全等三角形易错点剖析

《全等三角形》易错点突破和重难点析解易错点突破1．运用三角形三边关系性质致误例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）.A ．10厘米B ．14厘米C ．10厘米或14厘米D ．无法确定错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C.分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形.正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B.2．应用判定方法致误例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由.错解：∠1=∠2. 理由如下：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC.所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2.分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.”正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD.所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2.3．不理解“对应”致误例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 图 3 图4错解：这两个三角形全等.分析：对“ASA”全等判定法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等. 如图4所示，在Rt EDC ∆，12∠=∠，CD=AB ，90C C ∠=∠=︒，显然ABC ∆与EDC ∆不全等.重难点析解1．三角形的有关概念例1（2008年邹城市）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（ ）A ．中线B ．角平分线C ．高线D ．边的垂直平分线分析：根据三角形中线的特征及其面积公式可知，等底同高的两三角形的面积相等.解：只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分. 故选A.评注：三角形的“三线”在解题中有着广泛的应用，因此，要正确认识其定义及特征.2．三角形的三边之间的关系例2（2008年十堰市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）.A ．1厘米，2 厘米，3厘米B ．2厘米，3 厘米，6 厘米C ．4厘米，6 厘米，8厘米D ．5厘米，6 厘米，12厘米 分析：判断三条线段能否构成三角形，只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可，若大于则能构成，否则不能构成.解：根据“三角形的两边之和大于第三边”.然后观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故选C.评注：涉及三角形三边关系的问题时，应注意三角形三边关系的应用.3．三角形的内角和例3（2008年聊城市）如图5，11002145∠=∠=，，那么∠3的度数是（ ）.A ．55°B ．65°C ．75°D ．85° 分析：本题可利用平角及邻补角的定义，把1∠和2∠转化为三角形的内角. 123 图51 2 A B D CE 图6 解：由图5可知：与∠1相邻的补角为80︒，与∠2相邻的补角为35︒，由三角形的内角和为180︒，可得∠3=180803565︒-︒-︒=︒. 故选B.评注：涉及三角形有关的角度计算问题，一般要考虑到三角形内角和的应用.4．全等三角形的性质例4 如图6，已知AB AD =，AC AE =，12∠=∠.试说明BC DE =.分析：要说明BC DE =，只要说明ABC ADE △≌△即可. 由已知条件可知，这两个三角形已经具备两边对应相等，因此再找这两边的夹角相等即可.解：12=∠∠，所以12DAC DAC +=+∠∠∠∠， 即BAC DAE =∠∠. 又AB AD =，AC AE =， 所以ABC ADE △≌△（SAS ），所以BC DE =.评注：因为全等三角形的对应边相等，所以要说明分别属于两个三角形的线段相等，常常通过说明这两个三角形全等来解决问题.5．利用三角形全等解决实际问题例5 如图7，A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，BD=1千米，DC=1千米，村庄AC 、AD 间也有公路相连，且AD ⊥BC ，AC=3千米，只有村庄AB 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路. 现准备在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 试求所建造的斜拉桥长有多少千米？图7分析：由于村庄AB 之间间隔了一个小湖，无法直接测量，故可利用转化思想，由△ADB ≌△ADC ，得AB=AC=3千米，从而计算出EF 的长.解：在△ADB 和△ADC 中，因为BD=DC ，∠ADB=∠ADC 090=，AD=AD. 所以△ADB ≌△ADC （SAS ）.所以AB=AC=3千米.所以()()3 1.20.7 1.1EF AB AE BF =-+=-+=（千米）.评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，教材中全等三角形的例题、习题有很多是与生活息息相关的，其基本思路是通过建立数学模型，把实际问题先转化为数学问题.。

全等三角形易错点剖析一、错用三角对应相等说明全等例1 如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.错解:△ADB≌△BCA.因为∠C=∠D, ∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.分析:两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.正解: △CBE≌△DAE.因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA(公共边),所以△CAB≌△DBA(AAS).二、错用两边及一角对应相等说明全等例2 如图2,已知△ABC中,AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.错解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.分析:错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.正解: △ADC≌△AEB.因为AB=AC,D，E为AB，AC的中点，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）.三、错用部分当整体说明全等例3 如图3，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,∠B=∠C,AD=CE,所以△ABE≌△ACD（SAS）.分析:错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.正解: △ABE与△ACD全等.因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.四、错用减法运算说明全等例4 如图4，已知AC，BD相交于点0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC(AAS).图4。

2.8 直角三角形全等的判定学习目标1.探索两个直角三角形全等的条件。

2.掌握两个直角三角形全等的条件（HL ）。

知识详解1.直角三角形全等的判定定理（Ⅰ）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（角写为“HL ”） （Ⅱ）数学语言：在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'''''AB AC AB C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'（HL ）说明：证明两个直角三角形全等时，一定要分清用判定定理“HL ”，还是用一般三角形全等的判定定理。

书写证明的格式也要注意区分，不要混淆。

2.定理的运用：“HL ”是直角三角形独有的判定定理，对于一般三角形不成立，“HL ”定理是直角三角形全等判定的补充。

3.角平分线的性质定理（Ⅰ）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（Ⅱ）数学语言：∵OP 是∠AOB 的平分线PE ⊥OA 于E ，PD ⊥OB 于D∴PD ＝PE （角平分线性质）（Ⅲ）定理的作用：证明线段相等4.角平分线的判定定理（性质定理的逆命题）（Ⅰ）文字语言：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（Ⅱ）数学语言：∵点P 在∠AOB 的内部PD ⊥OA 于DPE ⊥OB 于E∴点P 在∠AOB 的平分线上（角平分线的判定定理）（Ⅲ）定理的作用：证明角相等【典型例题】例1：1.已知：如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE ＝BF ，AC ＝BD 求证：CF ＝DE 。

【答案】证明：因为AC ⊥CE ，BD ⊥DF所以∠ACE ＝∠BDF ＝90°在Rt △ACE 和Rt △BDF 中AE ＝BF （已知）AC ＝BD （已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）∴∠A ＝∠B∵AE ＝BF∴AE+EF ＝BF+EF即AF ＝BE在△ACF 和△BDE 中AF BE A B AC BD =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪()()()已证已证已知∴△ACF ≌△BDE （SAS ）∴CF ＝DE【解析】证线段相等，通常利用三角形全等的性质证明，但往往证一次全等不能解决问题，本题利用两次全等实现了最终目的，第一次全等为第二次全等创造条件。

初中数学三角形、四边形难点、易错点整理汇总三角形难点、易错点汇总易错点1三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

易错点2三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。

求最短距离的方法。

易错点3三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

易错点4全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。

着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。

根据边边角不能得到两个三角形全等。

易错点5两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。

易错点6等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

易错点7运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

易错点8将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。

易错点9中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。

易错点10直角三角形判定方法三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)。

易错点11三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。

四边形难点、易错点易错点1平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。

三角形的稳定性与四边形不稳定性。

易错点2平行四边形注意与三角形面积求法的区分。

平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。

易错点3运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。

对角线将四边形分成面易错点4平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透.易错点5矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算。

全等三角形易错题精选，附答案第1节 全等三角形1．易错点：对应边不确定，需要分类讨论1、已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x -2，2x -1，若这两个三角形全等，则x 为（ ） A ．37B ．4C ．3D ．3或37参考答案 1、C2．易错点：忽略隐藏的8字形（一）1、如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论：△AC=AF ；△△FAC=△EAB ；△EF=BC ；△△EAB=△EFB ，其中正确的是_________．2、【变式1】如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．AC=AFB ．△EAB=△EFBC ．△FAB=△EABD ．△EAB=△FAC3、【变式2】如图，在△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，△B=△E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：△△AFC=△C ；△DE=CF ；△△EAD=△BFD ；△△BFD=△CAF ．其中正确的结论是（ ） A ．△△ B ．△△ C ．△△ D ．△△△4、【变式3】如图，△ABC△△ADE ，△DAC=60°，△BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则△DFB 的度数是_______．参考答案1、△△△△2、B3、D4、20°3．易错点：忽略隐藏的8字形（二）1、如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=△D=25°，求△DFB 、△DGB 的度数．2、【变式1】如图所示，△ABC△△ADE ，延长BC 分别交AD ，DE 于F ，G ，△CAD=10°，△B=△D=25°，△EAB=120°．求△DFB 和△DGB 的度数．3、【变式2】如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线过点E ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=50°，则△DEF 的度数为________.参考答案1、△DFB=85°；△DGB=60°．2、△DFB=90°；△DGB=65°3、35°第2节 全等三角形的判定一、用SSS 边边边判定三角形全等二、用SAS 边角边判定三角形全等 4．易错点：误用SSA 判定三角形全等 1、如图，AB=AC ，AE=AD ，要使△ACD△△ABE ，需要补充的一个条件是（ ）A ．△B=△CB ．△D=△EC ．△BAC=△EAD D ．△B=△E参考答案 1、C5．易错点：乱用中点的各种结论1、如图所示，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点.求证：△ABE△△ACD．证明：∵D、E分别是AB、AC的中点∴AD=BD，AE=CE∵AB=AC∴AE=AD在△ABE和△ACD中AE=AD△A=△AAB=AC∴△ABE△△ACD以上证明过程是否有误？若有，请将错误的地方改正．参考答案1、有错，AD=BD，AE=CE应改为AD=1/2AB，AE=1/2AC6．易错点：对应边的关系不确定1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．2、【变式1】如图（1），AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B 向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1、5或10．2、提示：（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．解：（1）（1）当t=1时，AP=BQ=1，BD=AC=4，∵AB=5，∴BP=5-1=4=AC，又∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ，∠A=∠B，AC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；（2）△若△ACP△△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，△4=5-t，t=xt，解得t=1，x=1，△存在x=1，t=1，使得△ACP与△BPQ全等；△若△ACP△△BQP，则AC=BQ，AP=BP，△t=5-t，4=xt，解得t=2.5，x=1.6，△存在t=2.5，x=1.6，使得△ACP与△BPQ全等；综上所述，存在x=1，t=1或t=2.5，x=1.6，使得△ACP 与△BPQ全等．三、用ASA角边角或AAS角角边判定三角形全等7．易错点：误以为AAS就是两个角和一条边相等1、下列说法正确的是（）A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有两边对和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D．有两个角对应相等，还有一条边也相等的两个三角形全等2、【变式1】下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条直角边对应相等B．有两个锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．斜边和一个锐角对应相等参考答案1、C2、B四、用HL斜边直角边判定三角形全等8．易错点：判定直角三角形全等时将HL与SSA混淆1、如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：△BDF≌△ADC．证明：∵AD⊥BC∴∠BDF=∠ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中BF=AC，FD=CD，∠BDF=∠ADC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC以上证明是否有错？如果有错，请将错误改正．2、【变式1】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，则∠ABC=_____．3、【变式2】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE ⊥AC．参考答案1、有错，证明三角形全等应该用HL，不是SSA需要把∠BDF=∠ADC删掉．2、45°3、证明：△AD△BC，△△BDF=△ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD，△Rt△BDF△Rt△ADC（HL），△△C=△BFD，△△DBF+△BFD=90°，，△△C+△DBF=90°，△△C+△DBF+△BEC=180°，△△BEC=90°，△BE△AC．9．易错点：全等三角形的判定定理混淆1、如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF 参考答案1、D第3节角平分线的性质10．易错点：不理解点到直线的距离1、如图，PD△AB，PE△AC，垂足分别为D、E，且PA 平分△BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA2、如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的有______________．参考答案1、B2、①②④。

全等三角形的难点在哪里一、确定全等三角形的对应关系在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角，是解决与全等三角形相关的问题的关键.全等三角形有许多对应的元素，怎样寻找这些对应元素呢？1.根据全等符号暗示的信息找对应符号语言是数学思维的载体，教材中说，“记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”，此要求同学们在学习中要严格遵循，养成按对应顶点表示全等三角形的习惯，并且按“对应顶点记位置”的特点找全等三角形的对应边、对应角，达到无需看图也能迅速找出两个全等三角形的对应边和对应角的目的.例1 已知△ABC≌△BAD，如果AB=8，BD=9，AD=11，那么AC= .【分析】一般情况下，在用符号≌表示两个三角形全等时，我们是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，根据这个规则可知：对应位置上的字母就是表示对应顶点的字母，对应位置上的字母表示的线段就是对应边，表示的角就是对应角.由题设已知中所给△ABC≌△BAD符号表示可知：AC与BD是对应边（如图1），所以AC=BD=9.例2 已知△ABC与△DEF全等，∠A=30°，∠B=50°，则∠D=（）.A.30°B.50°C.100°D.以上三种情况都有可能【分析】注意本题与上例的区别，题目只说△ABC与△DEF全等，并没有给出对应法则（即没有用全等关系的符号）表示，所以会出现三种可能，选择D.2.观察图形特征暗示的信息找对应①有公共边的，公共边是对应边；②有公共角的，公共角是对应角；③有对顶角的，对顶角是对应角；④两个三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角的夹边是对应边；⑤两个三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边的夹角是对应角；⑥两个三角形中，一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；⑦两个三角形中，一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角. 二、灵活选择运用判定方法三角形全等的证明有三条公理、一条推论以及直角三角形特有的斜边直角边公理.每个公理和推论都有自己的符号表示形式，如SAS、ASA、AAS、SSS、HL等，在学习中可以充分考虑已知条件和图形的结构特点，利用公理及推论的字母表示形式去寻找解题思路，培养解题能力.如：（1）已知条件中有两边对应相等时，找两边的夹角或第三边对应相等（SAS、SSS）；（2）已知条件中有两角对应相等时，找两角的夹边或任何一组等角的对边相等（ASA、AAS）；（3）已知条件中有一边和一角对应相等时，找夹等角的另一组边对应相等，或任何一组角对应相等（SAS、AAS）.例3 如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为： .你得到的一对全等三角形是： .【分析】本例是一道条件探索型试题，需从结论出发，执果索因，考虑要图中存在全等三角形，现已有哪些条件，逆推还需添加什么条件，同时本例又是一道开放性试题，答案不唯一，从图中也可以直观地看出可能有△ACE与△ADE，△ABC与△ABD，△BCE与△BDE三对三角形全等.若要△ACE≌△ADE，现已有AC=AD，又AE=AE（公共边），故还需添加CE=DE（从边的角度考虑用SSS）或∠CAE=∠DAE（从角的角度考虑，已有两边，考虑两边的夹角用SAS）；若要△ABC≌△ABD，现已有AC=AD，又AB=AB（公共边），故还需添加BC=BD或∠CAB=∠DAB；当然由△ACE≌△ADE或△ABC≌△ABD，也可推得△BCE≌△BDE.故所添条件为：CE=DE，或∠CAE=∠DAE（∠CAB=∠DAB），或BC=BD.由此得到的一对全等三角形是：△ACE≌△ADE，或△ABC≌△ABD，或△BCE≌△BDE.三、熟悉三角形全等的基本图形在全等三角形的学习中，有很多的基本图形，我们通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察分析，看出其中一个三角形是由另一个三角形经过平移、翻折、旋转变换后形成的，我们将常见的三角形全等的基本图形整理如下：1.平移型：图3的图形属于平移型图形.它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而证得.2.对称型：图4属于对称型图形.它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.3.旋转型：图5属于旋转型图形.它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中.这些基本图形都是由三角形经过图形的运动得到的，只有熟悉了这些图形，才能学会从复杂的图形中分离出题目需要的基本图形，对今后解决有关问题是大有益处的.在具体解题时，如能抓住基本图形，就比较容易找到解决问题的途径和方法.四、复杂图形拆分为基本图形当图形复杂时，我们可把不需要的线段、角隐藏，也可将图形分离、涂色等.图形分离就是面对一个较为复杂的图形时，我们从解题的需要出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图形的一部分来分析问题的解决方法.分离出来的基本图形比原图形简捷，少了许多来自不相干的图形元素的干扰，看着简化后的图形，结合基本知识，诸多问题可迎刃而解.例4 如图6，已知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、E在同一直线上，求证：BD=AE.【分析】BD是△BED或△BCD的边，AE是△ABE或△ACE的边，显然△BED和△ABE不全等，故转而考虑△BCD和△ACE，将△BCD和△ACE涂色，特别关注这两个三角形，它们有BC=AC，CD=CE，尚需一个条件，即BC和CD的夹角与AC和CE的夹角是否相等.因∠BCD=60°+∠ACD=∠ACE，故△BCD≌△ACE，从而BD=AE.【点评】当我们利用全等三角形证明线段或角相等时，首先观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中，将它们涂色后加以特别的关注，然后再分析等的这两个三角形中，已知什么条件，还缺少什么条件，想方设法证得所缺条件。

第10讲三角形与全等三角形易错点梳理易错点梳理易错点01对三角形中“三线”位置掌握不好对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。

易错点02误用多边形的内角和公式及三角形外角的性质n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。

易错点03忽略三角形存在的条件而导致计算错误进行等腰三角形的边长或周长计算时，一般需要分类讨论，但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。

易错点04对正多边形的概念理解有误导致判断失误判断正多边形的两个条件——各个角都相等、各条边都相等，两者缺一不可，不要以为每个内角都相等的多边形便是正多边形。

易错点05全等三角形的对应关系考虑不全面而出错用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.易错点06错用“SSA”进行判定三角形全等判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.易错点07运用角平分线的性质和判定时，误将斜线段当作距离在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件。

考向01三角形的三边关系例题1：（2021·广东新丰·九年级期中）三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x2-7x+10=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．11或14B．14或16C．14D．11【答案】C【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-7x+10=0的两个根，又由三角形的两边长分别是3和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．【解析】解：∵x2-7x+10=0，∴（x-5）（x-2）=0，解得：x1=5，x2=2，∵三角形的两边长分别是3和6，当x=5时，3+5＞6，能组成三角形；当x=2时，2+3<6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是5，∴这个三角形的周长为：3+6+5=14．故选：C．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．例题2：（2021·江苏·常州外国语学校九年级）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（）【分析】延长BA 到点D ，使DA =BA ,连接PD ，运用三角形中位线定理，当PD 最大时，AC 最大，运用三角形不等式原理计算即可．【解析】如图，延长BA 到点D ，使DA =BA ,连接PD ，PO ，OA ，OB ，OD ，∵BA =AD ，BC =PC ，∴AC 是△PBD 的中位线，∴AC =12PD ，∵∠APB ＝30°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 等边三角形，∴OA =OB =AB =AD =2，∠AOB =∠OAB =60°，∴∠ADO =∠AOD =30°，∴∠DOB =90°，∴OD =∵DO +PO ≥PD ，∴PD 的最大值为：DO +PO =，∴AC =12PD考向02三角形的高、中线例题3：（2021·山东安丘·二模）如图，四边形ABCD 为菱形，BF ∥AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（）A ．△ABE ≌△ADE ；B ．∠CBE ＝∠CDF ；C ．DE ＝FE ；D ．S △BCE ：S 四边形ABFD ＝1：9【答案】D【分析】由四边形ABCD 为菱形，AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，可证()ABE ADE SAS ∆∆≌可判定A ；由ABE ADE ∆∆≌，可得∠ABE =∠ADE ，由四边形ABCD 为菱形，可得∠ABC =∠ADC ，利用等角之差∠CBE =∠CDE ，可判定B ；连结BD 交AC 于O ，四边形ABCD 为菱形，可得BD =2OD ，可证△DOE ∽△DBF ，可证2DF DE =，可判定C ；根据OE 为△DBF 的中位线，△DOE ∽△DBF ，可得4DBF DOE S S ∆∆=，由CE ：AC ＝1：2．可得S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，S △DOE =2S △BCE ，可求10BCE ABFD S S ∆=四可判定D ．【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，∴在△ABE 和△ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS ∆∆≌故选项A 正确；∵ABE ADE∆∆≌∴∠CBE =∠ABE -∠ABC =∠ADE -∠ADC =∠CDE ，故选项B 正确；连结BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DO =BO ，OE ⊥BD ，∴BD =2OD ，∵BF ∥AE ，∴∠DOE =∠DBF ，∠DEO =∠F ，∴△DOE ∽△DBF ，∴12DO DE DB DF ==，∴2DF DE =，∴2DF EF DE DE =+=，∴EF DE =，故选项C 正确；∵DO =OB ，DE =EF ，∴OE 为△DBF 的中位线，∴BF =2OE ，∵△DOE ∽△DBF ，∴214DOE DBF S OE S BF ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭∴4DBF DOES S ∆∆=∵CE ：AC ＝1：2．∴AC =2CE ，∴AO =OC =CE ，∴S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，∴S △DOE =2S △BCE ，∴2410ABD DBF BCE DOE BCEABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四故选择D ．【点拨】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．例题4：（2021·安徽包河·九年级期中）如图，在中，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点F ，若E 为AC 的中点，:2:3BD DC =，则:AF FD 的值是（）A ．2.5B ．3C ．4D ．2【答案】A【分析】过点E 作EG BC ∥交AD 于G ，则EG 是△ACD 的中位线，△AGE ∽△ADC ，可以得到1=2AG GE AD CD =，再证明△FGE ∽△FDB ，得到GE GF BD FD =，即可推出3=4GE GF BD FD =，设22AD AG x ==，则AG GD GF FD x ==+=，37GF x =，47DF x =，107AF AG GF x =+=，由此求解即可．【解析】解：如图所示，过点E 作EG BC ∥交AD 于G ，∵E 是AC 的中点，EG BC ∥，∴EG 是△ACD 的中位线，△AGE ∽△ADC ，∴1EG CD =，AG GE =，∴GE GF BD FD=，∵:2:3BD DC =，:1:2GE DC =，∴3=4GE GF BD FD =，设22AD AG x ==，则AG GD GF FD x ==+=，∴37GF x =，47DF x =，∴107AF AG GF x =+=，∴104:: 2.577AF FD x x ==，故选A ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．考向03三角形的角平分线例题5：（2021·湖南·常德市第五中学九年级开学考试）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∠BAC的平分线AD 交BC 于点D ，CD =BD 的长是（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B【分析】【解析】∵90C ∠=︒，30B ∠=︒∴60CAB ∠=︒∵CAB ∠的平分线AD 交BC 于点D ∴1302CAD BAD CAB ∠=∠=∠=︒∴DAB B∠=∠∴BD AD=∵CD =∴2BD AD CD ===故选：B【点拨】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，正确的理解题意、运用相应的性质是解题的关键．例题6：（2021·陕西灞桥·一模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG ＝∠ACB ，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG ＝∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．【解析】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∵△ABE 的面积＝1AE AB ⨯⨯，△BCE 的面积＝1CE ⨯⨯AB ，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．考向04三角形的内角和例题7：（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图，ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】∴∠A =∠ADO 1802AOD ︒-∠==75°．故选D ．【点拨】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．例题8：（2021·青海互助·九年级期中）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转80°，得到，若点D 在线段BC 的延长线上，则PDE ∠的度数为（）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B【分析】由题意得AB AD =，80BAD ∠=︒，B ADE ∠=∠，得50B ADB ∠=∠=︒，则50ADE B ∠=∠=︒，即可得．【解析】解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转80°，得到，∴AB AD =，80BAD ∠=︒，B ADE ∠=∠，∴11(180)(18080)5022B ADB BAD ∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，∴50ADE B ∠=∠=︒，∴180180505080PDE ADE B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．考向05三角形的外角例题9：（2021·河南大学附属中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 上一点，将沿AE 折叠至处，AD '与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则FED '∠的度数为（）【答案】B【分析】由平行四边形的性质得出52D B ∠=∠=︒，由折叠的性质得52D D '∠=∠=︒，20D AE DAE '∠=∠=︒，由三角形的外角性质求出72AEC ∠=︒，由三角形内角和定理求出108AED '∠=︒，即可得出FED '∠的大小．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，52D B ∴∠=∠=︒，由折叠的性质得：52D D '∠=∠=︒，20D AE DAE '∠=∠=︒，522072AEC D DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，180()180(5220)108AED D D AE '''∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，1087236FED AED AEC ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出AEC ∠和AED '∠是解决问题的关键．例题10：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A 、重合）连接CP ，若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（）A ．30°B ．54°C ．50°D ．65°【答案】D【分析】根据圆内接四边形对角互补，求得D ∠的度数，根据三角形的外角性质可得APC D ∠>∠，进而可确定APC ∠的范围，根据选项即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D ∠+∠=︒，∠为的外角，∵APC∠>∠，只有D满足题意．∴APC D故选：D．【点拨】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得D∠的大小是解题的关键．考向06全等三角形的性质=，例题11：（2021·广西大化·九年级期中）如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE CD ∠的度数为（）AD与BE交于P，则BPDA．45°B．50°C．55°D．60°【答案】D【分析】根据△ABC是等边三角形，可得AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，结合AE＝CD，利用等式性质易得BD＝CE，利用SAS易证△ABD≌△BCE，从而有∠ADB＝∠BEC，再利用三角形外角性质可证∠C＝∠APE，而∠APE 和∠BPD是对顶角，故可得∠BPD＝∠C．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴AC−AE＝BC−CD，即BD＝CE，又∵∠ABD＝∠C＝60°，AC＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，∵∠ADB＝∠C＋∠DAC，∴∠BPD ＝∠C ＝60°．故选D ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角性质、等边三角形的性质，解题的关键是证明△ABD ≌△BCE ．例题12：（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级期中）如图△ABC ≌△DEC ，点A 和点D 是对应顶点，当B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ，若∠BCE ＝65°，则∠CAF 的度数为（）A ．30°B ．25°C ．35°D ．65°【答案】B【分析】根据三角形全等的性质可得ACB DCE ∠=∠，进而可得BCE ACD ∠=∠，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得CAF ∠的度数．【解析】 ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，ACB ACE DCE ACE∴∠-∠=∠-∠即BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，65BCE ∠=︒，9025CAF ACD ∴∠=︒-∠=︒故选B【点拨】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，证明BCE ACD ∠=∠是解题的关键．考向07全等三角形的判定例题13：（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将绕点A 顺时针旋转90°得到．若3DF =，则A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A【分析】根据旋转的性质可知，△ADF ≌△ABG ，然后即可得到DF=BG ，∠DAF =∠BAG ，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG ≌△EAF ，再根据DF =3，AB =6和勾股定理，可以求出BE 的长．【解析】解：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAG ≌△EAF(SAS)，∴GE =FE ，设BE =x ，则GE =BG +BE =3+x ，CE =6−x ，∴EF =3+x ，∵CD=6，DF =3，∴CF =3，∵∠C =90°，故选A..【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．例题14：（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）如图，在中，90C ∠=︒，AC BC =，将绕点A 顺时针方向旋转60°到的位置，连接C B '，则C BA ∠'的度数为（）A ．15°B ．20°C ．30°D ．45°【答案】C【分析】连接BB '，证明为等边三角形，然后进一步证明BB C ''△≌，得到B BC ABC '''∠=∠，即可求出C BA ∠'的度数．【解析】解：如图所示，连接BB '，由题意得：AB AB '=，60BAB '∠=︒，∴为等边三角形，∴60B BA '∠=︒，BB BA '=；BB BA BC BC B C AC ''''=⎧='='⎪⎨⎪⎩∴BB C ''△≌△（SSS ），∴30B BC ABC '''∠=∠=︒，故选：C ．【点拨】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答．考向08角平分线与线段垂直平分线例题15：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A ，D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D ，C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF中点、则有下列结论：①BGF ∠是定值；②FB 平分AFC ∠；③当E 运动到AD中点时，2GH =；④当AG BG +=时，四边形GEDF 的面积是12其中正确的是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF =BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥BE ，即可判断解；④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ABG S =V，然后根据AG GB +=时，得到()22226AG GB AG AG GB GB +=+⋅+=，再由2224AG BG AB +==即可得到22AG GB ⋅=，则1122ABG S AG GB =⋅=V ．【解析】证明：∵E 在AD 边上(不与A ，D 重合)，点F 在DC 边上(不与D ，C 重合)，又∵点E ，F 分别同时从A ，D 出发以相同的速度运动，∴AE =DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB DA =，90BAE D ∠=∠=o在△BAE 和△ADF 中，90AE DF BAE ADF AB DA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△ADF (SAS )，∴∠1=∠2，∵2390∠+∠= ，∴1390∠+∠= 即90AGB ∠= ，∴90BGF ∠=o 即∠BGF是定值，故①正确；假设BF 平分∠AFC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥FC ，BC =AB∵BG ⊥AF ，∴BG =BC ，∴假设不成立，∴②不正确；③当E 运动到AD 中点时，则F 运动到CD 中点，∴112CF CD ==，∴BF ==∵∠BGF =90°，H 为BF 的中点∴122GH BF ==，故③正确；④∵△BAE ≌△ADF ，∴=BAE ADFS S △△∴S 四边形GEDF ,ABG S =∴当AG GB +=时，()22226AG GB AG AG GB GB +=+⋅+=，∵2224AG BG AB +==，22AG GB ∴⋅=，∵1122ABG S AG GB =⋅=V ，∴S 四边形GEDF =12故④正确；故选C ．【点拨】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．例题16：（2021·广东·深圳市高级中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝8，连接BD ，分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，作直线EF 交AD 于点I ，交BC 于点H ，点H 恰为BC 的中点，连接AH ，则AH 的长为（）【分析】连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90°，根据勾股定理可得AH的长．【解析】解：如图，连接DH，根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，∴DH=BH，∵点H为BC的中点，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在▱ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等边三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH==故选：A．微练习一、单选题1．（2021·浙江拱墅·九年级期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E 是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（）A．7∶5∶2B．13∶5∶2C．5∶3∶1D．26∶10∶3【答案】D【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，设CF＝a，则GM＝12a，依据CF∥BG，DE∶EC＝5∶3，D是BC的中点，可得BG＝6CF＝6a，再根据H是△ABC的重心，即可得到BH＝23BM＝133a，HG＝BG﹣BH＝53a，进而得到BH∶HG∶GM＝133a∶53a∶12a＝26∶10∶3．【解析】：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，∵H是△ABC的重心，∴M是AC的中点，D是BC的中点，∴G是AF的中点，∴GM＝12 CF，设CF＝a，则GM＝12a，∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，∴2552CF CEBG BE==++＝16，∵H 是△ABC 的重心，∴BH ＝23BM ＝133a ，∴HG ＝BG ﹣BH ＝6a ﹣133a ＝53a ，∴BH ∶HG ∶GM ＝133a ∶53a ∶12a ＝26∶10∶3．故选D．【点拨】本题主要考查了重心的性质，解题的关键在于能够熟练掌握重心是三条中线的交点以及重心的性质．2．（2021·云南鲁甸·九年级期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程27120x x -+=，则三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对【答案】B【分析】解方程得到两个解，分两类情况讨论，看是否能构成三角形，若能构成，则三边长加起来即为三角形周长．【解析】∵27120x x -+=，解得123,4x x ==∴三角形三边长可能的情况为：①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形∴三角形的周长为2+4+5=11故选B别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若7AB cm ，则BC 的长可能是（）A．6cmB．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【分析】由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进行判断．【解析】解：由作法得MN 垂直平分AC ，∴DA =DC ，∴CD +BD =DA +DB =AB =7，∵BC ＜CD +DB ，∴BC ＜7．故选：A．【点拨】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边关系，线段垂直平分线的性质是解题关键．4．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）下列说法正确的是（）A．三角形三条中线的交点是三角形重心B．等弦所对的圆周角相等C．长度相等的两条弧是等弧D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】A【分析】根据重心，弦与圆周角之间的关系，等弧的定义以及外心的定义进行逐一判断即可．【解析】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；故选A．【点拨】本题主要考查了三角形重心，外心，以及圆中弦、弧的知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 所在的直线交于点P ，AC 、BD 交于点E ，∠AED ＝105°，∠P ＝55°，则∠ACD 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】C【分析】由图可得：所对的圆周角相等，可得BAC BDC ∠=∠，在PCA V 及PBD △中利用三角形内角和定理分别表示出PCA ∠，PBD ∠，由等式的性质可得：PCA PBD ∠=∠，对顶角相等可得：BEC AED ∠=∠，根据四边形内角和为360︒可得ACP ∠，由平角定义即可得出结果．【解析】解：由图可得： BC所对的圆周角相等，即：BAC BDC ∠=∠，在PCA V 中，180PCA P BAC ∠=︒-∠-∠，在PBD △中，180PBD P BDC ∠=︒-∠-∠，，∴PCA PBD ∠=∠，∵105AED ∠=︒，∴105BEC AED ∠=∠=︒，【点拨】题目主要考查同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理及对顶角相等的性质，理解同弧所对圆周角相等是解题关键．6．（2021·辽宁旅顺口·九年级期中）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A B C ''，连接AA '，若125∠=︒，则BAC ∠的度数是（）．A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【分析】由旋转得A C AC '=，90ACA '∠=︒，求出45CAA '∠=︒，利用外角性质求出A B C ''∠，由旋转的性质得到∠B 的度数，再计算90°-∠B 即可得到结果．【解析】解：由旋转得A C AC '=，90ACA '∠=︒，∴45CAA '∠=︒，∵125∠=︒，∴A B C ''∠=∠1+70CAA '∠=︒，由旋转得∠B =70A B C ''∠=︒，∴BAC ∠=90°-∠B =20°，故选：B ．【点拨】此题考查三角形外角的性质，等边对等角求角的度数，直角三角形两锐角互余的性质，旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．7．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将绕点C 顺时针旋转得到A B C ''V ，点B '恰好在AB 上，A B ''交AC 于F ，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．【解析】由题意得：BC B C '=，AB A B ''=，AC A C '=，B B '∠=∠，30A A '∠=∠=︒，90ACB A CB ''∠=∠=︒∵∠A =30°，∠ACB =90°∴∠B =60°∵BC B C'=∴BB C '△是等边三角形∴60B BB C BCB ''∠=∠=∠=︒∴30B CA '∠=︒，∠60A CA '∠=︒，60AB A ''∠=︒∴A B ''∥BC∵∠ACB =90°∴AC A B ''⊥∴与相似的三角形有CF 、△ABC 、、A B C ''V 所以有4个故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．8．（2021·重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（）A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．()3n n ≥边形的外角和为360︒C．矩形的对角线互相垂直且平分D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等【答案】B【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，则选项错误，不符合题意；B、()3n n ≥边形的外角和为360︒，则选项正确，符合题意；C、矩形的对角线互相平分，但不一定垂直，则选项错误，不符合题意；D、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，则选项错误，不符合题意；故选B【点拨】本题考查的是真假命题的判断，同时考查三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，矩形的性质，三角形内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E ；以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交AD 于点F ．若12,10BF AB ==，则AE 的长为（）A．16B．15C．14D．13【答案】A【分析】连接EF ，设,BF AE 交于点O ，根据平行四边形的性质和作图可知23∠∠=,AF AB =，进而证明四边形ABEF 是菱形，根据勾股定理求得AO 的长，即可求得AE 的长．【解析】解：如图，连接EF ，设,BF AE 交于点O ，AE ∵平分BAD∠12∠∠∴= 四边形ABCD 是平行四边形AD BC∴∥13∠∠∴=，又AB AF= AF BE∴=AF BE∥ ∴四边形ABEF 是平行四边形AB BE= ∴四边形ABEF 是菱形,AE BF AO OE ∴⊥=，12BO OF BF ==在Rt ABO 中，10AB =，162BO BF ==8AO ===216AE AO ∴==故选A【点拨】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明ABEF 是菱形是解题的关键．10．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，连接AD ，BE 交于点F ，连接CF ，则CF 的最小值是（）A．3C．4【答案】B【分析】根据三角形全等的判定定理和性质可得：，BAD CBE ∠=∠，利用各角之间的数量关系可得：120AFB ∠=︒，作的外接圆，则点F 在圆上运动，连接OB 、OC ，交劣弧于点F’，当点F 与点F’重合时，CF 的长度最小，由切线定理可得OB BC ⊥，30BCO ∠=︒，在中，利用三角函数的正切可得OB =30︒所对直角边是斜边的一半即可确定OC =CF 的最小值．60AB BC ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴，∴BAD CBE ∠=∠，∴60ABF BAF ABF CBE ∠+∠=∠+∠=︒，∴120AFB ∠=︒，作的外接圆，则点F 的运动轨迹为以O 为圆心，OB 为半径的圆，如图所示，连接OB 、OC ，交劣弧于点F’，当点F 与点F’重合时，CF的长度最小，由切线定理可得：BC 与⊙O 相切于点B ,∴OB BC ⊥，30BCO ∠=︒，在中，tan 30OB BC =︒=∴2OC OB ==∴CF OC OF =-=''∴CF的最小值为故选：B．【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的相关性质定理、正切三角函数等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键．11．（2021·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD 的周长为16，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【解析】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点拨】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键. 12．（2021·湖北青山·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长．【解析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠ABC +∠ADC =180゜∵∠ABH +∠ABC =180゜∴∠ABH =∠ADF在△ABH 和△ADF 中AB AD ABH ADF BH DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABH ≌△ADF∴AH =AF ，∠BAH =∠DAF∵∠BAD +∠BCD =180゜，∠BCD =120゜∴∠BAD =180゜-∠BCD =60゜∵∠EAF =30゜∴∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =30゜∴∠EAH =∠BAE +∠BAH =30゜在△AHE 和△AFE 中AH AD EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHE ≌△AFE∴HE =EF =3∴BE =HE -BH =3-1=2二、填空题13．（2021·四川恩阳·九年级期中）点G 为的重心，如果6AG =，8BG =，10CG =，则的面积为______．【答案】72【分析】延长AG 到G '，连接CG '，使得DG DG '=，则BDG CDG '≅△△，再证明CGG '△是直角三角形即可得解；【解析】如图所示，延长AG 到G '，连接CG '，使得DG DG '=，则BDG CDG '≅△△，∴8GG BG '==，∵132DG AG ==，∴3DG DG '==，∴6GG '=，∵10CG =，∴CGG '△是直角三角形，∴186242GBC CGG S S '==⨯⨯=△△，∴372ABC GBC S S ==△△；故答案是：72．【点拨】本题主要考查了三角形重心的性质和三角形全等判定与性质，准确计算是解题的关键．14．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部【答案】167【分析】作使得GD 是ΔABC 一条优美线，过点G 作GH BC ⊥于点H ，根据GH BC ⊥,AE BC ⊥，CGH CAE △∽△，DEF DGH △∽△，列出比例式，代入数值计算即可．【解析】如图， ΔABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥，132BE EC BC ===，ABE AEC S S = ∴AE 是ΔABC 的一条优美线4AE ∴==11641222ABC S BC AE =⨯=⨯⨯= △ BD ＝2，624DC BC BD ∴=-=-=作使得GD 是ΔABC 一条优美线，过点G 作GH BC ⊥于点H ，则162GDC ABC S S ==△△623GH DC ∴=⨯÷= GH BC ⊥,AE BC⊥GH AE∴∥CGH CAE ∴△∽△，DEF DGH△∽△HC GH EC AE∴=设HC x =，则334x =解得94x =93344EH EC HC ∴=-=-= DEF DGH△∽△即17 34 EF=解得127EF=1216477AF AE EF∴=-=-=故答案为：16 7【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，找到优美线DG是解题的关键．15．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有______________(填序号)【答案】①②④【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOB ＋∠BOC ＝∠COD ＋∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，故②正确；∵∠OAC ＝∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB ＋∠OBD ＝∠OAC ＋∠AOB ，∴∠AMB ＝∠AOB ＝36°，故①正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，∵△AOC ≌△BOD ，∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝OD ，所以其中正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题属于三角形综合题，是中考填空题压轴题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．16．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，AP与BC的延长线交于点D．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF并延长交DH于点G．下列结论中，正确的是______．（填序号）①∠APB＝45°，②PF＝PA，③DG＝AP+GH，④BD＝AH+AB．【答案】①②④【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义可得∠ABP＝12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF，AP＝PF；③根据PF⊥AD，∠ACB＝90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，根据AF PA可得结论；④根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH．【解析】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线相交于点P，∴∠ABP＝12∠ABC，∠CAP＝12（90°+∠ABC）＝45°+12∠ABC，。

全等三角形易错点1.寻找对应点：想找对对应点，一定要知道一个三角形经过怎样的图形变换，得到另一个三角形。

这里面包括（平移，对称，旋转）例如：△ABC经过如何变换得到△A’B’C’呢？△ABC水平向右平移得到△A’B’C’∴△ABC≌△A’B’C’△ABC经过如何变换得到△ABD呢？△ABC沿AB对称得到△ABD∴△ABC≌△ABD如图，△ABD经过如何变换得到△BCD呢？△ABD绕点O顺时针旋转180°，得到△CDB。

∴△ABD≌△CDB当然，也会遇到复合变换的情况，既有对称又有旋转等等。

如果学生不会判断，还可以采取以下方法。

1.审：通过图形大小和形状，猜测图中出现的所有全等图形，看是否符合题意。

2.逆：通过题目问题，逆向分析问题所需要的全等图形3.画：把已知条件和问题都标到图上，只分析图形，寻找全等图形，得出结论。

注意：证明两个三角形全等不是目的，通过三角形全等得到边或角的关系才是目的，同学们请谨记。

2.全等的格式：无论你用何种判定，书写格式一定是按照要求来。

例如：已知：AD=AE,AB=AC求证：∠B=∠C证：在△ABE和△ACD中①AB=AC ②∠A=∠A ③AE=AD ④∴△ABE≌△ACD（SAS）⑤∴∠B=∠C ⑥注意：在①中，两个三角形对应点必须对应。

在②③④中，如果选用了边角边的判定，那么在③中，必须写对应角等；②和③必须写对应边等。

顺序不能错。

例如有的学生顺序写成了②④③（SSA）那就不行了。

②③④中，等号左边的边或角必须是左边三角形中的边或角；等号右边的边或角必须是右边三角形中的边或角。

⑤中，小括号理由必须写。