山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块文科数学答案

高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]--2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3- D ．34. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+B.243π+ C.43π+ D.43π+5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）6.oooosin 20cos10cos160sin10-=( )A ． B. C.12 D.12-7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（ ） A. 9 B. 32C.34D.528.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC=，则这个球的表面积为（ ）A.254πB.4πC. 16πD. 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99Sa D ．1010S a 12.已知函数l n (1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x af x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .15.从圆422=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于2的概率____. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a CbB 2si n si n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a(Ⅰ)求n a ； （Ⅱ）设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ．ADOCPBE18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． (Ⅰ)若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2-94 24ππ+ 1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D.(2,1)(1,2]--【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】B【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B.3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3-D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =， 故其体积221111222V r h πππ==⨯⨯=； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形.故该几何体的体积1243V V V π=+=+.5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.o o o osin20cos10cos160sin10-=( )A．B. C.12D.1 2 -【答案】C【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.7.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足a b m+=，则14a b+的最小值为（）A. 9B.32 C.34 D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b a a b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b aa b=，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A解答 便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。

3n n n n 2020-2021学年第一学期高三年级期末考试数学（文）试题参考答案及评分建议一．选择题：1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.B8.C9.A 10.D 11.D 12.A 二．填空题：13.714.315.5416.1925三．解答题：17.解：（1）设d ,q 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的公差和公比，⎧1+d =q ,由题意得⎨⎩3+3d =q 2,∴q =3或q =0（舍去），∴d =2，.......................................4分∴a =2n -1(n ∈N *)，b =3n -1(n ∈N *)；...................................................................6分（2）由（1）可得c n =a n ⋅b n =(2n -1)⋅3n -1(n ∈N *)，................................................7分∴S n =c 1+c 2+c 3+ +c n -1+c n =1⨯1+3⨯3+5⨯32+ +(2n -3)⨯3n -2+(2n -1)⨯3n -1，①3S =1⨯3+3⨯32+5⨯33+ +(2n -3)⨯3n -1+(2n -1)⨯3n ，②..............................9分①-②，整理得S =(n -1)⨯3n +1(n ∈N *)...............................................................12分18．解：（1） a 2+b 2-c 2-ab =0，∴a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =1， 0︒<C <180︒，∴C =60︒，................2分2 sin (A -B )+sin C =sin A cos B -cos A sin B +sin(A +B )=sin A cos B -cos A sin B +sin A cos B +cos A sin B =2sin A cos B ，∴2sin A cos B =2cos A cos B ，∴(sin A -cos A )cos B =0，.................................................4分 ∆ABC 是锐角三角形，∴cos B >0，∴sin A -cos A =0，∴A =45︒，B =75︒；……6分（2）由（1）得A =45︒，B =75︒， a =2，由正弦定理得2sin 45︒=b sin 75︒，∴b =2sin 75︒=+1，..............................................10分sin 45︒∴S ∆ABC =1ab sin C =3+223．..............................................................................................12分19.解：（1）由题意得3月4日新增病例中有12名男性，8名女性，按性别从中分层抽取5人，其中有3名男性，分别记为A ,B ,C ；2名女性，分别记为d ,e ，..........................1分∴从这5人中随机抽取2人作流行病学分析的结果为(A ,B )，(A ,C )，(A ,d )，(A ,e )，(B ,C )，(B ,d )，(B ,e )，(C ,d )，(C ,e )，(d ,e )，共有10种等可能出现的结果，2∑∑∑(x -x )2其中至少有1名女性的结果为(A ,d )，(A ,e )，(B ,d )，(B ,e ),(C ,d )，(C ,e )，(d ,e )，共有7种，∴这2人至少有1名女性的概率为7=0.7；..............................................................4分10（2）由题意得x =(1+2+3+4+5)⨯1=3，y =(32+25+27+20+16)⨯1=24，555(x i -x )(y i -y )5x iy i -5xy ∴b ˆ=i =1=i =1=-3.7，a ˆ=y -b ˆx =24+3.7⨯3=35.1，52i i =15∑x i i =1-5x2∴y 关于x 的线性回归方程为y ˆ=-3.7x +35.1；........................................................8分（3）由（2）得y ˆ=-3.7x +35.1，当y ˆ=0时，x =35.1=918，......................10分3.737该地可以解除疫情的最早日期为4月7日....................................................................12分20.（1）（文）证明：连接CD ， PA =PB =，AB =2，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB ，PD =1，....................................................2分同理可得CD ⊥AB ，CD =2， PC 2=PD 2+CD 2=5，∴PD ⊥CD ,…………4分BAB CD =D ,∴PD ⊥平面ABC ；........................6分(2) V =V =V =1V …………8分P -AEF C -AEF E -ACF 2P -ACF =1⨯1V =1S ⋅PD =1=,............................................11分21+λP -ABC 6(1+λ)∆ABC 3(1+λ)9∴λ=1.............................................................................................................12分221.解：（1）由题意得f '(x )=-(x +2)(ae x -2)，x ∈R ，........................................2分①当a <0时，令f '(x )<0，则x <-2，∴f (x )在(-∞,-2)上递减；令f '(x )>0，则x >-2，∴f (x )在(-2,+∞)上递增；②当0<a <2e 2时，则ln 2>-2，a 令f '(x )<0，则x <-2或x >ln 2，∴f (x )在(-∞,-2)和(ln 2,+∞)上递减；a a 221)⎩⎩令f '(x )>0，则-2<x <ln2，∴f (x )在(-a 2,ln 2)上递增；a ③当a =2e 2时，则f '(x )=-2(x +2)(ex +2-1)≤0，∴f (x )在(-∞,+∞)上递减；④当a >2e 2时，则ln 2<-2，a 令f '(x )<0，则x <ln 2或x >-2，∴f (x )在(-∞a ,ln 2)和(-2,+∞)上递减；a 令f '(x )>0，则ln 2<x <-2，∴f (x )在(ln 2,-2)上递增；....................................6分a a （2）当m ∈(-1,0)时，g '(x )=1-m >0在[1,+∞)恒成立，x∴g (x )在[1,+∞)上递增，∴g (x )≥g (1)=1，∴f (m )=m 2+4m -ae m (m +1)<1恒成立，即a >m 2+4m -1e m (m +1)恒成立，..................9分令h (m )=m 2+4m -1e m (m +1)，m ∈(-1,0)，则h '(m )=-(m +3)(m +2)(m -1)e m (m +1)2>0，∴h (m )在(-1,0)上递增，∴a >h (0)=-1，∴a ≥-1，且a ≠0，∴实数a 的取值范围为(-1,0) (0,+∞)....................................................................12分⎧x =t 2+1-2,⎪22.解：（1）将⎨⎪⎩t 2y =t -1t 的参数t 消去得曲线C的普通方程为y 2=x ，……3分 ρcos(θ+π=，∴ρcos θ-ρsin θ-2=0，4由⎧x =ρcos θ,可得曲线C 的直角坐标方程为x -y -2=0；..........................................5分⎨y =ρsin θ2（2）将曲线C 与C 的方程联立得⎧x -y -2=0,⎧x =4,12⎧x =1,⎨y 2=x ,解得⎨y =2或⎨y =-1,∴P 的直角坐标为(1,-1)或(4,2)；..........................................7分⎩⎩设所求圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，则其方程为x 2-2ax +y 2=0，当P 的坐标为(4,2)时，∴a =5，则所求圆的极坐标方程为ρ=5cos θ；2当P 的坐标为(1,-1)时，∴a =1，则所求圆的极坐标方程为ρ=2cos θ10分23.证明：（1）由题意得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，………3分 a,b,c是三个不全相等的实数，∴上述三个不等式的等号不全成立，∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca)，即a2+b2+c2>ab+bc+ca；....................5分（2）由（1）得a2+b2+c2>ab+bc+ca，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)…………7分<3(a2+b2+c2)=3，3∴a+b+c<.…………10分注：以上各题其它解法，请酌情给分.。

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]--2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3- D ．34. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+B.243π+ C.43π+ D.43π+5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）6.oooosin 20cos10cos160sin10-=( )A ． B. C.12 D.12-7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（ ）A. 9B. 32C.34D.528.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC= ）A.254πB.4πC. 16πD. 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99Sa D ．1010S a 12.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x af x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .15.从圆422=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于2的概率____. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a CbB 2si n si n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a(Ⅰ)求n a ； （Ⅱ）设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ．ADOCPBE18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． (Ⅰ)若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2-94 24ππ+ 1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D.(2,1)(1,2]--【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】B【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B.3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3-D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =， 故其体积221111222V r h πππ==⨯⨯=； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形.故该几何体的体积1243V V V π=+=+.5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.o o o osin20cos10cos160sin10-=( )A．-B. C.12D.1 2 -【答案】C【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.7.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足a b m+=，则14a b+的最小值为（）A. 9B.32C.34D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b aa b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b aa b=，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A解答 便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。

山西大学附中2020〜2021学年高一第一学期期中考试化学试题考试时间：90分钟考查范围：第一章和第二章可能用到的相对原子质量：H-l C-12 N-14 0-16 Na-23 K-39 Cl-35.5 Fe-56一、选择题（包括19小题，每小题3分，共计57分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知金属钠投入水中会发生剧烈反应，并有氢气生成。

运输金属钠的包装箱应贴有的图标是（）A.易燃液体C.氧化剂‘【答案】B 【解析】【分析】【详解】钠和水反应生成氢氧化钠和氢气，氢气易燃烧，属于遇湿易燃物品，应贴遇湿易燃物品危险标志;A.图示为易燃液体标志，故A错误;B.图不为遇湿易燃物品标志，故B正确;C.图示为氧化剂标志，故C错误;D.图示为腐蚀品标志，故D错误;故答案为B。

2,下列说法正确的有（）①分散质直径介于1〜100nm之间的分散系称为胶体②盐的组成中不可能只含非金属元素③只由一种分子组成的物质一定为纯净物，组成混合物的元素可能只一种®Na2O2固体中阳离子和阴离子个数比为1:1⑤化学变化能实现一种原子变成另一种原子⑥将氯气通入热的稀氢氧化钙溶液中可以制得以次氯酸钙为有效成分的漂白粉⑦KNO3溶液、Cu、熔融的NaCl均能导电，所以它们都属于电解质A.①③⑥B.①②⑥⑦C.④⑤⑥D.①③【答案】D【解析】【分析】【详解】①分散质直径介于1〜lOOnm之间的分散系称为胶体，大于lOOnm的分散系为悬浊液，小于Inm 的分散系为溶液，故①正确；②盐的组成中可能只含非金属元素，比如氯化铉，故②错误；③同种物质组成的物质为纯净物，因此由一种分子组成的物质一定为纯净物，组成混合物的元素可能只一种，比如氧元素组成的氧气和臭氧，故③正确；④Na2O2固体中阳离子和阴离子个数比为2:1,故④错误；⑤化学反应的最小微粒是原子，不可能生成新的原子，故⑤错误；⑥将氯气通入石灰乳中可以制得以次氯酸钙为有效成分的漂白粉，故⑥错误；⑦KNCh溶液、Cu、熔融的NaCl均能导电，Cu是单质，既不是电解质也不是非电解质，KNCh溶液是电解质溶液，故⑦错误；因此①③正确；故D正确。

山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数学试题考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数z 满足()12i 1z +=，则z 的共轭复数是（）A.12i 55-+ B.12i 55-- C.12i 55+ D.12i 55-2.若集合{}|23A x x =<<，}R {,|B x x b b =>∈，则A B ⊆的充要条件是（）A .3b ≥ B.23b <≤C.2b < D.2b ≤3.二项式62x⎛- ⎝展开式的常数项为（）A.160- B.60C.120D.2404.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm ），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm ）为（）A.43π6B.47π6C.516π D.55π65.若e ln a a =-，e ln b b -=，e ln c c -=-，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.<<b c aD.b a c<<6.有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）A.13 B.16C.12D.147.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++= （）A.23283- B.13283- C.20213- D.25283-8.设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.,13⎫⎪⎪⎣⎭ B.,24⎣⎦ C.12⎤-⎥⎣⎦D.)1,1-二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（）A.抛一枚硬币，正面朝上的概率B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率10.函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得函数()g x 的图象，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于点()π,0-对称C.()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()g x 在()0,π上有两个极值点11.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()()sin cos x f x x f x x '⎡⎤+=⎣⎦，且()00f =，则（）A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有最大值D.()f x 没有极值12.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，L ，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且*n ∈N ），球n O 的表面积为n S ，体积为n V ，则（）A.1π8V =B.33π8S =C.数列{}n V 是公比为18的等比数列D.数列{}n S 的前n 项和为18π14n ⎛⎫-⎪⎝⎭三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知向量a 、b满足a b a b ==- ，则a b + 与a 的夹角是_____．14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin B C B C A ++=，75a b ==，，则c =______．15.若正实数,a b 满足1a b +=，则2212b a a b +++的最小值为_____.16.新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为()01p p <<，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为()fp ，当0p p =时，()f p 最大，此时0P =_____．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前()*n n N∈项和为nS，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2,{,n n n n S c b n =为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18.信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一种相互信任的生产关系和社会关系.良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过150分为信用极好；信用积分在(]120,150内为信用优秀；信用积分在(]100,120内为信用良好；信用积分在(]80,100内为轻微失信；信用积分不超过80分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了解信用积分制度推行的效果，该地政府从该地居民中随机抽取200名居民，并得到他们的信用积分数据，如下表所示.信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微失信信用较差人数2560653515（1）从这200名居民中随机抽取2人，求这2人都是信用极好的概率.（2）为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放100元电子消费金；对信用优秀或信用良好的居民发放50元消费金；对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取2人，记这2人获得的消费金总额为X 元，求X 的分布列与期望.19.长方形ABCD 中，2AB AD ==，点E 为CD 中点（如图1），将点D 绕AE 旋转至点P 处，使平面PAE ⊥平面ABCE （如图2）．（1）求证：PA PB ⊥；（2）点F 在线段PB 上，当二面角F AE P --大小为π4时，求四棱锥F ABCE -的体积．20.已知函数()()22ln R f x x x ax a =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.21.已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角ACD ∠的平分线，CB 与AD 相交于点O ，5AC =，7AD =，1cos 5ACD ∠=-.（1）求CO 的长；（2）若BC BD =，求ABD △的面积.22.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数学试题考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数z 满足()12i 1z +=，则z 的共轭复数是（）A.12i 55-+ B.12i 55-- C.12i 55+ D.12i 55-【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算可求得z ，根据共轭复数定义可得结果.【详解】()()112i 12i 12i 12i 12i 12i 555z --====-++- ，12i 55z ∴=+.故选：C.2.若集合{}|23A x x =<<，}R {,|B x x b b =>∈，则A B ⊆的充要条件是（）A.3b ≥B.23b <≤C.2b <D.2b ≤【答案】D 【解析】【分析】利用两个集合的关系即可得出答案.【详解】因为集合{}|23A x x =<<，}R {,|B x x b b =>∈，且A B ⊆，所以2b ≤，故选：D.3.二项式62x⎛- ⎝展开式的常数项为（）A.160-B.60C.120D.240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x⎛- ⎝展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k T x x ---+⎛=-=⋅⋅-⋅ ⎝，令3602k -=得4k =，所以展开式的常数项为()2644C 2160⨯⨯-=，故选：B ．4.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm ），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm ）为（）A.43π6B.47π6C.516π D.55π6【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式、台体体积公式计算作答.【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为222313343ππ(6π[()11]423226⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯=.故选：A5.若e ln a a =-，e ln b b -=，e ln c c -=-，则（）A.a b c << B.a c b<< C.<<b c aD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】借助函数图象，可直接判断,,a b c 的大小关系.【详解】在同一直角坐标系中作出e x y =，e x y -=，ln y x =，ln y x =-的图象，由图象可知a c b <<.故选：B.6.有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）A.13 B.16C.12D.14【答案】A 【解析】【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得解.【详解】甲的名次比乙高，当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，所以甲的名次比乙高共有5432115++++=种情况，甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为51153=.故选：A .7.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++= （）A.23283- B.13283- C.20213- D.25283-【答案】A 【解析】【分析】由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，推导出数列{}1n n a a +为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为12n n S a +=+，所以114a S a ==+，()()32221224a S S a a =-=+-+=，()()43332228a S S a a =-=+-+=，又{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即()2484a =+，解得2a =-，所以122n n S +=-．当2n ≥时，()()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，又12a =满足2n n a =，所以，22121242n n n n n n n n a a a a a a +++++===，故数列{}1n n a a +是公比为4，首项为12248a a =⨯=的等比数列，所以()10231223101181428143a a a a a a --+++==- ．故选：A.8.设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.,13⎫⎪⎪⎣⎭B.,24⎣⎦C.12⎤-⎥⎣⎦D.)1,1-【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形AFBF '为矩形，设AF n '=，AF m =，在直角ABF △中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据3FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，从而利用对勾函数的值域得到22b a 的范围，进而由c e a ==即可得解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=，则FA FB ⊥，所以平行四边形AFBF '为矩形，故2AB FF c '==，设AF n '=，AF m =，则BF n =，在直角ABF △中，2m n a +=，2224m n c +=，所以()()2222222444mn m n m nac b =+-+=-=，则22mn b =，所以22222m n m n c n m mn b ++==，令m t n =，得2212c t t b+=，又由3FB FA FB ≤≤，得[]1,3mt n=∈，因为对勾函数1y t t=+在[]1,3上单调递增，所以2221102,3c t b t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，所以2251,3c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2222222511,3a a b c b b b -⎡⎤-==∈⎢⎥⎣⎦，则2282,3a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2231,82b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,24c e a ==⎢⎣⎦，所以椭圆离心率的取值范围是,24⎣⎦.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形AFBF '为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于,,a b c 的齐次不等式，从而得解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（）A.抛一枚硬币，正面朝上的概率B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】ABC 【解析】【分析】利用题中统计图所得概率结果逐项分析可得解.【详解】解：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率0.33P =，则选项A ，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；选项B ，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；选项C ，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为23，故此选项不符合题意；选项D ，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为13，故此选项符合题意；故选：ABC.10.函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得函数()g x 的图象，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于点()π,0-对称C.()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()g x 在()0,π上有两个极值点【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，由函数图象求出最小正周期，从而得到2ω=；B 选项，代入特殊点坐标，得到π6ϕ=，2A =，得到函数解析式，得到平移后的解析式()2cos2g x x =，代入得到()π2g -=，故B 错误；C 选项，整体法求出函数单调递增区间，得到π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于2π5ππ,,π362⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；D 选项，结合余弦函数图象知只有1个极值点.【详解】A 选项，设()f x 的最小正周期为T ，由图象知11π5ππ1121222T -==，解得πT =，因为0ω>，所以2ππω=，所以2ω=，故A 正确；B 选项，由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得5π22ππ,12k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得()π2πZ 6k k ϕ=+∈，又π02ϕ<<，所以只有π6ϕ=符合要求；由()01f =，得πsin16A =，故2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22sin 22cos2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由()π2g -=得()g x 的图象不关于点()π,0-对称，故B 不正确；C 选项，由()π2π22πZ k x k k -+≤≤∈，得()πππZ 2k x k k -+≤≤∈，即()g x 的单调递增区间为()ππ,πZ 2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令1k =，得π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又2π5ππ,,π362⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；D 选项，当()0,πx ∈时，()20,2πx ∈，由于2cos y z =在()0,2πz ∈上，只有πz =为极小值点，故()g x 在()0,π上仅有一个极值点，故D 不正确.故选：AC.11.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()()sin cos x f x x f x x '⎡⎤+=⎣⎦，且()00f =，则（）A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有最大值D.()f x 没有极值【答案】AD 【解析】【分析】利用导数的运算法则，引入函数()()cos g x f x x =，由()0g x '≥得其递增，从而可确定()f x '的正负得()f x 的单调性，从而判断各选项．【详解】因为()()cos sin f x x x f x x ⎡⎤=+⎣⎦'，所以()()cos sin sin f x x f x x x x -='，设()()cos g x f x x =，则()sin g x x x '=，因为ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()sin 0g x x x '=≥恒成立，所以()y g x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又因为()00f =，所以()()00cos00g f ==，所以当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，()()()()2cos sin cos cos g x g x x g x x f x x x '''⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x <，故()0f x ¢>恒成立；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x >，故()0f x ¢>恒成立.所以()0f x '≥在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，故()y f x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.故选：AD.12.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，L ，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且*n ∈N ），球n O 的表面积为n S ，体积为n V ，则（）A.16π8V =B.33π8S =C.数列{}n V 是公比为18的等比数列D.数列{}n S 的前n 项和为18π14n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意求出1r 62=，2112r r =，依此类推可得{}n r 是首项为2，公比为12的等比数列，再根据球的表面积和体积公式逐项判断可得答案.【详解】如图所示，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是三角形BCD 的中心，设三棱锥A BCD -的棱长均为a ，所以2233OB a ==，3AO a ==.1O 是三棱锥A BCD -的内切球的球心，1O 在AO 上，设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，球n O 的半径为n r ，则由22211O B OO OB =+，得222()()33R a R a =-+，得4R a =.所以113412r AO AO =-=-=，又6a =，所以162r =，所以331144ππ332V r ⎛==⋅ ⎝⎭=.故A 不正确；在AO 上取点E ，使得11612EO r a ==，则16662366AE AO r a =-=-=，即E 为AO 的中点，则球2O 与球1O 切于E ，过E 作与底面BCD 平行的平面，分别与,,AB AC AD 交于111,,B C D ，则球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，因为E 为AO 的中点，所以三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -的棱长的一半，所以球2O 的内切球的半径2112r r =，以此类推，所以{}n r是首项为2，公比为12的等比数列，所以11()222n n n r -=⨯=，38r =，223364π4π8S r ⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭3π8=，故B 正确；所以34π3n n V r =，3311311(28n n n n V r V r ++===，即数列{}n V 是公比为18的等比数列，故C 正确；24πn n S r =166π4π44n n -=⋅=，12211116π(1+)444n n S S S -+++=+++ 1146114nπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅-18π(14n =-，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：利用球与三棱锥内切求出球的半径以及相邻两个球的半径之间的关系是解题关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知向量a 、b满足a b a b ==- ，则a b + 与a 的夹角是_____．【答案】π6【解析】【分析】先根据条件确定向量a 、b的夹角余弦值，再利用()cos ,a b a a b a a b a+⋅+=+⋅ 进行求解即可.【详解】因为a b a b ==- ，则2222a a b b a -⋅+= ，所以22cos ,0b a b a b -⋅= ，所以1cos ,2a b =，因此()2223cos ,2a b a a a b a a b a b a +⋅=+⋅=+⋅= ，又因为a b +== ，所以()2232cos ,2a a b a a b a a b a +⋅+===+⋅ ，又因为0,πa b a ≤+≤ ，因此，π,6a b a += .故答案为：π6.14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin B C B C A ++=，75a b ==，，则c =______．【答案】3【解析】【分析】根据题意利用正弦定理可得222b c bc a ++=，将75a b ==，代入即可得3c =.【详解】由222sin sin sin sin sin B C B C A ++=可知，利用正弦定理可得222b c bc a ++=，将75a b ==，代入可得225549c c ++=，整理可得25240c c +-=，解得3c =或8c =-（舍）；即3c =.故答案为：315.若正实数,a b 满足1a b +=，则2212b a a b +++的最小值为_____.【答案】14##0.25【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】根据已知1a b +=，所以(1)(2)4a b +++=，所以()()2222112()12412b a b a a b a b a b +=++++⎡⎤⎣⎦++++()()()()222222221*********44b b a a a b a ab b a b a b ⎡⎤++=+++≥++=+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当3255a b ==时等号成立.故答案为：14.16.新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为()01p p <<，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为()fp ，当0p p =时，()f p 最大，此时0P =_____．【答案】613-【解析】【分析】先根据独立事件概率公式得到家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为45()(1)(1)f p p p p p =-+-，再利用导数求最值，进而可得0P .【详解】由题意可得，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得45()(1)(1)f p p p p p=-+-3445()4(1)(1)5(1)(1)f p p p p p p p =--+---+-'()33236362(1)312(1)336p p p p p p ⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭-⎝令()0f p '=，即3332(1)033p p p ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1p =（舍）或363p +=（舍）或363p =.当3603p -<<时，()0f p '>；当3613p -<<时，()0f p '<；所以函数()fp 在360,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在363⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；当33p =时，函数()f p 取得极大值，也是最大值.所以0366133P -==-.故答案为：613-.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前()*n n N∈项和为nS，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2,{,n n n n S c b n =为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）21121321n n ++-+.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n 项和，数列111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数,分组求和即可.解析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d =，2q =，∴21n a n =+，12n n b -=.(2)由(1)知，()()32122n n n S n n ++==+，∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()135212111111...222 (2335)2121n n T n n -⎛⎫=-+-++-+++++ ⎪-+⎝⎭21121321n n ++=-+.18.信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一种相互信任的生产关系和社会关系.良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过150分为信用极好；信用积分在(]120,150内为信用优秀；信用积分在(]100,120内为信用良好；信用积分在(]80,100内为轻微失信；信用积分不超过80分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了解信用积分制度推行的效果，该地政府从该地居民中随机抽取200名居民，并得到他们的信用积分数据，如下表所示.信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微失信信用较差人数2560653515（1）从这200名居民中随机抽取2人，求这2人都是信用极好的概率.（2）为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放100元电子消费金；对信用优秀或信用良好的居民发放50元消费金；对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取2人，记这2人获得的消费金总额为X 元，求X 的分布列与期望.【答案】（1）3199（2）分布列见解析，期望为1752【解析】【分析】（1）结合组合数及古典概型公式求解；（2）由题意可知X 的所有可能取值，求出对应的概率，进而求出分布列与期望.【小问1详解】从这200名居民中随机抽取2人，共有2200C 种不同抽法，其中符合条件的不同抽法有225C ，则所求概率2252200C 25123C 100199199P ⨯===⨯.【小问2详解】从该地居民中随机抽取1人，则这人获得100元电子消费金的概率是18，获得50元电子消费金的概率是58，没有获得电子消费金的概率是14.由题意可知X 的所有可能取值为0，50，100，150，200.()11104416P X ==⨯=，()1215550C 4816P X ==⨯⨯=，()12115529100C 488864P X ==⨯⨯+=，()12155150C 8832P X ==⨯⨯=，()1112008864P X ==⨯=，则X 的分布列为X 050100150200P1165162964532164故()15295117505010015020016166432642E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.长方形ABCD 中，2AB AD ==，点E 为CD 中点（如图1），将点D 绕AE 旋转至点P 处，使平面PAE ⊥平面ABCE （如图2）．（1）求证：PA PB ⊥；（2）点F 在线段PB 上，当二面角F AE P --大小为π4时，求四棱锥F ABCE -的体积．【答案】（1）证明见详解（2）23【解析】【分析】（1）由已知条件，先证明BE AE ⊥，再利用平面PAE ⊥平面ABCE ，可证BE ⊥平面PAE ，得到PA BE ⊥，又PA PE ⊥，可得PA ⊥平面PBE ，从而可证PA PB ⊥；（2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面FAE 和平面PAE 的法向量，进而求出F 点坐标，确定F 点位置，求出四棱锥F ABCE -的体积.【小问1详解】证明：在长方形ABCD中，2AB AD ==E 为CD 中点，2AE BE ∴==，AE BE ∴⊥，平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE 平面ABCE AE =，BE ⊂平面ABCE ，BE ∴⊥平面PAE ，AP ⊂平面PAE ，BE PA ∴⊥，又PA PE ⊥，BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂=，PA ∴⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，PA PB ∴⊥.【小问2详解】如图，取AE 的中点O ，AB 的中点G ，连接,OP OG ，由题意可得,,OP OG OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，以OA ，OG ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,0,0E -，()1,2,0B -，()0,0,1P ，设PF PB λ=，则(),2,1F λλλ--，设平面FAE 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，()()201210x x y z λλλ-=⎧∴⎨--++-=⎩，令1y =，得21z λλ=-，20,1,1m λλ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭ ，又BE ⊥平面PAE ，()0,2,0n EB ∴== 是平面PAE的一个法向量，cos ,m n m n m n⋅∴==2=，解得13λ=或1λ=-（舍）.即F 为PB 的靠近P 的三等分点时，二面角F AE P --的平面角为π4，PO ⊥ 平面ABCE ，且1PO =，∴F 到平面ABCE 的距离为23，又四边形ABCE 的面积为3，∴四棱锥F ABCE -的体积11223.3333F ABCE ABCE V S h -=⋅=⨯⨯=20.已知函数()()22ln R f x x x ax a =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）求导根据导数的正负求解即可；（2）求导分析()g x 的单调性与极值点、区间端点值等，再数形结合分析即可.【小问1详解】当0a =时，()()22ln 0f x x xx =->，则()()()()211220x x f x x x x x-+'=-=>，令()0f x ¢>得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为()0,1令()0f x '<得1x >，所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞【小问2详解】()()22ln g x f x ax m x x m =-+=-+，则()()()21122x x g x x x x-+-'=-=，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴由()0g x '=，得1x =.当11ex ≤<，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1e x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当1x =时，函数()g x 取得极大值()11g m =-，又2112e eg m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e 2e g m =+-，且()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点需满足条件()1101120e e g m g m ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2112em <≤+，故实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.21.已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角ACD ∠的平分线，CB 与AD 相交于点O ，5AC =，7AD =，1cos 5ACD ∠=-.（1）求CO 的长；（2）若BC BD =，求ABD △的面积.【答案】（1）9（2）2【解析】【分析】（1）由余弦定理得4CD =，根据同角关系以及二倍角公式可得15sin 5ACO ∠=，进而根据面积公式即可求解，（2）根据正弦定理得sin 7ADC ∠=，进而由余弦定理得BD BC ==，利用和差角公式可得sin ADB ∠，即可由面积公式求解.【小问1详解】在ACD 中，由余弦定理得225491cos 255CD ACD CD +-∠==-⨯⨯，解得4CD =或6CD =-（舍去）.因为1cos 5ACD ∠=-，所以sin 5ACD ∠=.所以2cos 12sin ACD ACO ∠=-∠，解得sin 5ACO ∠=（负值舍去），所以sin sin 5DCO ACO ∠=∠=.因为ACD ACO DCO S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222CA CD ACD CA CO ACO CD CO DCO ⋅∠=⋅∠+⋅∠.所以1115454252525CO CO ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯.所以9CO =.【小问2详解】在ACD 中，由正弦定理可得5sin sin sin 265AC AD ADC ACD ADC =⇒=∠∠∠则26sin 7ADC ∠=，由于ADC ∠为锐角，所以5cos 7ADC ∠=.因为BD BC =，所以BDC BCD ∠=∠，所以15sin sin 5BDC BCD ∠=∠=，所以cos 5BDC ∠=，由余弦定理可得22210162cos 528CD BD BC BDC CD BD BD BD+-∠====⋅，解得BD BC ==.因为5cos 7ADC ∠=，所以()sin sin sin cos cos sin ADB BDC ADC BDC ADC BDC ADC∠=∠-∠=∠∠-∠∠56575735=⨯-=，所以11156sin 722352ABD S DA DB ADB =⋅∠=⨯=△.22.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点()()1,1f 切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数()f x 的单调性，当a =1时，由()10f '=得()()11min f x f ==,符合题意；当a >1时，可证1()(1)0f f a ''<，从而()f x '存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到m in ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1f x ≥恒成立；当01a <<时，研究()1f .即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+Q ，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-.(1)1f e =+Q ，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数()f x 在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--．（2）［方法一］：通性通法1()ln ln x f x ae x a -=-+Q ,11()x f x ae x -'∴=-，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+>∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a<，111a e -<∴，111((1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a-==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1,∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a --+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +-++-≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +-≥，所以ln 1ln a x x +-≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥-+．令()ln 1F x x x =-+，则11()1x F x x x-'=-=．所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减．所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥．［方法三］：换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t -=，所以ln 1ln a x t +-=，所以ln ln 1a t x =-+．于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x -=-+=-+-+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥-+-+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x -≥，分离参数后有1x xa e -≥．令1()x x g x e -=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e-------=='．当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减．所以当1x =时，1()x x g x e -=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥．令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增．因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a -=-+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立．因为11()0x T a e a-=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x -==-．因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a ex -=-≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤-，得1,ln 1x e x x x -≥-≥-．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x --≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立．当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令1x ae t -=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可．。

卜人入州八九几市潮王学校2021～2021第一学期高三第四次模拟考试文科数学试题一、选择题〔5×12＝60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将正确选项需要用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目之答案标号〕1.〔为虚数单位〕，那么复数的一共轭复数的模为A. B. C. D.【答案】C.....................的一共轭复数为.模为.应选C.2.集合，假设A和B的交集，那么实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，,所以，所以，又.所以的取值范围是.应选A.3.设，且∥，那么=A. B. C. D.【答案】D【解析】，且∥，所以，..应选D.4.设表示三条直线，A.假设∥，那么∥B.假设，∥，那么C.假设，是在内的射影，假设，那么D.假设，那么【答案】D【解析】由l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，知：在A中,假设m⊂α,n⊄α,m∥n,那么由线面平行的断定定理得n∥α，故A正确；在B中,假设α⊥γ,α∥β，那么由面面垂直的断定定理得β⊥γ，故B正确；在C中，假设m⊂β，n是l在β内的射影，假设m⊥l，那么由三垂直线定理得m⊥n，故C正确；在D中，假设α⊥β，α∩β=m，l⊥m，那么l与β相交、平行或者l⊂β，故D错误。

应选：D.5.公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前项和，那么的值是A.2B.3C.D.4【答案】A【解析】设等差数列的首项为,公差为d(d≠0)，因为成等比数列，所以,即=−4d，所以，应选：A.6.在矩形中，，假设向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知此题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，那么三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的间隔要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影局部,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.应选D.7.某几何体的三视图如下列图，其中俯视图是半圆里面内切一个小圆，假设该几何体的外表积为，那么正视图中的值是A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由三视图得到几何体是直径为a的球和底面半径为a,高为4的半个圆柱的组合体,所以外表积为，解得a=2；应选B.8.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，假设与的图象的对称轴重合，那么的值可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图像向右平移个单位长度后得，那么函数f(x)的对称轴为，得，同理，函数g(x)的对称轴为，假设f(x)，g(x)的图像的对称轴重合，那么应为的整数倍。

山西大学附中2021~2022学年第一学期高三9月模块诊断数学试题（文科）考试时间：120分钟 命题人：陈娟 审核人：高三数学组一.选择题（每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的）1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且i 1i x y -=-+，则()1i x y+-的值为（ ） A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i 2．集合1,Z 36n M xx n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 63n N x x n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭则下列关系正确的是（ ）A ．M N ⊆B ．=M NC ．N M ⊆D ．M N3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x =，则5x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“0R x ∃∈，2003210x x +->”的否定是“R x ∀∈，23210x x +-<”D ．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是[)2,+∞4．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若a αβ⋂=，b β⊂，b a ⊥，则αβ⊥D ．若l αβ=，αβ⊥，a α⊂，a l ⊥，//a b ，则b β⊥5．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin56π，cos 56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116π D ．23π6．设0,a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A ．B ．3C ．9D ．20x 时，y 的估计值为（ ） A ．210.5 B ．211 C ．211.5 D ．2128．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了9．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示，若它的所有棱长都为2，则BM 与FQ 所成角的余弦值为（ ）A ．255B ．32C ．56D ．110．设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，2()f x ax b =+，若(0)(3)3f f +=，则13()2f =（ ）A ．94-B ．54- C ．72 D ．5211．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是单调递增的．设()()0.5421log 5,log ,0.23a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<12．设函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．要得到函数()f x 的图象，只需将3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位 C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为3-D ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称二. 填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上）13．已知向量(,3)a k =与(2,1)b =-，若()b a b ⊥+，则实数k 的值为__．14．若实数x ，y 满足约束条件1240x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，z x y =-+的最小值为_____．15．已知双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左､右焦点分别为F 1，F 2.过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为M .若2121()0F F F M FM +⋅=，则此双曲线的离心率为___________.16．已知数列{}n a 满足条件123231111252222n n a a a a n ++++=+，则数列{}n a 的通项公式为___________. 三.解答题 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知137cos ,143C a c ==．（1）求∠A 的大小；（2）请从条件①：1b a -=；条件②：5cos 2b A =-这两个条件中任选一个作为条件，求cos B 和a 的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18. （本小题满分12分）如图，多面体 ABCPQ 中，QA ⊥平面ABC ，QA ∥PC ，点M 为PB 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝PC ＝2QA ＝2 （1）求证：QM ∥平面ABC ； （2）求三棱锥Q －ABM 的体积． 19．（本小题满分12分）“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计这300名业主评分的中位数； （2）若先用分层抽样的方法从评分在[90,95)和[]95,100的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在[]95,100的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率e = 4.（1）求椭圆的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()21x f x e x x =---. （1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.选做题（满分10分）22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O 、A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +的最大值．23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()f x x <的解集；（2）函数()f x 的最大值为M ，若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求111a b c ++的最小值．数学试题答案 1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且i 1i x y -=-+，则()1i x y+-的值为（ ）A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i【答案】B 【分析】根据复数相等可得答案. 【详解】因为,x y R ∈，i 为虚数单位，且i 1i x y -=-+， 所以11y x ==，， 则()()21i 1i 2i x y+-=--=，故选：B.2．集合1,Z 36n M x x n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 63n N x x n ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭则下列关系正确的是（ ）A ．M N ⊆B ．=M NC ．N M ⊆D ．M N【答案】C 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为2,Z 6n M x x n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21,Z 6n N x x n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭2n +表示整数，21n 表示奇数，故N M ⊆，故选项A 、B 、D 错误，选项C 正确， 故选：C.3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x =，则5x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“0R x ∃∈，2003210x x +->”的否定是“R x ∀∈，23210x x +-<” D ．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是[)2,+∞【答案】D 【分析】由否命题可判断A ；通过解方程可判断B ；由特称命题的否定可判断C ；将命题转化为恒成立，进而可判断D. 【详解】对于选项A ：命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x ≠，则5x ≠”，故A 错误； 对于选项B ：由2560x x --=，解得1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误；对于选项C ：，“0R x ∃∈，2003210x x +->”的否定是“R x ∀∈，23210x x +-≤”，故C 错误；对于选项D ：因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立，所以()242a x x x ≥>-恒成立.因为2x >，所以22x x ->，则242x x<-，故2a ≥，故D 正确. 故选：D.4．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ C ．若a αβ⋂=，b β⊂，b a ⊥，则αβ⊥ D ．若l αβ=，αβ⊥，a α⊂，a l ⊥，//a b ，则b β⊥【答案】D对于A 中，如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，11A B ⊂平面1111D C B A ，//AC 平面ABCD ，但11A B 与AC 不平行，故A 错误；对于B 中，如图所示，11A B ⊂平面11A B BA ，DC ⊂平面ABCD ，11//A B DC ， 但平面11A B BA 与平面ABCD 不平行，故B 错误；对于C 中，如图所示，平面11ABC D ⋂平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD 且BC AB ⊥，但平面ABCD 与平面11ABC D 不互相垂直，故C 错误；对于D 中，由平面与平面垂直的性质定理，得a β⊥，又由//a b ，所以b β⊥， 所以D 正确. 故选：D.5．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos 56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π 【答案】B 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos6x π==，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ．6．设0,a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A ．B ．3C ．9D ．解：0,a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .7.对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆ5ˆ10y x a =+．，据此模型预测当20x时，y 的估计值为（ ） A ．210.5 B ．211C ．211.5D ．212【答案】C 【分析】根据表中数据计算x 、y ，代入回归直线方程求出ˆa ，写出回归直线方程，利用方程计算20x时ˆy的值即可． 【详解】 2456820406070805,5455x y ++++++++====，将5,54x y ==代入105ˆy x a =+．得5452515ˆa=-=．．，则ˆ10515y x =+．．，当20x 时，10520152115y =⨯+=．．．， 故选：C8．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了 【答案】B 【分析】因为小王每月还款数额相同，2016年占比60%，2019年占比40%，说明2019年收入大于2016年收入，设2016年收入为x ，2019年收入为y ，0.60.4x y =，即23x y =， 根据这两年的收入的关系，判断选项. 【详解】因为小王每月还款数额相同，2016年占比60%，2019年占比40%，说明2019年收入大于2016年收入，设2016年收入为x ，2019年收入为y ，0.60.4x y =，即23x y = A.2016年和2019年，虽然饮食占比都是25%，但收入不同，所以支出费用不同，所以A 不正确；B.2016年的其他方面的支出费用是0.06x ，2019年其他方面的支出费用是0.12y ，0.1230.06yx=，所以B 正确； C.因为31.52y x == ，所以小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1.5倍，所以C 不正确；D.房贷占收入的比例减少了，但支出费用是不变的，所以D 不正确.故选：B 【点睛】本题考查数据分析的实际问题，重点考查读题，根据图象分析信息，解决问题，属于基础题型，本题的关键是根据每月还款相同，计算两年收入的关系.9．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示，若它的所有棱长都为2，则BM 与FQ 所成角的余弦值为（ ）A 255B 3C ．56D ．1【答案】C 【分析】将二十四等边体补成边长为2的正方体，推得CQF ∠即为异面直线BM ，FQ 所成角．由余弦定理计算可得所求值． 【详解】解：可知二十四等边体即为正方体截去8个角得到，如图所示： 22， 由//BM CQ ，可得CQF ∠即为异面直线BM ，FQ 所成角． 由22426BM CQ BN NM ==++22426FQ PG GQ =+=+=，2CF =，则6625cos 6266CQF +-∠==⨯． 故选：C ．10．设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，2()f x ax b =+，若(0)(3)3f f +=，则13()2f =（ ）A ．94-B ．54-C ．72D ．52【来源】河北省衡水市第一中学2022届高三上学期第一次调研数学试题 【答案】B 【分析】通过(1)f x +是奇函数和(2)f x +是偶函数可以确定函数()f x 的解析式与周期，进而求出结果.【详解】因为(1)f x +是奇函数，所以(1)(1)f x f x -+=-+①，且()f x 关于点(10)，对称， 因为(2)f x +是偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+②，且()f x 关于2x =对称， 所以()f x 的周期为4()421⨯-=，令1x =，由①得(0)(2)f f =-，由②得(3)(1)f f =又(0)(3)3f f +=，所以(2)(1)43f f a b a b -+=--++=，1a =-， 令0x =，由①得(1)(1)(1)01f f f b =-⇒=⇒=， 所以2()1f x x =-+，]2[1x ∈，， 所以13535()()()2224f f f ===-.故选：B11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是单调递增的．设()()0.5421log 5,log ,0.23a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是单调递增的，∴()f x 在[0,)+∞上单调递减， 44log 5log 41>=,()221log log 33f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,244 log 3log 9log 5=>,0.5000.20.21<<=,∴0.54200.2log 5log 3<<<,∴()()()0.5420.2log 5log 3f f f >>,即c a b >>,即b a c <<, 故选B.12．设函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．要得到函数()f x 的图象，只需将3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位 C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为3-D ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为3，所以3A =.()f x 图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以T π=，22πωπ==，()()3sin 2f x x ϕ=+， ()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()3sin 06f x πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，由于2πϕ<，所以6π=ϕ. 所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项，25,2,26333266x x x πππππππ≤≤≤≤≤+≤，区间5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是sin y x =的减区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，所以()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，故A 错误. B 选项，3cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到3cos 23cos 23cos 23sin 263626y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，B 正确.C 选项，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，13sin 2,1,3sin 2,36262x x ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈-+∈- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以C 错误.D 选项，553sin 01266f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 错误. 故选：B13．已知向量(,3)a k =与(2,1)b =-，若()b a b ⊥+，则实数k 的值为__． 【答案】-1向量(,3)a k =与(2,1)b =-，若()b a b ⊥+， 则2()2350b a b a b b k ⋅+=⋅+=-+=， 求得实数1k =-， 故答案为：1-．14．若实数x ，y 满足约束条件1240x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，z x y =-+的最小值为_____．解：由约束条件作出可行域如图，当0y =时，422yx -==，所以()2,0A ， 化z x y =-+为y =x+z ，由图可知，当直线y =x+z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为202-+=-． 故答案为：2-．15．已知双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左､右焦点分别为F 1，F 2.过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为M .若2121()0F F F M FM +⋅=，则此双曲线的离心率为___________.【来源】安徽省十校联盟2021-2022学年高三上学期开学摸底考试文科数学试题【答案】53【分析】根据2121()0F F F M FM +⋅=可得221||||2MF F F c ==，再结合过F 2的直线斜率为247，得出217cos 25MF F ∠=-，在等腰三角形12MF F 中利用余弦定理求解即可 【详解】∵2121()0F F F M FM +⋅=， ∴212221()()0F F F M F M F F +⋅-=，则22221F M F F =， 即221||||2MF F F c ==.由双曲线的定义可知12||||2,MF MF a -=可得12||||222MF MF a a c =+=+. 由过F 2的直线斜率为247，得在等腰三角形12MF F 中，2124tan 7MF F ∠=-，则217cos 25MF F ∠=-由余弦定理得22221744(22)cos 25222c c a c MF F c c+-+∠=-=⋅⋅，化简得223950250c ac a --=，即23950250e e --=，解得53e =或513e =-（舍去）.故答案为：5316．已知数列{}n a 满足条件123231111252222n na a a a n ++++=+，则数列{}n a 的通项公式为114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩由题意可设123231111222225n n nS a a a a n ==+++++①， 当1n =时，172a =，∴114a =； 当2n ≥时，1123123111112(1)52222n n n S a a a a n ---=++++=-+② ①－②相减可得，252(1)522nn a n n =+---=，∴12n n a +=．当1n =时，114a =不满足上式．综上可知，数列{}n a 的通项公式为114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩．17．在△ABC 中，已知137cos ,143C a c ==． （I ）求∠A 的大小；（II ）请从条件①：1b a -=；条件②：5cos 2b A =-这两个条件中任选一个作为条件，求cos B 和a 的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【来源】江苏省南通市通州区2020-2021学年高一下学期期中数学试题 【答案】（1）3A π=或23A π=；（2）选条件①：1cos 7B =-， a =7；选条件②：11cos 14B =a =7. 【分析】（1）先用正弦定理求出角A ; （2）选条件①：先判断出3A π=，分别求出cos ,sin ,cos ,sin C C A A ，利用两角和的余弦公式即可求出cos B ，再用余弦定理求出a ； 选条件②：先判断出3A π=，分别求出cos ,sin ,cos ,sin C C A A ，利用两角和的余弦公式即可求出cos B ，再用正弦定理求出a . 【详解】（1）△ABC 中，因为13cos 14C =，所以sin C =由正弦定理得：sin sin a c A C =， 所以7sin sin 3a A C c ===. 所以3A π=或23A π=. （2）选条件①：1b a -=，则b a >，所以3A π=（23A π=舍去）.此时13cos 14C =，sin C =，1cos 2A =,sin A =, 所以()1311cos cos cos cos sin sin 1427B AC A C A C =-+=-+=-⨯=-. 即1cos 7B =-.由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,即()22233112777a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =7（715a =-舍去）. 选条件②：5cos 2b A =-.因为0b >，所以cos 0A <所以23A π=（3A π=舍去）. 此时13cos 14C =，sin C =，1cos 2A =-,sin A , 所以()13111cos cos cos cos sin sin 14214B A C A C A C ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即11cos 14B =，所以sin B ==由正弦定理得：sin sin a bA B=,即51522cos sin sin 7sin sin bA a A A BB-⎛⎫⨯--⎪=⨯=⨯==，即a =7.18．如图，多面体 ABCPQ 中，QA ⊥平面ABC ，QA ∥PC ，点M 为PB 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝PC ＝2QA ＝2（1）求证：QM ∥平面ABC ； （2）求三棱锥Q －ABM 的体积．（1）取BC 中点H ，连接MH ，AH ，由点M 为PB 的中点，则MH ∥PC 且MH ＝12PC ，又QA ∥PC 且QA ＝12PC ， 所以//QA MH 且QA MH =，即四边形QAHM 为平行四边形， 从而QM ∥AH ，而AH ⊂平面ABC ，QM ⊄平面ABC ， 所以QM ∥平面ABC ．（2）由（1）知，MH ∥QA ，QA ⊂平面QAB ，MH ⊄平面QAB ，所以MH ∥平面QAB ，则点M 到平面QAB 的距离与点H 到平面QAB 的距离相等， 即Q ABM M ABQ H ABQ Q ABH V V V V ----=== 由条件知，QA 为三棱锥Q －ABH 的高，2111332133246Q ABH ABHV SQA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥Q －ABM 的体积36． 19．“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计这300名业主评分的中位数；（2）若先用分层抽样的方法从评分在[90,95)和[]95,100的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在[]95,100的概率.（1）第三组的频率为1(0.0200.0250.0300.0350.050)50.200-++++⨯=， 0.2000.0405a ∴== 又第一组的频率为0.02550.125⨯=，第二组的频率为0.03550.175⨯=，第三组的频率为0.200.∴前三组的频率之和为0.1250.1750.2000.500++=， ∴这300名业主评分的中位数为85.（2）由频率分布直方图，知评分在[90,95)的人数与评分在[]95,100的人数的比值为3:2.∴采用分层抽样法抽取5人，评分在[90,95)的有3人，评分在[]95,100有2人.不妨设评分在[90,95)的3人分别为123,,A A A ；评分在[]95,100的2人分别为12,B B ， 则从5人中任选2人的所有可能情况有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种.其中选取的2人中至少有1人的评分在[]95,100的情况有：{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共7种.故这2人中至少有1人的评分在[]95,100的概率为710P =.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率e = 4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2，0x 或0x =.【分析】（Ⅰ）由长轴长求得a 的值，利用离心率求得c 的值，根据基本平方关系求得b ,进而写出方程；（Ⅱ）法一：设MN 的方程为x my =-公式，求得PMN 的面积关于m 的表达式，利用换元方法转化，利用基本不等式求最值即可；法二：当k 不存在时，直接求得PMN 的面积的值 ；当k 存在且0k ≠时，设直线方程为(y k x =，与椭圆方程2214x y +=联立，求得PMN 的面积关于k 的表达式，利用换元方法转化，利用基本不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）因为椭圆长轴长为4，所以24,2a a ==，c a = 又222a b c =+，解得1c b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=； （Ⅱ）法一：设MN的方程为x my =联立方程组2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ()22410m y +--= ，1212214y y y y m -+=⋅=+12||MN y =-=()22414m m +=+，原点到直线x my =d =点P 到直线MN的距离为2d =，122MNP S MN d =⋅=△， ,1t t ≥ ，2MNP S t t==≤+△ ，当t =2，此时，直线l的方程为0x =或0x .法二：当k 不存在时，1,PMN MN d S ==△；②当k 存在且0k ≠时，设直线方程为(y k x =+， 与椭圆方程2214x y +=联立， 可得()2222411240k x x k +++-=，显然0∆>，21212212441k x x x x k -+==+， ∴MN =()224114k k +=+，∴d =PMN S =24k =+，令1)t t => ，∴上式=，∴上式2t t =≤+，当且仅当t =k =时，取到最值.综上，当k =时，PMN S △取得最大值2. 此时，直线l的方程为0x =或0x .21．已知函数()21x f x e x x =---.（1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.（1）由()21x f x e x x =---，得()21x f x e x '=--，故()2x f x e ''=-，令()0f x ''>，解得ln 2x >，令()0f x ''<，解得ln 2x <，故函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增；（2）令()()()1x h x g x f x ax e =-=+-，则()x h x a e '=-，若0a ≤，则()0h x '<，()h x 在R 上单调递减，而()00h =，故()h x 有1个零点， 若0a >，可得(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '<， ∴()h x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减，∴()()max ln 1ln h x h a a a a ==-+，令()1ln t a a a a =-+，则()ln t a a '=，当()0,1a ∈时，()0t a '<，当()1,a ∈+∞时，()0t a '>，∴()t a 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，而()10t =， 故()()0,11,a ∈⋃+∞时，()max 0h x >，()h x 有2个零点，当1a =时，()max 0h x =，()h x 有1个零点，综上，(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解，当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O 、A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +的最大值．【答案】（1）1:C ρθ=，()222:11C x y +-=；（2）4．【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线1C 的极坐标方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程； （2）设直线l 的极坐标方程为02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，分别代入曲线1C 、2C 的方程可得出OA α=，2sin OB α=，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可得出OA OB +的最大值.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为(223x y +=，即220x y +-=， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为ρθ=. 曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为直角坐标方程为222x y y +=，整理得()2211x y +-=； （2）直线():0l y kx k =>转换为极坐标方程为02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭， 直线l 与曲线1C 交于O 、A两点，故θαρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得OA α=， 直线l 与曲线2C 交于O 、B 两点，故2sin θαρθ=⎧⎨=⎩，整理得2sin OB α=，所以2sin 4sin 3OA OB πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭+， 02πα<<，则5336πππα， 所以，当32ππα+=时，即当6πα=时，OA OB +的最大值为4．23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()f x x <的解集；（2）函数()f x 的最大值为M ，若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求111a b c ++的最小值.解：（1）不等式()f x x <即12x x x --+<. ①当1≥x 时，化简得3x -<.解得1≥x ；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <,此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭; （2）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=.又∵,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==，即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴111a b c++的最小值为36.。

山西大学附中2020～2021学年高三年级第一学期期中考试数学（文科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】因为点(P -在角23π的终边上，所以 2cos cos cos 3262πππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭，故选B ． 4．【解答】因为74473S a a ==，所以40a =，4343S S a S =+=，故选A ． 5．【解答】设火箭发射时的声音强度为1x ，两人交谈时的声音强度为2x ，由()11139lg 153110x d x -==⨯，解得4110x =； 由()22139lg 54110x d x -==⨯，解得7210x -=， 所以111210x x =，故选C ．6．【解答】由选项B ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项C ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项D ，//AB NQ ，则直线//AB 平面MNQ ；选项A 不满足．故选A ．7．【解答】由函数()f x 的解析式作出函数图像，如图所示，可知()f x 为偶函数，则()()()()()21221f a f a f f a f -+⇔，即()()1f a f ，由图像知1a ，得11a -．故选C ．8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图2图象，故B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-，所以PA PB ⋅取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min12414PA PB⋅=-⨯=．故选A ．10.设球心O 到平面ABC 的．ABC ∆外接2故所求的球的表面积是24464ππ⨯=．故A 正确．]'f x ，（）＞f x f ∴+（）（x e f x e （）＞000g e x =∴（）），＞，∴13．180 14．5915+ 16．1⎡⎣13．【解答】由题可得总体中每个个体被抽到的概率为19，所以总体中的个体数2018019n ==． 14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C ===== ∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△ 16．【解答】由题可得只要22222323x x x x a ma m a ma m ---+-=-+-+在1a >时有解即可，整理得()()222280xx x x aam a a m --+-++-=.令x x t a a -=+，则22x x x t a a a a --=+=，所以原题等价于方程222280t mt m -+-=在2t 时有解，求m 的取值范围.令()22228g t t mt m =-+-，对称轴为x m =，判别式()2224428432m m m ∆=--=-+.①若2m ，则需24320m ∆=-+，解得22m -，此时222m ；②若2m <，则需()020g ∆>⎧⎪⎨⎪⎩，即2243202440m m m ⎧-+>⎪⎨--⎪⎩，解得113m -+，此时12m -<.综上所述，m 的取值范围是1⎡⎣.17.解析：（Ⅰ）因为为等差数列，且，所以，即， 又因为公差，所以，；………6分（Ⅱ）由（1）知的前4项为4，3，2，1，所以等比数列的前3项为4，2，1，，，{}n a 27126a a a ++=-736a =-72a =-1d =-7(7)275n a a n d n n =+-=--+=-21()(45)92222n n n a a n n n n S ++-===-{}n a {}n b 114()2n n b -∴=⋅114(5)()2n n n a b n -∴=-⋅02111114[4()3()(6)()(5)()]2222n n n T n n --∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅FM SEDCB A，………12分18．（本小题12分）（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O ，设FC 中点为P ,连接OP ,EP O ,P 分别为AC ,FC 的中点//OP FA ∴,且12OP FA =//OP ED ∴且OP ED = ∴四边形OPED 为平行四边形//OD EP ∴, 即//BD EP …………2分 FA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD FA BD ∴⊥………3分四边形ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥ …………4分 FA AC A =BD ∴⊥平面FAC ，即EP ⊥平面FAC ……5分又EP ⊂平面EFC ∴平面FAC ⊥平面EFC …………6分（Ⅱ）11323423343F ABC ABC V S FA -∆=⋅=⨯⨯⨯=…………8分 平面ADEF ⊥平面ABCD C ∴到平面的距离为332CD = …………9分()12213332C ADEF V -+⨯∴=⨯⨯=…………11分533ABCDEF F ABC C ADEF V V V --∴=+=…………12分 19.解:（Ⅰ）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=，解得0.025a =.因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=， 所以估计这100名学生的平均成绩为74.………5分（Ⅱ）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：21111114[4()3()(6)()(5)()]22222n n n T n n -∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅21111114[4[()()()]4(5)()22222n nn T n -∴=-+++--⋅1112[1()]112164(5)()12(26)()12212n n n n n ---=---⋅=+-⋅-1124(412)()2n n T n -∴=+-⋅∵2K的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.…………12分20．解：（Ⅰ）由题意可知：，得，故椭圆的标准方程为……………4分（Ⅱ）设，，将代入椭圆方程，消去得，所以，即…………①由根与系数关系得，则，………………… 6分 所以线段的中点的坐标为．…………………8分 又线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得， 即，所以…②……………………10分 由①②得，所以，即或，22222b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩C 2214x y +=()11,M x y ()22,N x y y kx m =+y ()222148440kx kmx m +++-=()()()2228414440km k m ∆=-+->2241mk <+122814km x x k +=-+122214my y k +=+MN P 224(,)1414km mk k-++MN l '1(1)y x k=--P l '2214(1)1414m kmk k k =---++24310k km ++=()21413m k k=-+()222241419k k k +<+222410419k k k +>∴+<215k >5k <-5k >所以实数的取值范围是．………………12分 21．（Ⅰ）解:当a =−4时，f(x)=lnx +12x 2−4x ，f(x)定义域为(0,+∞)f′(x)=1x +x −4=x 2−4x +1x当f′(x)>0，即x 2−4x +1>0得0<x <2−√3或x >2+√3 当f′(x)<0，即x 2−4x +1<0得2−√3<x <2+√3 ∴f(x)的单调递增区间是(0,2−√3)，(2+√3,+∞) f(x)的单调递减区间是(2−√3,2+√3)…………5分（Ⅱ）F(x)=f(x)−g(x)=lnx +12x 2+ax −e x −32x 2+x=lnx −x 2+ax +x −e x (x >0)∵F(x)存在不动点，∴方程F(x)=x 有实数根. 即a =e x −lnx+x 2x有解.令ℎ(x)=e x +x 2−lnxx(x >0)ℎ′(x)=e x (x −1)+lnx +(x +1)(x −1)x 2令ℎ′(x)=0，∴x =1.当x ∈(0,1)时， ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；∴ℎ(x)≥ℎ(1)=e +1当a ≥e +1时，F(x)有不动点， ∴a 范围[e +1,∞)………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题10分）解：（1）圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-，展开可得：214cos )2ρρθθ=-，可得直角坐标方程：222x y x +=-．配方为22(1)(4x y ++=．……5分（2）不妨设1(A ρ，)θ，2(,)3B πρθ+．124sin()4sin()8sin cos 43666πππρρθθθθ∴+=-++==，当且仅当sin 1θ=时取得最大值……10分23.（本小题10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()|2||21|f x x x =-++，． 由()5f x 得2||21|5x x -++．当2x 时，不等式等价于2215x x -++，解得2x ，所以2x ；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++，即2x ，所以此时不等式无解；当12x -时，不等式等价于2215x x ---，解得43x -，所以43x -．k 5(,(,)-∞+∞所以原不等式的解集为(-∞，4][23-，)+∞．⋯5分（Ⅱ）()|2|2|2||2||24||2||2(24)||4|f x x x x a x x a x a x a +-=-++=-+++--=+ 因为原命题等价于(()|2|)3min f x x +-<，所以|4|3a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．⋯10分。

师大附中2021-2021学年度上学期(xu éq ī)高三数学文科月考试卷四时量：120分钟 满分是：150分参考公式：假如事件A 、B 互诉，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕 假如事件A 、B 互相HY ，那么P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率P n 〔k 〕=球的体积公式，球的外表积公式，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题一一共10个小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．假设x ，a ，2x ，b 成等比数列，那么的值是〔 〕A ．B ．C ．2D ．2．假设函数=〔 〕A ．21B ．－21 C ．－2 D ．2 3．假如那么必有〔 〕A ．B ．C ．D ．4．既是区间(qū jiān)〔0，〕上的增函数，又是以π为周期的偶函数的函数是〔〕A．y=sin2|x|〔x∈R〕B．y=|sinx|〔x∈R〕C．y=cos2x〔x∈R〕D．y=e sinx〔x∈R〕5．等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，假如a1，a2，a5成等比数列，那么d= 〔〕A．2 B．－2 C．3 D．2或者－26．设x，y，z是空间不同的直线或者平面，对于以下四种情形，使“x⊥z且y ⊥z x//y〞为真命题的是〔〕①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面.A．①，②B．①，③C．③，④D．②，③7．以下命题中错误的选项是〔〕A．命题“假设q那么p 〞与命题“假设p那么⌝q〞互为逆否命题B．“am2<bm2”是“a<b〞的充要条件C．“矩形的两条对角线相等〞的否认为假D ．命题“ {1，2}或者4{1，2}〞为真〔其中φ为空集〕8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线AA 1和BC 的间隔 相等，那么(n à me)动点P 的轨迹是〔 〕 A ．线段B ．抛物线的一局部C ．双曲线的一局部D ．椭圆的一局部9．函数y=f (x )的图象如下图，那么y= f (x )的解析式是〔 〕A ．y=sin2x －2B ．y=2cos3x －1C ．y=sin(2x －)+1D ．y=1－sin(2x －5) 10．向量a =(m,n)，b =〔cos θ，sin θ〕，其中m ，n ，θ∈R ，假设|a|=4|b|，那么当a ·b<λ2恒成立时，实数λ的取值范围是〔 〕A ．λ>2或者λ<－2B ．λ>2或者λ<－2C ．－22<λ<2D ．－2<λ<2 二、填空题：本大题一一共52个小题，每一小题4分，一共20分. 11．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6〕骰子朝上的点数分别为x ，y ，那么log x y=1的概率是 .12．记T n=a1·a2·…·a n(n∈N*)表示n个数的积，其中a i为数列{a n}中的第i项，假设a n=2n－1,T4= .13．假设向量a,b是非零向量，那么“a·b<0”是“向量a,b的夹角为钝角〞的条件.14．函数的单调递增区间是 .15．顶点(dǐngdiǎn)在原点，焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的HY方程是 .三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.16．〔本小题满分是12分〕设a=〔sin x，cos x〕，b=〔cos x，cos x〕，假设函数f(x)=a·b+m.〔m∈R〕〔Ⅰ〕指出函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；〔Ⅱ〕当时，函数f(x)的最小值为2，求此函数f(x)的最大值，并求此时的x的值.17．〔本小题满分是12分〕如图△ABC 是正三角形，PA ⊥面ABC ，且PA=AB=a ， 〔Ⅰ〕求PB 与AC 所成的角的大小； 〔Ⅱ〕求二面A —PC —B 的大小.18．〔本小题满分是14分〕某人作短期旅游，上午(sh àngw ǔ)7时出发，乘电动自行车以匀速v 千米/小时(4≤v ≤20)从甲地到距50千米的乙地，然后换乘汽车以u 千米/小时〔30≤u ≤100〕匀速的自乙地向距300千米的丙地驶去，在同一天的下午4到9时到达丙地，设汽车、电动自行车所需时间是分别是x ，y 小时. 〔Ⅰ〕图示满足上述条件的x+y 的范围〔Ⅱ〕假如所需的经费z=100+3(5－x)+2(8－y)〔元，那么v ，u 分别是多少时走得最经济？此时需经费多少元？19．〔本小题满分是14分〕二次函数f (x )(x ∈R)的二次项系数为正实数且满足f ′(1)=0， 〔Ⅰ〕试判断函数f (x )的单调区间； 〔Ⅱ〕设向量a =(sin x ，2)，b =(2sin x ，21)，c =〔cos2x ，1〕，d =〔1，2〕.求解不等式f(a·b)>f(c·d).20．〔本小题满分是14分〕设有唯一解，〔Ⅰ〕求函数的解析式；〔Ⅱ〕求证(qiúzhèng)：数列{}是等差数列；〔Ⅲ〕求数列{x n}的通项公式.21．〔本小题满分是14分〕如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C ： =1上一点〔a>0，b>0〕，〔Ⅰ〕求双曲线的离心率；〔Ⅱ〕过点P作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于P1，P2两点，假设，求双曲线C的方程.[参考答案]一、选择题：本大题一一共10个小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合(fúhé)题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B A D B B D B 二、填空题：本大题一一共5个小题，每一小题4分，一共20分.11． 12.105 13.必要不充分 14. 15. x2=－12y或者y2=16x三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 16．解：〔I〕f(x)的最小正周期是π，f(x)的单调递增区间是…………………………………………………………〔6分〕〔II〕时f(x)取到最大值.……………………………………………………〔12分〕17．解：〔I〕在平面ABC作BC//AC，且BE=AC连接AE，PE那么∠PBE是PB和AC所成的角，∵PA⊥平面(píngmiàn)ABC，△ABC为正三角形，PA=AB=a ,∴PE=2a，BE=a，在△PEB中，由余弦定理得cos∠PBE=……〔6分〕〔II〕取AC的中点M,连接BM，作MN⊥PC于N，连BN，∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，易证BM⊥AC.∴BM⊥平面PAC，又MN⊥PC，∴PC⊥BN，故∠MNB为二面角A—PC —B 的平面角.在Rt△BMN 中，MN=CM·sin45°= a BM= a∴tan∠BNM=.∴∠BNM=arctan…………………………………………………………〔12分〕18．解：〔I〕依题意得∵4≤v≤20，30≤u≤100，3≤x≤10，，又依题意知9≤x+y≤14……………………〔6分〕〔II〕由得3x+2y=131－z.设131－z=m,那么当m最大时，z最小.在图示的满足(m ǎnz ú)不等式的平面区域〔含边界〕且斜率为的直线3x+2y=m 中，使m 值最大的直线必通过点〔10，4〕.即当x=10，y=4时，z 最小，此时v=12.5，u=30，z 的最小值为93元.…………………………………………〔14分〕19．解：〔I 〕设∴f (x )得单调递减区间为，单调递半区间为.………………〔6分〕〔II 〕依题意a ·b=2sin 2x+1≥1, c ·d=cos2x+2=1+2cos 2x ≥1. 依题意f(a ·b)>f(c ·d)，∴2sin 2x+1>2cos 2x+1⇒sin 2x>cos 2x ⇒cos2x<0 …………………………………………〔14分〕20．解：〔参考理科21题解答〕〔I 〕可求………………〔5分〕〔II 〕是公差为21的等差数列；……〔9分〕 〔III 〕数列{x n }的通项公式为………………………………〔14分〕21．解：〔I 〕由即△F 1PF 2为直角三角形，因此有…〔6分〕〔II 〕依题意(tí yì)①又因点在双曲线将b2=4a2代入上式整理②由①·②得a2=2,b2=8，故求得双曲线方程为.………………〔14分〕内容总结（1）〔14分〕。

2020-2021学年山西大学附属中学高三语文第四次联考试卷及参考答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。

穿越千年、蜿蜒万里的长城静穆矗立、巍峨壮丽，它是中国古代的军事防御工程，也是中华民族奋勇顽强、坚韧不屈的精神象征。

提高社会各界保护长城的认识，从更高层面保护、利用长城刻不容缓。

长城是一张闪亮的“北京名片”。

由于具有拱卫京师的重要战略作用，北京段长城历来受到重视并多次加固，明代更是将修筑北京段长城当作国家大事。

我国15个省、自治区和直辖市有长城分布，目前北京段长城是保存最完好、价值最突出、工程最复杂、文化最丰富的段落，也因此被称为“万里长城之冠”。

包括长城在内的各种北京历史文化遗产，也是中华文明的“金名片”，而北京作为首都，肩负着加强文化遗产保护的重大责任。

北京有浩大壮观的明长城，也有分布在门头沟、密云等多个地点的北齐长城城堡遗址，北京段长城沿线有“威震边关”的杨令公庙，至今回响着杨家将喋血沙场、舍身报国的感人事迹。

北京长城更留下了长城抗战的铁血烙印，长城抗战最激烈的古北口战役中，中国军队不畏强暴、浴血奋战，用鲜血和生命捍卫了民族尊严。

北京长城沿线还有丰富的革命文物和红色文化纪念地，包括门头沟区八路军宋邓支队会师地旧址、八路军冀热察挺进军司令部旧址、平谷区将军关抗战时期战道遗址、鱼子山抗战遗址等。

北京长城不仅饱含深厚的历史文化底蕴，也见证了波澜壮阔的中国革命史，传承着雄浑激越的红色基因，长城历史文化的保护、发掘、传播工作大有可为。

包括长城在内的各种历史文化遗产，需要依法修缮保护，也要以科学的态度进行开发利用。

北京段长城除少部分进行旅游开放外，目前相当一部分处于自然状态，在长期风吹雨打、灌木滋生以及各种自然因素影响下，多数墙体损害严重，抗自然损毁能力减弱，有的甚至濒临倒塌、消失。

此次北京市建立长城保护员管理体系，保护员职责包括巡视、险情监测、环境清理、劝阻游人攀爬野长城等。

2021年高三上学期第四次质量检测数学（文科）试卷含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果等差数列中，,则（）A.-1B.-2C.-3D.-42.已知向量，若与垂直，则（）A．B．C．D．43.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（）A.6B.7C.8D.94.设则“”是“为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分与不必要条件5.已知{}是首项为1的等比数列，是{}的前n项和，且。

则数列的前5项和为（）A 或5B 或5C D6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )．A．B．C．D．7．在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．8．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若，则AB的长为（）A．1 B．-1C．D．-9．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( ) A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定10．已知且与共线，则=（）A． B． C．D．—11．下列区间中，函数在其上为增函数的是（）A．（- B． C． D．12．函数在处有极值10, 则点为( )A. B. C.或 D.不存在第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式是．14．已知，且，则的值为__________15．设a＝（cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋t b(t∈R) u的模的最小值为16．曲线在点处的切线的斜率为三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（10分）已知a和b的夹角为，|a|＝5，|b|＝4，求：（1）|a＋b|；（2）求向量a＋b在a方向上的投影18．（12分）已知函数（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间．19．（12分）在ABC中，三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知(1)判断ABC的形状（2）设向量,若与共线，求20．（12分）已知是等差数列，其前n项和为S n，是等比数列，且，.（1）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记……，，证明（）.21．（12分）已知等差数列满足：，，的前项和为（1）求及；.（2）令（），求数列的前项和为。

2021年高三上期第四次考试—数学文 含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩（M ）等于（ ）A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø2． 已知直线，直线，且，则的值为（ ）A 、-1B 、C 、或-2D 、-1或-23．在数列{}中，若，且对任意的有， 则数列前15项的和为（ ）A ．B ．30C ．5D ．4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A.7B.C.D.5．过点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A . B .或 C . D .或6．若为等差数列，是其前n 项的和，且，则=（ ）A. B. C. D. 7.若直线经过点M(cosα,sinα),则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C. D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若，则( ) A.3 B.8 C.13 D.1610.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．11．若不等式对于任意的正整数恒成立,则实数的取值范围是（ ） A . B . C . D .侧视图正视图12. 已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为( ) A ． B ．3 C ． D ． 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

2021-2021学年度第一学期高三四模数学〔文科〕试题创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日第I 卷一、选择题:本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个，选项里面只有一个选项是符合题目要求的 1．集合A ＝}051|{≤--x x x ，B ＝()} 2-x log y |{x 2=，那么A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(2,5〕 C ． [2,5) D.(2,5]2．复数z 满足ii z z +=，那么z =〔 〕A ．11i 22+ B ．11i 22- C ．11i 22-+ D ．11i 22-- →a ，→b 满足|→a |＝2，|→b |＝1，→a 与→b 的夹角为2π3，且(→a ＋λ→b )⊥(2→a －→b )，那么实数λ的值是( )A ．2B ．－3C ．3D ．－74．{}n a 为等差数列，假设()15928cos a a a a a π++=+，则的值是 ( )A. 12-B ．32-C.12D 325.执行如下图的程序框图。

假设输出y ＝－3，那么输入角θ＝ ( )A.π6 B ．－π6 C.π3 D ．－π36. 给出如下四个命题： ①假设“p 且q 〞为假命题，那么p 、q 均为假命题； ②命题“假设a b >，那么221a b >-〞的否命题为“假设a b ≤，那么221a b ≤-〞； ③命题“2,11x x ∀∈+≥R 〞的否认是“2,11x x ∃∈+≤R 〞; ④“0x >〞是“12x x+≥〞的充分必要条件. 其中正确的命题个数是〔 〕 A.4 B.3 C.2 D.17．假设,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩那么2z x y =-的最大值是〔 〕A ．-2B ．-1C ．1D ．2 8. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是( )A . π2＋ 1B . π2＋3C . 3π2 +1D . 3π2＋39.正项等差数列{n a }的前n 项和为Sn ，假设2018S ＝4036，那么200910a 9a 1+的最小值为〔 〕 A. 3B. 4C. 5D.610．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，那么( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3211．AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，那么AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32D.5212．设函数⎩⎨⎧>≤+=0|,log |0|,2|)(2x x x x x f ，假设关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解x 1、x 2、x 3、x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，那么x 3(x 1+x 2)+4231x x 的取值范围〔 〕 A ．),3(+∞-B ．)3,(-∞C ．)3,3[-D ．]3,3(-第二卷二、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分．13. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2，S 3n ＝14，那么S 4n ．14. 曲线1xy xe =+在点(0,1)处的切线方程是15. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，那么直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公一共点的概率为________．16. 当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生椭圆〞．那么离心率为3的双曲线的“伴生椭圆〞的离心率为 ．三、解答题：一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题每个试题考生都必须答题。

【高三】2021高三数学文科4月月考试卷（山西大学附中有答案）山西大学附中2021-2021学年高三(4月)月考数学（文科）试卷(考试时间：120分钟)一、：（每小题5分，共60分）1．集合A= ，集合B= ，则 ( )A. B. C. D.2．设则的大小关系是 ( )A. B. C. D.3.已知A. B. C. D.4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是A. B． C． D．5. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（）A. B.C. D.6．已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是（）．A. B. C. D.7.抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（）．A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负9.在平面直角坐标系中，不等式（为常数）表示的平面区域的面积为8，则的最小值为（）A． B． C． D．10.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.11．如图，，是双曲线： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若 : : ＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．12．已知以为周期的函数，其中。

若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）A． B． C． D.二、题：（每小题5分，共20分）13.公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有 , , 也成等比数列,且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为____________.14.已知函数，其导函数记为，则 .15．设二次函数的值域为，则的最小值为16．给出下列四个命题：①② ，使得成立；③ 为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取得的点到距离大小1的概率为；④在中，若，则是锐角三角形，其中正确命题的序号是三、解答题：17．（本题满分12分）在中分别为 , , 所对的边，且（1）判断的形状；（2）若，求的取值范围18. (本小题满分12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．19．（本小题满分12分）如图，已知矩形的边 , ,点、分别是边、的中点，沿、分别把三角形和三角形折起，使得点和点重合，记重合后的位置为点。