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切 线 长 定 理PPT课件

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3.7《切线长定理》ppt课件(14页)

3.7《切线长定理》ppt课件(14页)
北师大版九年级下册第三章《圆》
A
O
P
B
根据圆的轴对称性，存在与A点重合 你能发现OA与PA ， OB 的一点B，且落在圆，连接 OB ，则它 PA 、PB所在的直线分别是⊙ o两条切线。 与PB之间的关系吗？ 也是⊙ o的一条半径。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条 切线，我们 P 把线段PA， PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
E 1 2 F
O
P
【例题】
【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和 ⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD.
N D O P A L B M C

证明：由切线长定理得
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD，
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
M
2
P
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
∟
1
⌒⌒
O
∟
M
2
P
B
练习
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距 离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求 这两条切线的夹角及切线长．
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

切线长定理(共33张PPT)

切线长定理(共33张PPT)
试用文字语言叙述你所发现的结论
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD

3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学

3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD

切线长定理课件

切线长定理课件

切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。

24.切线长定理(1)PPT课件(人教版)

24.切线长定理(1)PPT课件(人教版)
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
若连接两切点A，B，AB 交OP于点M.你又能得
P
OP垂直平分AB
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分 线
∴OP垂直平分AB
探索新知
若延长PO交⊙O
B
于点C，连接CA，CB，
你又能得出什么新的 C
。
P
结论?并给出证明.
O
CA=CB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ， ∠OPA=∠OPB.
又 ∵ PC=PC ，∴ △PCA ≌ △PCB .∴AC=BC.
探索新知
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，
。
往往需要我们
O
P
构建基本图形。
B
（1）分别连接圆心和切点
探索新知
A O
1
2
P
B
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点， 把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
B
探索新知
请证明你所发现的结论。
P
PA = PB
O
∠OPA=∠OPB
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
C
解得x=4.
因此 AF=4，BD=5，CE=9.

切线长定理课件PPT

切线长定理课件PPT
回头复习
2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、 B、C是⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB 的度数。
解: 连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线 ∴OA⊥PA,OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP＝90° ∴∠AOB=360o-90o-90o-40o＝140° 1 ∴∠ACB= ∠AOB＝70° 2
课堂练习
4、如图：在△ABC中，AB=AC，内切圆O 与边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F. 求证：BF=CE
如图，P为⊙O 外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点， OP交 ⊙O于C，若PA＝6，PC＝2 ，求⊙ O的半径OA 3 及两切线PA、PB的夹角。
解：连接OA、AC，则OA⊥AP
5 10
学习新课
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如 果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO A 与∠BPO有什么关系？
从圆外一点可以 引圆的两条切线， 切线长相等，这一 点和圆心的连线平 分两条切线的夹角
B 几何语言：
∵ PA、PB是⊙O 的切线 ∴PA＝PB ∠APO＝∠BPO
解：(1)∵PA、PB是⊙O的切线 ∴OA⊥PA, OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP＝90° ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB=30o ∴∠PAB=∠PBA=60o ∴∠APB=180o-60o-60o＝60°
课堂练习
5、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点， ∠OAB=30°． (1)求∠APB的度数；(2)当OA=3时，求AP的长．
3 4 2
C
O
1
D F
如图所示是一张三角形的铁皮，如何 在它上面剪下一块圆形的用料，并且 使圆的面积尽可能大呢？ A A

切线长定理PPT课件

切线长定理PPT课件

内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
A
D
F O
B
EC
选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
C E
D
F
A
·O B
C E D
A
·O B
小 结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（4）写出图中所有的相似三角形 △AOC∽ △BOC∽ △POA∽△POB∽ △PAC∽PBC
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
反思：在解决有关圆
的切线A长的问题时，
往往需要我们构建基 本图形。
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
P· ·O
P ·O ·
A
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的 切线？
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？来自A。P
O
B
思考：假设切线PA已作出，A为切点， 则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样 的圆上?
过⊙O外一点作⊙O的切线
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
E
。
OC
D
P OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
A
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能灵活应用。

《切线长定理》ppt

《切线长定理》ppt
新课学习
复习：切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A
.O
L A
L是⊙O的切线.
复习：切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切 点的半径
几何应用:
∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L
.O
L A
证明切线时，添加辅助线的两种方法：
内切圆的概念
与三角形各边相切的圆叫做 三角形的内切圆，内切圆的 圆心是三角形三条角平分线 的交点，叫做三角形的内心。
图中，哪些线段相等？
B
A
D
F O
EC
外接圆
经过三角形的三个顶点 可以作一个圆，这个圆 叫做三角形的外接圆， B 外接圆的圆心是三角形 三条边的垂直平分线的 交点，叫做这个三角形 的外心。
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。
简称：与圆有交点时，连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则 过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长。
简称：与圆没有交点时，作垂直,证半径。
想一想：过圆外一点可以引圆的几条切 线？
A C
注意：
三角形的内心和外心的区别： 内心是三角形三条角平分线的交点，
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
练一练
1、与三角形各边相切的圆叫做三角形的 ________
2、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆 叫做三角形的________
3、三角形_____的圆心，是三角形三条______ 的交点，叫做三角形的内心。
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°

圆的切线长定理 ppt课件

圆的切线长定理 ppt课件

F
┗
┓
B
EC
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
1、四边形ABCD外切于⊙O
A
O· B
P
① PA=PB ② PO平分∠APB
一、判断
练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等。
二、填空
(
)
如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50。
连结PO，则 ∠APO = 25 度。 A
0
P
B
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
经过圆外一点做圆的切线，这一点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C

《切线长定理》PPT课件 人教版九年级数学

《切线长定理》PPT课件 人教版九年级数学

切线长定理
A 从圆外一点可以引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的
连线平分两条切线的夹角.
O
P
几何语言: PA，PB分别切⊙O于A，B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相 等、角相等提供新的方法.
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O于
O P
∵∠BAC=25°, ∴∠BAP=65°. C 又∵PA＝PB, ∴∠BAP=∠ABP=65°.
B
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
7.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY =0.65m， 并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少?为什么？
解：设圆心为O，连接OW，OX. ∵YW，YX均是⊙O的切线， ∴OW⊥WY，OX⊥XY， 又∵XY⊥WY, ∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°， ∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX. ∴四边形OWYX是正方形. ∴OW=WY=0.65m. 即这个油桶底面半径是0.65m.
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
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。
O
A
P
3
知识目标：
教 1、理解切线长定理，懂得定理的产生过程；
学 目
2、会灵活运用切线长定理探究一些结论，并应 用定理解题。
能力目标：
标
探求问题，寻求结论
重点：
切线长定理的应用
难点：
定理的探求、延伸
2020年10月2日
4
阅读课文 P118， 思考下列 问题：
1、什么叫做圆外一点到圆的切线长？ 2、切线长定理的内容是什么？ 3、这个定理是怎样证明的？
是定值（PA+PB）
⑵ ∠DOE的大小是定值 （∠AOB/2）
若∠P=40°，你能说出∠DOE的度数吗？
2020年10月2日
11
如图：AE、BF分别切⊙O于A、 y B，且AE∥BF，EF切⊙O于C。
试证：⑴ AB是⊙O的直径
⑵ OE⊥OF
⑶ OC是AE、BF的 比例中项
BF
x
⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半圆为1：2两 部分，求AE、BF的长。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
18
若已知圆的四条切线呢？
想一想
圆的外切四边形具 有什么性质？
圆的外切四边形的 两组对边的和相等。
D
例：等腰梯形各边都与⊙O 相切， ⊙O的直径为6cm， 等腰梯形的腰等于8cm，则 梯形的面积为_____。
2020年10月2日
8
68
14
通过这节课的复习，你有什么收获或体会？ 关于切线长定理，你还有什么不明白的问题？
证明：连结AB
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
P
∴OP⊥AB
又∵BC为⊙O的直径
∴AC⊥AB
2020年∴10A月C2日∥OP
A O
B
A
C
O
B
16
作业： ⑴ P120 2 试证：点D是△PAB的内心
⑵ P120 3
2020年10月2日
17
演讲完毕，谢谢观看！
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2020年10月2日
5
切线长定理
B
。
P
O
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
2020年10月2日
PA = PB ∠OPA=∠OPB
6
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考：由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
2020年10月2日
7
若已知圆的三条切线呢？
设△ABC的BC=a，CA=b， AB=c，内切圆I和BC、AC、 AB分别相切于点D、E、F
课 型：复习课 授课人：
2020年10月2日
1
已知一条切线时，常有五个性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
2020年10月2日
2
切线长定理
B
2020年10月2日
r.
r = a+b-c
2
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为______。
2020年10月2日
10
如图：从⊙O外的定点P作⊙O
的两条切线，分别切⊙O于点A 和B，在弧AB上任取一点C，过 点C作⊙O的切线，分别交PA、
D
C
O
PB于点D、E。
E
试证：⑴ △PDE的周长
A
x
F
E
.
I
z
By D
C
分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
y+z=a
x+z=b
2020年10月2日
x+y=c
8
看比 谁一 做比 得
快
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9， AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB 切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
2020年10月2日
9
A
c b
若以BF、BA所在的直线分别为x轴、y轴， B为原点，请求出EF所在直线的函数解析式。
2020年10月2日
12
⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半圆 为1：2两部分，求AE、BF的长。
若以BF、BA所在的直线分别为 x轴、y轴，B为原点，请求出EF所 在直线的函数解析式。
y
BF
x
2020年10月2日
13
2020年10月2日
15
Hale Waihona Puke 达1、填空：已知⊙O的半径为3cm， 点P和圆心O的距离为6cm，经过点
标 检
P有⊙ O的两条切线，则切线长为
______cm。这两条切线的夹角为 P ___6_0_度。
测 2、证明题：已知：如图，P为⊙ O外
一点，PA、PB 为⊙ O 的切线，A和B 是切点，BC是直径 求证：AC∥OP