§1 从位移、速度、力到向量

2.1 从位移、速度、力到向量一、相关知识链接1.经验链接.以前学过的量中，有很多量只用一个实数（或加上单位）就能确切表示，如“矩形的面积”、“一个人的身高”行、“一个物体的质量”等.但现实生活中有些量，只用一个实数不能确切地表示它们，如“物体的位移”、“作用在物体上的力”等.这些量，不仅要知道它们的大小，还必须知道它们的方向，才能确切表示它们.在数学中这些量就叫做向量.2.问题链接.在小学的时候，我们曾经学习过这样一则故事，有几个动物找到了很多食物，它们想把这些食物用车拉回家去，于是，它们各自在车上绑一根绳子，尽全力拉了起来，可是怎么也拉不动车子，车子一步也不往前直，怎么回事呢？原来，它们各自拉着绳子，往自已的方向上用力：天鹅往上飞去，小猴子往前拉，山羊往后拉，小鼹鼠往地下拉.这个故事告诉我们一个生活哲理：做任何事情我们都应同心协力，可是从数学的角度如何看待、分析这个问题呢？学习向量后，你会得到正确的解答.二、教材知识讲解【知识点1】向量的物理背景（1）.矢量的概念作用于某一物体的力，拉力与重力虽然大小相同，但方向不同，因此它们并非同一力，不仅有大小还有方向.满足这两个要素的量，在物理学上，我们称之为矢量，即既有大小，又有方向的量.（2）位移、速度、力的特征对于位移，它只与质点的起点、终点位置有关，而与质点实际运动的路线无关，只要距离相同，方向相同就是相等的位移.对于力，需要注意的是较之位移，不仅有大小、方向、还有作用点.根据速度的定义，我们知道速度是伴生于位移的.剖析：判断一个量是否是矢量，关键是它是否符合矢量的要素即要具有方向又要具有大小. 【知识点2】向量的概念既有大小又有方向的量统称为向量.剖析：（1）向量不同于数量，向量不仅有大小还有方向.大小是代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征.所以向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分.（2）向量与矢量既有联系又有区别，如力的矢量不仅与大小、方向有关，而且还与作用点有关.数学上的向量仅与大小、方向有关，与起点位置无关，所以所以又称向量为“自由向量”.【知识点3】向量的表示（1）有向线段：一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫作有向线段.（2）几何表示：由于几何中的有向线段具有长度和方向，而向量是一种既有大小又有方向的量，所以向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（3）字母表示：为了书写方便，向量除了用拥有起点、终点的有向线段表示外，还可用黑体的单个小写字母来表示.剖析：（1）向量用有向线段来表示反映了向量的几何特征，但向量不等价于有向线段，因有向线段不仅与方向、长度有关，还与起点的位置有关.但向量仅与大小、方向有关，与起点位置无关.所以向量可用有向线段来表示，但是有向线段不一定就是向量.（2）向量用字母表示有利于向量的代数运算，但要注意向手写体,与印刷体a,b 的不同即用手写不出印刷体的字来.【知识点4】与向量相关的概念（1）向量的模：向量的大小，即向量的长度记作||AB （或|a |）.剖析：向量虽不能比较大小，因向量的模是实数，所以向量的模可以比较大小.（2）零向量：长度为零的向量称为零向量，记作0或0.剖析：零向量作为一个特殊的向量，方向可看作是任意的，所以规定零向量与任意方向的向量平行，并且对于零向量侧重于方向的研究.（3）单位向量：与向量a 同方向，且长度为单位1的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0.剖析：a 0=||a a . (4)相等向量：我们规定，长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量.若向量a 和向量b 相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.剖析：①两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们为相等向量.例如a=b ，就意味着|a|=|b|，且a 与b 的方向相同.②由向量的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.由此可知，任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.（5）平行向量、共线向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.a 与b 平行或共线，记作a//b .我们规定零向量与任一向量平行.剖析：①共线向量也就是平行向量，其要求同个非零向量的方向相同或相反，这些向量所在的直线可以平行，也可以重合.②共线主要是指任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.共线向量主要有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.三、经典基础例题【例1】判断下列说法正确与否，并说明理由.（1） 温度有零上温度，也有零下温度，因而温度是向量。

课题：从位移、速度、力到向量一、教学目标1、知识与技能⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念，感受研究向量的必要性．⑵理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量．⑶理解向量的几何表示，会用字母表示向量．⑷了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并能在图形中辩认相等向量，平行（或共线）向量．2、过程与方法通过师生互动，共同合作解决向量的相关问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和热情，通过课后对数学诗的欣赏以及小组合作完成数学小论文，感受数学的文化价值．二、教学重点、难点1、重点：向量的概念及几何表示，相等向量、平行（或共线）向量的概念．2、难点：向量的概念，平行（或共线）向量的概念．三、教学过程Ⅰ、创设情境，导入新课情境一：观看国庆阅兵式中武警方队走正步的视频，引导学生从位移和速度两个方面分析武警方队走正步如此整齐划一的原因，得出位移和速度都是既有大小又有方向的量．情境二：桌球游戏．引导学生分析，要把桌球打入洞内，不仅要瞄准方向，而且力的大小也要恰当．得出力也是既有大小又有方向的量．出示课题：§1 从位移、速度、力到向量．Ⅱ、合作交流，感知概念1、向量的概念向量是既有大小又有方向的量．数量是只有大小，没有方向的量．质量、重力、身高、面积、体积、浮力、风速、位移、密度、加速度中，哪些是向量？2、向量的表示方法： （1）几何表示：有向线段 有向线段：具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量（亦称为自由向量）（2）字母表示法：用有向线段的起点与终点字母表示，如AB ；书写用,,a b c来表示；也可以用黑体小写字母，如a ，b ，c ……表示． 强调书写时，字母怎么表示． 3、向量的模向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB ．（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0． 0的方向是任意的．注意与0的含义与书写区别．（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．每个方向都有一个单位向量．零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．如果我们把所有单位向量平移，使得起点为同一点O ，则各向量的终点的集合会构成一个圆．4、向量间的关系 （1）平行向量①如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行 ②规定零向量与任一向量平行③向量,a b平行，记作a ∥b ④平行向量又称共线向量 （2）相等向量：①长度相等且方向相同的向量叫相等向量．②向量a 与b 相等，记作a ＝b③向量是否相等，只与大小和方向有关，与起点位置无关．Ⅲ、判断对错，理解概念⑴若向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点共线．A (起点)B（终点）⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =，反之，若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形．⑶若,,a b b c ==则a c =⑷若//,//,a b b c 则//a c解： ⑴ × ⑵× ⑶√ ⑷×Ⅳ．应用迁移，巩固提高如图，,,D E F 依次为等边三角形ABC 的边,,AB BC AC 的中点，在以,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中．⑴找出与DE相等的向量． ⑵找出与DF共线的向量．解：由三角形中位线定理得⑴与DE 相等的向量有AF 与FC⑵与DF 共线的向量有,,,,,,.BE EB EC CE BC CB FDⅤ．创新应用，提升能力请你当一回老师，考考你的搭档，在方格中画出一些向量（要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处），让其辩认出是否存在共线向量、相等向量，若存在，请一一举出．Ⅵ． 总结反思，布置作业 1、小结C⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩大小概念方向几何表示法表示字母表示法向量零向量特殊向量单位向量相等关系平行共线2、作业⑴课本73页第4题．⑵请同学们逐步积累资料，在学完《平面向量》一章后，以《话说“向量”》题，写一篇数学短文，谈谈你对向量知识的理解．（参考网址：www ．baidu ．com ） 3、数学日记姓名： 日期：今天数学课的课题： ； 今天所学的重要数学知识： ； 理解得最好的地方： ； 不明白或还需要进一步理解的地方： ； 你对什么问题还有不同见解： ； 今天你独立或合作解决了什么问题： ； 所学内容能否应用在日常生活中，请举例说明： ； 自我评价： ； 教师评价： ；Ⅶ．课后阅读，感受文化数学诗《我的向量》给你一个方向，你就成为我的向量 给你一个坐标系，你就在我心空飞翔 给你一个基底，带着我，征途启航 繁复的几何关系，变成纯代数的情疡优美的动态结构，没有人情冷暖世态炎凉 不管起点在哪里，你始终在水一方 哪怕山高路远，哪怕风雨苍茫 啊，我的向量，你是一股力量溶进了我的身体，在我的血管量，静静地流淌。

从位移、速力到向量§2.1从位移、速度、力到向量i.知识点及考查角度系统学习知识点1：平面向量的概念【重点】【知识详解】1.向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量，如位移、速度、力等。

温馨提示：（1）我们把物理学中只有大小没有方向的量叫作标量，如长度、面积、质量等。

在数学中，我们把这样的量称为数量。

（2）数量可以比较大小；向量有方向又有大小，具有双重性，cj不能比较大小。

2.向量的表示（1）几何表示①有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它的三个要素是起点、方向、长度.②用有向线段表示向量。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指方向表示向量方向。

如图所示表示的是四个大小、方向不同的向量。

（2）字母表示。

向量一般用小写字母a，b，c。

来表示；或用有向线段的起点与终点的大写字母ab表示（如图）。

cj差距点拨：（1）注意手写体与印刷体的区别，手写体一定要在字母上方加向量符号。

（2）用有向线段的起点与终点表示时，注意：起点一定写在终点的前面。

（3）向量与有向线段的区别与联系（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（3）有向线段只不过是向量的一种直观的表达形式，并不能说向量就是有向线段。

4.向量的模以及两个特殊向量（1）向量ab（a）的长度称为向量的模，记作|ab|.（｜a｜）读作“向量ab（a）的模”.。

向量的模是一个非负数，因此向量的模可以比较大小。

（2）两个特殊向量单位向量特殊向量零向量定义长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.温馨提示：（1）注意实数0与0的区别及联系，0是一实数，0是一个向量，且有|0|=0.；（2）零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，没限制方向。

（3）非零向量a的单位向量为除本身的模。