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1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数教学目标例题精讲知识要点7-8-3.几何计数（三）【例1】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。
大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．(1)证明：MN⎳平面A1CP；(2)求点P到直线MN的距离．2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD= 60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2，A1B=6．(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED= 2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点．(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP⊥平面α，求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围．6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°，CD= 2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，∠ACB=120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：CF⊥平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC=60°，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为α，若tanα>217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF 上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN⎳平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求PQQC的值．15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB= AC，A1B=A1C．(1)证明：AA1⊥平面ABC；(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．17(2024·河北保定·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA =BC =23，CD =2AB =4.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ，求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，PO =6,AC =4.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且OM =2，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形，∠DAB =60°，PA =PC ，PB =PD =210，M 是线段PC 上的点，且PC =4MC ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20(2024·湖南·二模)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积；(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ，点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出)，求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD 的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC 的距离．23(2024·福建·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为θ，∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值；(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．(1)证明：∠ABQ=90°；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图，在正三棱锥A -BCD 中，BC =CD =BD =4，点P 满足AP =λAC ，λ∈(0,1)，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且AD ⎳α，BC ⎳α.(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST 总是矩形；(2)若AC =4，求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1．在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =4，AE =λAD ，AF =λAB (0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP ．如图2所示，设二面角P -EF -B 的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时，∀λ∈0,1 ，平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，AB =1，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α，PQ ⊥n 且PQ ⊥m ，(i )求直线m ，n 与平面α的夹角之和；(ii )设PQ =d 0<d <1 ，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d ．30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示，四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为一个菱形，且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ，O 1. AB =2A 1B 1=2，BB 1=DD 1=392，AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO 1⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.。
小学生奥数几何题、计算题、计数练习题1.小学生奥数几何题练习题1、一个长方体的长、宽、高分别是11厘米、6厘米、4厘米，如果高增加3厘米，表面积增加多少平方厘米？2、一个正方体木块，表面积是30平方分米，如果把它据成大小一样的8个小正方体木块，每个小木块的表面积是多少？3、一块长方体石料，长4分米，横截面是一个边长为0.5分米的正方形，这块石料的表面积是多少？如果每立方分米石料重2.7千克，这块石料有多重？4、长方体的右侧面面积是12平方厘米，前面面积是8平方厘米，上面面积是6平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？5、把一个体积为460立方厘米的石块放入一个长方体容器中，完全进入水中后，水面由148厘米上升到150厘米，这个容器的底面积是多少？2.小学生奥数计算题练习题计算题：1、用竖式计算.18.25×34=2、用竖式计算.9.35×4.2=3、用竖式计算.15.07×9.8=4、用竖式计算.7.02×0.56=(得数保留两位小数)5、81.25×0.6×9.3=6、15×3.6+4.83=7、98.42×2.5-83.7=8、700×0.34×2=9、172.4×6.2+2724×0.38=10、4.75-9.64+8.25-1.36=11、3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=12、(5.25+0.125+5.75)×8=13、34.5×8.23-34.5+2.77×34.5=14、6.25×0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20=15、0.035×935+0.035+3×0.035+0.07×61×0.5=3.小学生奥数计算题练习题1、16+815+328-235-7442、456797+455457796+1153、(13+25+37+49)(113+135+157+179)4、2005200612004+122003200320055、(1996+19199696+191919969696)19191919969696966、(1+0.12+0.23)(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)(0.12+0.23)7、1+312+516+7112+9120+11130+13142+15156+17172+191908、325+358+3811++31972009、112+224+347+4711+51116+6162210、12+56+1112+1920+2930+4142+97019702+9899990011、123+246+369++100200300234+468+6912++20030040012、127+1712+11217+11722++19297+1971024.小学生奥数计数练习题1、把一包糖果分给小朋友们，如果每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，则3人分不到，这包糖有_________粒。
第 11讲立体图形各样波及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用 .较为复杂的是与剪切、拼接、染色等有关系的立体几何问题 .第六届：“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛初赛第 12题〔略有变动〕1 ．用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图11-1 所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米 ?【剖析与解】明显，图11-1 的图形向上的面与朝下的面的面积相等，都等于 3×3 =9 个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于 7 个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于 7 个小正方形的面积，所以，该图形的表面积等于 (9+7+7) ×2=46 个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l 平方厘米，所以该图形表面积是 46 平方厘米．2 ．如图11-2 ，有一个边长是 5 的立方体，假如它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它的表面积减少了百分之几 ?【剖析与解】本来正方体的表面积为 5 ×5×6 =150．此刻立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3 ×2) ×2=12， 12÷150=0 .08=8 ％．即表面积减少了百分之八．3 ．如图11-3 ，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4长条，每条又锯成 5 小块，共获得大大小小的长方体 60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米 ?【剖析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰巧是原正方体的 2 个面的面积．此刻一共切了 (3-1)+(4-1)+(5-1)=9 刀，而原正方体一个面的面积1×l= 1( 平方米 ) ，所以表面积增加了 9×2×1=18(平方米 ) ．本来正方体的表面积为 6×1=6(平方米 ) ，所以此刻的这些小长方体的表积之和为6+18=24( 平方米) ．4．图11-4 中是一个边长为4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心地点挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米 ?【剖析与解】原正方体的表面积是 4×4×6=96(平方厘米 ) ．每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，同时又增添了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的构成局部．总的来看，每一个面都增添了 4 个边长是 1 厘米的正方形．进而，它的表面积是 96+4×6=120 平方厘米．5 ．图11-5 是一个边长为2 厘米的正方体．在正方体的上边的正中向下挖一个边长为1 厘米的正方1体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个同样，2厘米．那么最后获得的立体图形的表面积是多少平方厘米 ?1边长为4【剖析与解】由于每挖一次，都在本来的根基上，少了 1 个面，多出了 5 个面，即增添了 4 个面．所以，最后获得的立体图形的表面积是：2×2×6+1×l ×4+× 1 2 × 1 2 ×4+ 1 4 × 1 4 ×4=29 .25( 平方厘米 ) ．6．有大、中、小 3 个正方形水池，它们的内边长分别是 6 米、 3 米、 2 米．把两堆碎石分别飘荡在 中、 小水池的水里， 两个水池的水面分别高升了 6 厘米和 4 米．假如将这两堆碎石都飘荡在大水池的水 里，大水池的水面高升了多少厘米·【剖析与解】 放在中水池里的碎石的体积为 3×3×0 .06 ： 0.54 立方米；放在小水池里的碎石的体积为 2×2×0 .04=0.16 立方米；那么两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7 立方米，此刻放究竟面积为6×6=36 平方米的大水池中， 那么使大水池的水面高升 0.7 ÷36= 7 360 米=700 360 17 18 厘米 =1厘米 7 ．如图11-6 ，从长为13 厘米，宽为9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 米的正方形，而后， 沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米 ?【剖析与解】 容器的底面积是 (13- 4) ×(9 -4)=45( 平方厘米 )，高为2 厘米，所以容器得体积为： 45×2=90(立方厘米 ) ．8 ．今有一个长、宽、高分别为 21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的长方体．现从它的上边尽可能大的切 下一个正方体， 而后从节余的局部再尽可能大的切下一个正方体， 最后再从第二次节余的局部尽可能大 的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米 ?【剖析与解】 本题第一要确立三次切下的正方体的棱长，由于21：15：12=7：5：4，为了表达方便， 我们先考虑长、宽、高分别为 7 厘米、 5 厘米、 4 厘米的长方体 .易知第一次切下的正方体的棱长应为4 厘米，第二次切下的正方体棱长为 3 厘米时切合要求，第 三次切下的正方体的棱长为 2 厘米时切合要求．于是，在长、宽、高分别为 21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体 的棱长为12 厘米、 9 厘米、 6 厘米．所以剩下的体积应为：21× 15×12-( 3 3 312 9 6 )=1107( 立方厘米 ) ．9 ．如图11-7 ，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少 ?【剖析与解】圆锥的体积是1 1622 4 ,3 3，圆柱的体积是24 8 128 ．所以，圆锥体积与圆柱体积的比是163 :128 1: 24.10 ．张大爷昨年用长2 米、宽1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3 米宽2 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是昨年粮囤容积的多少倍 ?【剖析与解】底面周长是 3，半径是32 ，23 32( )2 4所以今年粮囤底面积是234，高是 2．同理，昨年粮囤底面积是224，高是 1．2 23 2( 2) ( 1) 4.5.4 4所以，今年粮囤容积是昨年粮囤容积的 4.5 倍．11 ．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今将一个底面半径为2 厘米，高为18 厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米 ?【剖析与解】假定铁圆柱体能完整浸入水中，那么水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因此水深为：2 25 15 2 1825〔厘米〕；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完整浸入水中．此时容器与铁圆柱构成一个近似于下图的立体图形．2 2 2底面积为5 2 21 ，水的体积保持不变成5 15 315 ．315 6所以有水深为1721 7 (厘米 ) ，小于容器的高度 20 厘米，明显水没有溢出于是1767厘米即为所求的水深．12 ．如图ll-8 ，用高都是 1 米，底面半径分别为1.5 米、1 米和 0.5 米的 3 个圆柱构成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米 ?( 取 3．14)【剖析与解】物体的表面积恰巧等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即22 1.5 2 1.5 1 2 1 1 2 0.5 14.5 3 232.97(平方米〕即这个物体的表面积是 32.97 平方米．13 ．某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9 所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为 365 厘米、 405 厘米、 485 厘米．假定每个尼龙条加固时接头处都重叠5 厘米，那么这个长方体包装箱的体积是多少立方米 ?⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【剖析与解】长方体中，高 +宽=+(365-5)=180 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①(405-5)=200 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②1高+长=2(485-5)=240 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③1长+宽=2②- ①得长-宽=20，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④④+③得长=130，那么宽=110，代入①得高 =70，所以长方体得体积为：70×110×30 =1001000( 立方厘米 )=1.001( 立方米 ) ．114．有甲、乙、丙 3 种大小不一样的正方体木块，此中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长2 2．假如用甲、乙、丙 3 种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种起码用一块，那么最少需要的3这3 种木块一共多少块?【剖析与解】设甲的棱长为1，那么乙的棱长为2，丙的棱长为3．明显，大正方体棱长不行能是 4，否那么没法放下乙和丙各一个．于是，大正方体的棱长起码是 5．事实上，用甲、乙、丙三种木块能够拼成棱长为 5 的大正方体，此中丙种木块只好用 1块；乙种木块至多用 7块( 使总的块数尽可能少 ) ；甲种木块需用：5×5×5 - 1×3×3×3 - 7×2×2×2=42(块) ．所以，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，起码需要这三种木块一共 1+7+42=50(块) ．15．有 6 个同样的棱长分别是 3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是红色的，有的长方体恰有 3 个面是红色的，有的长方体恰有 4 个面是红色的，有的长方体恰有 5 个面是红色的，还有一个长方体 6 个面都是红色的，染色后把全部长；方体切割成棱长为 1 厘米的小正方体．切割完成后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个 ?【剖析与解】一面染红的长方体，明显应将 4×5的长方体染红，这时产生 20 个一面染成红色的小正方体，个数最多．二面染红的长方体，明显应将两个 4×5的长方体染红，这时产生 40 个一面染成红色的小正方体，个数最多．三面染红的长方体，明显应将 4×5，4×5，4×3的面染红，于是产生 4×(5+5+3 -4)=36 个一面染成红色的小正方体，其余方法得出的一面染成红色的正方体均少于 36 个．四周染红的长方体，明显应将 4×5，4×5，4×3，4×3的面染红，产生 4×(5+5+3+3 - 2×4)=326⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯个一面染成红色的正方体，其余方法获得的一面染成红色的小正方体均少于 32 个．五面染红的长方体，应只留一个 3×5的面不染，这时就产生(3- 2) ×(5 -2)+(4- 1) ×(5+5+3+3 - 2×4)=27 个一面染成红色的小正方体，其余染法获得的一面染成红色的小正方体均少于 27．六面染红的长方体，产生 2×[(3 - 2) ×(5 -2)+(5- 2) ×(4 -2)+(4- 2) ×(3 -2)]=22 个一面染成红色的小正方体．于是最多获得： 22+27+32+36+40+20=177 个一面染成红色的小正方体．7。
保密★启用前小学奥数思维训练几何（三）立体图形一、选择题1．如图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米．立体图形的体积（）立方厘米．A．2πB．2.5πC．3πD．3.5π二、解答题2．将NNN（N是正整数）正方体的一些面涂上颜色以后，再将它切割成111的小正方体．已知至少有一面涂色的小正方体恰好占总数的52%，N是多少？3．小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA 之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色．那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（π=3）4．一个正方体纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大？（π=3.14）5．图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积？6．圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口．问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？7．一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？8．如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么这60块长方体表面积的和是多少平方米？9．如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？10．把一个棱长为2cm正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图．然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3）参考答案：1．A【解析】【详解】首先确定此图形为“不完整的圆柱”，先求出圆柱体积，再求出缺失的半个小圆柱，最后作差．如图，从给定的正视图、左视图和俯视图可以看出，该立体图形由一个半径为1厘米、高为1厘米的圆柱和一个半径为1厘米、高为2厘米的半圆柱组成．．π×1×1×（1+2）-12π×1×1×2=2π，选A【点睛】这里的要点在于还原，还原的技巧在于先补全，再细雕刻2．5【解析】【详解】一个正整数×52%=另一个正整数,那么这个正整数必须能被25整除1352%25⎛⎫=⎪⎝⎭因为．那么N必须能被5整除．当N取最小N=5 正方体有5×5×5=125个小正方体涂色的小正方体5×5×5×52%=65（个）不可能被涂色的小正方体3×3×3=27（个）27+65小于125成立当N=2×5=10时，正方体有10×10×10=1000个小正方体涂色的小正方体10×10×10×52%=520（个）不可能被涂色的小正方体 8×8×8=512（个） 512+520大于1000 不成立同理N 大于10都不成立所以 N=53．750平方厘米【解析】【详解】底面周长为圆锥展开后 扇形的弧长蓝色面积=圆锥侧面积-红色面积底面周长=30×π=30×3=90侧面展开后扇形所在圆的周长=2×π×30=1809011802= 所以侧面展开图为半圆 蓝色面积=π×30×30×12-12×（20+20） ×30 =1350-600=750（平方厘米）4．800cm 3【解析】【详解】设纸盒棱长为x圆柱体积=22x x x π⨯⨯⨯=628 整理上边式子得x 3=800(cm 3) 即为纸盒容积．5．1050平方厘米【解析】【详解】用透视法观察 上、下两个面的面积相等4个侧面的每个侧面面积为6个小正方形面积底面棱长5×3=15 上、下两个面的面积=15×15×2=4504个侧面面积=4×6×5×5=600总面积=450+600=1050（平方厘米）6．1 12【解析】【详解】窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一窗口的高为圆柱的高的二分之一挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的16×12=1127．1252【解析】【详解】截去一个小正方体，表面积不变．只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少．所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体（如图所示），这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是：15×15×6-7×7×2=1252．想想为什么不是15×15×6-7×7-8×8.8．24平方米【解析】【详解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积1×1=1（平方米），所以表面积增加了9×2×1=18（平方米）．原来正方体的表面积为6×1=6（平方米）．所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）．9．29.25平方厘米【解析】【详解】俯视图发现上表面积就是大正方体的一个面的面积表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积2×2×6+1×1×4+12×12×4+14×14×4=24+4+1+1 4=29.25（平方厘米）10．18.928cm2【解析】【详解】所得立体图形表面为6个正方形和8个等边三角形勾股定理等边三角形的高的平方=底边的平方-半个底边的平方=34底边的平方6个正方形面积=6×（1×1+1×1）=6×2=12等边三角形的高的平方=34×2=32等边三角形的高的平方×底边的平方=32×2=3所以等边三角形的高×底边=1.732，等边三角形的面积=1/2×1.732=0.866立体图形的表面积=12+8×0.866=18.928(cm2)。
立体几何基础题题库（有详尽答案）1、二面角 l 是直二面角， A， B ，设直线 AB 与 、 所成的角分别为∠ 1 和∠ 2，则（ A ）∠ 1+∠ 2=90 0 （B ）∠ 1+ ∠ 2≥900（ C ）∠ 1+ ∠ 2≤ 900（D ）∠ 1+∠ 2＜900分析： CA 12B,以下图作协助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠ 1和∠2分别为直线 AB 与平面所成的角。
依据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的全部角中最小的角ABO2 Q ABO1 90o2 1 90o2. 以下各图是正方体或正四周体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面 的一个．．．图是PSPPSSPSSSSPSPQPPRRR PPQRR Q RRPQ RP QPRPRQPQQPR RS SSQQ R SQSSQRRQS SR QQQ（ A ）（ B ）（ C ）（D ）D分析： A 项：PS PQS ， PQRS 是个梯形底面对应的中线，中线平行D'SC 'PA'DAQB 项：如图B'RCBC 项：是个平行四边形D项：是异面直线。
3. 有三个平面，β，γ ，以下命题中正确的选项是（ A ）若，β，γ 两两订交，则有三条交线（B）若⊥ β，⊥ γ，则β∥γ（ C）若⊥ γ，β∩=a，β∩γ=b，则 a⊥ b（D）若∥ β，β∩γ=，则∩γ=D分析： A 项：如正方体的一个角，三个平面订交，只有一条交线。
B项：如正方体的一个角，三个平面相互垂直，却两两订交。
C项：如图4.以下图，在正方体 ABCD －A1B1C1D1的侧面 AB 1内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为A B A B A B A B D CO O O A BPP P PP D1C1A 1B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B1A 1 B1CD' C'A' B'PD C分析： B1C1 平面 AB1B1C1 A P 点到定点 B 的距离与到定直线AB 的PB,，如图：B距离相等，成立坐标系绘图时能够以点B1B 的中点为原点成立坐标系。
小学五年级奥数几何题1.小学五年级奥数几何题1.一个长方体的无盖水族箱, 长是6m, 宽是60cm, 高是1.5m。
这个水族箱占地面积有多大？需要多少平方米的玻璃？它的体积是多少？2.要砌一道长15m, 厚24cm, 高3m的砖墙。
如果每立方米用砖525块, 一共用砖多少块？3.花园小区为居民新安装了50个休息的凳子, 凳面的长、宽、高分别是100cm, 45cm,4.5cm。
凳腿的长、宽、高分别是45cm, 5cm, 35cm, 做这些凳子至少用了混凝土多少方？4、“六一”儿童节前, 全市的小学生代表用棱长3cm的正方体塑料拼插积木在广场中央搭起了一面长6m, 高2.7m, 厚6cm的奥运心愿墙。
这面墙一共用了多少块积木？5、学校运来7.6立方米的沙子, 铺在一个长5米、宽38米的沙坑里, 可以铺多厚？2.小学五年级奥数几何题1.一个长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm的小纸箱, 在所有棱上粘上一圈胶带, 至少需要多长的胶带？2.为迎接“五一”劳动节, 要在俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。
已知俱乐部的长90米, 宽55米, 高20米, 工人叔叔至少需要多长的彩灯线？3.小卖部要做一个长2.2m, 宽40cm, 高80cm的玻璃柜台, 现要在柜台各边都安上角铁, 这个柜台需要多少米角铁？4、一个长方体的饼干盒, 长10cm宽6cm, 高12cm。
如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴）, 这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？5、光华街口装了一个新的铁皮邮箱, 长50cm, 宽40cm, 高78cm。
做这个邮箱至少需要多少平方厘米的铁皮？3.小学五年级奥数几何题（1）有一个棱长是4厘米的正方体, 从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后, 剩下的物体的体积和表面积各是多少？（2）一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体, 拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方米。
第五讲 几何——立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 2cm ．【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【例 6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b=2h时，如何打包？⑵当b<2h时，如何打包？⑶当b>2h时，如何打包？【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【例 7】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【例 8】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【例 9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【例 10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【例 11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?【例 12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【例 13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【例 14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例 15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【例 16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【例 17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【巩固】这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方【例 19】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．⑷⑶⑵⑴ ⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 25】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【例 26】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【例 27】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．7cm4cm5cm【例 28】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【例 29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【例 30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【例 31】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．20cm8cm100cm【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【例 32】如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将ABC∆绕AC旋转一周，求ABC∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CBA43【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【例 34】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABAB【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？B A【例 35】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．课后练习练习1.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)练习2.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)302515练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？练习4.(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？月测备选【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm11cm【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？4cm【备选5】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．。
