中位线定理定义

平面几何中的中位线定理在平面几何中，中位线定理是一项重要的几何定理，它与三角形的中位线有关。

本文将介绍中位线定理的定义、推导及应用。

一、定义中位线是指一个三角形内连接一个顶点与对边中点的线段。

对于三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点D的线段AD称为三角形ABC的中位线。

二、中位线定理的推导为了证明中位线定理，我们首先定义一些相关的概念：- 定义1：三角形ABC的中位线AD与对边BC的交点为点E。

- 定义2：三角形ABC的中位线BE与对边AC的交点为点F。

- 定义3：三角形ABC的中位线CF与对边AB的交点为点G。

现在，我们来推导中位线定理：由于线段AD是三角形ABC的中位线，所以AD的中点为线段BC 的中点，即D是BC的中点。

根据线段分割定理，我们可以得到以下三个等式：1. BD = DC （D是BC的中点）2. AE = EC （E是AC的中点）3. AF = FB （F是AB的中点）我们将以上三个等式进行相加得到：BD + AE + AF = DC + EC + FB左侧的等式可以进一步简化：(BD + AF) + AE = (BC + FB) + EC由于BD + AF = BF，所以上述等式可以改写为：BF + AE = BC + EC同样地，我们也可以得到：CF + AG = AC + EAAD + BG = AB + FC接下来，我们将以上三个等式进行相加：(BF + CF) + (AE + AG) = (BC + AC) + (EC + EA)我们可以继续简化上述等式：BC + BE + AC + AE = BC + AC + EC + AE由于BC + AC = BA，AE + EC = AC，因此上述等式可以改写为：BA + BE = BA + AC经过化简，我们得到：BE = AC由此可见，中位线BE的长度等于对边AC的长度，即中位线定理得证。

三、中位线定理的应用中位线定理在实际问题中有着广泛的应用。

三角形中位线定理的推论
1. 三条中位线交于一点，称为重心。

2. 重心所在的中位线距离对应顶点的距离的比例为2：1。

3. 中位线长度为底边长度的一半。

4. 重心到对边中点的距离为一半对边长。

5. 以三角形的重心为圆心，以重心到顶点的距离为半径作圆，可圆上的任意点对三角形三个顶点的距离相等。

6. 以两个中点为圆心，中位线长度为半径作圆，则两圆交点与对边中点重合。

7. 以重心为圆心，以重心到任意顶点为半径作圆，圆心角等于顶点所对的角。

8. 以中线为直径作圆，则圆心在三角形外接圆上。

中位线定理中位线定理是指一个三角形的三条中线交于一点且这个点离三角形三个顶点的距离相等，这个点就是三角形的重心。

这个定理是三角形的基本定理之一，能够应用到许多数学问题中。

中位线的定义是连接三角形一边的中点和对面顶点的线段，一个三角形有三条中线。

所有三角形的中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。

三角形的重心在中位线上的比例是2:1，即重心距离每条中位线的距离为中点距离这条中线的距离的两倍。

中位线定理的证明可以通过相似三角形和平行四边形的性质来得到。

设ABC是一个三角形，D、E和F分别是AB、BC和AC上的中点，G是三条中线的交点。

我们需要证明GD和EF平行且相等。

首先，我们知道DG和GE分别是DC和EB的一半，因为D和E是AB的中点，也就是说DE是AB的一半。

同样地，CG和GF分别是BE和AF的一半，因为F和B是AC的中点，所以FB的长度等于AC的一半，也就是GF和CG的长度。

因为DG和CG交于点G，所以DGCG是一个平行四边形。

同样地，GE和GF交于点G，所以GEFG也是一个平行四边形。

DG和GE的长度相等，CG和GF的长度也相等。

由平行四边形的性质可以得到，GD和EF平行且相等。

三角形的重心还有一些特殊的性质，比如它是三角形内心、外心和垂心的平均点，也是三条中线所构成的小三角形的面积最小的点。

这些性质可以通过三角形的其他定理和性质来证明。

在实际应用中，中位线定理可以用于计算三角形的重心的位置。

如果已知三角形的三个顶点的坐标，可以用中点公式计算中点的坐标，然后用重心的性质计算重心的坐标。

这对于计算三角形的重量、质心、离心率等问题非常有用。

此外，中位线定理还有一些扩展，比如垂径定理、角平分线定理、内心坐标公式等。

这些扩展定理都与三角形相关，可以用于解决各种数学问题。

初二数学中位线的知识点总结在初中所学的中位线知识包括了三角形中位线和梯形中位线定理。

中位线概念(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

2.中位线定理(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.三角形两边中点的连线(中位线)平行于第BC边，且等于第三边的一半。

三角形的中位线所构成的小三角形(中点三角形)面积是原三角形面积的四分之一。

比起梯形中位线的知识要领，三角形的中位线定理更加的容易出现在试题中。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

中位线定理1. 引言中位线定理是概率论和统计学中一个重要的定理。

它是指在一个假设随机样本中，样本中位数将以非常高的概率接近于总体中位数。

在这篇文档中，我们将详细讨论中位线定理的定义、证明以及实际应用。

2. 定义给定一个总体，我们可以通过随机抽样得到一个样本。

样本中位数是将样本中的数据按照大小排序后，处于中间位置的数。

总体中位数是指总体中的一个值，使得在这个值之前的观测值个数与之后的观测值个数相等。

中位线定理指出，样本中位数接近总体中位数的概率非常高。

3. 证明为了证明中位线定理，我们需要使用一些概率论和数理统计的基本理论。

以下是一个简化的证明思路：首先，我们假设总体满足一定的条件，比如总体分布是对称的。

然后，我们根据随机抽样的性质，可以证明样本中位数是一个一致性良好的估计量。

也就是说，随着样本容量的增加，样本中位数将趋向于总体中位数。

在证明过程中，我们需要使用一些概率极限定理，比如大数定律和中心极限定理。

这些定理可以帮助我们得出结论，即样本中位数以非常高的概率接近于总体中位数。

尽管中位线定理的证明可能相对复杂，但是理解其基本思想对于理解概率论和统计学中其他重要概念是非常有帮助的。

4. 实际应用中位线定理在实际应用中具有重要的作用。

它可以帮助我们进行统计推断和参数估计。

例如，当我们想要估计总体中位数时，可以通过随机抽样得到一个样本，然后计算样本中位数。

根据中位线定理，我们可以有很大的把握说样本中位数接近于总体中位数。

除了参数估计，中位线定理还可以在假设检验中发挥重要作用。

我们可以根据样本中位数与总体中位数之间的差距，判断总体是否符合某种特定的条件。

例如，如果样本中位数远离总体中位数，我们可以得出结论，总体可能不满足某种对称性的条件。

中位线定理还可以在数据处理和分析中帮助我们作出决策。

通过考察样本中位数和总体中位数的关系，我们可以了解数据的分布特点，并根据这些特点来制定合适的策略。

5. 总结中位线定理是概率论和统计学中一个非常重要的定理。

中位线的定理
中位线定理又称为中位定理，是指一条直线将一个图形分成两边，其中左边的面积与右边面积相等。

它可应用到多边形，圆，椭圆等图形上，它是由荷兰数学家乔治·杰斐森（George-Jouffroy）于1860年提出，现在它在数学的图形学中运用较为广泛。

中位线定理可以用如下方法来证明：
（1）绘制一个带有任意多个边的多边形，用线段l连接该多边形runing顶点，于此同时将其分为两部分，所构成的新多边形称为原多边形的子多边形。

（2）分别计算子多边形左边和右边的面积，然后将它们相加再各自除以2，余下的面积就是原多边形的1/2面积。

（3）将l line向右移动，然后重复上述步骤，得出的结论是不论移动的位置如何，左边的面积仍然等于右边的面积，从而得出中位线定理——原多边形的1/2面积等同于所有可能的两个子多边形的1/2面积之和。

中位线定理的最重要的应用之一就是计算多边形的面积，通过运用中位线定理可以把多边形的面积分成多个面积相等的子多边形，然后再求出每个小子多边形的面积，最后再把它们累加起来，就可以求出原多边形的面积了。

因此，大多数多边形的面积计算都是建立在中位线定理之上的。

此外，由于多边形可以把一个图形分割成两部分，因此中位线定理还可以用来求出扇形和圆周的面积。

我们可以把一个扇形或圆周等分成相等的子扇形或者子圆周，再用中位线定理求出每个小子扇形或子圆周的面积，最后累加起来，就可以得出扇形或圆周的面积了。

总之，中位线定理是数学中一个很好用的定理，其应用非常广泛，既可用于多边形面积计算，也可用于求出扇形或圆周的面积。

虽然这一定理已经存在了150多年，但是它仍然对现在的数学学习、研究和应用都有着重要的意义。

初中数学什么是三角形的中位线定理三角形的中位线定理是指在一个三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段被称为中位线。

中位线将三角形分割为两个等面积的小三角形，并且中位线的长度等于对边的一半。

设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，连接AD。

根据中位线定理，有以下结论：1. 中位线AD平分对边BC，并且AD = 1/2 * BC。

2. 中位线AD将三角形ABC分割为两个等面积的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。

证明中位线定理的方法有多种，下面介绍一种简单的方法：首先，连接两个中位线BD和CE。

根据中位线的定义，BD和CE分别是AC和AB的中点。

由于BD平行于AC，根据平行线性质，△ABC和△BDC是相似的。

同样地，△ABC和△CEA也是相似的。

根据相似三角形的性质，相似三角形的边长成比例。

因此，我们可以得到以下比例关系：AB/BD = AC/CDAC/CE = AB/BE由于BD和CE都是对边的中点，所以BD = CE。

将这个等式代入上述比例关系中，得到：AB/BD = AC/CD --> AB/CE = AC/CD根据等式的传递性，我们可以得到：AB/CE = AC/CD这意味着△ABE和△ACD的边长成比例，根据边比例定理，它们是相似的。

接下来，我们证明△ABD和△ACD的面积相等。

由于BD和CE是对边的中点，所以它们的长度相等，即BD = CE。

这意味着△ABD和△ACD的底边相等。

同时，根据中位线定理，AD = 1/2 * BC，所以△ABD和△ACD的高度也相等。

因此，△ABD和△ACD的底边和高度都相等，根据三角形的面积公式S = 1/2 * 底边* 高度，它们的面积相等。

综上所述，中位线定理成立：连接一个顶点和对边中点的线段是对边的一半，并且将三角形分割为两个等面积的小三角形。

第13讲 中位线定理⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩三角形的中位线中点四边形中位线定理多边形的内角和多边形的外角、外角和知识点1：三角形的中位线1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形共有三条中位线．2.三角形中位线的性质：（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）三角形的中位线将三角形分成两部分的面积之比为1:3．3.三角形中位线逆定理：（1）在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线．（2）在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．【典例】例1 （2020春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：∠AHF ＝∠BGF ．【方法总结】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例2（2020春•桃江县期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAE＝∠CAE，BE ⊥AE于点E，BE的延长线交AC于点D，F是BC的中点，求EF的长．【方法总结】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．2．（2020春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，E、F分别为AC、AD的中点，连接EF，若∠ACD＝120°，求线段EF的长度．3．（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．知识点2：中点四边形不同的四边形的中点四边形如下：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形；（2）平行四边形的中点四边形是平行四边形；（3）菱形的中点四边形是矩形；（4）矩形的中点四边形是菱形；（5）正方形的中点四边形是正方形；【典例】例1（2020春•龙岩期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证四边形EFGH是菱形；（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【方法总结】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，矩形的判定定理是解题的关键．例2（2020春•兰州期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、DO的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD＝36，AB＝10，求△OEF的周长．【方法总结】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件________时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件________时，四边形EGFH是矩形．2．（2020春•相城区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是线段BC 、AD 、OB 、OD 的中点，连接EH 、HF 、FG 、GE ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）当EF 和BD 满足条件________时，四边形GEHF 是矩形；（3）当EF 和BD 满足条件________时，四边形GEHF 是菱形．3．（2020春•江汉区期中）如图1，A 1，B 1，C 1，D 1分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝10．（1）试判断四边形A 1B 1C 1D 1的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点A 2，B 2，C 2，D 2，再依次取A 2B 2，B 2C 2，C 2D 2，D 2A 2的中点A 3，B 3，C 3，D 3……以此类推，取A n ﹣1B n ﹣1，B n ﹣1C n ﹣1，C n ﹣1D n ﹣1，D n ﹣1A n ﹣1的中点A n ，B n ，∁n ，D n ，根据信息填空：①四边形A 1B 1C 1D 1的面积是________；②若四边形A n B n ∁n D n 的面积为1516，则n ＝________；③试用n 表示四边形A n B n ∁n D n 的面积________．知识点3： 多边形的内角和多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n-2）×180° （n ≥3），且n 为整数）正多边形的每个内角等于n−2×180°.n【典例】例1（2020秋•路南区期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【方法总结】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解．例2 （2020秋•洪山区期中）一个多边形从某个顶点出发的对角线共有3条，这个多边形的内角和是________．【方法总结】本题主要考查多边形的内角和定理，多边形的对角线，根据多边形的对角线求解多边形的边数是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•固始县期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A+∠B＝222°，且∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是________．知识点4 多边形的外角、外角和多边形的外角和等于360°．正多边形的每个外角等于360°.n【典例】例1（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，（1）左转了________次；（2）一共走了________米．【方法总结】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．例2（2020秋•丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【方法总结】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解比较简便．第2问在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．【随堂练习】1．（2020秋•梁子湖区期中）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六边形ABCDEF的内角和；（2）求∠BGD的度数．2．（2020秋•武威期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的内角和．综合运用1．（2020秋•盘龙区期末）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝_______．2．（2020秋•九龙坡区校级期中）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝_______．3．（2020秋•固始县期中）小刚从点A出发，前进10米后向右转60°，再前进10米后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，他能回到A点吗？当他第一次回到A点，他走了多少米？4．（2020秋•郁南县校级月考）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．5．（2020•浙江自主招生）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC中点，延长BA、FE交于M，延长FE，CD交于N．求证：∠AME＝∠N．6．（2020春•白云区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．7．（2020•丹江口市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，S ABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH 的周长等于_______．8．（2020春•青云谱区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．（1）求证：AD＝BC；（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．9．（2020春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。

中位线定理中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。

用途：平面几何线段间的关系。

一、中位线概念：(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

注意：三角形有三条中位线。

(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：（1）梯形中位线不是连接两底中点，是连接两腰中点。

（2）三角形有三条中位线，而梯形的中位线是唯一的。

二、定理介绍：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

推论1：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

推论2：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

推论3：梯形的面积等于它的中位线和高的积。

三、定理证明：1）三角形中位线定理证明已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。

求证DE 平行于BC 且等于2BC .2)梯形中位线证明已知梯形ABCD ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，连接EF ，求证：EF 平行两底且等于两底和的一半。

思考：试证明推论1、2/3四、定理应用：1）三角形中位线定理在初中几何中的应用：三角形中位线有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系（2）等于第三边的一半，这是数量关系。

就第一个特性而言，可以得到三角形中位线定理的逆定理（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）。

我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，一下举例说明它的具体应用。

一）证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，点O为AC，BD的交点，M、N为EF与BD，AC的交点。

求证：OM=ON.例2、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE.2、证明线段的倍分关系以及相等关系例3、如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接EF ，交BD 于点M 点。

中位线定理1 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；2 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

3连接梯形的两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。

4 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。

1．知识要点(1) 如图1，三角形中位线性质定理的条件是 ，结论是 ； 三角形中位线判定定理的条件是 ，结论是 。

（图1） (2) 如图2，梯形中位线性质定理的条件是 ， 结论是 ；梯形中位线判定定理的条件是 ，结论是 。

（图2） 2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。

此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1) 全等三角形对应边相等；(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； (3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4) 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质； (8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。

二、基本题组1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是 ； 2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 ； 3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ； 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是 ； 5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是 ； 6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 。

7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是 。

8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是 。

9．顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10．顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11．顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

12．已知D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，则△DEF 与△ABC 的周长比为 ， 面积比为 。

探究平面几何中的中位线定理平面几何是数学中的重要分支，研究平面中的点、线和图形之间的关系。

在平面几何的研究中，中位线定理是一个重要的定理，它揭示了三角形中的中位线之间的关系。

本文将探究平面几何中的中位线定理，介绍其定义、性质以及证明过程。

一、中位线定理的定义在平面几何中，三角形的中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

具体来说，对于三角形ABC，以顶点A为起点，连接BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。

二、中位线定理的性质中位线定理可以分为两个部分：1）中位线的性质；2）中位线的长度关系。

1）中位线的性质中位线的一个重要性质是：三角形的三条中位线交于一点，且这个点被称为三角形的重心。

也就是说，对于任意三角形ABC，连接三条中位线所得的交点G就是三角形ABC的重心。

2）中位线的长度关系中位线定理中的另一个重要性质是：三角形的重心将三条中位线按照2:1的比例分割。

也就是说，对于任意三角形ABC，连接顶点A与中点D的线段AD与中位线BC的长度之比为2:1，同样的，连接顶点B与中点E的线段BE与中位线AC 的长度之比也为2:1，连接顶点C与中点F的线段CF与中位线AB的长度之比同样为2:1。

三、中位线定理的证明过程中位线定理的证明过程可以通过向量法、坐标法或者几何推理法来进行。

下面以几何推理法为例，简要介绍中位线定理的证明过程。

证明：设三角形ABC的中位线AD与BC交于点M，连接AM。

首先，我们需要证明AM平分BC。

根据中位线的定义，AD是BC的中位线，所以AD=DC。

又因为三角形ABC中，AM是三角形ABD的中位线，所以AM平分BD，即AM=MD。

综合两个等式可得AM平分BC。

接下来，我们需要证明AM与BC的交点M同时也是三角形ABC的重心。

为此，我们可以利用反证法。

假设点M不是三角形ABC的重心，即三角形ABC的重心为G，且MG不等于0.5BC。

根据中位线的性质，三角形ABC的重心将三条中位线按照2:1的比例分割，即AG:GM=2:1。

任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。

我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。

在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。

中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。

中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。

它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。

在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。

通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。

这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。

我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。

接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。

通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。

在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。

这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。

总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。

通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。

本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。

在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。

通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。

在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。

中位线的判定定理
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。

1判定方法
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。

2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中点之间的线段为三角形的中位线。

3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。

2中位线定义
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。

其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。

但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。

梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。

其逆定理正确与否与上相仿。

1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线.
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中
点之间的线段为三角形的中位线.
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线.
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
平行于第三边,并且是一边的中点的线段是中位线.这条还是一个定理,可以证明出来。

中位线定理一.中位线概念(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

二.中位线定理1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．如图，三角形两边中点的连线（中位线）平行于第BC边，且等于第三边的一半。

三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。

证明：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

中位线证明求证DE平行且等于BC/2法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD ∴∠A=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE ∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD ∴BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴DE=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立.法二：利用相似证∵D，E分别是AB，AC两边中点∴AD=AB/2 AE=AC/2∴AD/AE=AB/AC又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC∴DE/BC=AD/AB=1/2 ∴∠ADE=∠ABC∴DF∥BC且DE=BC/2三角形中位线定理的的逆定理逆定理一：三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2【证法①】取AC中点G ，联结DG则DG是三角形ABC的中位线∴DG∥BC又∵DE∥BC∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合）2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。

它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。

中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。

一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。

让我们回顾一下中位线的定义。

中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。

为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。

设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。

根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。

现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。

设交点为D。

根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。

我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。

然后我们来看三角形ADM和三角形BND。

根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。

根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。

根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。

因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。

同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。

我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。

根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。

我们可以得出结论：CD || AB。

根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。

因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。

代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。

我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。

根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。

中位线判定定理中位线判定定理，又称为均值判定定理，是由英国数学家康托尔所提出的一种基本数学定理。

它通过比较直线或圆弧与特定点之间的距离，来求出该直线或圆弧的中点，也就是中位线。

该定理表明，任意三个不共线的点，可以施加一定的条件决定出一个中点，使得它们到中点的距离相等，而这个中点就是中位线。

中位线判定定理可以用于确定一个确定的中位线。

通常情况下，中位线判定定理指的是三个不共线的点，如果将这三个点连接起来，形成一个三角形，那么中位线就会在这三角形的外侧，两个点到中位线的距离都是一样的。

也就是说，中位线判定定理就是根据三个不共线的点，来求出他们三个点到同一直线的距离都是相等的，而这个直线就是中位线。

中位线判定定理的应用非常广泛，其中最重要的就是用于求解平面图形的质心，即重心。

重心是指一个重量平均分布的点，即把一个平面图形分割成若干个等重量的部分，每一部分的重量之和与总重量相等，这样重心就是它们之间的中点。

中位线判定定理可以用来求出这样一个重心，即任意三个不共线的点，将它们连接起来，求出中位线，它们到中位线的距离都是一样的，而这个中点就是重心。

此外，中位线判定定理还可以应用于多边形的面积计算，多边形的面积可以根据它的各个顶点的坐标和中位线判定定理来计算，它可以让我们根据一些线段或者圆弧的中点，来推算一个多边形的面积。

中位线判定定理也可以用于求解几何图形的重心，对于曲线或者曲面，只要将它们分割成若干个等重量的部分，就可以采用中位线判定定理来求解曲线或曲面的重心。

总之，中位线判定定理是一个十分重要的数学定理，它可以用来求解一个确定的中位线，以及重心和多边形的面积，也可以用来求解曲线或曲面的重心，因此它在几何图形、力学以及其他几何问题中都有着重要的作用。