编号11 山西大学附中高三年级函数奇偶性

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号116课题：概率与统计21．一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张，编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张，编号分别为2, 3, 4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (Ⅰ)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(Ⅱ)再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．2．某中学动员学生在2013年春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．(Ⅰ)求合唱团学生参加活动的人均次数；(Ⅱ)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(Ⅲ)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．3．现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.4．某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。

试题库中现共有n m +道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量。

(Ⅰ)求2X n =+的概率；(Ⅱ)设m n =，求X 的分布列和均值（数学期望）．5．为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统,鼓励市民租用公共自行车出行.公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下：①租用时间不超过1小时,免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时,收费1元；③租用时间为2小时以上且不超过3小时,收费3元；④租用时间超过3小时,按每小时3元收费(不足l 小时的部分按1小时计算).甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.6和0.7;有租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3和0.2..(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费相同的概率；(Ⅱ)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望E ξ．6．盒子内装有5张卡片,上面分别写有数字1、1、2、2、2,每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取1张卡片,记下它上面的数字x ,然后放回盒子内搅匀,再从盒子中任取1张卡片,记下它上面的数字y .设2318,()55M x y f t t Mt =+=-+. (Ⅰ)求随机变量M 的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数2318()55f t t Mt =-+在区间(2,4)内有且只有一个零点”为事件A,求A 的概率()P A ．。

山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号37三角函数的图象和性质（二）【学习目标】记忆sin()y A x ωϕ=+的图像与性质 【学习重点】记忆sin()y A x ωϕ=+的图像与性质 【学习难点】会用sin()y A x ωϕ=+的图像与性质【学习过程】（一）基础梳理：1．理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2．在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．（二）巩固练习：1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ）A ．0B ．4πC ．2πD ．π 2．方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ） A ．[3,1]- B ．(,1]-∞ C ．[1,)+∞ D ． 以上都不对3．函数x x y 2cos 32sin -= )66(ππ≤≤-x 的值域为 （ ）A ．[]2,2- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．]0,3[-4．已知函数sin 3y x π＝在区间[0,]t 上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．95．已知在函数()xf x Rπ=图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在222x y R +=上，则()f x 的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．定义在R 上的函数|2|2)(,]3,1[),2()()(--=∈+=x x f x x f x f x f 时当满足，则A ．)6(cos )6(sinππf f < B ．)1(cos )1(sin f f > C ．)32(sin )32(cos ππf f < D ．)2(sin )2(cos f f > （ ）7．已知不等式()2cos 0444xx x f x m =≤对于任意的566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）.A．m ≥ B．m ≤ C．m ≤ D．m ≤≤ 8．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________．9．函数22()cos 2cos 2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 10．当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________ ．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离 为()f θ，则()f θ＝ ．12．下列五个命题：①44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{,}2k x x k Z π=∈；③在同一坐标系中，sin y x =的图象和y x =的图象有三个公共点；④sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数；⑤把3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象。

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则()A.B.C.D.{-2,-1,0}2.已知复数z满足，则z的虚部为()A. B. C.1 D.-13.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是()A.只有2次出现反面B.至少2次出现正面C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面4.命题“，”的否定是()A.，B.，2-≤0C.，D.，2—>05.设顶角为的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为()A. B. C. D.6.已知A,B,C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是()A.B.C.直线AB与直线l是异面直线D.7.已知直角三角形ABC中，，，，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为()A.B.C.D.8.关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是()A.某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查B.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135C.若甲乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定D.若数据的平均数为，则数据的平均数为9.声强级单位：dB)由公式给出，其中I为声强单位：W/m2某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5×10-8w/m2,10-8w/m2,2×10-9w/m2，则这3人中达到班级要求的人数为()A.0B.1C.2D.310.已知函数f(z)是定义域为R的偶函数，且，若f(z)在[-1,0上是单调递减的，那么f()在[2,3上是()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米在水面下则d为负数，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过t秒后，下列命题正确的是(参考数据：()①,其中，且，②,其中，且，③当t≈38时，盛水筒P再次进入水中，④当t≈22时，盛水筒P到达最高点.A.①③B.②③C.②④D.①④12.地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①,已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②,则下列结论正确的个数是()直线AD与平面DEF所成的角为(2)底座多面体ABCDEF的体积为(平面BCF//平面ADE(4)球面上的点距离球托底面DEF 的最小距离为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号9函数解析式【学习目标】1.熟悉求解函数的解析式方法；2、求解函数的解析式【学习重点】 求解函数的解析式【学习难点】 求解函数的解析式【学习过程】（一）方法梳理通过下面题目总结求函数解析式方法：1.已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f .2.已知x x f lg )12(=+，求)(x f .3.已知331)1(x x x x f +=+，求)(x f .4.已知)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f .5.函数)(x f 对一切实数x 、y 均有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f ，①求)0(f ；②求)(x f .6.已知函数()21f x x =-，2,0()1,0x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[]()f g x 和[]()g f x 的解析式.（二）巩固练习1.下列各对函数中，相同的是 A.221)()(,)(x x g x x f ==B.()f x =()1g x x =-，[]1,1x ∈-C.()y f x =，()(1)g x f x =+，x R ∈D.()12()lg xf x =，()lg2g x x =⋅2.函数f ：{}{}1,2,31,2,3→满足(())()f f x f x =，则这样的函数个数共有A. 1个B.4个C.8个D.103.函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()21=+a f f ，则a 的所有可能值为 A.1B. C. 1， D. 14.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(132)(x xx x x f 若a a f >)(，则实数a 的取值范围是A.)3,(--∞B.)1,(--∞C.),1(+∞D.（0，1）5.已知5()lg f x x =，则(2)f =A. lg 2B.lg32C.1lg 32D.1lg 256.设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝7.已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是 8.已知()f x 对于定义域内的任何x 、y 都有关系式：()()()f x y f x f y +=+成立， 那么11()()=22f x f x - 9.设函数11)(+=x x f 的图象为1C ，若函数)(x g 的图象2C 与1C 关于x 轴对称， 则)(x g 的解析式为10.设二次函数()y f x =的最小值为4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式.11.已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式.。

山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号10正弦函数、余弦函数的性质（二）【学习目标】1．根据图像知道正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性；2．会用正余弦函数的有界性解决一些最值有关的问题．【学习重点】正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性和最值．【学习难点】正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性和最值．【学习过程】一．导学：（阅读课本3837~p p ）1．正弦函数、余弦函数的奇偶性：（1）由诱导公式=-)sin(x __________，知正弦函数)(sin R x x y ∈=是__________，反映在图像上，正弦曲线关于__________对称．（2）由诱导公式=-)cos(x __________，知余弦函数)(cos R x x y ∈=是__________，反映在图像上，余弦曲线关于__________对称．2． 正弦函数、余弦函数的单调性（1）正弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从 1-增大到1；在每一上闭区间______________________________上都是减函数，其值从1减小到1-．（2）余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从 1-增大到1．在每一个闭区间______________________________上都是减函数，其值从1减小到1-．3．正弦函数、余弦函数的对称轴、对称中心正弦曲线的对称轴为________________________；对称中心_______________________；余弦曲线的对称轴为________________________；对称中心_______________________．二．导练：导练1：下列函数有最值吗？如果有，请写出取最大值、最小值的自变量x 的集合，并写出最值．（1）R x x y ∈+=,1cos 3 （2）R x x y ∈-=,2sin 3导练2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1))18sin(π-与 )10sin(π- ； (2))523cos(π-与 )417cos(π-．导练3：求下列函数的单调增区间（1）)4sin(π+=x y （2）)321sin(π+=x y （3） )321cos(π+-=x y三．小结：这节课学到了什么？四．课堂自测：1．判断下列函数的奇偶性（1）)252sin(2)(π+=x x f （2）1sin 2)(-=x x f （3）)sin 1lg(sin )(2x x x f ++=2．求函数)62sin(3π+=x y 的对称轴方程；3．求下列函数的单调区间：（1）)24sin(x y -=π；（2）)43cos(log 21π+=x y （3）|)4sin(|π+-=x y4．求下列函数的值域：（1）)32cos(23π++=x y ；（2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y5．若x b a y sin +=的值域是]23,21[-，求b a ,的值；6．],528[),321cos(2a x x y ππ∈+-=，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．。

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号12函数周期性【学习目标】1.会求周期函数的周期；2、应用函数的周期性解决相关问题【学习重点】应用函数的周期性解决相关问题【学习难点】 应用函数的周期性解决相关问题【学习过程】（一）知识梳理1.周期函数的定义:对于函数)(x f y =，如果存在一个常数0T ≠，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有 ，则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数.2.总结与周期相关的结论：（二）巩固练习1.设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.7f2.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间()6,0内解的个数的最小值是3.设函数()f x 为R 上奇函数，且)2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=，则)5(f 为 4.已知)(x f 为定义在R 上的周期函数，)(x g 是定义在R 上的非周期函数，且0)(≥x g ①2)]([x f 必为周期函数；②))((x g f 必为周期函数；③)(x g 不是周期函数；④))((x f g 必为周期函数.其中正确命题的序号为______________.5.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则(113.5)f =6.定义在R 上的函数)(x f 满足=)(x f ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的值7.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()()2f x f x =-+=-=-)1()2(f f 1-,(0)2f =,则(1)(2)(2008)(2009)f f f f ++++=…8.设函数1()1x f x x -=+，记(){[()]}n n ff x f f f f x =⋅⋅⋅个，则=)2011(2011f 9.设()x f 是定义在R 上的正值函数,且满足()()()x f x f x f =-+11.若()x f 是周期函数,则它的一个周期是10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，()3f x x x ＝－，则函数()y f x ＝的图像在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为_______.11.定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x = 在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 的最小值为_______.12.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =,]2,1[∈x 的反函数.13.已知)(x f 是实数集R 上的函数，且对任意R x ∈，)1()1()(-++=x f x f x f恒成立.(1)求证:)(x f 是周期函数；(2)已知2)3(=-f ，求)2013(f .。

山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >2. 复数()634i i i-+-的实部与虚部之差为（ ）A ．-1B ．1C ．75-D ．753. 已知()cos 2cos 2ααπ⎛⎫+=π- ⎪⎝⎭，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．3-D ．134．已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．225．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A ．72种 B ．36种 C ．24种 D ．18种6. 当输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．67. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A ．点P 到平面QEF 的距离 B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角 C ．三棱锥P QEF -的体积 D ．△QEF 的面积 9．已知函数()cos()sin 4f x x x π=+，则函数()f x 满足（ ）A ．最小正周期为2T π=B ．图象关于点2(,)8π-对称 C ．在区间(0,)8π上为减函数 D ．图象关于直线8x π=对称10. 设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC△周长的取值范围为（ ）A ．()0,22+B ．()0,33+C ．()22,33++D ．(22,33⎤++⎦11. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结2MF ，2NF ，若220MF NF ⋅=u u u u r u u u u r ，22MF NF =u u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．612.已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (0,e)B. (e,+)∞C. (0,2e)D. (2e,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的取值范围是14．已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点),,(y x P 则||PQ y +的最小值是15. 已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的正整数n 的最大值为_______．16. 已知在四面体A BCD -中，1AD DB AC CB ====，则该四面体的体积的最大值为___________．图1：设备改造前样本的频率分布直方图 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <． 18．（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形ABCD ，2AB =，6CD =，22AD =，E 、F 分别是CD 的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF 、BE 折起，使得点C 和点D 重合，记为点P ，如图（2）．（1）求证：平面PEF ⊥平面ABEF ；（2）求平面PAE 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数2184814162（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望．20．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22．（1）求椭圆C 的方程； 21. 已知函数,其中为实数．(1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()13f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥；（2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）二、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k > 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中至少有3个元素，则2log 4k >，解得16k >，故选B.学科网2. 复数()634i i i-+-的实部与虚部之差为（ ）A ．-1B ．1C ．75-D ．75【答案】B3. 已知()cos 2cos 2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．4- B ．4C ．13-D ．13【答案】C 【解析】因为()cos 2cos 2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=， 所以1tan 1tan 41tan 3αααπ-⎛⎫-==-⎪+⎝⎭，故选C ．4．已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1B 2C ．12D ．22【答案】D【解析】设a 与b 的夹角为θ，()⊥-a a b Q ，()20∴⊥-=-⋅=a a b a a b ，2cos 0θ-⋅=a a b ，2cos 2θ∴=，∴向量a 在b 方向上的投影为2cos 2θ⋅=a ，故选D ．5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A ．72种 B ．36种 C ．24种 D ．18种5．【答案】B【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有， 则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科，2名护士，则有1233C C 339=⨯=，其余的分到乙村， 若甲村有2外科，1名护士，则有2133C C 339=⨯=，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为()29921836⨯+=⨯=种，故选B ．6. 当输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得16a =，12b =， 满足条件a b ≠，满足条件a b >，16124a =-=， 满足条件a b ≠，不满足条件a b >，1248b =-=， 满足条件a b ≠，不满足条件a b >，844b =-=， 不满足条件a b ≠，输出a 的值为4．故选C ．7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项． 由于()2e e 2f =-，()222e e 3f =-，()()2e e f f >，函数单调递减，排除C 选项． 由于()1001002e 0e 101f =>-，排除D 选项．故选A ． 8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．△QEF 的面积 8.【答案】B 【解析】试题分析：将平面QEF 延展到平面11CDA B 如下图所示，由图可知，P 到平面11CDA B 的距离为定值.由于四边形11CDA B 为矩形，故三角形QEF 的面积为定值，进而三棱锥P QEF -的体积为定值.故A ，C ，D 选项为真命题，B 为假命题.9．已知函数()cos()sin 4f x x x π=+，则函数()f x 满足（ ）A ．最小正周期为2T π=B ．图象关于点2(,84π-对称 C ．在区间(0,)8π上为减函数 D ．图象关于直线8x π=对称9.【答案】D 【解析】)2211cos 22()cos sin sin sin 2221222244x f x x x x x x π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-=+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦，所以函数最小正周期为π，将8x π=代入sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭，为sin2π故直线8x π=为函数的对称轴，选D.10. 设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ）A ．(0,22B ．(0,33C ．(22,33D ．(22,33【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，02C π<<，即022C π<<，022C C π<π--<，02C π<<，所以64C ππ<<，23cos C <<2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由sin sin b c B C=， 即2sin sin34cos 1sin sin c B Cb C C C===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则(2t ∈⎭，又因为函数242y t t =+在(2⎭上单调递增，所以函数值域为(2+，故选：C ．11. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结2MF ，2NF ，若220MF NF ⋅=u u u u r u u u u r ，22MF NF =u u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）ABCD11．【答案】B【解析】结合题意可知，设2MF x =，则2NF x =，MN =， 则结合双曲线的性质可得，212MF MF a -=，122MF MN NF a +-=，代入，解得x =，∴12NF a =+，2NF =，1245F NF ∠=︒， 对三角形12F NF 运用余弦定理，得到()()()()()2222222cos45a c a ++-=+⋅︒，解得ce a=B ． 12.已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (0,e)B. (e,+)∞C. (0,2e)D. (2e,)+∞答案：D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)+?上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解. 因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()t t y t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的取值范围是13．【答案】]2,1[-试题分析：由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，平移直线0x y =-过点(0,1)A 时，z 有最小值为1-；平移直线0x y =-过点(2,0)B 时，z 有最大值为2，所以y x z -=的取值范围是]2,1[-，14．已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点),,(y x P 则||PQ y +的最小值是14．【答案】215. 已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的正整数n 的最大值为_______．15．【答案】6【解析】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，241581a a a a ⋅==， 即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则211122221323111333313n n n n T --⎛⎫=++++=⨯=- ⎪⎝⎭-L ，∴12019113n T ->， 即1201913n⨯>，得32019n<，此时正整数n 的最大值为6．故答案为6． 16（理）. 已知在四面体A BCD -中，1AD DB AC CB ====，则该四面体的体积的最大值为___________．16．答案：27解析：取AB 中点O ，连接,CO DO ，要使得四面体的体积最大，则必有平面ABD ⊥平面ABC ，设OB t =， 则2,AB t OD OC ==， 则31112()323V t t t ⎛=⨯⨯=-+ ⎝， 则21(31)3V t '=-+，令0V '=，得3t =，当3t =时，V ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(理)17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <． 17．解析：（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，…………1分ABCDO当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①，1112(1)21n n n S n a a ---=-+- ②…………2分 -①②，得112(1)22n n n n n a na n a a a --=--+-，即1(1)n n na n a -=+，………………………………3分所以11n n a an n -=+， 且1122a =，………………………………………………………………………………4分 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，…………………………5分 112n a n =+，即1()2n n a n N *+=∀∈．…………………………………………6分 （2）由（1）得12n n a +=，所以22144114(1)(1)1n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪+++⎝⎭，………8分 所以22224444234(1)n T n =+++++L ，……………………9分 4444122334(1)n n <++++⨯⨯⨯+L ，………………10分 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L …………………11分14141n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．……………………………………12分18．（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形ABCD ，2AB =，6CD =，AD =E 、F 分别是CD 的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF 、BE 折起，使得点C 和点D 重合，记为点P ，如图（2）．（1）求证：平面PEF ⊥平面ABEF ；（2）求平面PAE 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值．18．【答案】（1）见解析；（2）7． 【解析】（1）E 、F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF ⊥， 又BE PE ⊥，且PE EF E =I ，∴BF ⊥面PEF 又面ABEF ，∴平面PEF ⊥平面ABEF ．（2）过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ， 又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0F -，(3P ，∴()2,0,0AF =-u u u r ，(3FP =u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，(2,1,3PA =--u u u r，设平面PAF 的法向量为()1111,,x y z =n ，则1100AF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，∴1112030x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，()10,3,1=-n ， 设平面PAB 的法向量为()2222,,x y z =n ，图1：设备改造前样本的频率分布直方图则2200AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，∴222220230y x y x =⎧⎪⎨--=⎪⎩，)22,3,0=n ，12127cos 27θ⋅===⋅⋅n n n n ． ∴平面PAE 与平面PAB 7． 19．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望． 18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下 质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数41640121810417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=． ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=． ……………………………………………2分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2． ………………………3分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16． …………4分 随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=， 12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=， 12111(420)233P X C ==⨯⨯=，111(480)224P X ==⨯=，…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：…………………………………………………………………11分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分20．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O在点A 处的切线被椭圆C截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 20．【答案】（1）22163x y +=；（2）见解析． 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c知，b c =，a =， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=．易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x = 由（1）知，M，N，OM =u u u u r，ON =u u u r，0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，∴OM ON ⊥． 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，=()2221m k =+．联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m kmx x k m x x k ∆⎧⎪=-+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩．∵()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k mk m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥．综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥．在Rt OMN △中，由OMP △与NOP △相似得，22OP PM PN =⋅=为定值． 21. 已知函数,其中为实数．(1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，求证：．【答案】 (1)单调减区间为,,单调减区间为．(3)见解析 【解析】(1)，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,,单调减区间为．3.0,a ≤此时的单调增区间为()0,24a+-, 单调减区间为()24,a +-+∞．(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．因为要证,只需证．构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．则在上递减, 上递增,所以的最小值为．因为,当时, ,则,所以恒成立．所以,所以，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ， ………………2分 即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =． ………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l 的参数方程为35,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ，代入得：05332=+-t t ，70∆=>， ………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数，所以5||||||21==⋅t t DB DA ． ………………10分23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()13f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|01}x x x ≤≥或；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥． ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥，所以2x ≥．综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或．·····5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩．解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．·····10分。

山西大学附属中学2019届高三9月模块诊断数学试题考试时间：分钟满分：150分考察范围：函数·导数·三角函数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】先根据不等式的性质，化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【详解】∵A={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2或x＜﹣2}B={x|}={x|x＜﹣2}∴A∩B={x|x＜﹣2}故选：B．【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．2.下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目所给条件，说明函数f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．【详解】函数满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为f（x）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义．对于函数f（x）=，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x20，x2﹣x1＞0，则，所以f（x1）＞f（x2），故函数f（x）=在（﹣∞，0）上为减函数．函数f（x）=e x在（﹣∞，+∞）上为增函数．故选：C．【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性.3.函数的单调递增区间是（）A B C D【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．4.函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据题目条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题及一次函数【详解】∵对于函数f（x）=lnx-x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选：D．【点睛】本题考查函数的零点个数的藕断．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．5.设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，在点处的切线斜率，直线的斜率，与直线垂直的斜率，所以，解得．考点：导数的几何意义．6.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】【详解】：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵A＞30°∴30°＜A＜180°∴0＜sin A＜1∴可判读它是sinA＞的必要而不充分条件故选：B．【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7.已知下列不等式①②③④⑤中恒成立的是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】①取a=-1，b=-2，即可判断出；②考察指数函数y=2x在R上单调性，即可判断出；③取a=1，b=-2，即可判断出；④考察幂函数在R上单调递增，即可判断出；⑤考察指数函数在R上单调性，即可判断出．【详解】①取a=-1，b=-2，虽然满足-1＞-2，但是（-1）2＞（-2）2不成立，因此a2＞b2不正确；②考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b，因此正确；③取a=1，b=-2，虽然满足1＞-2，但是不成立，因此不正确④考察幂函数在R上单调递增，∵a＞b，∴正确；⑤考察指数函数在R上单调递减，∵a＞b，∴，正确，故选：C．【点睛】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．8.，则（）A. 1-aB.C. a-1D. -a【解析】本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.又，所以.故选A9.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）A. lg5·lg7B. lg35C. 35D.【答案】D【解析】lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0 ,选D.10.已知函数f(x)=log2(x+1)且a>b>c>0, 则,,的大小关系是( )A. >>B. >>C. >>D. >>【答案】B【解析】【分析】把,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，对照图象可得答案．【详解】由题意可得，,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，结合图象可知当a＞b＞c＞0时，>>．【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．11.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（）【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时取等号），即，即，则在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值1；故选B．考点：1.基本不等式；2.函数的图象与性质．12.已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。

山西大学附中
2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）
数学试题
考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合
命题人：吴晨晨审核人：张耀军
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只
如图所示，则不符合这一结果的试验是（
A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C ．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D ．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
10．函数()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕ⎛=+>><< ⎝
π6
17．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为
n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.
a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)令2,,,,n n n S c b n ⎧⎪=⎨⎪为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T
20．（12分）已知函数)(ln 2)(2R a ax x x x f ∈+-=(1)当0=a 时，求)(x f 的单调区间；
(2)若函数m ax x f x g +-=)()(在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，求实数处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。

一、单选题1. 《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）A．B．C．D．2.已知，，则（ ）A．B ．7C．D．3.已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知函数（）的部分图象如图所示.则（）A．B．C．D．5.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）A．B．C．D．6. 某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（ ）A ．7B ．6C ．3D ．27.如图，在长方体中，，点E 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，点F 是长方形内一动点（含边界），且直线，EF 与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（）A ．平面B ．三棱锥的体积为4C ．存在点F，使得D ．线段的长度的取值范围为8. 已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若在点处的切线也是的切线，则必是零点．其中所有正确的结论序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③山西省山西大学附属中学校2022届高三三模（总第七次模块）理科数学试题(2)山西省山西大学附属中学校2022届高三三模（总第七次模块）理科数学试题(2)二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知点A ，B 在圆O：上，点P 在直线l：上，则（ ）A ．直线l 与圆O 相离B．当时，的最大值是C ．当PA ，PB 为圆O的两条切线时，为定值D ．当PA ，PB 为圆O 的两条切线时，直线AB过定点10. 现有甲､乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（ ）A．两两互斥.B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为.C ．以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则.D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为.11. 2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．x 12345y2110a15a90109根据表中数据可知x ，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）A ．样本相关系数在内B ．当时，残差为-2C．点一定在经验回归直线上D ．第6天到该医院就诊人数的预测值为13012. 在某次数学竞赛活动中，学生得分在之间，满分100分，随机调查了200位学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图，则（）A ．图中x 的值为0.029B ．参赛学生分数位于区间的概率约为0.85C ．样本数据的75%分位数约为79D ．参赛学生的平均分数约为69.413.设等差数列的前n项和为，且，则___________14. 一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则__________.15.已知函数，则的值为____________．16.如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．(1)求证：平面；(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．17. 为防控某种变异性传染疾病的传播，某药企组织了甲、乙、丙三个研发团队研发防控这种疾病的疫苗，每个团队各有一个研发任务，甲、乙、丙团队研发成功的概率分别为，，，且每个团队研发成功与否互不影响．(1)在三个团队中恰有两个团队研发成功的前提下，求甲团队研发成功的概率；(2)记X表示甲、乙、丙三个团队中研发成功的团队数目与未成功的团队数目之差，求X的分布列与数学期望．18. 在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．19. 已知双曲线C：的右焦点为，O为坐标原点，点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且，.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.20. 已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程.(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.21. 某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示分组频数频率[4，6）50.05[6，8）150.15[8，10）200.20[10，12）[12，14）200.20[14，16]100.10合计1001(1)求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；(2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.。

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号1集合的概念【学习目标】1.熟悉集合的定义以及集合和元素之间的关系；2.会判断集合和元素的关系，并求解相应集合；【学习重点】判断集合和元素的关系，并求解相应集合【学习难点】判断集合和元素的关系，并求解相应集合【学习过程】(一）.基础梳理：一.集合与元素:（1）集合元素的三个性质： 、 、 ；（2）元素与集合的关系是属于或不属于的关系，用符号 或 表示；（3）集合的表示方法： 、 、 、 ；二.集合间的基本关系:（1）子集：_________________________⇔⊆B A（2）真子集：A B ⊂≠_________________________⇔ （3）集合相等：B A =⇔_______________（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，用_____表示. )(_______,____φφφ≠A A A（5）全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，用______表示；（二）.巩固练习：一.选择题：1.有下列四个命题： ①{}0是空集； ②若a N ∈，则a N -∉； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素； ④集合6B x Q N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．32.若},4,2,0{},2,1,0{,,==⊆⊆Q P Q M P M 则满足上述条件的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定4.已知{,,U R A x x a ==>=，则 A ．A C a u ⊆ B ．A C a u ⊄ C ．{}a A ∈ D ．A C a u ⊆}{ 5．已知{}{}221,,24M y y x x x R P x x ==--∈=-≤≤，则M P 与的关系是A ．M P =B ．M P ∈C ．P M ⊆D ．P M ⊇6．集合{2,}A x x k k Z ==∈，{21,}B x x k k Z ==+∈，{41,}C x x k k Z ==+∈又,a A b B ∈∈，则(1)a b A +∈(2)a b B +∈(3)a b C +∈(4)a b C +∉中正确命题的序号是A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（2）7．已知集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，由集合A B 与的所有元素组成集合{}1,3,x 这样的实数x 共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，那么此三角形一定不是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9.已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则A ．P F =B ．Q E =C ．E F =D ．Q G =10. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为A ．3B ．6C ．8D ．10二.填空题：11．若非空集{1,2,3,4,5}S ⊆,且若a S ∈,必有(6)a S -∈,则所有满足上述条件的集合 S 共有 个.12.已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m的集合P 为 ；P 的子集有 个；P 的非空真子集有 个．.13.集合{}N x x N y ∈+-=∈,6y |2的非空真子集的个数是 个．14.设,m R ∈{(,)}A x y y m ==+{(,)cos ,sin ,02}B x y x y θθθπ===<<，且1122{(cos ,sin ),(cos ,sin )}A B θθθθ=12()θθ≠，求m 的取值范围 .三.解答题： 15.设集合2{40,}A x x x x R =+=∈，22{2(1)10,,}B x x a x a a R x R =+++-=∈∈，若B A ⊆,求实数a 的取值范围.16.设()(){}2,,,36a b Z E x y x a b y ∈=-+≤，点()2,1E ∈，但()3,2E ∉，()1,0,E ∉ 求,a b 的值.17.已知集合A={}012|2=++b ax x x 和B={}0|2=+-b ax x x 满足 I C A ∩B={}2，A ∩I C B={}4，I R =，求实数a,b 的值.。

数学答案一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii -+为实数，则(a = )A ．3-B ．13C ．3D ．13-【分析】求出()(3)31(3)3(3)(3)10a i a i i a a i i i i -----+==++-，再由3a ii-+为实数，能求出a ．【解答】解：()(3)31(3)3(3)(3)10a i a i i a a ii i i -----+==++-，由于3a ii-+为实数，则30a +=，所以3a =-，故选：A ．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．2．（5分）如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{|21A x x n ==+，n N ∈，4}n …，{2B =，3，4，5，6，7}，则(A B =⊗ )A ．{2，4，6，1}B ．{2，4，6，9}C ．{2，3，4，5，6，7}D ．{1，2，4，6，9}【分析】分析可知{|()A B x x A B =∈⊗ ，()}x A B ∉ ，求出集合A 、A B 、A B ，即可得集合A B ⊗．【解答】解：由Venn 图可知，{|()A B x x A B =∈⊗ ，()}x A B ∉ ，因为{|21A x x n ==+，n N ∈，4}{1n =…，3，5，7，9}，{2B =，3，4，5，6，7}，则{1A B = ，2，3，4，5，6，7，9}，{3A B = ，5，7}，因此，{1A B =⊗，2，4，6，9}．故选：D ．3．已知函数()f x 同时满足性质：①()()f x f x -=；②当1x ∀，2(0,1)x ∈时，1212()()0f x f x x x -<-，则函数()f x 可能为( )A ．2()f x x =B ．1()()2x f x =C ．()cos 4f x x = D ．()(1||)f x ln x =-【分析】①()()f x f x -=说明()f x 为偶函数，②121212()(),(0,1),0f x f x x x x x -∀∈<-，说明函数在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可．【解答】解：①()()f x f x -=说明()f x 为偶函数，②121212()(),(0,1),0f x f x x x x x -∀∈<-，说明函数在(0,1)上单调递减．A 不满足②，B 不满足①，C 不满足②，因为()cos 4f x x =在(0,4π单调递减，在(,1)4π单调递增．对于D ，满足①，当(0,1)x ∈，()(1)f x ln x =-，单调递减，也满足②．故选：D ．4. （5分）我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与①，是一个“勾股圆方图”，设DG a =，DH b =，GH c =；在正方形EFGH 中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形IJKL ，且//KE AD ，如图②．若3a b =，且HF HE HJ λμ=+，则(λμ+= )A ．74B ．169C ．1912D ．2916【分析】根据向量的加减法运算法则，13HF HE EL LF HE EK HJ =++=++，13EK HK HE HJ HE =-=- ，化简得到21039HF HE HJ =+ ．【解答】解：因为13HF HE EL LF HE EK HJ =++=++，13EK HK HE HJ HE =-=- ，所以111210()33339HF HE EK HJ HE HJ HE HJ HE HJ =++=+-+=+ ，所以21016399λμ+=+=，故选：B ．5.某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆22221y x a b +=的离心率e …的概率是( )A ．536B ．16C ．14D ．13【分析】由e …得222314b e a =-…，从而12b a …，掷两颗骰子得到点数(,)a b 共有36个基本事件，利用列举法求出其中满足12b a …的基本事件有9个，由此能求出椭圆22221y x a b +=的离心率e …的概率．【解答】解：由e …得222314b e a =-…，所以12b a …，掷两颗骰子得到点数(,)a b 共有36个基本事件，其中满足12b a …的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9个，故椭圆22221y x a b +=的离心率e …的概率为91364p ==．故选：C ．6. 2021年春节联欢晚会以“共圆小康梦，欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样，某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票、乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票分配到家庭的不同方法种数为( )A ．48B ．72C ．120D ．240【分析】这8张连号的门票不妨设为1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑3张连号的门票的选法共有6种情况，再考虑2张连号的门票的选法．最后考虑剩余的3张随机分到剩余的3个家庭的选法共有33A 种．利用加法与乘法原理可得这8张门票不同的分配方法的种数．【解答】解：这8张连号的门票不妨设为1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑3张连号的门票的选法共有6种情况：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)，再考虑2张连号的门票的选法：对于：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，分别有4，3，3种选法；利用对称性可得：对于(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)分别有3，3，4种选法．最后考虑剩余的3张随机分到剩余的3个家庭的选法共有33A 种．利用加法与乘法原理可得这8张门票分配到家庭的不同方法种数33(433)2120A =++⨯⨯=种．故选：C ．7．若31(626ln a a ln a =->，271(727ln ln b b ln b -=>，141(2)2()8cc c -=>，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b<<【分析】运用对数运算将a 、b 、c 化简，构造函数()2f x xln x =，运用导数研究函数的单调性比较大小，进而求得结果．【解答】解：由362ln a ln a =-，得112(2)66aln a ln =⨯，由2772ln ln b ln b -=．得112(2)77bln b ln =⨯，由14(2)2cc -=，得112(2)88cln c ln =⨯．设函数()2f x xln x =，则2()2212f x ln x x ln x x'=+⨯=+，令()0f x '=，则12x e=，当1(0,)2x e∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1(,)2x e∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又因为111108762e<<<<，所以111()((678f f f <<，又因为1()(6f a f =，1()(7f b f =，1()()8f c f =，所以f （a ）f <（b ）f <（c ），又因为16a >，17b >，18c >，所以a ，b ，c 均大于12e，又因为()f x 在1(,)2e+∞上单调递增，所以a b c <<．故选：A ．8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长AB =，其外接球的表面积为20π，D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥A BCE -的体积的最大值为( )A B C D ．32【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点E 的轨迹在以AF 为直径的圆上，即可确定点E 到底面ABC 距离的最大值，最后利用体积公式求解即可．【解答】解：外接球的表面积为20π．因为正三棱柱柱111ABC A B C -的底面边长AB =，所以1113A D A B AB ===，所以△111A B C 的外接圆半径为12r D ==，设三棱柱的侧棱长为h ，则有22()52hr +=，解得2h =，即侧棱12AA h ==，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，当点E 在弧AF 的中点时，此时点E 到底面ABC 距离的最大，且最大值为113222AF ==，因为DF AF <，所以此时点P 在线段1A D 上，符合条件，所以三棱锥A BCE -的体积的最大值为211133232ABC AF S ∆⨯⨯=⨯=．故选：A ．二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分。

山西大学附中高中数学（必修1）跟进落实 编号12函数的奇偶性与单调性一、选择题：1．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A ．1y x -= B．y = C ．||y x = D ．2y x =- 2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)12,0,x x ∈+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-,则( ) A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．若(),()x g x φ都是奇函数，()()()2f x a x b g x φ=⋅+⋅+在),0(+∞上有最大值5，则)(x f 在)0,(-∞上有（ ）A. 最小值5-B. 最大值5-C. 最小值1-D. 最大值3-4．函数)(x f 是在R 上的偶函数，且在[)+∞,0时，函数)(x f 单调递减，则不等式0)1()1(<-x f f 的解集是（ ） A ．{}0|≠x x B ．{}11|<<-x x C ．{}11|>-<x x x 或 D ．{}011|≠<<-x x x 且 5．设函数,(0)(),(0)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则2)()(2-+=x x f x x g 的单调递增区间为（ ） A ．),(+∞-∞ B ．),0[+∞ C ．]2,1[ D ．]0,2[-6．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f 0=，则不等式0)(<x xf 的解集为（ ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．)2,0()0,2( -7．已知函数()f x 的定义域为R ，(2)y f x =-是偶函数，且()f x 在[4,2]--上是增函数，则( 3.5),(1),(0)f f f --的大小关系是( )A ．( 3.5)(1)(0)f f f ->->B ．(1)(0)( 3.5)f f f ->>-C ．(0)( 3.5)(1)f f f >->-D ．(1)( 3.5)(0)f f f ->->8．设()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()2x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x , 不等式()()x f a x f 2≥+恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．0≤aB ．2≥aC ．2≤aD ．0≥a二、填空题:9．若偶函数)(x f 在]0,(-∞上为增函数，则满足)()1(a f f ≤的实数a 的取值范围是____．10．已知)(x f 是奇函数,定义域为}0,|{≠∈x R x x ,又)(x f 在区间),0(+∞上是增函数,且0)1(=-f ,则满足0)(>x f 的x 的取值范围是__________．11．已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ．12．若函数()|2|(4)f x x x =-⋅-在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题：13．已知定义在[]1,1-奇函数)(x f 为增函数，解不等式.0)1()2(>-+x f x f14．已知函数),,(1)(2N c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，,3)2(,2)1(<=f f （1）求c b a ,,的值.（2）当),1[+∞∈x 时，讨论函数的单调性.。

山西大学附中高中数学（必修1）学案 编号14函数的奇偶性（2）【学习目标】1. 进一步理解函数的奇偶性及其几何意义；2.函数的奇偶性的应用；【学习重点】理解函数的奇偶性及其几何意义【学习难点】函数的奇偶性的应用【学习过程】一、 导练例1.已知)(x f 对一切实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+,证明)(x f 为奇函数.例2已知函数),,(1)(2N c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，,3)2(,2)1(<=f f (1). 求c b a ,,的值.(2). 当),1[+∞∈x 时，讨论函数的单调性.例 3. 已知)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数,若0],1,1[,≠+-∈b a b a 时,有.0)()(>++ba b f a f 判断函数)(x f 在]1,1[-上是增函数还是减函数,并证明你的结论.例4. 已知定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足：对任意)1,1(,-∈y x 都有)(x f +)1()(xyy x f y f ++=. (1) 求证：函数)(x f 是奇函数.(2) 如果当)0,1(,-∈y x 时，有)(x f >0，求证：)(x f 在)1,1(-上是单调递减函数.二、 目标检测1. 若奇函数)(x f 在]3,1[上为增函数，且有最小值0，则它在]1,3[--上（ ）A. 是减函数，有最小值0B. 是增函数，有最小值0C. 是减函数，有最大值0D. 是增函数，有最大值0.2. 函数xx y ++-=1912是 （ ） A. 奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 B. 偶函数 D. 非奇非偶函数3. 设偶函数)(x f 的定义域为R ，当),0[+∞∈x 时，)(x f 是增函数，则)3(),(),2(--f f f π的大小关系是 （ ）A. )2()3()(->->f f f πB. )3()2()(->->f f f πC. )2()3()(-<-<f f f πD. )3()2()(-<-<f f f π4. 若)(),(x g x ϕ都是奇函数，)(x f =2)()(++x bg x a ϕ在),0(+∞上有最大值5，则)(x f 在)0,(-∞上有（ ）A. 最小值5-B. 最大值5-C. 最小值1-D. 最大值3-5. 若偶函数)(x f 在]0,(-∞上为增函数，则满足)()1(a f f ≤的实数a 的取值范围是____6. 定义在)1,1(-上的奇函数)(x f =,12+++nx x m x 则常数n m ,的值分别为________ 7. 已知)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)(x f =.222++-x x(1) 求)(x f 的解析式.(2) 画出)(x f 的图像，并指出)(x f 的单调区间.8. 已知奇函数)(x f 在[-1,1]上为增函数，解不等式.0)1()2(>-+x f x f。