第五讲 几何——立体部分
教学目标：
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
知识点拨：
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
c b a
H
G
F
E
D C
B
A
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．
二、圆柱与圆锥
例题精讲：
【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，
高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去
一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，
向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面
正中向下挖一个棱长为1
2
厘米的正方形小洞，第三个正方形
小洞的挖法和前两个相同为1
4
厘米，那么最后得到的立体图
形的表面积是多少平方厘米？
【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，
每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体
表面积的和是 2cm ．
【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【例 6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
如何打包？
⑴当b=2h时，如何打包？
⑵当b<2h时，如何打包？
⑶当b>2h时，如何打包？
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
【例 7】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【例 8】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【例 9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【例 10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．
【例 11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小
值是多少?
【例 12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444
??的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【例 13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方
体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【例 14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【例 15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【例 16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切
下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
【例 17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【巩固】这个图形，是否能够由112
??的长方体搭构而成？
【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)
先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?
3
3223
3
233
2
23
2
31
111
11
【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555??的立方体，在一个方向上开有115??的孔，
在另一个方向上开有215??的孔，在第三个方向上开有315??的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成
的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的
部分共有多少个小正方体？
第8题
【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方
【例 19】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且
边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．
⑷
⑶
⑵
⑴ ⑾
⑽
⑼⑻⑺
⑹
⑸
【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图
⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？
图⑴ 图⑵
【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体
的表面积是多少平方米？(π取3.14)
1110.51
1.5
【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直
径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那
么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)
【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这
个油桶的容积．(π 3.14=
)
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体
的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)
【例 25】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表
面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【例 26】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再
截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=
)
【例 27】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可
推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14
)
(单位：厘米)
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正
放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明
的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
7cm
4cm
5cm
【例 28】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？
【例 29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
【例 30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的
1
3
，乙容器中水的高度是锥高的
2
3
，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
甲
乙
【例 31】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．
20cm8cm
100cm
【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？
【例 32】如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将ABC
?绕AC旋转一周，求ABC
?扫出的立体图形的体积．(π 3.14
=)
C
B
A
4
3
【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立
体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)
【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转
一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？
A
B
C
【例 34】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC
的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3
)
A
B
A
B
【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD
相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
B A
【例 35】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下
底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
课后练习
练习1.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
练习2.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)
30
25
15
练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
练习4.(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2
2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2
cm．(π取3.14)
第2题
练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？
月测备选
【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3
)
5cm
11cm
【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？
4cm
【备选5】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．
本讲主线 1．柱体体积公式2．阿基米德的浴盆. 立体几何（二）【例1】(★★★) 把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图), 表面积比原来增加了 96平 方厘米. 这根木料原来的体积是_____立方厘米. 2.4米 1. 体积, 物体占有空间的多少. 2. 柱体, 体积＝底面积×高 ⑴长方体＝长×宽×高 ⑵正方体＝边长×边长×边长 3. 单位, 立方米, 立方分米, 立方厘米(千进制) 【例2】(★★★★)(《小数报》数学竞赛决赛) 一个长方体的宽和高相等, 并且都等于长的一半. 将这个长方体切成12 个小长方体, 这些小长方体的表面之和为600平方分米. 求这个大长方体的体积. 【例3】(★★★) 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水, 瓶底面积为10平方厘米, (如下 图 所示), 请你根据图中标明的数据, 计算瓶子的容积是＿＿＿. 7cm 5cm 4cm 1
【例4】(★★★★) 有n个同样大小的正方体, 将它们堆成一个长方体, 这个长方体的底面就 是原正方体的底面. 如果这个长方体的表面积是3096平方厘米, 当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后, 新的长方体的表面积比原长方体的 , 4. 阿基米德原理 物体浸入水中的体积＝物体排开水的体积 【例5】(★★★) 有大、中、小三个正方形水池, 它们的内边长分别是6米、3米、2米. 把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里, 两个水池的水面分别升高了6 厘米和4厘米. 如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里, 大水池的水面【超常大挑战】(★★★★) ⑴一只装有水的长方体玻璃杯, 底面积是80平方厘米, 高是15厘米, 水深 8厘米. 现将一个底面积是16平方厘米, 高为12厘米的长方体铁块 竖放 在水中后. 现在水深多少厘米? , , , 深10厘米. 现将一个底面积是16平方厘米, 高为12厘米的长方体 铁块 竖放在水中后. 现在水深多少厘米?
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。 一、基本运算律及公式 一、加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a ＋b ＝b ＋a 其中a ，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15. 总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。 即：a ＋b ＋c ＝（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ） 其中a ，b ，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。 二、减法 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a －b －c ＝a －c －b ，a －b ＋c ＝a ＋c －b ，其中a ，b ，c 各表示一个数． 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”． 如：a ＋（b －c ）＝a ＋b －c 知识点拨 教学目标 分数加减法速算与巧算
a －（ b ＋ c ）＝a －b －c a －（ b － c ）＝a －b ＋c 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。 如：a ＋b －c ＝a ＋（b －c ） a － b ＋ c ＝a －（b －c ） a － b － c ＝a －（b ＋c ） 二、加减法中的速算与巧算 速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法： 1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有 相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”． 2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． 3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上） 【例 1】 11410410042282082008 +++=_____ 【考点】分数约分 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试 【解析】 原式=1111=22222 +++ 【答案】2 【例 2】 如果 111207265009A +=，则A =________（4级） 例题精讲
立体几何——表面积与体积【例1】(★★) 【温故】 基本图形表面积体积 6a a2 3 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角 上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是 多少厘米？ 2(ab＋ac＋bc)abc 常用方法：三视图，阿基米德原理 【例2】一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个 木块剩下部分的表面积最少是多少？【例3】(★★) 如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的 棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如 果 大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多 少平方米？ 1
【例4】(★★★)【例5】(★★★) 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左，从上面看如下图右。那么这个几何体至少用了_____块木块。有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、 3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 【例6】(★★★★★)【例7】(★★) 如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个 对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行于正方 体的棱)，且穿透。另有一长方体容器，从内部量，长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3 厘米。若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水 下部分的体积为___立方厘米。图是4×5×6长方体，如果将其表面涂成红色，那么其 中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 2
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题． 一、乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100×=，81251000×=，520100×= 123456799111111111×= （去8数，重点记忆） 711131001××=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a ×b =b ×a 乘法结合率：(a ×b ) ×c =a ×(b ×c ) 乘法分配率：(a +b ) ×c =a ×c +b ×c 积不变规律：a ×b =(a ×c ) ×(b ÷c )=(a ÷c ) ×(b ×c ) 二、乘、除法混合运算的性质 ⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=×÷×=÷÷÷≠ ，0n ≠ ⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷ ⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ×÷=÷×=÷× ⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即 ()()a b c a b c a b c a b c ××=×××÷=×÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即 ()()a b c a b c a b c a b c ÷×=÷÷÷÷=÷× 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷” 变为“×”．即()()()() a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ××=×××÷=×÷÷÷=÷×÷×=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ×÷×=÷×÷=÷×÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形． 一， 乘5、15、25、125 小数乘除法速算巧算 教学目标 知识点拨 例题精讲
本讲主线 立体几何（一） 1．长方体、正方体表面积公式 2．切割和拼接对长方体的影响 3.三视图法. 1.立体几何：顶点、棱、面. 2.正方体，边长都相等. 顶点棱面 长方体 正方体3.表面积. 长方体 ⑴长方体＝(长×宽＋长×高＋宽×高)×2 ⑵正方体＝边长×边长×6 注意：对面相等. 【课前小练习】(★★) 有三个大小一样的正方体，每个的边长都是2厘米. 将接触的面用胶粘接在一起构成一个立体图形. 那么，这个立体图形的表面积是_____平方厘米. 【例1】(★★★) 如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片， 每片锯成长条每条再锯成小块共得到大大小小的长方体 每片又锯成4长条，每条再锯成4小块，共得到大大小小的长方体48块. 那么，这48块长方体表面积的和是多少平方米？【例2】(★★★★) 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法其中表积最大是多少平方厘米 拼法，其中表面积最大是多少平方厘米？ 1 3 2
【例3】(★★★) ⑴如图，在一个棱长为8的立方体的右上角上截取一个长为6，宽为3， 的小长方体么新的何体的表积是多少 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 在一个棱长为8的立方体的棱上截取一个棱长为4的小立方体，求新 ⑵在个棱长为的方体的棱截取个棱长为的小方体，求新 几何体的表面积. ⑶在一个棱长为8的立方体的面中间位置上截取一个棱长为4的小立方体，求 新几何体的表面积. 4. 挖洞的表面积. 顶点棱中间面中间【例4】(★★★) 下图是一个棱长为2的正方体，在正方体上表面的向下挖一个棱长为1 下图个，在表向下个 的正方体小洞，接着在小洞的底面向下挖一个棱长为的正方形小洞，第的挖法前相棱长为的 1 2 第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为，那么最后得到的立 体图形的表面积是多少？ 1 4
信息学基础知识题库 硬件 1．微型计算机的问世是由于（C）的出现。 A. 中小规模集成电路 B. 晶体管电路 C. (超)大规模集成电路 D. 电子管电路2．中央处理器（CPU）能访问的最大存储器容量取决于（A）。 A. 地址总线 B. 数据总线 C. 控制总线 D. 实际内存容量 3．微型计算机中，（C）的存储速度最快。 A. 高速缓存 B. 外存储器 C. 寄存器 D. 内存储器 4．在计算机硬件系统中，cache是（D）存储器。 A. 只读 B. 可编程只读 C. 可擦除可编程只读 D. 高速缓冲 5．若我们说一个微机的CPU是用的PII300，此处的300确切指的是（A）。 A. CPU的住时钟频率 B. CPU产品的系列号 C. 每秒执行300百万条指令 D. 此种CPU允许的最大内存容量 6．计算机主机是由CPU与（D）构成。 A. 控制器 B. 输入输出设备 C. 运算器 D. 内存储器 7．计算机系统总线上传送的信号有（B）。 A. 地址信号与控制信号 B. 数据信号、控制信号与地址信号 C. 控制信号与数据信号 D. 数据信号与地址信号 8．不同类型的存储器组成了多层次结构的存储器体系，按存储器速度又快到慢的排列是（C）。 A. 快存>辅存>主存 B. 外存>主存>辅存 C. 快存>主存>辅存 D. 主存>辅存>外存 9．微机内存储器的地址是按（C）编址的。 A. 二进制位 B. 字长 C. 字节 D. 微处理器的型号 10．在微机中，通用寄存器的位数是（D）。 A. 8位 B. 16位 C. 32位 D. 计算机字长 11．不同的计算机，其指令系统也不同，这主要取决于（C）。 A. 所用的操作系统 B. 系统的总体结构 C. 所用的CPU D. 所用的程序设计语言 12．下列说法中，错误的是（BDE） A. 程序是指令的序列，它有三种结构：顺序、分支和循环 B. 数据总线决定了中央处理器CPU所能访问的最大内存空间的大小 C. 中央处理器CPU内部有寄存器组，用来存储数据 D. 不同厂家生产的CPU所能处理的指令集是相同的 E. 数据传输过程中可能会出错，奇偶校验法可以检测出数据中哪一位在传输中出了错误 13．美籍匈牙利数学家冯·诺依曼对计算机科学发展所作出的贡献是（C）。 A. 提出理想计算机的数学模型，成为计算机科学的理论基础 B. 世界上第一个编写计算机程序的人 C. 提出存储程序工作原理，并设计出第一台具有存储程序功能的计算机EDV AC D. 采用集成电路作为计算机的主要功能部件 E. 指出计算机性能将以每两年翻一番的速度向前发展 14．CPU访问内存的速度比下列哪个（些）存储器设备要慢。（AD）
第五讲 几何——立体部分 教学目标： 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 知识点拨： 一、长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 二、圆柱与圆锥
例题精讲： 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3， 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下 各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去 一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中， 向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面 正中向下挖一个棱长为1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形 小洞的挖法和前两个相同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图 形的表面积是多少平方厘米？ 【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片， 每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体 表面积的和是 2cm ． 【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25块积木 【例 6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
1.会解一元一次方程 2.根据题意寻找等量关系的方法来构建方程 3.合理规划等量关系，设未知数、列方程 知识点说明： 一、 等式的基本性质 1.等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式. 2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式. 二、解一元一次方程的基本步骤 1.去括号； 2.移项； 3.未知数系数化为1，即求解。 三、列方程解应用题 （一）、列方程解应用题 是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程． （二）、列方程解应用题的主要步骤是： 1.审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系； 2.设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其他量； 3.找到题目中的等量关系，建立方程； 4.运用加减法、乘除法的互逆关系解方程； 5.通过求到的关键量求得题目答案． 板块一、直接设未知数 【例 1】 长方形周长是64厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？ 【巩固】 一个三角形的面积是18平方厘米，底是9厘米，求三角形的高是多少厘米？ 2-3-1列方程解应用题 教学目标 知识精讲 例题精讲
【巩固】(全国小学数学奥林匹克)一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是．(精确到0.01，π 3.14 =) 【例2】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻 接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？ 【例3】(2003年全国小学数学奥林匹克) 某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4 abcdefg，则七位数abcdefg应是． 【巩固】有一个六位数1abcde乘以3后变成1 abcde，求这个六位数． 【巩固】（第六届“迎春杯”刊赛试题）有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数 是． 【例4】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数. 【巩固】已知三个连续奇数之和为75，求这三个数。 【例5】兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？ 【巩固】（2008年全国小学数学资优生水平测试）一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里 的那只，一共有100只羊”．山上的羊群共有______只． 【例6】(清华附中培训试题)某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？
第11讲立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米． 2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150． 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八． 3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)． 原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)． 4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)． 每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米． 5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方 体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1 2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同， 边长为1 4 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．所以，最后得到的立体图形的表面积是：
小学奥数题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等） 得到1/甲＝1/乙×2 又因为1/乙＝1/17 所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完
奥数教学简介 一、课程特色： 1、教材与现行小学奥数教程同步； 2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。 二、教学理念： 通才教育和趣味教育。 三、教学目标： 以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下坚实的基础。 如何学好奥数？ 1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。 2、倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。 3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。 4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。 5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。 6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。
小学一年级奥数复习立体 几何 The latest revision on November 22, 2020
小学一年级奥数：立体几何 我们称之为：体。 长方体，立方体，圆柱，圆锥，棱柱，棱锥，球体。 关于立体几何，有很多的公式，要求有丰富的空间想象能力，可以把它和我们的现实生活联系起来。对于下面研究的图例，它们的面积和体积全部都有 长方体 就是每个面由长方形构成，总共有6个面，就有6 个长方形。 正方体 由 6个正方形构成，每条边长都一样。有12 条棱。 圆柱体 两个底面是完全相同的圆。 三棱柱 上下底面是三角形 柱体与锥体：两端相同的，成对称的立方体；而锥体是一端是点，另一端是图形（圆或者多边形）。
圆锥三棱锥（四面体）四棱锥 球，可以理解为是圆的立体化。最中心的地方叫做球心，到球面的距离叫做球的半径。 立体图形，要有立体的想象能力，下面，我们把立体的图形解剖开来，看看它 长方体展开图示： 圆锥展开图形 你能看出来它们是什么吗
你知道他展开后是什么样子的吗 图形的等积变化和等积划分问题： 在奥数中通常会碰到一些比较怪异的图形，我们最常用的方法就是把它进行等积变化，变成可以计算的规则的图形。 等积划分就是把一个不规则的图形如何分为面积相等的两份，观察是最重要的途径。 1，变梯形为三角形： 可以自己动手做一做！ 2，经典问题：五个小正方形，变成一个大正方形：
3，如何把正方形再拼成一个等腰直角三角形 部分有相同的形状和结构。 1，分下面图形成面积相等的两部分： 2，分下面的图两个相等的部分：
有3棵树
小数乘除法速算巧算 教学目标 本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之 间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题． 知识点拨 一、乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算 简便。例如： 4 25 100 ， 8 125 1000 ， 5 20 100 12345679 9 111111111 （去 8 数，重点记忆） 7 11 131001 （三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(bc) 二、乘、除法混合运算的性质 ⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： a b (a n) (b n ) (a m) (b m) m 0 ， n 0 ⑴在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即： a b c a c b ⑴在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如： a b c a c b b c a ⑴在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即 a ( b c) a b c a (b c) a b c ⑴括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即 a ( b c) a b c a (b c) a b c 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷” 变为“×”．即a b c a ( b c) a b c a (b c) a b c a (b c) a b c a (b c) ⑴两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 (a b) (c d ) (a c) (b d ) ( a d ) (b c) 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形． 例题精讲 一，乘 5、15、 25、 125
8-4统筹规划 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2 分钟；如果煎3个饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．) 【巩固】(2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身， 再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙21块饼，至少用 213963 ÷?=(分钟)． 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325 +=分钟，煎6个饼需要6226 +÷?= ÷?=分钟，煎7个饼需要34227
立体几何 一、要点提示 在小学阶段，所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体，另外还有将一些立体图形拼在一起的组合图形。学习一些几何初步知识，有助于形成空间观念。我们在解答立体图形时，一定要理清思路，充分运用学过的基本知识，认真细致的进行分析、转化、计算，最后还要检验答案的正确性。 二、题型点击 1、如图1所示，一个瓶子里装了多半瓶水，但没有达 到上部变窄的部分，在不打开瓶盖的情况下，你能仅用 一把带刻度的尺子测出瓶子的容积吗？怎么测？ 2、如图2所示，在一个正方形的两对侧面的中 心各打一个长方体的洞，在上下底面的中心打 通一个圆柱形的洞。已知正方形的棱长为10厘 米，侧面上的洞口是边长的4厘米的正方形， 上、下面的洞口是直径为4厘米的圆。挖出中 间部分后，此图形的体积是多少？ 3、从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方形中截下一个最大的正方体。剩下的几何体的表面积是多少平方厘米？ 4、有一块长方体蛋糕，厚4厘米，上表面为正方形，其边长是15厘米，它的上面和侧面有一层薄薄的奶油。现在将它分给五个小朋友，怎么分才能使5块蛋糕的体积和奶油层的面积都相等？
5、如图4所示，有一块长方形的铁皮，剪下阴影部 分，制成一个圆柱形状的油桶。这个桶的容积是多 少？ 6、如图5所示，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水 的圆柱形玻璃缸，水中放着一个底面直径为6厘米、高20 厘米的一个圆锥形铅垂。当铅垂从水中取出后，缸里的水面 将下降几厘米？ 7、如图6所示，甲、乙两个容器，先将甲容器中装 满水，然后将水倒入乙容器中。求乙容器中水的深 度。 8、如图7所示，是由22个小正方体组成的立体图形。其中一共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？ 9、如图8所示，它是由18个棱长为1厘米的小正方体组成的。它的面积是多少平方厘米？
立体图形 ⑴ 立体图形的表面积和体积公式 长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 二、圆柱与圆锥 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方 体，那么新的几何体的表面积是多少
改.又是多少 【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上 下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种 玩具．它的表面积是多少平方厘米（图中只画出了前面、右 面、上面挖去的正方体） 练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖 去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多 少 【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长 为1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相 同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 米 【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面 积之和是多少 （锯一次增加两个面） 练习.一个表面积为2 56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和
专家的奥数学习建议： 1、加强整数和小数计算练习 计算能力要过关。四年级整数计算和小数计算必须非常熟练，保证准确率和速度，不然到了五年级就要重点学习分数，整数还不够熟练，到时面临的压力会更大。建议每天坚持就5道计算题，提高做题速度和准确率。 2、培养孩子良好的学习习惯 四年级是学习习惯养成的好时间，及时养成好的习惯更有利于后期的学习。 具体包括： a、课前做好预习，课后及时复习。课前预习，了解所要讲的知识点，带着问题来听课效果会更好。所有的知识点是不可能在有限的课堂时间去完全掌握住的，家长要督促孩子做好课后复习，及时巩固所学知识点。 b、规范孩子的书写。随着应用题的增多，一定要规范孩子的书写，对步骤过程要到位，对于行程要养成画图的习惯，数论要思路严谨，书写规范。 c、养成独立思考和勇于思考的习惯。孩子现在最欠缺的就是独立思考，依赖性较强，畏难情绪较重，遇到问题就退缩，这时要多鼓励孩子自己思考，养成爱思考的习惯。 3、在寒假开始适当的做一些历年杯赛试题
寒假开始安排时间做一些历年的杯赛真题，加强综合训练，为春季冲刺各种杯赛做准备。 4、学习是需要持之以恒的 对于新知识在掌握基本概念和思路的情况下要想做到举一反三，离不了练习，适当的练习才能把知识点得到巩固，常和家长说学习一定要坚持，可以每天练习一到两道，根据时间合理安排保证不间断的练习。 五年级：爬坡攻坚阶段 五年级是接触专题最多的时期，小学阶段的重要知识点和难点也都集中在这个阶段，专题的练习有助于知识点和难点的巩固和加强;真题的练习可以为你积累丰富的实战经验。 五年级的孩子可以尝试参加考试和比赛，获奖对于孩子来说是一个莫大的激励，能够促使他们在奥数学习上兴趣倍增，为以后取得更多的证书以及小升初，奠定坚实的基础。 五年级是一个奥数学习的爬坡阶段。如果在这个阶段对奥数进行系统学习，哪怕之前都没怎么接触奥数的孩子，其数学成绩可能有很大幅度的提高。下面我就来说说刚刚接触奥数的同学该怎么学。 1、由简单入手
51061171214132143981615小学奥数由简到繁题库大全 从简单想起 二年级 例题精选 学校进行乒乓球单打比赛，参赛选手一共有25人。如果采用淘汰赛（即每两人比赛一场，输者淘汰），直到冠军产生，一共要进行 场比赛。 【思路点睛】 25人有点多，从人数少的情况想起。2位选手决出冠军只要赛1场；3位选手决出冠军只要赛2场（如图1）；4位选手决出冠军只要赛3场（如图2）…… 图1 选手人数 2 3 4 …… 25 比赛场数 1 2 3 …… ？ 解答：25－１＝24（场） 思维体操 1．将100个自然数按图3所示排好，那么第9行左起第二个数是_____。 图3 2. 如图4，一张桌子可以坐6个人，如图5，两张桌子拼起来可以坐10个人，那么20张桌子像这样拼起来可以坐______人。 简单想起是一种研究问题的好方法，可以概括为：多的不会，少的想起；大的不会，小的想起；复杂的不会，简单的想起。 智慧姐姐 …
图4 图5 3．100个6相乘，积的个位数字是______。 例题精选线段AB上共有12个端点，那么这条线段上一共有__ __条不同的线段。 【思路点睛】 12个端点太多了，从2个端点开始想起。 AB上共有2个点，有线段：1条 AB上共有3个点，有线段：1＋2＝3（条） AB上共有4个点，有线段：1＋2＋3＝6（条） AB上共有5个点，有线段：1＋2＋3＋4＝10（条） …… AB上共有12个点，有线段：1＋2＋3＋4＋…＋9＋10＋11＝66（条） 思维体操 1.如图6，圆周上有10个点，过这些点最多可以画__ __条线段。 图6 2．100个3相乘，积的个位数字是______。 3．在一张纸上，画10条直线，最多可以有______个交点。 例题精选一个楼梯共有8个台阶，规定上楼时每次只能跨上一个或跨上两个台阶。从地面到最上层共有______种不同的跨法。 【思路点睛】 8个台阶太多了，从少的想起。 只有一个台阶，那只有一种跨法，如图7； 有两个台阶，则有两种跨法，如图8； 有三个台阶，如果第一次跨两个台阶，还剩下一个台阶，跨法同图7，如果第一次跨一个台阶，还剩下两个台阶，跨法同图8，1＋2＝3(种)； 有四个台阶，如果第一次跨两个台阶，还剩下两个台阶，跨法同图8；如果第一次跨一个台阶，还剩下三个台阶，跨法同图9，2＋3＝5(种)； ……
A类综合习题 1.一种计算机病毒叫黑色星期五，如果当天是13号，又恰好是星期五，就会发作起来毁球计算机的存储系统，试编程找出九十年代中这种病毒可能发作的日期。 2.任意给定一个自然数N，要求M是N的倍数，且它的所有各位数字都是由0或1组成，并要求M尽可能小。 例：N＝3―――＞M＝3*37＝111，N＝31―――＞M＝31*3581＝111011 3．合下面条件的5个正整数： (1)5个数之和为23； (2)从这5个数中选取不同的数作加法，可得1－23中的所有自然数,打印这5个数及选取数组成的1--23的加法式。 4．将数字65535分解成若干个素数之积。 5．由1..9这九个数字组成的九位数（无重复数字）能被11整除，求最大、最小值。 6．某次智力测验，二等奖获得者共三人，以下奖品每人发给两样： ①钢笔②集邮本③影集④日记本⑤圆珠笔⑥象棋 打印各种分配方案及总分配数。 7．个同样种类的零件，已知其中有一个是次品，比正品较轻，仅限用天平称4次，把次品找出来，要求打印每次称量过程。 8．输入N个数字（0－9），然后统计出这组数中相邻两数字组成的数字对出现的次数。 如：0,1,5,9,8,7,2,2,2,3,2,7,8,7,9,6,5,9中可得到： （7,8）数字对出现次数2次，（8,7）数字对出现次数为3次。 9．由M个数字构成一个圆，找出四个相邻的数，使其和为最大、最小。 10．输一个十进制数，将其转换成N进制数（0＜N＜＝16)。 11．读入N，S两个自然数（0＜＝S，N＜＝9），打印相应的数字三角形（其中，S表示确定三角形的第一个数，N表示确定三角形的行数）。 例：当N＝4，S＝3时打印：当N＝4。S＝4时打印： 3{首位数为奇数} {首位数为偶数} 4 4 5 &nb sp; 6 5 6 7 8 9 8 7 9 1 2 3 4 3 2 1 12．如图所示的9*9的矩阵中，除了10个格是空的外，其余的都填上了字符"*"，这10个空的格子组成了一个五角星图案的10个交叉点。 下矩阵为输入（1，5）时的输出 * * * * * * * * * * * * 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4 * * 7 * 3 * * 6 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 * * * 9 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 5 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *