第三节 排列与组合(二)
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新人教版二年级上《排列与组合》练习题页数:2
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第2讲 排列组合页数:7
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第二节排列与组合页数:10
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北师大版高数选修23第2讲：排列组合页数:8
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二年级上册数学教案-《排列问题》-人教新课标(2023秋)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“排列在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，在讲授排列的计算方法时，我发现部分同学对数学符号和公式感到困惑。针对这一点，我打算在下一节课中增加一些简单的练习题，让学生在实际计算中熟悉和掌握这些符号和公式。
此外，实践活动中的分组讨论环节，有些小组的讨论效果并不理想。我意识到，在分组时，我应该更加关注学生的个体差异，合理搭配小组人员，以确保每个小组成员都能积极参与讨论。
（2）运用排列规律解决实际问题：学生在解决实际问题时，可能不知道如何运用排列知识，难以找到规律。
举例：指导学生通过列举、画图等方法，找出排队、编号等问题的排列规律。
（3）计算简单排列的数量：学生可能对排列计算方法感到困惑，不知道如何运用数学符号和公式。
举例：引导学生通过实际操作，理解排列计算公式，并学会运用公式解决具体问题。
（4）拓展排列的思维方式：学生在解决排列问题时，容易局限于一种思路，不知道如何拓展思维。
举例：引导学生尝试从不同角度思考排列问题，如逆向思维、分类讨论等，提高解决问题的灵活性。
四、教学流程
二年级上册数学教案-《排列问题》-人教新课标（2023秋）
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《排列问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过排队的情况？”比如，早上上学时大家排队进教室，这个顺序是怎样决定的呢？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索排列的奥秘。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“排列在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，在讲授排列的计算方法时，我发现部分同学对数学符号和公式感到困惑。针对这一点，我打算在下一节课中增加一些简单的练习题，让学生在实际计算中熟悉和掌握这些符号和公式。
此外，实践活动中的分组讨论环节，有些小组的讨论效果并不理想。我意识到，在分组时，我应该更加关注学生的个体差异，合理搭配小组人员，以确保每个小组成员都能积极参与讨论。
（2）运用排列规律解决实际问题：学生在解决实际问题时，可能不知道如何运用排列知识，难以找到规律。
举例：指导学生通过列举、画图等方法，找出排队、编号等问题的排列规律。
（3）计算简单排列的数量：学生可能对排列计算方法感到困惑，不知道如何运用数学符号和公式。
举例：引导学生通过实际操作，理解排列计算公式，并学会运用公式解决具体问题。
（4）拓展排列的思维方式：学生在解决排列问题时，容易局限于一种思路，不知道如何拓展思维。
举例：引导学生尝试从不同角度思考排列问题，如逆向思维、分类讨论等，提高解决问题的灵活性。
四、教学流程
二年级上册数学教案-《排列问题》-人教新课标（2023秋）
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《排列问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过排队的情况？”比如，早上上学时大家排队进教室，这个顺序是怎样决定的呢？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索排列的奥秘。
人教版高中选修2-31.2排列与组合课程设计
人教版高中选修2-31.2排列与组合课程设计课程设计背景排列与组合是高中数学必修课程，也是高等数学课程中的重要内容，是概率论、数理统计等其他数学领域的基础和重要组成部分。
本课程设计旨在通过让学生深入理解和掌握排列组合基本概念、性质、应用等方面的内容，提高他们的数学思维能力和创造性，为进一步学习数理统计、概率论等专业领域的数学课程打下坚实的基础。
课程设计目标1.理解排列组合的基本概念、性质及其应用，掌握排列、组合、重排列的计算方法和技巧。
2.提高学生的数学思维和创造性，培养他们的数学分析和解决问题的能力。
3.引导学生热爱数学，探求数学知识的深层次内涵，培养学生数学思考的兴趣和能力。
课程设计内容第一节：排列组合的基本概念和性质1.排列组合的定义和基本性质2.排列组合的计算公式和推导过程3.排列组合的应用领域1.排列的计算方法和实例2.组合的计算方法和实例3.重排列的计算方法和实例第三节：排列组合的应用1.扑克牌、骨牌、麻将等游戏的排列组合问题2.有放回抽样、无放回抽样、二项式分布等统计学中的应用3.生活中的排列组合问题：座位安排、演出节目安排等第四节：课程总结与归纳1.知识点总结与梳理2.课程重难点回顾与巩固3.课程思维重点导向与拓展课程设计要点第一节：排列组合的基本概念和性质1.对于排列、组合、重排列的定义，要求掌握其数学知识点，并能运用其定义解决各类具体问题。
2.让学生通过丰富的例子，掌握排列组合在中公式的推导过程, 以及运用数学公式解决具体问题。
3.同时要求学生了解排列组合的应用领域，理解排列组合在数学中的重要性和作用。
1.对于排列、组合、重排列的计算方法，要求学生了解它们之间的异同点，以及如何在具体问题中应用。
2.通过一些典型的例题，让学生运用排列、组合和重排列的计算方法解决实际问题。
第三节：排列组合的应用1.针对扑克牌、骨牌、麻将等游戏的排列组合问题，引导学生根据题目条件进行分析并运用排列组合的方法，解决实际问题。
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
第十章排列和组合
第十章 排列和组合考纲解读1． 理解分类计数原理、分步计数原理的区别.2． 掌握排列数计算公式、组合数计算公式及组合数的性质 3． 能运用排列组合的知识解决简单的实际问题4． 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算一些简单问题。
高考真题演练：1．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有 种。
2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目。
如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ） A ．42 B ．96 C ．48 D ．1243.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（） A 、24 B 、36 C 、46 D 、604.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种5. 要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）A 、B 、C 、D 、6. 若41313--+=n n n C C C ， 则n 的值为第一节 分类与分步计数原理一、本节知识点回顾1． 分类计数原理与分步计数原理（1） 做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1k 种不同的方法，在第二类办法中有2k 种不同的方法，…在第n 类办法中有n k 种不同的方法.无论用哪一种方法, 都可以完成这件事,那么完成这件事共有n k k k N ++=21种不同的方法.【说明】：分类计数原理又叫加法原理.（2） 做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有1k 种不同的方法，完成第二个步骤有2k 种不同的方法，…完成第n 个步骤有n k 种不同的方法.在连续完成这n 个步骤之后,这件事情才能完成,那么完成这件事共有n k k k N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法.【说明】：分步计数原理又叫乘法原理.二、典型例题讲评题型一 分类计数原理例1．从5名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法为( )A.15种B.8种C.5种D.3种例2.有不同的红手帕5块，粉红手帕6块，绿手帕3快，白手帕2块，小刚从中任拿一块，则共有 种取法。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
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1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
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1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
《排列与组合》的说课稿
《罗列与组合》的说课稿引言概述：罗列与组合是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将从基本概念、罗列的计算方法、组合的计算方法以及应用举例四个方面详细阐述罗列与组合的相关内容。
一、基本概念1.1 罗列的定义：罗列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序罗列的方式。
1.2 组合的定义：组合是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
1.3 罗列与组合的关系：罗列是组合的一种特殊情况，考虑了元素的顺序。
二、罗列的计算方法2.1 全罗列：全罗列是指从一组元素中选取全部元素按照不同的顺序罗列的方式。
2.2 有重复元素的罗列：当一组元素中存在重复元素时，计算罗列的方法需要考虑重复元素的情况。
2.3 部份元素固定的罗列：当一组元素中有一部份元素需要固定位置时，计算罗列的方法需要注意固定位置的元素。
三、组合的计算方法3.1 组合的计算公式：组合的计算可以使用二项式系数进行求解，即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3.2 有重复元素的组合：当一组元素中存在重复元素时，计算组合的方法需要考虑重复元素的情况。
3.3 部份元素固定的组合：当一组元素中有一部份元素需要固定选择时，计算组合的方法需要注意固定选择的元素。
四、应用举例4.1 数学问题中的应用：罗列与组合在数学问题中往往用于计算可能性、计算概率等。
4.2 实际生活中的应用：罗列与组合在实际生活中也有广泛的应用，比如组织活动的安排、密码的生成等。
4.3 计算机科学中的应用：罗列与组合在计算机科学中有重要的应用，比如算法设计、数据压缩等。
总结：罗列与组合是高中数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们了解了它们的基本概念、计算方法以及应用。
掌握罗列与组合的知识，可以匡助我们解决数学问题、应用于实际生活中的各种情境，并在计算机科学领域中发挥重要作用。
希翼本文能够匡助读者更好地理解和应用罗列与组合的知识。
高等代数 第三节 常见题型(一)
第三节常见题型一、几何问题（一）知识点（二）应用例题考点一：基本公式1.用两根同样长度的铁丝分别圈成圆形和正方形，圆形面积大约是正方形面积的几倍？A.3/πB.4/πC.5/πD.6/π考点二：面积问题1.图中的甲和乙都是正方形，BE=6厘米，EF=4厘米。
那么，阴影部分ABC的面积是多少平方厘米？A.20 .24C.21D.18考点三：立体几何1.一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖2元钱，一天能卖100杯。
现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖1元钱。
如果该店每天卖汽水的总量不变，那么现在每天的销售额是过去的多少A.50％B.100％C.150％D.200％考点四：最值问题1. 某工人用直径为50毫米的废铁片冲制垫圈，每块铁片冲4个相同的垫圈，试问垫圈的最大直径是多少毫米( )。
A.20.3B.20.5C.20.7D.20.9（三）真题再现1. 一个边长为80厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个、第六个正方形，问第六个正方形的面积是多少平方厘米？A.128平方厘米B.162平方厘米C.200平方厘米D.242平方厘米2. 将一个表面积为36平方米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是？A.24平方米B.30平方米C.36平方米D.42平方米3. 在大小相同的两个等腰直角三角形中，各内接一个正方形如图A和图B。
如果图A 中内接的正方形面积为441平方厘米那么B中内接的面积是多少平方厘米？A.390B.392C.394D.3964. 若一个三角形的所有边长都是整数，其周长是偶数，且已知其中的两边长分别10和2000，则满足条件的三角形总个数是？A.9B.10C.7D.85. 用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，绳长为（）米A.12B.29C.36D.426.如下图，长方形的长为12厘米，宽为5厘米，阴影部分甲的面积比乙的面积大15平方厘米，那么，ED的长是？A.2.8厘米B.2.5厘米C.3.4厘米D.3.5厘米7.如下图所示，△ABC是直角三角形，四边形IBFD 和四边形HFGE都是正方形，已知AI=1cm，IB=4cm，问正方形HFGE的面积是多少？A.10+16/25 cm2B.10+9/16 cm2C.10+6/25 cm2D.10+5/16 cm2（四）能力扩展1.如下图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=12，AD的长度是CD的2倍，四边形EBCD 与△AED的面积之比为3∶2，问AE的长度是多少？A.6.9B.7.1C.7.2D.7.42.一只蚂蚁从右图的正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。
《排列与组合》的说课稿
《罗列与组合》的说课稿罗列与组合的说课稿引言概述：大家好，今天我将为大家介绍一下《罗列与组合》这个数学概念。
罗列与组合是数学中非常重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
通过学习罗列与组合，我们可以更好地理解和解决一些与选择、排序、分配等相关的问题。
接下来，我将分五个部份详细介绍罗列与组合的相关内容。
一、罗列的概念及应用1.1 罗列的定义：罗列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序罗列的方式。
罗列的个数可以通过阶乘来计算。
1.2 罗列的应用：罗列在实际生活中有着广泛的应用，比如选举中的候选人排序、图书馆书籍的摆放等。
通过罗列，我们可以确定不同元素的顺序，从而解决一些需要按照特定顺序进行操作的问题。
1.3 罗列的特殊情况：当从n个元素中选取r个元素进行罗列时，如果r=n，即选取的元素个数与总元素个数相等，这种情况称为全罗列。
全罗列的个数为n!，其中n表示总元素个数。
二、组合的概念及应用2.1 组合的定义：组合是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
组合的个数可以通过罗列的公式进行计算。
2.2 组合的应用：组合在实际生活中也有着广泛的应用，比如抽奖活动中的中奖概率计算、队伍中选出几个人参加比赛等。
通过组合，我们可以确定选取元素的个数，而不考虑它们的顺序。
2.3 组合的特殊情况：当从n个元素中选取r个元素进行组合时，如果r=n，即选取的元素个数与总元素个数相等，这种情况称为全组合。
全组合的个数为1，其中n表示总元素个数。
三、罗列与组合的关系3.1 罗列与组合的区别：罗列与组合的最大区别在于是否考虑元素的顺序。
罗列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
3.2 罗列与组合的计算方法：罗列的计算可以使用阶乘的方式，而组合的计算可以使用罗列的公式进行计算。
3.3 罗列与组合的互相转化：罗列与组合之间可以通过互相转化的方式进行计算。
通过罗列计算组合可以使用罗列的公式除以重复的罗列个数，而通过组合计算罗列可以使用组合的个数乘以元素的全罗列个数。
组合数学-排列组合
前言组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方。
幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。
贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有《黄帝九章细草》、《算法斅古集》斅(音'笑')(“古算法导引”)都已失传。
杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。
前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍纳(William Geoge Horner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。
书中首次使用了组合论(Combinatorics)一词。
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。
组合分析主要研究内容是计数和枚举。
这与数学分析形成了对照。
第一章排列组合在这一章我们要用加法法则和乘法法则解决最基本的几种组合模型，包括排列、组合的计数问题。
第一节加法法则与乘法法则加法法则设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n 种产生方式。
集合论语言：若|A|=m,|B|=n,A∩B=φ,则|A∪B|=m+n。
/*例某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有18+10=28人。
例北京每天直达上海的客车有5次，客机有3次，则每天由北京直达上海的旅行方式有5+3=8种。
*/乘法法则设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有m·n种产生方式。
集合论语言：若|A|=m ,|B|=n,A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},则|A×B|=m·n。
/*例某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5×3=15个。
高中数学排列与组合教案
高中数学排列与组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念。
2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 排列的概念及其性质。
2. 组合的概念及其性质。
3. 排列与组合的应用。
教学过程：第一课时：1. 引入排列与组合的概念，通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。
2. 讲解排列的定义和性质，例如排列中元素不重复出现的特点。
3. 给学生布置一些排列练习题，让他们熟悉排列的运算方法和规律。
第二课时：1. 复习排列的概念和性质。
2. 讲解组合的定义和性质，例如组合中元素可重复出现的特点。
3. 给学生布置一些组合练习题，让他们熟悉组合的运算方法和规律。
第三课时：1. 复习排列与组合的概念和性质。
2. 讲解排列与组合的应用，例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。
3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题，让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。
教学反馈：1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。
2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用，并展开讨论。
教学评价：通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。
教学延伸：鼓励学生深入学习排列与组合知识，并拓展到更高级的数学领域，如概率论等。
教学资源：教科书、课件、练习题。
教学提醒：教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣和思考能力。
同时，要关注学生的学习状态，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。
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解析：第一步：将两位爸爸排在两端有 2 种排法；第二步：将两个小 孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位臵上有 2A33 种排法， 故总的排法有 2×2×A33＝24 种．
栏 目 链 接
考点探究
考点3 用间接法求组合数
【例 3】 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点 共线． (1)用这 9 个点可以确定多少条直线？ (2)用这 9 个点可以确定多少个三角形？ (3)用这 9 个点可以确定多少个四边形？
【例 1 】 (1) 方程 x ＋ y ＋ z ＝ 9 共有 n 组正整数解，则 n 等于
28 _____________ ．
(2)10 名战士站成一排，从中任选 3 个互不相邻的战士去执行一项 任务，则不同的选派方法的种数是________ 56 ． 点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位臵上的顺序，解决有关 组合数计数问题时， 关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只 有一种顺序．
1 3 4 边形的个数为 C4 － C C － C 9 5 4 4＝105.
栏 目 链 接
点评：当一个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从 反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数．
考点探究
变式探究
3． 从 4 名男生和 5 名女生中任选 5 人参加数学课外小组． (1)选 2 名男生和 3 名女生，且女生甲必须入选的方法数 为________ 36 ； (2)最多选 4 名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方 法数为________ ． 90
3 3 3 DEF，GHK，)，那么 C9 C6C3种分法中还包括了(ABC，GHK，DEF)，
栏 目 链 接
(DEF，ABC，GHK)，(DEF，GHK，ABC)，(GHK，ABC，DEF)，
3 (GHK，DEF，ABC)，共 A3 种情况，其实都只能作为同一种分法， 3 3 3 C9 C6C3 故共有 ＝280 种分法． A3 3
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考点探究
解析：(1)一方获胜至少要下 5 盘棋，至多要下 9 盘棋，问题可理解 为：在 9 盘对局中，甲方有且只有 5 盘对局获胜，则甲方获得比赛 胜利，所以共有 C95＝126 种可能． (2)不同的数组有 C73＝35 组．
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考点探究
考点2 结合两个计数原理求组合数
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考点探究
解析：不妨把 9 本书记为 A、B、C、D、E、F、G、H、K. (1)先从 9 本书中取 3 本作一堆，再从剩下的 6 本书中取 3 本作
3 3 3 一堆， 最后 3 本作一堆， 共有 C9 C6C3种分堆方法， 但这里面有重复． 若
第一步取了 ABC，第二步取了 DEF，第三步取了 GHK，记作(ABC，
考点探究
解析：方法一 分类计数． ①不选甲、乙，则 N1＝A44＝24. ②只选甲，则 N2＝C43C31A33＝72. ③只选乙，则 N3＝C43C31A33＝72. ④选甲、乙，则 N4＝C42A32A22＝72. ∴N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240.故选 B. 方法二 一类无甲、 乙有 A44 种， 二类甲、 乙有一人参加有 C21C31A43，
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种分法．
考点探究
点评：本题是一个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是 否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同，是不可区分的， 而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的，解 决这类问题的方法是以位臵为主， 或以元素为主， 或先分堆后排列． 注 意平均分堆问题要除以堆数的全排列数， 不平均分堆则不需要除， 避 免产生计数的重复或遗漏．
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考点探究
变式探究
1．(1)甲、乙两队各派 5 人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当 一方 5 人全部负于对方时算一种比赛结果， 则甲方获胜的比赛结果
126 种可能． 共有________
(2)从 2，3，…，8 七个自然数中任取三个数组成有序数组 a，
35 ． b，c，且 a＜b＜c，则不同的数组有________
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考点探究
解析：(1)确定一条直线需要两个点，因为有 4 个点共线，所以
2 这 9 个点所确定直线的条数为 C9 －C2 4＋1＝31.
(2)确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点确定三 角形的个数为
3 C3 9－C4＝80.
(3)确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点确定四
考点探究
(2)分为三步：第一步从 9 本书中选 2 本，有 C2 9种选法，第二步从余
4 下的 7 本书中选 3 本，有 C3 7种选法，最后余下的四本全选，有 C4种选法， 3 4 由分步乘法计数原理，共有 C2 9C7C4＝1 260 种分法．
(3)先从 9 本书中取 2 本给甲，再从余下的 7 本书中取 3 本给乙，最后
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课前自修
4．某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校 的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同， 因此该学生不能同时报考这两所学校． 该学生不同的报
16 考方法种数是________( 用数字作答)．
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考点探究
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考点探究
考点1 用定义法求组合数
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考点探究
考点4 排列组合应用题
【例 4】 有 9 本不同的书．下列情况各有多少种不同分法？
(1)分成 3 堆，每堆 3 本； (2)分成 3 堆，每堆分别为 2 本，3 本，4 本； (3)分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本； (4)分给甲、乙、丙 3 人，其中甲、乙各得 2 本，丙得 5 本； (5)分给甲、乙两人各 1 本，丙、丁两人各 2 本，戊 3 本；
高考总复习数学（理科）
第十章 计数原理、概率、随 机变量及其分布
第三节 排列与组合（二）
考纲要求
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考纲要求
能综合运用排列与组合知识解决简单的实际问题. 栏 目 链 接
课前自修
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课前自修
基 础 回 顾
1．排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数 目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序， 不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是 在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问 题的基本思维是“先组，后排”． 2．解排列组合的应用题，要注意四点： (1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类， 按事件发生的过程进行分步．
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考点探究
变式探究
4．(1)平面内有 n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一 点，则这 n 条直线的交点的个数为( A．n(n－1) n（n－1） C. 2
C) 栏 目 链 接
B ．(n－1)(n－2) D. （n－1）（n－2） 2
(2)有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有 数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排 成一行，如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，那么不 同的排法共有__________ 432 种(用数字作答)．
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课前自修
(2)深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角 度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错． (3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案， 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解 决． (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时， 应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备， 有无重复或遗漏， 也可采用多种不 同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则 易出现遗漏或重复．
考点探究
解析：(1)这 n 条直线交点的个数为 Cn2＝
2，3，3；1，2，3，4. 所取卡片是 1，1，4，4 的共有 A44 种排法， 所取卡片是 2，2，3，3 的共有 A44 种排法， 所取卡片是 1，2，3，4，则其中卡片颜色可为无红色，1 张红色，2 张红色， 3 张红色，全是红色，共有排法 A44＋C41A44＋C42A44＋C43A44＋A44＝16A44 种， 所以共有排法 18A44＝18×4×3×2×1＝432 种． n（n－1） . 2 (2)取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，共有三种情况：1，1，4，4；2，
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课前自修
基 础 自 测
1．甲、乙 2 人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程 中恰有 1 门相同的选法有( C ) A．6 种 C．24 种 B．12 种 D．30 种
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课前自修
2．(2013•衡水调研)从 1，2，3，4，5，6 六个数字中，选出一个 偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位 数共有( D ) A．9 个 C．36 个 B．24 个 D．54 个
【例 2】从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游 览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、 乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ( B ) A．300 种 C．144 种 B．240 种 D．96 种
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点评：实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理来求出．在每 类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算．
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解析：选出符合题意的三个数有 C31C32＝9 种方法，每三个数可 排成 A33＝6 个三位数， 所以共有 9×6＝54 个符合题意的三位数．
课前自修
3．已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集
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考点探究
考点3 用间接法求组合数
【例 3】 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点 共线． (1)用这 9 个点可以确定多少条直线？ (2)用这 9 个点可以确定多少个三角形？ (3)用这 9 个点可以确定多少个四边形？
【例 1 】 (1) 方程 x ＋ y ＋ z ＝ 9 共有 n 组正整数解，则 n 等于
28 _____________ ．
(2)10 名战士站成一排，从中任选 3 个互不相邻的战士去执行一项 任务，则不同的选派方法的种数是________ 56 ． 点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位臵上的顺序，解决有关 组合数计数问题时， 关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只 有一种顺序．
1 3 4 边形的个数为 C4 － C C － C 9 5 4 4＝105.
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点评：当一个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从 反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数．
考点探究
变式探究
3． 从 4 名男生和 5 名女生中任选 5 人参加数学课外小组． (1)选 2 名男生和 3 名女生，且女生甲必须入选的方法数 为________ 36 ； (2)最多选 4 名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方 法数为________ ． 90
3 3 3 DEF，GHK，)，那么 C9 C6C3种分法中还包括了(ABC，GHK，DEF)，
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(DEF，ABC，GHK)，(DEF，GHK，ABC)，(GHK，ABC，DEF)，
3 (GHK，DEF，ABC)，共 A3 种情况，其实都只能作为同一种分法， 3 3 3 C9 C6C3 故共有 ＝280 种分法． A3 3
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解析：(1)一方获胜至少要下 5 盘棋，至多要下 9 盘棋，问题可理解 为：在 9 盘对局中，甲方有且只有 5 盘对局获胜，则甲方获得比赛 胜利，所以共有 C95＝126 种可能． (2)不同的数组有 C73＝35 组．
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考点2 结合两个计数原理求组合数
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考点探究
解析：不妨把 9 本书记为 A、B、C、D、E、F、G、H、K. (1)先从 9 本书中取 3 本作一堆，再从剩下的 6 本书中取 3 本作
3 3 3 一堆， 最后 3 本作一堆， 共有 C9 C6C3种分堆方法， 但这里面有重复． 若
第一步取了 ABC，第二步取了 DEF，第三步取了 GHK，记作(ABC，
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解析：方法一 分类计数． ①不选甲、乙，则 N1＝A44＝24. ②只选甲，则 N2＝C43C31A33＝72. ③只选乙，则 N3＝C43C31A33＝72. ④选甲、乙，则 N4＝C42A32A22＝72. ∴N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240.故选 B. 方法二 一类无甲、 乙有 A44 种， 二类甲、 乙有一人参加有 C21C31A43，
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种分法．
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点评：本题是一个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是 否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同，是不可区分的， 而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的，解 决这类问题的方法是以位臵为主， 或以元素为主， 或先分堆后排列． 注 意平均分堆问题要除以堆数的全排列数， 不平均分堆则不需要除， 避 免产生计数的重复或遗漏．
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考点探究
变式探究
1．(1)甲、乙两队各派 5 人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当 一方 5 人全部负于对方时算一种比赛结果， 则甲方获胜的比赛结果
126 种可能． 共有________
(2)从 2，3，…，8 七个自然数中任取三个数组成有序数组 a，
35 ． b，c，且 a＜b＜c，则不同的数组有________
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考点探究
解析：(1)确定一条直线需要两个点，因为有 4 个点共线，所以
2 这 9 个点所确定直线的条数为 C9 －C2 4＋1＝31.
(2)确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点确定三 角形的个数为
3 C3 9－C4＝80.
(3)确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点确定四
考点探究
(2)分为三步：第一步从 9 本书中选 2 本，有 C2 9种选法，第二步从余
4 下的 7 本书中选 3 本，有 C3 7种选法，最后余下的四本全选，有 C4种选法， 3 4 由分步乘法计数原理，共有 C2 9C7C4＝1 260 种分法．
(3)先从 9 本书中取 2 本给甲，再从余下的 7 本书中取 3 本给乙，最后
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4．某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校 的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同， 因此该学生不能同时报考这两所学校． 该学生不同的报
16 考方法种数是________( 用数字作答)．
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考点1 用定义法求组合数
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考点4 排列组合应用题
【例 4】 有 9 本不同的书．下列情况各有多少种不同分法？
(1)分成 3 堆，每堆 3 本； (2)分成 3 堆，每堆分别为 2 本，3 本，4 本； (3)分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本； (4)分给甲、乙、丙 3 人，其中甲、乙各得 2 本，丙得 5 本； (5)分给甲、乙两人各 1 本，丙、丁两人各 2 本，戊 3 本；
高考总复习数学（理科）
第十章 计数原理、概率、随 机变量及其分布
第三节 排列与组合（二）
考纲要求
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能综合运用排列与组合知识解决简单的实际问题. 栏 目 链 接
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基 础 回 顾
1．排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数 目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序， 不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是 在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问 题的基本思维是“先组，后排”． 2．解排列组合的应用题，要注意四点： (1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类， 按事件发生的过程进行分步．
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变式探究
4．(1)平面内有 n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一 点，则这 n 条直线的交点的个数为( A．n(n－1) n（n－1） C. 2
C) 栏 目 链 接
B ．(n－1)(n－2) D. （n－1）（n－2） 2
(2)有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有 数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排 成一行，如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，那么不 同的排法共有__________ 432 种(用数字作答)．
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(2)深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角 度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错． (3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案， 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解 决． (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时， 应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备， 有无重复或遗漏， 也可采用多种不 同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则 易出现遗漏或重复．
考点探究
解析：(1)这 n 条直线交点的个数为 Cn2＝
2，3，3；1，2，3，4. 所取卡片是 1，1，4，4 的共有 A44 种排法， 所取卡片是 2，2，3，3 的共有 A44 种排法， 所取卡片是 1，2，3，4，则其中卡片颜色可为无红色，1 张红色，2 张红色， 3 张红色，全是红色，共有排法 A44＋C41A44＋C42A44＋C43A44＋A44＝16A44 种， 所以共有排法 18A44＝18×4×3×2×1＝432 种． n（n－1） . 2 (2)取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，共有三种情况：1，1，4，4；2，
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基 础 自 测
1．甲、乙 2 人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程 中恰有 1 门相同的选法有( C ) A．6 种 C．24 种 B．12 种 D．30 种
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2．(2013•衡水调研)从 1，2，3，4，5，6 六个数字中，选出一个 偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位 数共有( D ) A．9 个 C．36 个 B．24 个 D．54 个
【例 2】从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游 览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、 乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ( B ) A．300 种 C．144 种 B．240 种 D．96 种
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点评：实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理来求出．在每 类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算．
栏 目 链 接
解析：选出符合题意的三个数有 C31C32＝9 种方法，每三个数可 排成 A33＝6 个三位数， 所以共有 9×6＝54 个符合题意的三位数．
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3．已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集