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lim F( x) lim P{X x} 0
x
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x}的值也不会减小,而
X (, x), 当 x 时, X 必然落在 (,)内.
o
x
所以 lim F( x) lim P{X x} 1.
x
x
(4)
lim
x x0
F(
x)
F ( x0
),
( x0 ).
1, x 1.
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
离散型随机变量分布函数演示
例3 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时,
此时称 X 为连续型随机变量.
注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样.
四、小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk .
xi x
2.分布律与分布函数的关系
{X a} {a X b} , 所以 P{ X b} P{ X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a).
三、例题讲解
例1 将一枚硬币连掷三次, X 表示“三次中正面 出现的次数”, 求 X 的分布律及分布函数, 并求下 列概率值 P{1 X 3}, P{ X 5.5}, P{1 X 3}.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P{ X x1}
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
称为X的分布函数.
说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
x 2, 3,
1,
x 3.
0, x 1,
1 , 1 x 2,
即
F
(
x
)
4 3
,
2 x 3,
4
1, x 3.
由 F(x) P{X x},
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3. 42 4
即任一分布函数处处右连续.
F(x)
0, x 0,
1
F
(
x)
p1 , p2 ,
1,
0 x x1, x1 x x2 , x x2.
p2 p1
•
•
o x1
x2
x
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
X 1 2 3
pk
111
424
求 X 的分布函数,并求 P{ X 1}, P{3 X 5},
22
2
P{2 X 3}.
解 由于 X 仅在 x 1,2,3 处概率不为0, 且 F ( x) P{X x},
0,
x 1,
得
F(x)
P{ X P{ X
1}, 1}
P{ X
2},
1 2 x
F( x) P{X x} P{X 0} P{X 1}
pi 1. xi 3
P{X 2} P{X 3}
0,
所以F (
x)
14
8, 8,
7 8, 1,
x 0, 0 x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
P{1 X 3} P{X 3} P{X 1} P{X 3}
的概率情况. (2)分布函数 F ( x) 是 x 的一个普通实函数.
实例 抛掷均匀硬币, 令
1, X 0,
出正面, 出反面.
求随机变量 X 的分布函数.
解 p{ X 1} p{X 0} 1 , 2
当 x 0 时,
•
0
•
1
x
F( x) P{X x 0} 0;
当 0 x 1时,
第三节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结
一、分布函数的概念
1.概念的引入
对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1, x2 ]内的概率 .
解 设 H 正面, T 反面, 则
S HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT,
因此分布律为
X p
0 1
1 3
2 3
3 1
8888
求分布函数
当 x 0时,
•
•
o1
•
•
2 3x
F( x) P{X x} 0;
当 0 x 1时,
F(x) P{X
当 1 x 2时,
•
0
•
1
x
F( x) P{X x} P{X 0} 1 ; 2
当 x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x)
1
2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
二、分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); 证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
P{ X x}是不可能事件,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由 P{0 X 2} 1, 得 4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
P{X 0} P{0 X x} x2 .
当 x 2时,
4
F( x) P{X x} 1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2. 其图形为一连续曲线
若记
f
(t
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t 2
,
0 t 2,
0, 其它.
则
F(x)
x
f (t) dt.
F ( x) 恰是非负函数 f (t) 在区间 (, x] 上的积分,
x}
P{ X
0}
pi
xi 0
1; 8
F( x) P{X x} P{X 0} P{X 1}
pi
xi 1
1 8
3 8
1; 2
当 2 x 3时,
•
o
•
1
•
•
2 3x
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1} P{X 2} pi
133 7
xi 2
;
888 8
当 x 3时,
又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1;
x
x
证明 F( x) P{X x}, 当 x 越来越小时,
P{ X x}的值也越来越小, 因而当 x 时,有
F(3) F(1) P{X 3}
1 4 1 3. 888
P{X 5.5} 1 P{X 5.5} 1 P{X 5.5} P{X 5.5} 1 1 0 0.
P{1 X 3} P{X 3} P{X 1} F(3) F(1) 14 1. 82
例2 设随机变量 X 的分布律为
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答 不一定. 例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
1, 出正面;
X1 1, 出反面. X2 1, 出反面.
X1 与 X 2 在样本空间上的对应法则不同,是两个不 同的随机变量, 但它们却有相同的分布函数
0, x 1; F ( x) 1 2, 1 x 1;
