五年级奥数：展开图与空间想象知识框架重难点例题精讲1.数一数下图中有多少个正方体木块？<><?从下到上各层分别有書个、3个.1个，因此共有3+3十1=7个方块.【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱?I觅右图所示；可叹分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图彩*前，后看各有1入面，左面看有1个面，右<&看有2个面，上面看有2个面，下面看有1牛面”所礙共有1m+2+LlX（个）面.前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6秦，上下方向的棱也有6所以共有棱柠十（S+柠-1$（条）.2立方厘米.如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然 后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？客器的底曲积是〔1勺一斗）xf9-4）=45（平方厘米）：高为2厘来，所以容•器的体积是,45x2=90（立方厘米）.巩固】沿图4的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是宽十高=7,,长=5,长+高立，所以长高=入宽=4,体积为3x4x5=60立方厘，3. 下列图形经过折叠不能围成正方体的是【巩固】左下图是一个正方体，四边形APQC 表示用平面截正方体的截面.请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边．附4DCABF\ E A4把空间图形弦面的践条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC 四个顶点所在的位置这个托键，再进一步貓定四边形的四条边所在的平面就可容场地画出.⑴瀋虑到展开图上疽犬个顶点没肴标出，可想家瘠展开图折成立侬形、并在顶点上标出对应的符号，忆左下图. ⑵根据四边形所在立体图形上的往置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A-A 7C -C 7尸在EF 边上，©在GF 边上+边/I 匸在卫BCJQ 面上’AF 在力用FE 面上’QC 在BCGF 面上1尸么在CFGH 面上. ⑶将上面菇足的位置标在展界图上，并在对应平面上连线.需婪注意的是，立休圈上的月‘£点在展开图上有三个，B 7D 点在展开图上有二个，所以在标点连线吋必须注意连簸所在的平面”连好线的图形如右上图”4. 图1是下面的表面展开图 ① 甲正方体； ② 乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．AG从展开图可以看曲，毎个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又毎个面上没有相邻的两块阴影从而排除乙，故选甲答案为①.巩固】选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是()．D图中齐，C・D项展开盾的图形均为下圏，只有©项展开后前图形与题中左边图形相捋，所叹答集为B・5.将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上．C ABDB都不相对，故(：和尸相对，A^BE不相对故盘和D相对，最后剩下的班相对A-D,B-E,C-F【巩固】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，哪些颜色分别涂在相对的面上？IBR—d滋和黑黄白蓝部不柏对’故红和錄1相対，黃和黒白不相对故黄和蓝相对，最后剩下的黑白相对红-緑，黄-蓝，黑-白6.把2、4、6、8、10、12这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图1，最左边的正方形上的数字是12，则最右边的正方形上的数字是.最右边的正方形是在2的对面，也就是背面，为4【巩固】如下图，一个正方体木块放在桌面上，每个面内都画有若干个点，相对的两个面内的点数和都是13，京京看见上、左、前三个面内的点数的和诗16，庆庆看见上、右、后三个面内的点数和是24.那么贴着桌面的那个面的点数是___.7. 【解析】上十左.■*■前=16上+右十后=24因此：上十上十（左+右〕十（前十后）=40又因为左■右=前+后=13,因上二40_13—[3=7,则T=L3_?=6i用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD-A I B I C I D I （如图），大正方体内的对角线AC i ，BD i ，C A I ，DB 1所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个？叫CA.,叫四条时角线部穿过在正由央的那个小正方体.除此而外+每条对角线穿过相同的小正方体*所以毎条対角线穿过鋼二Im 们个小正才体達就表明尢亚方体的每条边由101个卜正方徉组成.因此火正方■体由101"个小正方体组成；其中无色透明的小正方体有IO13-401=1030301-401^1029900. 即用了l （J29M0个无色透明的小正方体.【巩固】如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体.当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？C 1CI白色.it方体的体积占总体积的9化7$罷即占整个的12,白色止方体与黑色正方体之比为；1：15,16观察可知，厝一层黑邑正方体有4伞，则白色正方体有“个I所以每一层共有54个正方体，则正方体的边畏为1,则蔗有呂层，所以一拱用了4*432仆卜的黑邑的正方体*8.有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字）先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图）．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?1/第一层如节图：第二层、第三层依兔比上面一层每格都多1（见下图）*上向的9个数之和足27,由对称性知，上面、前面、右面的所有数之利輔逻匕.同理，下海的9个数之和是45,下面、左面、后面的所有数之和都是45”所以天个面上所有数之和是（27+45）x3=216.【巩固】如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题I对于it一类从立体图形中间挖掉一部曲后再求体禅（就小止君体数目）的趣目一般可以農用“切片法刃来做，所谓“切片法役就是把整个虫体图形切嵐一片--片的（或--层--层的），然后分别计算每一片或毎一层的体相或小正方体数目,最后再把它们相加.采用切片法，俯视第一层到第五层的图母依次如下.其屮黑色部分蔻示挖除掉的部分.从图申可以看出，第'_、2.3、4,5层剩下的小正方体势别有22牛.11牛、11个，◎个、11所以总共还剩下22^J1+11+5+22=72（介）小正方体*審易看出这个展开图可以拼成一个封闭的立体图步，展开图外围一共有12条边；这个封囲的立体图像要展开成图由的展开图，每剪开一条嵐就会产生外围的2条迦所叹需要剪开幔：2=占条檯【巩固】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？多面体的向毀,可以直接从侧面展开圈中数岀来，12个正方形加8个三角形，共20曲.右上图是多面体上部的示意图共有9个顶盘；同样，下部也是9个顶蛊：共”个顶点•橈数要孑成三层来载，上层.从示盍图数，有巧条；下层也是15条；中间部分为6条.一共15*2+6=36总和为；20+18+36-74（个〕.10.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？这个展开图折辰直三按柱母状，如右图所示，可见这个三技柱是单Z方体的--半，其体歆为【巩固】如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的对角2线长4厘米，那么该四棱锥的体积为多少？AI睿易知道四按锥的底面面积，只要知道四猿锥的高就能求得四植锥的体积.將四技锥沼对角践和顶点枸说的平面剖开，剖面是--个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和聲边三甬形的边长，所汰三角形是一个尊腰直角三角形.它的高等于时角线的一半，根据对称脛，这条商也等于四植锥的高.即四梭锥昭高度为2.四棱锥肘体祺为「4m2-3=—豆方厘来.31|吵课堂检测it1.右图中共有多少个面？多少条棱?9个面亍21条梭.2.____________________________________________________________ 右边正方体是用左边图形折成的，则小正方形在正方体的面.3.将1,2,3,4,5,6分别写在正方体六面上，使正方体中对面数字的和相等•正方体如图放置在A格上，沿格子滚动到B点时，在正方体右面的数字是滚到右下角时如下图:35再滾动到右上角时:456所以到J3点叶在右面的为34.如图所示，一个5X5X5的立方体，在一个方向上开有l x l x5的孔，在另一个方向上开有2x l x5的孔，在第三个方向上开有3x l x5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少?r*2”21i12I 2222 1121 1121、i2111\211z111211222221求体积：开了"25的礼，穗去3x25=1—fl-T1x^5的乳,挖去Ix]x5-I=4；开了"25的乳,挖去2S|x5-t2+2）=6?劇余部芬的体和是：5x5x5-（154-4+0=100（另解）特螯个图形切片，如果切飾平行于纸面，那么五夺切片分别如團:求■表而积：表面积可以看成卉部和內部两部分.外部的表面恋为亍d以-12=皿"内部的囲积可以分为前后*左右、上下三丰方询，面积分别为如*■'-'>1x5-1.1-21=14^所帜总昭表面积为1H我302='*（另解）运用类似于三视團的方法；记录毎一方向上砖不同位査上的操露正方形年数:前■后方向：覚上下方向：加左右方向：4ft总表面积为2x(32+3(}+40)-30\家庭作业作业检测【例1】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？Z77正方体只可能有西种：由1芋小正方体构成的止方体，有22个；由妆芋小正方体构成的2x2x2的止方体，有4个.所以共有正方体224-J=2b(心.由两牛小正方体组戚的长方体，祖据摆菽的方向可分为下国所示的上下位、左右住，前后＜1三种,其中上下位有13个，左右位有13仆前后住有14牛，共有134134-14=10W.【例2】将一个长28cm，宽18cm的长方形铁片的四个角各截去一个边长为4cm的正方形.再将此铁片折成一个无盖的长方形容器•容器的容积为cm3.四个角各栽击--个边悅为心的止方形，再折成--个无蓋硒悅方形容器，则悅方形容器的底面的长和宽分别比铁片的说和宽掘仙即2。
立体图形的表面展开图（练习）1、以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（）A、 B、 C、 D、2、如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（）A、 B、 C、 D、3、骰子是一种特殊的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（）A、B、C、D、4、（2010 福建晋江）如图，是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与“看”相对的面上的汉字是( ).A、南B、世C、界D、杯5、下列图形是一些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称._____________ __________6、如图是一个正方体的展开图，每个面都标注了字母．①如果面B在多面体的底部，则面_________在上面.②如果F在前面，从右看是面B，则面_________在上面.③从右面看到面C，面D在后面，则面__________在上面.7、如图所示图形中，不是正方体的展开图的是（）.8、下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）.9、如图，将五角星沿虚线折叠，使得A 、B 、C 、D 、E 五个点重合，得到的立体图形是（ ）A ．棱柱B ．圆锥C ．圆柱D ．棱锥10、如图，下面三个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、白色、红色的对面分别是（ ）A ．蓝、绿、黑B ．绿、蓝、黑C ．绿、黑、蓝D ．蓝、黑、绿黑白黄白绿红蓝黄红11、如图，一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点，哪条路径最短? （画出最短路线）平面图形（练习）1、在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，有（）个平面图形。
A、3B、4C、5D、62、以下图形中，不是平面图形的是（）A．线段B．角C．圆锥D．圆3、长方形剪去一个角后所得的图形一定不是（）A．五边形B．梯形C．长方形D．三角形4、如图，图中的长方形共有_________个．第4题第5题5、如图，图中共有正方形__________个6、观察下列图形的排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），○△□□○△□○△□□○△□┅┅若第一个图形是圆，则第2008个图形是_________。
专题练习1．下列4个平面图形中，哪一个是由图中正方体纸盒展开得到的()A．B．C．D．2．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是()A．B．C．D．3．如图，QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是()A．B．C．D．4．如果把如图展开图折叠起来，会得到下列立方体中的()A．B．C．D．5．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是()A．B．C．D．6．下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？()A．B．C．D．7．下面哪个不可能是正方体的展开图()A．B．C．D．8．如图，把左边的图形折起来，它会变成右边的正方体()A．B．C．D．9．下边哪一个盒子是用左边这张硬纸折成的()A．a B．b C．c D．d10．在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（如果没把握，还可以动手试一试噢！)()A．B．C．D．11．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是()A．B．C．D．12．如图正方体纸盒，展开后可以得到()A．B．C．D．13．如图，为正方体展开图的是()A．B．C．D．14．如图所示的正方体的展开图是()A．B．C．D．15．如图所示的正方体展开后的平面图形是()A．B．C．D．16．某礼品包装商店提供了多种款式的包装纸片，将它们沿实线折叠（图案在包装纸片的外部，内部无图案），再用透明胶条粘合，就折成了正方体包装盒，小明用购买的纸片制作的包装盒如右图所示，在下列四种款式的纸片中，小明所选的款式的是()A ．B ．C ．D ．。
长方体表面积与展开图【例1】★如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．【解析】原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为：6×a×a＝6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3a×a×4＝12a2（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：a×a×4＝4a2（平方厘米）．根据题意：6×9a2－6a2＋3（12a2－4a2）＝2592，化简得：54a2－6a2＋24a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．【例2】★★有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍．【解析】把每一块积木锯三次。
【例3】★★一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数．问这个长方体的体积和表面积各是多少?【解析】要求长方体的体积和表面积，就要求出长方体的长、宽、高．因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米，也就是长×宽+长×高=长×(宽+高)=209．根据已知条件，长、宽、高都是质数，我们把209分解质因数得到209=11×19．在11和19中，只有19可分拆为2与17两个质数的和．这样，我们可以确定长方体的长、宽、高分别是11、2、17或者11、17、2．由此可求得长方体的表面积和体积．【例4】★★如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【小试牛刀】右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；一面涂红的表面中间部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块．【例5】★边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】图形所含块数的规律：第1层1块，第2层3块，第3层6块，第4层10块，第5层15块，依次增加2、3、4、5…，当重叠到第5层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米。
