华师大版数学九年级上册教案22.2_二次根式的乘除法_2

22.2.1 二次根式的乘法 教学案教学目标1.a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简；2.（a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；3.利用逆向思维，得出a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a ≥0，b ≥0），（a ≥0，b ≥0）及它们的运用．（a ≥0，b ≥0）．（a<0,b<0）． 研讨过程 自探：（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空（1=_______=______；（2．（3，． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（学生活动）让学生总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是 ； （2）两个二次根式的乘积等于 ．= 一般地，对二次根式的乘法规定为 )0,0(≥≥=•b a ab b a 反过来 )0,0(≥≥•=b a b a ab强调式子中的a ≥0，b ≥0，在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数。

试计算：（1（2（3(4)2·32 (5)a8（a≥0） (6)练一练：计算×(4)xy·yx3·2xy（5）18a≥0，b≥0），也就是说，积的算术平方根，等于的积，利用这个性质，我们可以进行二次根式的化简。

试化简：（1（2（3（4（5练一练：1、化简2、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0）及其运用．作业: P9 1（1）（2），2（1）（2）（3）课后反思：22.2.2 二次根式的除法 教学案教学目标1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算；2.会运用商的算术平方根的性质化简二次根式.3.培养学生分析问题和逆向思维的能力,体会合作交流的乐趣,感悟数学的应用价值 研讨过程：回顾交流,优化导入 1、填空（1=94=94 （2=2516 （3 ; =36100参考上述结果,用“>”、“>”、“=”填空9494 2516 2516 36100 361002、利用计算器计算，并用“>”、“>”、“=”填空（1）32____32（2）52____52 （3）65____65（4）28____28从上面的练习中可以得到什么样的结论？二次根式除法法则：那就是两个二次根式相除，实际上就是将这两个二次根式的 相除，根指数不变.引入法则:二次根式除法法则b aba=（≥0，b>0） 教师说明:同学们应该注意0,0>>b a 这个条件,如果没有这个条件,上述法则不能成立,因为0,0<<b a 时,虽然b a有意义,但是b a 都无意义了,和乘法法则不同的.这里的是不可以取 的,这是因为分母不能为 . 领会新知例1、计算（1）672（2）61211÷思路点拨：例1中的（2）含有÷号，运算过程中要将除法转化成乘法即：61211÷=3623=⨯随堂练习，理解新知 1．（1）计算下列各式7324- 531513÷ （2）课本P 9练习第2（3）（4）题这样就完成了除法运算，把分母中的根号化去，我们称为分母有理化。

22.2 二次根式的乘除法(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（1），（2），（3）老师点评：=，=，=自探 2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1) ; (2) ; (3)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． AB===6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……）（+1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A． B． C．- D．-3．在下列各式中，化简正确的是（）A．=3 B．=±C．=a2 D． =x4．化简的结果是（）A．- B．- C．- D．-二、填空题1．化简=_________．（x≥0）2．a化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-a=a-a·=（a-1）2．若x、y为实数，且y=，求的值．教后反思：。

《九年级上第二十二章第二节二次根式的乘除法》教案第1课时 22.2.1二次根式的乘法【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：会运用二次根式的乘法运算法则进行简单的二次根式的乘法运算.（a≥0，b≥0）的运用.（a≥0，b≥0）的运用.【教学工具】：投影仪◆教学情景导入1、对于二次根式a中的被开方数a ，我们有什么规定？2、当 a ≥0 时，(a)2 等于多少？3、当a ≥0 时，2a＝a等于多少？◆教学过程一、新授：试一试计算:（1（2师提示:观察计算的结果,你能发现什么?思考:?（师引导生:可以用计算器分别计算一下,看看两者是否相等）从计算的结果我们发现:这是什么道理呢?学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，×教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．师生共识：a≥0，b≥0）．引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，•上述法则不能成立．因为当a<0，b<0在实数范围内却没有意义，•乘法法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3例1（1（2教师活动：板书例1，引导学生参与例1的学习，理解二次根式乘法法则，在讲例中应强调运算方法,然后再运用法则，教师板书：（1=====．（24学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．二、巩固练习P9练习3三、小结这节课我们学习了二次根式相乘的运算法则:两个二次根式相乘,将它们伯被开方数相乘.即：（a≥0，b≥0）◆课堂板书设计标题试一试思考例题课堂练习课堂总结◆练习作业设计（课堂作业设计、课下作业设计） 课堂作业:1. 计算:（1(2答案:1. （1（2课下作业:1.计算:（1）53⨯（2）2731⨯2.计算（1 （2 （3 （4 答案:1. （1）53⨯=15；（2） 2731⨯=3271⨯=39=2.解：（1（2（3=（4。

22.2二次根式的乘除法学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简.【重点难点】重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简. 知识概览图二次根式的乘除法新课导引(1)一个矩形的长a，宽b cm，求这个矩形的面积；（2）如果一个矩形的面积是S2cm，求宽b.【解答】（1）利用矩形的面积公式可以得到S=2).(2)根据矩形的面积公式可得，宽b=Sa=..教材精华知识点1 二次根式的乘法法则两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，公式为=（a≥0，b二次根式的乘法：=a≥0,b≥0）二次根式的乘法逆用：=a≥0,b≥0）二次根式的除法：=a≥0,b>0）二次根式的除法逆用：=（a≥0,b>0）最简二次根式≥0）.例如：10;===12==；===拓展（1=a，b必须满足a≥0.b≥0就没有意义，因此，如果没有特殊说明，本章中所有的字母都表示正数.（2）学习二次根式乘法法则时，应注意：①如果根号前有系数，就把各个系数相乘，仍作为二次根号前的系数.②计算结果必须化成最简形式.③被开方数相乘时，往往不是直接求出乘积，而是考虑因数分解或因式分解，以便下一步的化简.||a=.=（a≥0.b≥0）可以推广到多个因式相乘的形式.知识点2 积的算术平方根（ab≥0）.=（a≥0.b≥0），即积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.此性质可以用来化简二次根式即如果一个二次根式的被开方数中的因数（式）是完全平=（a≥0.b≥0a(a≥0)将这些因数（式）开出来，从而将二次根式化简.||a====拓展（1（ab≥0）”表示的是ab0.（2ab必须大于等于零，如果ab≥0，那么a与b同号或至少有一个为零.有以下四种情况：①a>0，b>0;②a<0.b<0;③a=0，b为任意实数；④b=0，a为任意实数.知识点3 二次根式的除法法则两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，公式为=（a≥0，b＞0）.=====拓展 理解二次根式的除法法则就应注意以下两点：（1） 二次根式的除法公式中的被开方数的取值范围：公式中，为分母，所以被开方数a 与b 的取值范围分别是a ≥0，b ＞0.（2） 在运算中应注意约分要彻底.二次根式的除法公式主要有两个应用：（1） 进行二次根式的除法计算.（2） 进行二次根式的化简：将分母中的根号去掉.=====2===.拓展由于a=2，2b =( a ≥0，b ≥0)，所以可得22a b -=-=，运用它可将分母中的根号去掉，例如：要可将分母中的根号去掉，即＝2226282624++====-规律方法小结 将分母中的根号去掉，实质上是分母有理化，而分母有理化实质上是利用分式的基本性质将分子、分母同乘一个无理式，从而使分母不含根号.知识点4 二次根式的除法公式的逆用=(a ≥0，b ＞0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，逆用二次根式的除法公式可以去根号中的分母.25(0)36x y y ======>. 拓展 （1）二次根式除法公式的逆用有以下几个用途：===的综合应用.||a=中，a,b应满足a≥0,b≥0,事实上，当a,b2.==知识点5 最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式叫做最简二次根式.a>0）则不是最简二次根式.拓展（1）理解最简二次根式时应注意：被开方数必须满足定义中的两个条件，缺一不可. （2）把二次根式化成最简二次根式时注意：①被开方数是多项式的要进行因式分解.②要将被开方数中能开得尽方的因数或因式移到根号外.（3）二次根式计算的最后结果应为最简二次根式.课堂检测基本概念题1成立，则（）A.x≥6B.0≤x≤6C.x≥0D.x为任意实数2、在二次根式a,b均大于等于0），最简二次根式的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个基础知识应用题3、把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内.（1）：（2）-（3）2-；（4）-（5）x<0,y<0）综合应用题4、知a、b为实数，且满足2a=.探索创新题5、（规律探究题）观察下列各式：1;.======（1）的结果；（2）请用含n（n为正整数）的代数式表示上述规律，并证明；（3）利用上述规律计算：((12010++++⨯+体验中考1、（2010·绵阳）下列各式计算正确的是（）A.236mm m•===235=+=D.(1)aa-==<2、a≥0）的结果是.学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x ≥0,x-6≥0，由此可得x ≥6故选A.2、分析 根据最简二次根式的定义来判断，只有式.故选C.【解题策略】 一个二次根式是最简二次根式，必须满足： （1） 被开方数中的因数是整数，因式是整式. （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.3、分析 本题主要考查公式a ≥0)的应用，将根号外的因数（式）移到根号内时，要将根号外的因数（式）改写成完全平方的形式，如5，实际上是运用了公式a ≥0),如果根号外有负号，则负号不能移到根号内，如-===要移到根号内的因数（式）必须是正的，但有些字母的取值范围需要由隐含条件得出，如（3）（4）题.解 （1）===（2）-=== （3）由102a>，得0a >.2∴-=== （4）由10a->，得0a >.∴-=== （5）0,0,x y <<∴===【解题策略】（1）要将根号外的因数（式）平方后移到根号内，应运用公式a≥0)=a≥0,b≥0）.根号外的负号不能移根号内，如-==是错误的.若根号外有字母，则要判断字母的符号，若字母是负的，则负号要留在根号外，例如：0,0,x y<<==4、分析本题考查了二次根式有意义的条件与二次根式的乘除法运算的综合应用，解题的关键是利用二次根式有意义的条件求出a和b和值，代入代数式计算即可.解：依题意得从b=3,所以a=2,=55===【解题策略】进行二次根式运算时，最后的结果必须化成最简二次根式.规律·方法在二次根式中，互为相反数的两个数同时成为被开方数，这两个数一定均为零.5、分析本题实质上是运用分母有理化化简二次根式.解：（110==-（2====（3）原式12011=++b-3≥01)201112010.==-=【解题策略】 当分母是含有二次根式的两项式时，一般利用平方差公式进行分母有理化.体验中考1、分析 本题主要考查二次根式的化简与其他知识的综合应用，有一定的难度.根据同底数幂的乘法法则可知23235;m m m m +•==3===，故A ，B ，C选项均不正 确，由a<1可知1-a>0,故（a-1==D 选项正确，故选D .【解题策略】正确掌握相关运算法则是解决这类问题的关键.规律·方法 （1）二次根式的被开方数为带分数时，应将其化为假分数后进行化简.（2=a ≥0,b ≥0）进行化简，被开方数为和差形式时不能直接用.2、分析 本题直接考查了二次根式的乘法运算，根据公式=a ≥0,b ≥0）即可解答，故填4a.【解题策略】 有关二次根式的计算，结果必须是最简二次根式或有理式.。

A C数学初三上华东师大版22.2.3二次根式的乘除教案课题目标：授课班级上课时间：第节 教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算、 教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式、 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并依照它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求、 重难点关键1、重点：最简二次根式的运用、2、难点关键：会判断那个二次根式是否是最简二次根式、 教学方法三疑三探 教学过程【一】设疑自探——解疑合探自探1.〔学生活动〕请同学们完成以下各题〔请三位同学上台板书〕 计算〔1〔2，〔3自探2.观看上面计算题的最后结果，能够发明这些式子中的二次根式有什么特点？〔有如下两个特点：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式、〕 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式、合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长、132====6.5〔cm 〕因此AB 的长为6.5cm 、【二】质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！【三】应用拓展观看以下各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=121=--1，=，同理可得：从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算〔+++……〕〕的值、分析：由题意可知，此题所给的是一组分母理化的式子，因此，分母有理化后就能够达到化简的目的、【四】归纳小结〔师生共同归纳〕本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用、 【五】作业设计 A 组【一】选择题 1y>0〕是二次根式，那么，化为最简二次根式是〔〕、A〔y>0〕By>0〕C〔y>0〕D 、以上都不对2、把〔a-1a-1〕移入根号内得〔〕、A、、3、在以下各式中，化简正确的选项是〔〕 A±12CD4的结果是〔〕A 、B 、-C 、、【二】填空题 1、〔x ≥0〕2、_________、B 组【三】综合提高题 1、a 为实数，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？假设不正确，•请写出正确的解答过程：·1a=〔a-12、假设x、y为实数，且y x y-的值、板书设计知识回忆：1、二次根式的乘法法那么〔1〕·＝〔a≥0，b≥0〕，〔2〕〔a≥0，b≥0〕2二次根式的除法法那么22.2.1二次根式的乘除〔3〕例2化简：〔1〕9840；〔2〕5120-；〔3〕xx823、值、解：〔略〕1、最简二次根式被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

华师大版九年级数学上册《二次根式》精品教案一、教学内容本节课，我们将学习华师大版九年级数学上册《二次根式》第一章节，详细内容为二次根式定义、性质以及运算规则。

具体包括二次根式概念、化简、乘除法运算和性质等。

二、教学目标1. 理解并掌握二次根式定义及性质。

2. 学会化简二次根式，并掌握二次根式乘除法运算。

3. 培养学生逻辑思维能力和解决问题能力。

三、教学难点与重点教学难点：二次根式化简和乘除法运算。

教学重点：二次根式定义及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入以一个实际问题引入二次根式概念：一块正方形菜地，边长为√10米，求菜地面积。

2. 例题讲解（1）二次根式定义与性质。

（2）化简二次根式。

（3）二次根式乘除法运算。

3. 随堂练习（1）化简二次根式：√18、√48、√75。

（2）计算二次根式乘除法：√6 × √8，√27 ÷ √3。

4. 课堂小结六、板书设计1. 二次根式定义及性质。

2. 化简二次根式步骤。

3. 二次根式乘除法运算规则。

七、作业设计1. 作业题目：（1）化简下列二次根式：√20、√50、√72。

（2）计算下列二次根式乘除法：√15 × √12，√45 ÷ √9。

2. 答案：（1）√20 = 2√5，√50 = 5√2，√72 = 6√2。

（2）√15 × √12 = 6√5，√45 ÷ √9 = √5。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式定义和性质掌握情况，以及化简和乘除法运算熟练程度。

2. 拓展延伸：探讨二次根式加减法运算，以及与代数式结合运用。

重点和难点解析在教学过程中，有几个细节是我需要重点关注。

是实践情景引入部分，这关系到学生能否从实际问题中理解并感受到数学知识应用。

是例题讲解和随堂练习设计，这两部分直接关系到学生对二次根式定义、性质、化简方法和乘除法运算理解和掌握。

22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展例当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 布置作业1． 教材P422.1 二次根式（2）教学内容1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 ［老师点评（略）．］ 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；（2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P教学反思：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习 教材P ．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0； （2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2 五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展． 六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学反思：22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0,b<0）=b．教学方法：三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．×D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（3；（4=________．2．利用计算器计算填空:（1=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1 （2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计 一、选择题1÷的结果是（ ）．A ．27B ．27C D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）B A C计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B =±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y x y -的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 一、选择题1．以下二次根式：；；是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式-3的最后结果是________． 三、综合提高题1≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得=所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．BC ．D ． 二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-2·12 反之，-1）2 ∴=-1）2-1求：（1； （2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1时，（结果用最简二次根式表示）2．当教后反思：。

二次根式的乘除（1）学习目标：1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则2、能运用二次根式的乘法法则：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）进行乘法运算3、理解积的算术平方根的意义，会用公式ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）化简二次根式学习重、难点重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用学习过程：一、课前准备：1、什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?2、计算：（1；（2（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯二、探索活动1、学生计算。

2、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组交流。

3、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）4、由以上公式逆向运用可得： ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

三、例题教学例1、计算：⑴2·32 ⑵21·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0）例2、化简： ⑴2257 ⑵8116 ⑶12⑷3a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，b ≥0）四、课堂练习P 练习1、2五、小结1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。

2、如何进行二次根式的化简？六、作业P 67 习题3.2 1、2七、家作：1、化简：（1（2（3（4（5 （6（7（8）（9（10 （0a ≥ 0b ≥）2、计算：⑴xy ·y x 3·2xy ⑵18·24·27（33=x 的取值范围。

4、已知等腰三角形的腰为，底边为，求这个等腰三角形的面积b=ab（a≥0，b≥0）思考：a×b×c= ？。

华师大版九年级数学上册《二次根式》教案一、教学内容二、教学目标1. 知识与技能：理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算。

2. 过程与方法：通过实例引入，培养学生从实际问题中抽象出数学概念的能力；通过例题讲解和随堂练习，提高学生解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

三、教学难点与重点重点：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的乘除运算。

难点：理解并运用二次根式的性质，正确进行二次根式的乘除运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

2. 学具：练习本，笔。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一组实际生活中的问题，如：计算平方根、求面积等，引导学生发现二次根式的概念。

2. 新知探究（3）讲解二次根式的乘除运算，并进行例题演示。

3. 例题讲解（1）计算：√9 × √16（2）计算：(√3 + √5) × (√3 √5)4. 随堂练习（1）计算：√25 × √4（2）计算：(√2 + √8) × (√2 √8)5. 小结六、板书设计1. 二次根式的定义2. 二次根式的性质3. 二次根式的乘除运算4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：√49 × √9（2）计算：(√7 + √21) × (√7 √21)（3）已知一个正方形的面积为 64 平方米，求它的边长。

2. 答案：（1）21（2）0（3）8 米八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的定义和性质掌握较好，但在进行乘除运算时，部分学生还存在困难。

在今后的教学中，应加强此类题目的训练。

2. 拓展延伸：引导学生思考如何将二次根式与实际问题相结合，如求不规则图形的面积等，提高学生解决问题的能力。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的设定2. 教学过程中的实践情景引入3. 例题讲解与随堂练习的设计4. 作业设计中的题目难度与答案解析5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的设定在教学难点与重点的设定上，需要明确二次根式的定义、性质和乘除运算是本节课的核心内容。