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南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e 满足的条件 （2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。
云南大学经济学院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005公共管理学院政治学原理2006——2009当代中国政府与政治2006——2009政治学概论2007——2009（2007、2008年试题名称为“国际政治学概论”）社会学人类学理论与方法2007——2009社会学基础2007——2009民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004行政管理2008——2009行政学概论2006——2009经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）西方经济学二2008——2009西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2007西方经济学（含微观经济学和宏观经济学）（产业经济学专业）2008图书馆、情报与档案管理实务2006——2009图书馆学、情报学与档案学基础2006——2009法学院经济法学、民法学、刑法学2006——2009法理学、宪法学2006——2009马克思主义研究院马克思主义哲学原理2006——2009马克思主义基本原理概论2009毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2009民族学理论与方法2009发展研究院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005社会学人类学理论与方法2007——2008社会学基础2007——2008民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004人文学院马克思主义哲学原理2006——2009专业综合理论2007——2009中国语言文学基础2007——2009理论批评2007——2009传播理论2002——2005，2007——2009新闻传播实务2002——2005，2007——2009世界近现代史2005——2006中国通史2005——2006西方哲学史2006马克思主义政治经济学原理2006外国语学院二外日语2002，2004——2009二外德语2002，2004——2009二外法语2002，2004——2009二外英语2004，2006——2007，2009基础英语（含写作、翻译、阅读）2004——2009综合考试（英语语言文学专业）1999——2000，2004——2009综合考试（法语语言文学专业）2004，2006——2007，2009基础法语2004，2006——2007，2009翻译（法汉互译）2002法国文学2002英美文化与文学2002英美文学1999——2000英语写作1999——2000英汉互译1999——2000写作与翻译（英语专业）2002民族研究院马克思主义哲学原理2006——2009综合专业理论2007——2009社会学人类学理论与方法2007——2009社会学基础2007——2009人类学基础2009民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）民族学理论与方法2009社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004马克思主义政治经济学原理2006工商管理与旅游学院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005旅游综合考试2005国际关系研究院政治学概论2006——2009近现代国际关系史2007——2009世界民族与民族问题2007——2009民族学概论2007——2009经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）艺术与设计学院中外艺术史2004，2005，2009（其中2005年的试卷内容不全）艺术理论2009文化人类学2009艺术概论2004（A卷），2005（A卷）（其中2005年的试卷内容不全）高等教育研究院院教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）教育学综合（含教育学原理、中外教育史）2006马列主义教学研究部马克思主义哲学原理2006——2009马克思主义基本原理概论2009毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2009 马克思主义哲学基本原理2007马克思主义政治经济学原理2006邓小平理论和三个代表重要思想概论2006——2007民族学理论与方法2007数学与统计学院数学分析2004，2007——2009高等代数2004，2007——2009数学分析与高等代数2003，2005——2006概率论数数理统计2005——2009（2006年试题有两份）西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009生命科学学院普通生物学2006——2009遗传学2005——2009生物化学2000——2003微生物学2002信息学院离散数学2002——2009信号与系统2003，2005——2006，2008——2009自动控制原理2007——2009数据结构与操作系统2003，2005——2008数据结构与数据库技术2003数据结构与算法2003数据结构2003计算机程序设计2007——2008数据结构与程序设计2003，2005，2007——2008数字电路2005——2006化学科学与工程学院化学（一）2005——2009化学（二）2005——2009化学（三）2005——2009分析化学2004有机化学2004综合化学2004物理科学技术学院量子力学2003，2007——2009大学物理（物理科学技术学院使用）2007——2009高等数学2005——2009程序设计与数值算法基础2007电路理论2008——2009电磁场原理2008电路与电磁场理论2007普通化学2006——2008普通化学（一）2007——2009普通物理2006——2009量子物理基础2008——2009固体物理基础2008固体物理2003，2007——2008材料科学基础2007，2009资源环境与地球科学学院城市与区域规划（人文地理专业）2005土地利用规划与管理2009高等数学2005——2009高等数学（二）2009综合地理学2009天气学2009地震学与地质学基础2009结构力学2009软件学院计算机程序设计2007——2009高等数学一（自命题）2009数据结构与程序设计2003，2005，2007——2008 数据结构与操作系统2003，2005——2006，2008 数据结构与数据库技术2003数据结构与算法2003数据结构2003离散数学2002——2009古生物重点实验室地质学基础2006普通生物学2006——2009古生物地史学2006城市建设与管理学院城市与区域规划（人文地理专业）2005土地利用规划与管理2009高等数学2005——2009高等数学（二）2009综合地理学2009天气学2009地震学与地质学基础2009结构力学2009文化产业研究院经济人类学2009民族文化与经济2009文化产业概论2009中外艺术史2004（A卷），2005（A卷）（其中2005年的试卷内容不全）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004工程技术研究院大学物理（工程技术研究院使用）2007——2009普通化学2006——2008普通化学（一）2007——2008普通化学（二）2009教育技术学基础2006——2009多媒体技术基础2006——2008计算机网络基础2009。
云南大学2006年硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析
一、计算极限
1
、9lim ln n n n n →∞⎫+⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭， 2、设当0x →时，23013
x t x x e dt ---⎰与n x 是同阶无穷小量，求正整数n 的值。
二、已知f(x)的一个原函数为sin x x
，求3()x f x dx '⎰ 三、证明不等式()1ln 2,011x x x x
+><<- 四、设f(x)在[0,a]上有连续的导数，若f(0)= f(a)，求证：至少存在一点()0,a ξ∈，使得
()2()3(()0)f f f ξξξ'=-
五、求幂级数()
201n n n x ∞=+∑的收敛域、和函数，并求级数()()20112n n n n ∞=-+∑的和。
六、将函数()(50)f x x x =-≤≤展开成周期为10的正弦级数。
七、设u,v 为x,y 的隐函数，它们由方程组01xu yv yu xv +=⎧⎨
+=⎩确定，在点（1，0，0，1）处求 八、设()()()11[]22x at x at
u x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰，其中ϕ和ψ分别具有一、二阶连续偏导数，证明22222
0u u a t x ∂∂-=∂∂
九、计算积分D ，其中，D 是圆()2
211x y ++=与直线y x =-围成的小部分区域。
十、计算积分()()2212S
dydz x y dzdx x x z dxdy +-+-⎰⎰，其中，S 是曲面221z x y =++被平面z=2所截得的一块曲面的下侧。
云南大学2003年硕士研究生入学考试试题专业：基础数学、计算数学、系统分析与集成 考试科目：《数学分析与高等代数》一、（15分）设)x (f 连续，,1xtanx )x (f lim0x =-→又⎰=10.dt )tx (f )x (F ）（1求的连续性）讨论（)x (F 2);x (F ''。
二、（15分）设)x (f 在[a,b](a>0)上连续，在（a ，b ）内可微，且），，（，，试证：存在点b a ,0)x (f '∈≠ζηξ使得ξηζξ=)(f f '）（‘ 三、（20分）设v u ,y 2x y ,y 2x u ，以+=-=为新的自变量，变换方程 ),0y (y z 21yz y y z 2222>∂∂=∂∂-∂∂并求解该方程。
四、（15分）设f(x)在x=0点的某个领域内具有连续的二阶导数，且∑∞=→=1n 0x )n 1(f 0,x )x (f lim 绝对收敛求证：级数。
五、（15分）计算积分⎰⎰+++++++=222333z y x dxdy)3R z (dzdx )2R y (dydz R x I ）（其中s 是上半球面222y x R z --=的下侧。
六、（20分）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5 4-6 5-A （1）求A 的特征值，特征向量。
（2）试求使为正整数）。
（，求为对角矩阵的n A C AC C 2n 1-七、（20分）设,P X XD CX AXB X A P D C B A n n n n ⨯⨯∈∀++→∈，：，若，，，证明：可逆可逆，时，）当。
（的线性变换为）（A B A 0D C 2,P A 1n n ⇒==⨯。
八、（20分）已知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0 2- 02- 1 20 2- 2A ，求一正交矩阵T ，使AT T ‘成对角形。
九、（10分）证明：n 维欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
云南大学2005年硕士研究生入学考试试题专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析一．已知函数()212sin ,021,0ln(1),0x x x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎪⎩讨论f(x)在x=0处的连续性、可导性，并求()f x ' 二．计算广义积分()222111ln 1dx x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 三．已知不等式21xAe x x -+-≥对一切()1,x ∈+∞成立，求常数A 的取值范围。
四．设函数f(x)在[a,b ]上连续，且f(x)>0,()()()[]0,,xx b dt F x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰ 证明：F （x ）=0在（a,b ）内有且仅有一个实根。
五．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且()1f x ''≤，f(x)在（0，1）内有最大值。
证明：()()011f f +≤六．将函数()2f x x =+在[-1，1]上展开成周期为2的Foueier 级数，并求()21121n n ∞=-∑的和七．证明：设,,x x y u x y z ξη==+=++，以,ξη为新的自变量，(),u u ξη=为新函数，把方程2222220z z z x x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂变换为220u ξ∂=∂ 八．证明：函数()31cos 1n nx S x n ∞==+∑在(),-∞+∞内连续，并有连续的导函数。
九．计算积分()()12sin y y LI xy e dx xey dy =++-⎰，其中L 为由点A （-1，1）沿曲线2y x =到原点O ，再沿Ox 轴到点B （2，0）的路径。
十．计算积分()()()222222S x x R dydz y y R dzdx z z R dxdy+++++⎰⎰ ，其中S 为球面2222x y z R ++=的外侧。
2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y ，v=x-y ，z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ,证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a nn =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x ）分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x ）在x=0连续 （3） f （x ）在x=0可导 解：(1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nxx x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥（2）因为)(lim 0x f x -→=0=f(0）所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f （x ）在0可导则1->α四、设f （x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解;令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f （x ）在R 上连续故存在F(u ）使dF （u ）=f(u ）du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。
（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在［a,b ］上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(，证明2)(4)(a b M dx x f b a-≤⎰证：因f(x)在[a ，b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。
