第三讲控制系统的复域数学模型传递函数及其性质

在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改 变或校正装置的加入对系统性能的影响。
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;

(2)关于传递函数的几点说明 关于传递函数的几点说明 传递函数与微分方程有相通性. 传递函数与微分方程有相通性.传递函数分子 多项式系数及分母多项式系数, 多项式系数及分母多项式系数,分别与相应微分方 程的右端及左端微分算符多项式系数相对应. 程的右端及左端微分算符多项式系数相对应.故在 零初始条件下,将微分方程的算符d/dt用复数 零初始条件下,将微分方程的算符d/dt用复数s置换 用复数s 便得到传递函数. 便得到传递函数.
2. 传递函数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一.利用传递函数,可以: 之一.利用传递函数,可以: 不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程. 输入作用下的动态过程. 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影 响——分析 分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要 求——综合 综合
(四)振荡环节 时域方程: 时域方程: a2 y '' (t ) + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = b0 x(t ) 传递函数: 传递函数:G ( s ) =
b0 a0 1 =k =k 2 2 a2 s 2 + a1s + a0 a2 s 2 + a1s + a0 T s + 2ζTs + 1
∏ (s z ) ∏ (s p )
j =1 j i =1 n i
m
式中: 称为传递函数的零点, 式中:-Zi 称为传递函数的零点,-pj称为传递函数的 极点. 极点.
b0 K = a0
*
——传递系数或根轨迹增益 ——传递系数或根轨迹增益
3. 典型环节及其传递函数
典型环节有比例,积分,惯性,振荡, 典型环节有比例,积分,惯性,振荡,微分和延 迟环节等多种. 迟环节等多种.以下分别讨论典型环节的时域特征和 复域( 特征. 复域(s域)特征.

负载效应
2、动态结构图的等效变换 结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关 系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数， 等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该 部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不 变。 （1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1） 写出系统中每一个部件的运动方程式 2） 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个 部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并 把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置 于最右端 例 绘制下图所示电路的方框图 方程有
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为

例
求例2-4机械系统与电路系统的传递函数Xc(s和) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K2 ) X c B1 X c K1X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
X c (s)
B1s 机K械1 系统传递函数
X r (s) (B1 B2 )s K1 K2
(R1
R2
•
)U
c
(1 C1
1 C2
)U
c
•
R1 U r
1 C1
U
r
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3
(R1
R2 )SUc (s)
(1 C1
1 C2
)U c (s)
R1SU r (s)
1 C1
E(s) R(s)
1
1 H (s)G(s)
1 1 开环传递函数
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20
(6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0
N(s)
C(s) G(s) R(s) 1 H (s)G(s)
+ E(s)
++
C(s)
R(s)
G1 (s)
G2 (s)
-
B(s)
H(s)
打开反馈
2.3.3 方块图的绘制 （1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递 函数，并将它们用方框（块）表示。 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接 起来，便可得到系统的方块图。 系统方块图-也是系统数学模型的一种。