第四节直线的投影投影的基本知识、特定和定理

C
d
D
c
d
正垂线的投影 c(d)
c
d
d
c
（3）侧垂线
f
e( f )
e
Ｆ
Ｅ
f
e
侧垂线的投影
e
f
e( f )
e
f
垂直线的投影特征：
（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点；
（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且 反映实长。
例题 根据投影图判断下列直线的空间位置
a'
Z
a
Z
a'
b' a"
题解：
c′〝
c
NEW
a′〝 d′〝
c″〝
a″〝 d″〝
b′〝b″〝
db
a
2、相交两直线投影特性
相交两直线同面投影都相交，且交点符合点 的投影规律
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否 相交？
投影上交点连线垂直于投影轴 。 相交直线可能成为某一投影面的重影线
两直线相交
交点是两直
V c
a
xA
a
b k
"
b'
X
O
a（b）
b" YW X a
YH
a' Z a"
a'
O
b b'YZH
b" YW
a"（b"）
X
b' a
O
b" YW
X
O
YW
b
YH
ab YH
既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平 行线呢？
a'
Z
b'
X
O
a（b） YH
a"
a'
b"
YWX a
Z b' a"
O
b YH
b" YW
四、直线上的点 点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上
既不符合平行两直线的投影特性，又不符合 相交两直线的投影特性
交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一 个点的投影，而是两条直线上的两个点的重 影。其重影点的可见性应根据两个点的相对 位置来判别。
例：判断图中两条直线是否平行。
c
a d
b
c a
对于特殊位置直线，
只有两个同名投影互相
b d 平行，空间直线不一定
c b
平行。
da
求出侧面投影后可知：
如何判断？ 求出侧面投影
AB与CD不平行。
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线 例：已知直线AABB平和行C直D 线的C三D，面试投完影成。直线AB和CD的三面投影。
投影的基本知识、特定和定理
第四节 直线的投影
直线的投影
a' Z a"
b'
b"
X
O
YW
a
b
YH 直线的投影可由直线上任意两点的投影决定
一、一般位置直线的投影
1. 直线的倾角： 对水平投影面的夹角—— 对正投影面的夹角—— 对侧投影面的夹角——
一般位置直线Ａ
Ｂ对Ｈ面的倾角
a Aa
b a B b b
NEW
一般位置直
线ＡＢ对Ｖ面的
倾角
a Aa
b a b
B
b
NEW
例：求一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角
y
y
一般位置直
线ＡＢ对Ｗ面的
倾角
a
a A
b
a
b
B
b
例：求一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角
b
a x
x
一般位置直线的投影特性
• 直线的各投影均对投 影轴倾斜；
• 直线的各投影与投影 轴的夹角并不反映空 间直线与相应投影面 的倾角。
如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三 投影或比例关系判断。
b a
A
V
d
B c
C
D
a
x
c
b
dH
投影特性：
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
b d
对于一般位置直
a c
x
线，只要有两个同名 投影互相平行，空间
a
c
两直线就平行。
bd
AB//CD
• 当直线AB倾斜于投影 面时，它在该投影面 上的投影ab长度小于 实长，缩短多少，根 据对投影面夹角大小 确定。
二、直线的实长与真实倾角
实长
a' Z
y
b'
实长
a" x b"
X
O
YW
a
z
b
实长
YH
直角三角形法： 两直角边、斜边、锐角
Za- Zb
A0
例题2-6 已知直线AB的例正题面3 投影和点A的水平投影a, 并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角 。
水平线投影图
e
f e
f
e
EF实长
f
（2 ）正平线 反映ＡＢ实长
A A
反映ＡＢ实长
正平线投影图
（3）侧平线
反映ＣＤ实长
c C c
d
d
D
c
d
侧平线投影图
c
d
c
d
c ＣＤ实长
d
水平平行线的投影特征：
（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长； （2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另 外两个投影面的倾角； （3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实 长。
C d
B
KD o
d
线的共有点
b c k
a
d
k c
x
b Ha
o
d
判别方法：
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
x
o
a
d
k c●
b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题过程有何变化？
3、交叉两直线投影特性
例题：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长 为25，与H面的倾角=30°。
Z
b'
b"
a' 30°
a"
X
O
YW
b a
YH
2 投影面的垂直线
（1）铅垂线
实长
水平投影积聚为 一点；其它两个投影 平行于ＯＺ轴，并反 映直线ＡＢ实长；直 线ＡＢ与H面的夹角
90
铅垂线
铅垂线的投影
（2）正垂线
c(d) c
a
a
A
d
d
b a b
BD
bd
NEW
例题: 在直线AB上找一点K,使AK:KB=3:2。
b'
3
2
k' a'
X
O
a
k b
例题: 判定点K是否在直线AB上。
a'
Z a"
k'
b'
X
a
k"
b"
O
YW
k
b YH
例题: 判定点K是否在直线AB上。
例题: 已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C点的 投影。
25
b'
a'
X
b
O
a
例题2-7 已知直线AB的水平投影ab，和正面投影 a及’实,并长知AB对H面的倾角例为题34 0°，求AB的正面投影
b'
a' X
b1'
O
b
a
30º
三.特殊位置位置的直线：
1 投影面的平行线
2 投影面的垂直线
1 投影面的平行线
（1）水平线
abc
f
e
e
f
Ｅ Ｆ
e
f
反映ＥＦ实长
定比性：AC：CB=a 'c ':c 'b '=ac:cb=a"c" :c "b "
d' b' c' e'
a
e
cd
d
b
1、 C点在直线ＡＢ上
a
a A
c
c
C
b acB
b
b
点Ｃ在直线上ＡＢ上。
C点在直线ＡＢ上
a
c
b
a
c
b
a
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的 投影规律。
2、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
20
b'
c' a'
X
O
a c b
四、两直线的相对位置
空间两直线 的相对位置
同面直线 异面直线
平行 相交 交叉
1、平行两直线投影特性
两直线平行，他们同名投影一定平行 两直线的同面投影相互平行，且其长度之比
等于投影长度之比。
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否 平行？
如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面 投影平行则可以认为直线平行。