -⋅︒=︒， 对角线即为将9n =代入()3272n n -=（2）多边形的每一个内角都是135︒，故每一个外角都是45︒， 由多边形外角和为360︒可得多边形共有360458÷=个角， 故这是一个八边形，内角和为61801080⨯︒=︒， 对角线条数为85220⨯÷=条；（3）外角和为360︒，故多边形共有3602415÷=个角， 这是个十五边形，内角和为121802160⨯︒=︒， 对角线数量为1512290⨯÷=．3. （1）已知四边形ABCD 中，A ∠与C ∠互补，则::4:6:5A B C ∠∠∠=，则D ∠的大小为__________；（2）两个多边形的边数之比为1:2，且内角和的度数之比为1:3，则这两个多边形的边数分别为__________和__________；【名师点拨】在处理多边形边和角成比例的问题时，重点是抓住同一个多边形边和角的数量关系进行求解． 【答案】（1）60︒；（2）4，8．【解析】（1）由于A ∠与C ∠互补，故180A C ∠+∠=︒， 又有:4:5A C ∠∠=， 故80A ∠=︒，100C ∠=︒， 故120B ∠=︒，再由四边形内角和为360︒可得60D ∠=︒； （2）设这两个多边形的边数分别为a 和2a ， 故内角和之比为()()21801221803a a -⨯︒=-⨯︒，解得4a =，故这两个多边形的边数分别为4和8．4. （1）在凸n 边形中，小于108︒的角最多可以有__________个；（2）凸n 边形中，除了一个内角外，其余()1n -个内角和是1993︒，则n 的值为__________；【名师点拨】解答凸n 边形中的问题时，依然是抓住边角关系，内角和不方便考虑时，可以转化成外角和来计算． 【答案】（1）4；（2）14．【解析】（1）内角小于108︒，则与之对应的外角大于72︒，由于多边形外角和总为360︒，故大于72︒的外角至多有3607214÷-=个， 故小于108︒的内角最多有4个；（2）凸n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，任一内角的度数在0~180︒之间， 故()199321801993180n ︒<-⋅︒<︒+︒， 解得13.714.7n <<， 故14n =．模块二 平行四边形的性质【知识精要】1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 注意：（1）平行四边形用符号“□”表示，如图（2-1）中所示的平行四边形ABCD ，记作“□ABCD ”；（2）平行四边形是特殊的四边形，特征是两组对边分别平行．2. 平行四边形的性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．可以简写为：“平行四边形的对边相等”． 推论：夹在两条平行线段间的平行线段相等．3. 平行四边形的性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．可以简写为：“平行四边形的对角相等”．4. 平行四边形性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．可以简写为：“平行四边形的两条对角线互相平分”．5. 平行四边形的性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．注意：平行四边形一般情况下不是轴对称图形，关于特殊的平行四边形，在下一讲中会进行介绍． 【典型例题】5. （1）在□ABCD 中，A ∠的平分线把边BC 分为4和3两部分，则□ABCD 的周长为__________；（2）在□ABCD 中，75ABC ∠=︒，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若2DE AB =，则AED ∠=__________；（3）在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AOD ∆的周长比AOB ∆的周长小图（2-1）BC3cm ．若5AD cm =，则□ABCD 的周长为__________；（4）在□ABCD 中，2AC cm =，6BD cm =，AC AB ⊥，则□ABCD 的周长为__________，面积为__________．【名师点拨】求解平行四边形的问题时，如果题中给出了平行四边形的条件，就要抓住其性质来解题，常用有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等． 【答案】（1）20或22；（2）65︒；（3）26cm ；（4）4cm，2．【解析】（1）如图（2-2）， 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，,AB CD AD BC ==，DAE AEB ∴∠=∠，又DAE BAE ∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠， AB BE ∴=，当43BE CE ==，时，4AB =，()24722ABCDC∴=⨯+=；当34BE CE ==，时，3AB =，()23720ABCDC∴=⨯+=；（2）如图（2-3），取DE 中点G ，连AG ，AF BC ⊥，90AFB ∴∠=︒， 又四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，90DAF AFB ∴∠=∠=︒， 12AG DG EG DE ∴===，1902GAE GEA AGE ∴∠=∠=︒-∠，190902EBF BEF GEA AGE ∴∠=︒-∠=︒-∠=∠，又12AB DE AG ==，AGE ABG ∴∠=∠， 3752ABC ABG EBF AGE ∴︒=∠=∠+∠=∠，50AGE ∴∠=︒，65AED ∴∠=︒； （3）如图（2-4），四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，图（2-3）BDCF 图（2-4）ABC图（2-2）ACEAOB AOD C C OA AB OB OA OD AD ∆∆∴-=++---3AB AD cm =-=， 又5AD cm =，8AB cm ∴=，()25826ABCDCcm ∴=⨯+=．（4）如图（2-5），四边形ABCD 是平行四边形， 112OA OC AC cm ∴===，132OB OD BD cm ===， 又AB AC ⊥，AB ∴=，BC ==(24ABCDCcm ∴=⨯=，22ABCDSAB AC ∴=⨯==．6. 如图（2-6），在□ABCD 的两边BC 、CD 的外侧分别作等边CBE ∆和等边CDF ∆．求证：AEF ∆是等边三角形．【名师点拨】求证等边三角形的问题时，关键在寻找边相等或角相等，这就需要结合实际问题，灵活运用学过的知识求解了． 【答案】略．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，//AB BC AB BC ∴=，，ABC ADC ∠=∠，AD BC =180DCB ABC ∴∠=︒-∠，又CBE ∆和CDF ∆都是等边三角形，=AE CE BC AD ∴==，DF CF CD AB ===， 60EBC ECB DCF ∠=∠=∠=︒，36060=ECF BCE DCF BCD ABC EBC ADF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒+∠=∠∠， ECF EBA ADF ∴∆≅∆≅∆，EF AE AF ∴==， AEF ∴∆是等边三角形．7. 如图（2-7），在□ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过点A 、D 、C 、B 向直线FH 作垂线，垂足分别为点G 、F 、E 、H ，求证：AG BH CE DF +=+．B图（2-6）图（2-5）B【名师点拨】等式两边线段无直接联系，难以求和，可以考虑移项作差进行求解；平行四边形中，平行线是常用的辅助线． 【答案】略．【解析】作DM AC ⊥，BN EC ⊥，90=DMG BNE ∴∠=︒∠，90=DMA BNC ∠=︒∠， 又DF HF ⊥，AG HF ⊥，CE HF ⊥，BH HF ⊥，90=MGF HEC ∴∠=︒∠，//////MG DF BH CE ， 180DMG MGF ∴∠+∠=︒，180HEC BNE ∠+∠=︒， ////DM GE BN ∴， DF MG ∴=，BH NE =，AG DF AM ∴-=，CE BH CN -=， 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AB CD ，DAB DCB ∠=∠，1DQF ∴∠=∠，HAG CDF DCE ∴∠=∠=∠，DAG BCE ∴∠=∠，Rt AMD Rt CNB ∴∆≅∆， AM CN ∴=，AG DF CE BH ∴-=-， 即AG BH CE DF +=+．解法二：（面积法）连AQ 、BQ 、DP 、CP ， 在□ABCD 中，有12ABQ ABCDCDP S SS ∆∆==，故()()1122PQ AG BH PQ DF CE ⋅+=⋅+， AG BH DQ CE ∴+=+．8. 如图（2-8），在□ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，BM MC DC ==，求证：3EMC BEM ∠=∠．【名师点拨】要证明一个角是另一个角的几倍的问题，常用的办法有把小角翻几倍或把大角分割成几个小角． 【答案】略．【解析】延长EM 、DC 交于点F ，四边形ABCD 是平行四边形，DE AB ⊥，//AB DF ∴，90AED ∠=︒，F BEM ∴∠=∠，B MCF ∠=∠，90EDF ∠=︒，又MB MC =，MCF MBE ∴∆≅∆，MF ME ∴=，DM MF ME ∴==，A图（2-8）图（2-7）AF MDF ∴∠=∠，2EDM F ∴∠=∠，又MC DC =，CMD MDF F ∴∠=∠=∠，3EMC CMD EMD F ∴∠=∠+∠=∠， 3EMC BEM ∴∠=∠．9. 如图（2-9），在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE DF =，BE与DF 相交于点G ，求证：BGC DGC ∠=∠．【名师点拨】在四边形中，要证角相等，一般方法是放到四边形或三角形中，寻找全等/相似三角形运用其对应角相等，或寻找平行四边形的对角． 【答案】略．【解析】连CE 、CF ，作CN DF ⊥，CM BE ⊥，90CNG CMG ∴∠=︒=∠， 12CDFABCDBCE S S S ∆∆==，1122DF CN BE CM ∴⋅=⋅， 又DF BE =，CM CN ∴=，CG ∴为DGB ∠的角平分线， BGC DGC ∴∠=∠．图（2-9）模块三 平行四边形的判定【知识精要】1. 平行四边形判定定理1：如果有一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．可以简写为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2. 平行四边形判定定理2：如果有一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．可以简写为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3. 平行四边形判定定理3：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．可以简写为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．4. 平行四边形判定定理4：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．可以简写为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．5. 性质定理与判定定理的联系：平行四边形的性质定理和判定定理是两两对应的互为逆定理的关系，每一条性质定理都能找到与之对应的判定定理，由任意一个判定定理中的条件，可以推出任一条性质定理中的结论． 【典型例题】10. 如图（3-1），在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE BD ⊥于E ，BF AC⊥于F ，CG BD ⊥于G ，DH AC ⊥于H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 【名师点拨】要求证平行四边形，关键是边相等、角相等或对角线互相平分，本题角相等并不容易求，容易想到从边相等或对角线互相平分入手． 【答案】略．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，A图（3-1）且OA OC OB OD ==，DAH BCF ∴∠=∠， 又DH AC BF AC ⊥⊥，，=90=DHA BFC ∴∠︒∠， DHA BFC ∴∆≅∆， AH CF ∴=， OH OF ∴=， 同理，OG OE =，∴四边形EFGH 是平行四边形．11. 如图（3-2），在□ABCD 中，以AC 为边在两侧各作一个等边ACP ∆和等边ACQ ∆．求证：BPD DQB ∠=∠．【名师点拨】等边三角形和平行四边形中有大量相等的边和角，抓住关键即可解题． 【答案】略．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD AC BD AB CD ∴==，，， BAC DCA ∴∠=∠，又ACP ∆和ACQ ∆都是等边三角形，AQ CQ AC AP CP ∴====， QAC QCA PAC PCA ∠=∠=∠=∠，BAQ BAC QAC DCA PCA DCP ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠，BAP BAQ QAC PAC DCP PCA QCA DCQ ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠， ABQ CDP ∴∆≅∆，BAP DCQ ∆≅∆， BQ DP BP DQ ∴==，，∴四边形BQDP 是平行四边形，BPD DQB ∴∠=∠12. 如图（3-3），在□ABCD 中，//EF BD ，EF 分别交AB 、AD 的延长线于E 、F ，交BC 、CD 于G 、H ．求证：EG FH =．【名师点拨】对于这样求线段相等的问题，通常通过平行四边形对边相等或全等三角形对应边相等来求解，本题显然不是平行四边形的对边，因此寻找全等三角形． 【答案】略．D图（3-2）【解析】四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，=FDH GBE FHD GEB ∴∠∠∠=∠， 又//EH BD ，∴四边形BEHD 是平行四边形，DH BE ∴=，FHD GEB ∴∆≅∆，EG FH ∴=．13. 如图（3-4），在□ABCD 中，G 、H 是对角线BD 上两点，DG BH =，DF BE =．求证：GEH GFH ∠=∠．【名师点拨】要求证相等的两个角显然是一个四边形的对角，易想到证这个四边形是平行四边形．注意灵活运用平行四边形的判定定理． 【答案】略．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴， FDG EBH ∴∠=∠， 又DG BH DF BE ==，，DFG BEH ∴∆≅∆，FG EH DGF BHE ∴=∠=∠，， FGH EHG ∴∠=∠， //FG HE ∴，∴四边形HEGF 是平行四边形，GEH GFH ∴∠=∠．14. （2014湖州中考）在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D 、G 、K 、Q ，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进方向），则路程最长的行进路线是（）A图（3-3）C图（3-4）A B【名师点拨】本题实际上是求几段线段之和的问题，分开成四段线段求和比较都比较困难，因此想到通过平移等方法求和． 【答案】D ．【解析】对于选项A 中的行进路线，延长AC 、BE 交于点X ， 如图（3-5），易证总路程即为AX BX +；对于选项B ，延长AF 、BH 交于点Y ， 如图（3-6），易证总路程小于AY BY +， 且有AX BX AY BY +=+； 故B 的总路程小于A ；其他选项用同样的方法逐一比较，可得到D 的总路程是最长的．45° 65° 70° 45° 70° 65°A DB CE图（3-5）X45°65°70° 43° 70° 67°A GB FH图（3-6）Y CD【课堂练习】1. （20分）如图（4-1），在□ABCD 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为E 、F ，60EAF ∠=︒，2BE cm =，3DF cm =，求□ABCD 的面积．【答案】2．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，////AB CD AD BC AD BC ∴=，，， 又AF CD ⊥，90BAF AFD ∴∠=∠=︒， 60EAF ∠=︒， 30BAE ∴∠=︒， 又AE BC ⊥，60B ∴∠=︒， 120BAD ∴∠=︒， 30DAF ∴∠=︒，24AB BE cm ∴==，26AD DF cm ==，AE ∴=，26ABCDS∴=⨯=．2. （20分）如图（4-2），在□ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，//AE BD ，EF BC ⊥,2DF =,求EF 的长．【答案】【解析】四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，//AB CD ， 60DCF ABC ∴∠=∠=︒， 又//AE BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，AB DE ∴=，CD DE ∴=， 又EF BC ⊥，DF CD ∴=，DCF ∴∆是等边三角形， 2CF DF ∴==， 4CE ∴=，EF ∴=BDE 图（4-1）BCE图（4-2）3. （30分）分别以□ABCD （90CDA ∠≠︒）的三边AB 、CD 、DA 为斜边作等腰直角三角形ABE ∆、CDG ∆、ADF ∆．（1）如图（4-3），当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF 、EF ．请判断GF 与EF 的关系；（2）如图（4-4），当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF 、EF ，上一小题中结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【答案】（1）GF EF =；（2）GF EF =． 【解析】（1）四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD AB CD ∴=，， 180CDA DAB ∴∠+∠=︒，又CGD ABE ADF ∆∆∆、、都是等腰直角三角形，DG AE ∴==，DF AF =， 45GDC ADF DAF BAE ∠=∠=∠=∠=︒，909018036090GDF CDA BAD BAD EAF ∴∠=︒+∠=︒+︒-∠=︒-︒-∠=∠， GDF EAF ∴∆≅∆， GF EF ∴=；（2）四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD AB CD ∴=，， 180CDA DAB ∴∠+∠=︒，又CGD ABE ADF ∆∆∆、、都是等腰直角三角形，DG AE ∴==，DF AF =， 45GDC ADF DAF BAE ∠=∠=∠=∠=︒，909018090GDF CDA BAD BAD EAF ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=∠-︒=∠， GDF EAF ∴∆≅∆， GF EF ∴=．4. （30分）（黑龙江中考）在ABC ∆中，AB AC =，点P 为ABC ∆所在平面内一点，过点P 分别作//PE AC 交AB 于点E ，//PF AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．若点P 在BC 边上时（如图4-5），此时0PD =，可得结论PD PE PF AB ++=，请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 分别在ABC ∆内（如图4-6）、ABC ∆外（如图4-7）时，上述结论是否成立？ 当成立，请给予证明；若不成立，PD 、PE 、PF 与AB 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．BD图（4-4）图（4-3）EC【答案】在ABC∆内时，PD PE PF AB++=；在ABC∆外时，PE PF PD AB+-=．【解析】当点P在ABC∆内时，过P作//MN BC交AB、AC于点M、N，则PF PE AM+=，由////PM BD PD BM，得四边形BDPM是平行四边形，PD BM∴=，PD PE PF AM MB AB∴++=+=，当点P在ABC∆外时，过P作//MN BC交AB、AC延长线于点M、N，PE PF AM∴+=，由////PM BD PD BM，得四边形BDPM是平行四边形，PD BM∴=，-PE PF PD AM MB AB∴+=-=．B P(D)图（4-5）AB D图（4-6）P 图（4-7）NM【课后作业】1. （20分）（1）若一个凸n 边形的内角和小于2000︒，则n 的最大值为__________；（2）若一个凸n 边形，除了一个内角外，其余()1n -个内角和是2000︒，则n 的值为__________．【答案】（1）13；（2）14．【解析】（1）由题意知()21802000n -⋅<， 解得13n ≤， 故最大值为13；（2）由题意得()200021802000180n <-⋅<+， 解得1314n <≤， 故n 的值为14．2. （20分）如图（5-1），在□ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，BM CM =，3EMC BEM ∠=∠，求证：2BC CD =． 【答案】略．【解析】延长EM 交DC 延长线于F ， 四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，F MEB MCF B ∴∠=∠∠=∠，， 又BM CM =，MCF MBE ∴∆≅∆，MF ME ∴=，又DE AB ⊥且//AB CDDE CD ∴⊥，DM M F ∴=，M DF F BEM ∴∠=∠=∠，2EMD F MDF BEM ∴∠=∠+∠=∠，又3EMC BEM ∠=∠，DMC BEM MDC ∴∠=∠=∠， MC CD ∴=， 2BC CD ∴=．3. （30分）如图（5-2），在□ABCD 中，2AB AD =，60B ∠=︒，M 、N 分别是AD 、BCA图（5-1）的中点，求证：MN AC ⊥． 【答案】略． 【解析】连AN ，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，， 1122AB AD AM BC BN ∴====， 又=60B ∠︒，ABN ∴∆是等边三角形，60ANB ∠=︒ AN BN NC ∴==，1302NAC NCA ANB ∴∠=∠=∠=︒，90BAC ∴∠=︒，//AM BN AM BN =，，∴四边形ABNM 是平行四边形，//MN AB ∴，90CON BAC ∴∠=∠=︒， MN AC ∴⊥．4. （30分）如图（5-3），在□ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，DN BM =．求证：EF与MN 互相平分． 【答案】略．【解析】连ME 、NF 、MF 、EN ， 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，B D ∠=∠， AD BC MAF NCE =∠=∠，， 又AE BC ⊥，CF AD ⊥，ABE CDF ∴∆≅∆，BE DF ∴=，又BM DN B D =∠=∠，，MBE NDF ∴∆≅∆， 由BE DF =，BM DN = 得AM CN =，AF CE =AMF CNE ∴∆≅∆，MF EN ∴=，D图（5-2）BD图（5-3）∴四边形MENF是平行四边形，∴EF与MN互相平分．。

第五单元四边形
第19讲多边形与平行四边形
，每一个外角为
利用平行四边形的性
质解题时的一些常用
到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻
两边之和等于周长的
一半.
（2）平行四边形中有
相等的边、角和平行
关系，所以经常需结
合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对
称中心的任一直线等
分平行四边形的面积
及周长.
例：
如图，□ABCD中，
EF过对角线的交点
O，AB=4，AD=3，
OF=1.3，则四边形
BCEF的周长为9.6.
：平行四边形的判定
例：如图四边形
ABCD的对角线相交
于点O,AO=CO，请
你添加一个条件
BO=DO或AD∥BC
或AB∥CD（只添加
一个即可），使四边形
ABCD为平行四边形.。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《第十七讲多边形与平行四边形》教案四、考点一多边形（一）考点解读1．在平面内，由若干条的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形．2．多边形的对角线(1)从n边形的一个顶点可以引条对角线；(2)n边形共有条对角线．3．多边形的内角和与外角和(1)多边形的内角和等于；(2)多边形的外角和等于.（二）考向探究命题角度：1．多边形的内角和与边数的互逆求解；2．已知多边形内角和与外角和的关系求边数．（三）中考典例分析【例1】（15·广元）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形（四）举一反三1.（16·十堰）小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°；……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了()A．60米B．100米C．90米D．120米（五）方法总结已知多边形的内角和求边数时，可列方程求解；若已知正多边形的内角求边数，可将内角转化为外角，然后利用外角和等于360°求解.帮助学生梳理知识，形成网络，使知识系统化、结构化，以加深对知识的理解与记忆.让学生明确每一个知识点的考题情况，并且通过后续的题目练习需求解决问题的方法.帮助学生揭示解题规律，总结解题方法，进一步提高运用所学知识分析问题、解决问题的能力.五、考点平行四边形的性质（一）考点解读1．定义：有两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形．2．性质：（1）平行四边形的对边____且_____；（2）平行四边形的对角______，邻角_____；（3）平行四边形的对角线_____________；（4）平行四边形是对称图形，其对称中心是_____________；（5）平行线之间的距离处处_________．（二）考向探究命题角度：1．计算角度、线段长或三角形的周长；2．证明平行四边形中的三角形全等或线段相等；巩固知识点，构建知识网络.让学生明确每一个知识点的考题情况，并且3．求对角线或边长的取值范围．（三）中考典例分析【例2】.(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )A．45°B．55°C．65°D．75°（四）举一反三2. 如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，且∠AEB＝∠ADC.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝20°，求∠AED的度数．（五）方法总结平行四边形中，求角度时着重根据对角和邻角的关系计算；证明三角形全等时，可根据平行四边形的性质和已知条件，得出相等线段或角，进而得出结论. 通过后续的题目练习寻求解决问题的方法.具有典型性，有复习的价值，可以发掘尽可能多的利用资源.非常有代表性的题目，即用到了平行四边形的角的关系，也用到了边的关系.六、考点平行四边形的判定（一）考点解读1.两组对边分别_____的四边形是平行四边形.（定义）2.两组对边分别_____的四边形是平行四边形.3.一组对边__________的四边形是平行四边形.4.对角线_________的四边形是平行四边形．（二）考向探究命题角度：1．根据条件判定一个四边形是平行四边形；2．添加条件，使四边形为平行四边形；3．以平行四边形为基础，给出正确的结论并证明．（三）中考典例分析【例3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A．AB∥DC，AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥DCD．AB＝DC，AD＝BC（四）举一反三构建知识网络明确考题方向有针对性的训练平行四边形的几种判定方法.3.（2015·遂宁市）如图，在□ABCD中，点E，F在对角线BD 上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．变式练习1：将条件中的BE=DF换成BF=DE呢？变式练习2：将条件中的BE=DF换成∠AEF=∠CFE呢？4.(2015·宿迁)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.（六）方法总结（1）若已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等.（2）若已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行.（3）若已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.本题有多种解题方法，一题多解有利于培养学生思维的发散性，对学生提升解题能力颇有帮助而且能够让学生顺利建立起知识结构起到事半功倍的效果.一题多变，有利于学生抓住问题的本质或者说是核心，从变化的题目中抓住不变的东西——方法的选择和应用。