小学奥数立体图形

第11讲立体图形

［内容概述】

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向 的投影常能发挥明显的作用•较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题

•

［典型问题

1 邈翅级数：♦ ♦

第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第

12题（略有改动）

1 •用棱长是1厘米的立方块拼成如图 11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米

【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等， 都等于3X3=9个小正方形的面积，

朝左的面和朝右的面的面积也相等，

等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，

都

等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于 （9+7+7） X 2=46 个小正方形的面积，而每个小正 方形面积为I 平方厘米，所以该图形表面积是

46平方厘米.

1993

年全園小挙救学奧科匹克•初赛A 卷第10題

2

•如图11-2，有一个边长是 5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是

5, 3, 2的长方体,

那么它的表面积减少了百分之几

？

【分析与解】 原来正方体的表面积为

5 X 5X6=150.

现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面， 它们的面积为（3 X 2） X 2=12, 12十

150=0.08=8 %.

即表面积减少了百分之八.

3 .如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长 I 米，沿水平方向将它锯成 3片，每片又锯成4长条,

每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体 60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米

’

觀®级数：*

11 - 1

【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.

现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9 刀，而原正方体一个面的面积

1X 1=1（平方米），所以表面积增

加了9X 2X仁18（平方米）.

原来正方体的表面积为6X仁6（平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方

米）.

働邇帧空車k

北密乜三墮竺春卅敕峑竞赛•决赛第二題第］题

4•图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长I厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米？

【分析与解】原正方体的表面积是4X 4X 6=96（平方厘米）.

每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的

表面积的组成部分•总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形.

从而，它的表面积是96+4X 6=120平方厘米.

翁矽级数：♦♦

1^89年全国小学数学见林匹克•初界第12题

5 .图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方

1

体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为丄厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同,

2

1

边长为丄厘米•那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

4

【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面.

所以，最后得到的立体图形的表面积是：

11 11

2X 2X 6+1X l X 4+X X _ X 4+ X X 4=29.25（平方厘米）.

2 2 4 4

6.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在

中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水

里，大水池的水面升高了多少厘米•

【分析与解】放在中水池里的碎石的体积为3X 3X0.06 : 0.54立方米；

放在小水池里的碎石的体积为2X 2X0 .04=0.16立方米；

则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7 立方米，现在放到底面积为6X 6=36平方米的大水池中，则

使大水池的水面升咼0.7十36= 7

米=700厘米=1 17厘米

360 360 18

觀國级数；*

第三腐“华券庚金杯”少年數学還请玮复赛第6題

7 •如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后, 沿虚线折叠成长方体容器•这个容器的体积是多少立方厘米？

【分析与解】容器的底面积是（13- 4）X （9 -4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器得体积为:

图1J *6

45 X 2=90（立方厘米）.

北京市第八庙“迎春杯”少年數学邀请赛•决轟第二题第6题

8 .今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大

的切下一个正方体.问剩下的体积是多少立方厘米？

【分析与解】本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21: 15: 12=7 : 5: 4，为了叙述方便, 我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第

三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求.

于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米.

所以剩下的体积应为：

3 3 3

21 X 15X 12-（12 9 6 ）=1107（立方厘米）.

娥）级数;*