编号24山西大学附中高三年级导数的应用1

概率与统计（一）答案1．解:(Ⅰ)的分布列为:ξ0 1 2 3 4P12120 110 320 15∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=D 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= (Ⅱ)由D a D η=ξ2,得a 2×2.75=11,即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4. ∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.2．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C对相交棱。

∴232128834(0)=6611C P C ξ⨯===。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴212661(2)=6611P C ξ===，416(1)=1(0)(2)=1=111111P P P ξξξ=-=-=--。

∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 12 ()P ξ411 611111∴其数学期望6162()=12=111111E ξ+⨯+⨯。

3．4．解：(Ⅰ)因为小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项分布,第1层 第2层 第3层 第4层入口第4题图则:001111(2,1)()()22P C =, 111211(3,2)()()22P C = 123113(4,2)()228P C == 111(,)2m n n C P n m ---=(Ⅱ)依题:1,2,3ξ=.由(Ⅰ)知,223511205(1)(6,3)(6,4)2()()22328p p p C ξ==+===14511105(2)(6,2)(6,5)2()()223216p p p C ξ==+===00551121(3)(6,1)(6,6)2()()223216p p p C ξ==+===所以ξ的分布列如下表:ξ1 23P2032 1032 232故201022312332323216E ξ=⋅+⋅+⋅= 5．解： (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P 1＝P (AA A )＋P (A AA )＋P (AAA )＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125.(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P 2＝C 23×()352×25×35＝162625. (3)由题设，“ξ＝k ”的概率为P (ξ＝k )＝C 2k －1×()352×()25k －3×35＝C 2k －1×()25k －3×()353(k ∈N *且k ≥3)． 所以，ξ的分布列为：ξ 3 4 … k …P 27125 162625 … C 2k －1()25k －3()353… 6．解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为3,小红中奖的概率为5,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯=P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115.(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B 124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E X E X 12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.。

2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。

山西大学附高中数学(高三)导学设计 编号23导数的概念及运算（二）1. 已知2)3(,2)3(='=f f ，3)(32lim 3--→x x f x x =（ ） A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在2.若Q P ,是函数)11()(2≤≤--=x x x x f 图像上任意不同的两点，那么直线PQ 的斜率的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,1)C ．(0,3)D ．(－4,2)3.设P 为曲线1:2+-=x x y C 上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是],3,1[- 则点P 纵坐标的取值范围是( ). A. ]2,0[ B. ]3,43[ C. ]3,1[ D. ]4,0[4. 设R a ∈，函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A.22ln - B.2ln - C. 22ln D. 2ln 5.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A.3B.2C.1D.06.设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为],4,0[π则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为( ) A.]1,0[a B.]21,0[a C.|]2|,0[ab D.|]21|,0[a b - 7．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '=（ ）A.kB.k -C.k 1D.k1- 8.设曲线)(*1N n x y n ∈=+在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x 则n x x x ⋅⋅21等于( ) A. n1 B. 11+n C. 1+n n D ．1 9.函数)0(2>=x x y 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为,1+k a 其中5311,16,a a a a k ++=N ∈*则的值是__________________.10.已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么ab =____________；函数()3f x ax bx =+，3[,3]2x ∈-的值域为____________. 11.抛物线)0(2>=a ax y 与直线1=x 围成的封闭图形的面积为,34若直线l 与抛物线相切，且平行于直线,062=+-y x 则直线l 的方程为_______________________.12.求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.13.设l 为曲线xx y C ln :=在点（1，0）处的切线. （I ）求l 的方程；（II ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方.14.已知函数b ax x x f ++=2)(，()g x ＝)(d cx e x +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点)20(，P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .（Ⅰ）求d c b a ,,,的值；（Ⅱ）若2-≥x 时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围.。

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号21函数模型及其应用【学习目标】 1.知道常用函数模型;2.能够区分各类函数模型,并且会求一些简单函模型【学习重点】 求解简单函模型【学习难点】求解简单函模型【学习过程】（一）知识梳理1．常用的函数模型__________，二次函数，________，________，幂函数．2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较一般地，在区间[)+∞,0上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n ，都是增函数，但是它们的__________不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，)1(>=a a y x 的增长速度__________会越过并远远大于)0(>=n x y n 的_________；而)1(log >=a x y a 的增长速度会________，因此，会存在一个0x ，当0x x >时，有_____．3．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立______的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．（二）巩固练习1.用长度为m 24的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.m 3B.m 4C.m 6D.m 122.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售时就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件A.100元B.110元C.150元D.190元3.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12()1(21)(+⋅+=n n n n f 吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是A.5年B.6年C.7年D.8年4.某市2009年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加%5，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是 (参考数据：28.105.1,22.105.1,16.105.1,10.105.15432====)A.2011年B.2012年C.2013年D.2014年5．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着M C B A ---运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，将三角形APM 的面积y 看作路程x 的函数，则其函数图象大致是6.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．7.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次购买多少吨？9.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为)10(≥x x 层，则每平方米的平均建筑费用为x 48560+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）10.如图，今有网球从斜坡O 点处抛出路线方程是2214x x y -=；斜坡的方程为x y 21=，其中y 是垂直高度(米)，x 是与O 的水平距离(米)．(1)网球落地时撞击斜坡的落点为A ，写出B 点的垂直高度，以及A 点与O 点的水平距离．(2)在图像上，标出网球所能达到的最高点B ，求OB 与水平线OX 之间的夹角的正切值．11.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()().f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.12.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动， 其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点)0,(t T 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h )内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当4=t 时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．13.已知扇形OPQ 是半径为1，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.D P CBC D A O P14.有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.证明：当7≥x 时，掌握程度的增加量)()1(x f x f -+总是下降； 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为],121,115(],127,121(],133,127(当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.15.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设θ=∠BAO （rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设x OP =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置， 使铺设的污水管道的总长度最短.。

高三数学导数的实际应用试题1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）极大值是e－1,极小值（2）①－1－e－1②(－1,＋∞)【解析】（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表x(－∞,－1)－1(－1,0)(0, )(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立．记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. ②因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．因为a＞0,所以＝.设u(x)＝ (x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞)2.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．（1）试将表示为的函数；（2）若，且时，取得最小值，试求的值．【答案】(1) ， (2) 8．【解析】(1)解实际问题应用题，关键要正确理解题意，正确列出等量关系，注意考虑函数定义域.设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．从而点C处受污染程度．定义域为 (2) 因为，所以，，求复杂分式函数最值，通常考虑利用导数求解. ,令，得，因此函数在单调减，在单调增，即在时函数取极小值，也是最小值. 又此时，解得，经验证符合题意．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． 4分从而点C处受污染程度． 6分（2）因为，所以，， 8分，令，得， 12分又此时，解得，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度的值为8． 14分【考点】利用导数求函数值域3.已知函数(1)若函数的图象切x轴于点(2，0)，求a、b的值；(2)设函数的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；(3)若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于l，求证．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由函数的图象切x轴于点(2，0)，得且，解方程组可得的值．（2）由于，根据导数的几何意义，任意不同的两点的连线的斜率小于l，对任意的恒成立，利用分离变量法，转化为对任意的恒成立，进一步转化为函数的最值问题；（3）设，则对恒成立将上不等式看成是关于的一元二次不等式即可．解：（1）由，得，又，得（2）对任意的，即对任意的恒成立等价于对任意的恒成立令则，当且仅当时“=”成立，在上为增函数，（3）设，则即，对恒成立，对恒成立即，对恒成立解得【考点】1、导数的几何意义；2、等价转化的思想；3、二次函数与一元二次一不等式问题．4.若实数a，b，c，d满足︱b+a2-3l n a︱+（c-d+2）2=0,则（a-c）2+（b-d）2的最小值为 .【答案】8【解析】∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3l n a）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y，a=x，则y=3l n x-x2，设c=x，d=y，则y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3l n x-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x2求导：y'（x）=，与y=x+2平行的切线斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．5.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.6.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是_______m/s.【答案】5【解析】s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.7.已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋ln x，m≥1.(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析 (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点【解析】(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：＋0－所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．因为m≥1，所以，所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．8.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.∴f(x)的零点x∈(2,3)．取x1＝，∵f＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f·f(3)<0，∴x∈.取x2＝，∵f＝ln －＝ln －ln e >0，∴f·f<0.∴x∈且＝≤，∴即为符合条件的区间．9.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）【答案】（1）；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.【解析】本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，；第二问，先列出总利润的表达式，构造函数，利用导数判断单调区间求函数最值.试题解析：（1），, .（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为，种植学校观赏植物成本为，，,.设.上为减函数；上为增函数.当时，取到最小值,此时总利润最大：.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号4函数的单调性与导数1【学习目标】会用导函数的正负值判断函数的单调性；会用导数证明函数的单调性； 会求函数的单调区间；能够求解含参数的函数的单调区间.【学习重点】用导函数的正负值判断函数的单调性；求函数的单调区间. 如何确定含参数的不等式的分类标准.【学习难点】用导数证明函数的单调性. 如何确定含参数的不等式的分类标准.【学习过程】一、导学回顾:(1)判断函数单调性的常用方法;(2)函数单调性的定义.问题:分别画出函数xy x y x y x y 1,,,32====的图象,并思考函数的单调性与其导数正负的关系.由此你能得出什么样的一般结论?1. 函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间),(b a 内,(1) 若)(x f '____,则函数)(x f y =在),(b a 内单调递增;(2) 若)(x f '____,则函数)(x f y =在),(b a 内单调递减;(3) 若0)(='x f , 则函数)(x f y =在),(b a 内________.2. 导数在函数单调性中的应用(1)根据导数的正负判断函数的单调性;(2)根据导数的正负证明函数的单调性;(3)利用导数求函数的单调区间.二、导练:1. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．的序号是A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④2. 当)1,2(-∈x 时, 11232)(23+-+=x x x x f 是A.单调递增函数B.单调递减函数C.部分单调增，部分单调减D.单调性不能确定3. 函数33)(x x x f -=在)1,(--∞上单调___;在)1,1(-上单调___.(填“递增”、”递减”)4. 求下列函数的单调递减区间.（1）13)(3+-=x x x f （2）x x x f 1)(+=5. 证明函数x x f 1)(=在),0(+∞∈x 上单调递减.6.设函数)(2)(R a ax e x f x ∈--=,求)(x f 的单调区间.三、目标检测1. 求下列函数的单调递减区间.（1）x e x f x 33)(-= （2）x x x f ln 2)(2-=2. 已知函数),(31)(23R a x ax x x f ∈++=求函数()f x 的单调区间.。

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号115课题：概率与统计11．袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(1,2,3,4)n =现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(Ⅰ)求ξ的分布列，期望和方差; (Ⅱ)若,1,11a b E D ηξηη=-==，求,a b 的值．2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．(Ⅰ)求概率(0)P ξ=； (Ⅱ)求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．3．某班从6名班干部中(其中男生4人,女生2人),选3人参加学校的义务劳动． (Ⅰ)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)求男生甲或女生乙被选中的概率；(Ⅲ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率．4．如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交第1层 第2层 第3层 第4层 入口 第4题图 点处相遇,若竖直线段有一条的为第一层,有二条的为第二层,,依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动,若在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道(从左至右)的概率为(,)P n m ,某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项分布,请你解决下列问题． (Ⅰ)试求(2,1),(3,2)P P 及(4,2)P 的值,并猜想(,)P n m 的表达式;(不必证明)(Ⅱ)设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为ξ,其中4(13)3(46)m m m m ξ-⎧=⎨-⎩≤≤≤≤,试求ξ的分布列及数学期望．5．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(Ⅰ)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (Ⅰ)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(Ⅱ)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．6．某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(Ⅰ)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求3X ≤的概率；(Ⅱ)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?。

2024高考复习导数题型分类解析一．导数的概念1.导数的概念：函数y=f(x),假如自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均改变率，即x y ∆∆=。

假如当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =，即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x 。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均改变率xy∆∆=； ③ 取极限，得导数f ’(x 0)=。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-2．导数的意义：①物理意义：瞬时速率，改变率②几何意义：切线斜率000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-③代数意义：函数增减速率 例3：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则的值为 . 例4：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f3.导数的物理意义：假如物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。

天一大联考2023—2024学年高三年级阶段性测试（定位）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,0A =-，{}0,1,2B =，则()U A B ð=A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．832x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中常数项为A ．112B ．56C ．28D ．163．已知函数()()()()32321f x a x a x a x a =-+-+-+若对任意0x R ∈，，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和()()0,x f x --处的切线互相平行或重合，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．34．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为A ．丁辰年B ．癸未年C ．甲午年D ．甲申年5．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m ，若，则m =A ．4B ．3C ．2D ．16．设非零复数1z 和2z 在复平面内对应的向量分别为OP u u u r 和OQ u u u r ，其中O 为原点，若12zw z =为纯虚数，则A ．OP OQ ∥u u u r u u u rB ．OP OQ=u u u r u u u r C ．()()OP OQ OP OQ+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r D ．OP OQ OP OQ+=-u u u r u u u r u u u r u u u r 7．已知α，β，γ均是锐角，设sin cos sin cos sin cos αββγγα++的最大值为tan θ，则()sin sin cos θθθ+=AB ．1513C ．1D ．5138．已知实数a ，b ，c 满足ln 15a =，73log 2b =，67c=，则A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在C 上，若∠MOF =45°（O 为坐标原点），则A ．04x =B ．04y =C ．5MF =D ．3cos 5OFM =∠10．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则A ．2A =B ．0ωϕ+=C ．()f x 的图象关于点()23,0对称D ．不等式()41f x >的解集为()513221212,k k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎭+⎝+11．在四棱锥P ABCD -中，已知2222AD PD AB BC CD =====，AP =，且BAD ADC ∠=∠，则A ．四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是⎛ ⎝B ．2PB 的取值范围是(7-+C ．四棱锥P ABCD -的外接球的表面积的最小值为8πD ．PB 与平面PAD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆C 经过点()8,6M ，且有一条直径的两个端点分别在x ，y 轴上，则圆C 的面积的最小值为______．13．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为34，乙每次射门射进的概率均为23，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______．14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），若12AF F △的面积是12BF F △的面积的3倍，则C 的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2×2列联表：更喜欢正装更喜欢运动装家长12080学生16040（Ⅰ）根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；（Ⅱ）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82816．（15分）如图，A 是以BC 为直径的圆O 上的点，PA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是线段PA ，PB 上的点，且满足()01PD PEPA PBλλ==<<，2PA AB AC ==．（Ⅰ）求证：DE CD ⊥；（Ⅱ）若二面角B CE D --的正弦值为12，求λ的值．17．（15分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆222x y a +=的一个交点为(A ．（Ⅰ）求C 的方程．（Ⅱ）过点A 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，且1l 与C 的左、右支分别交于B ，D 两点，2l 与C 的左、右支分别交于E ，F 两点，判断AB AF AD AE +=+能否成立．若能，求该式成立时直线1l 的方程；若不能，说明理由．18．（17分）已知函数()()cos sin ax b xf x e a b x -=-，0a >，0b >．（Ⅰ）若12a =，1b =，讨论()f x 在区间()0,2π上的单调性；（Ⅱ）设t 为常数，若a b t =+”’是“()f x 在R 上具有单调性”的充分条件，求t 的最小值．19．（17分）对于数列{}n a ，若存在0M >，使得对任意*n N ∈，总有11nk k k aa M +=-<∑，则称{}n a 为“有界变差数列”．（Ⅰ）若各项均为正数的等比数列{}n a 为有界变差数列，求其公比q 的取值范围；（Ⅱ）若数列{}n b 满足112n nb b ++=，且12b =，证明：{}n b 是有界变差数列；（Ⅲ）若{}n x ，{}n y 均为有界变差数列，且10n y y ≥>，证明：n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是有界变差数列．天一大联考2023—2024学年高三年级阶段性测试（定位）数学（山西专版）答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案 C命题意图 本题考查集合的表示与运算．解析 由已知易得{}U 2,1,2A =-ð，所以(){1,2}U A B =I ð．2．答案 A命题意图 本题考查二项式定理的应用．解析 常数项为226288324112C x C x ⎛⎫= ⎪⎭=⎝⋅-．3．答案 C命题意图 本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性．解析 由题意知()()()233221f x a x a x a '=-+-+-为偶函数，则2a =．4．答案 D命题意图 本题考查等差数列的应用．解析 天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于221242024100-=，故100年后天干为甲，由于1001284÷=L L ，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．5．答案 B命题意图 本题考查圆台的有关计算．解析 易知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为m ．设圆台的高为h ，根据题意可知该圆台的体积为()()222211224433V r rR R h h ππ=++=+⨯+=解得h =则3m ===．6．答案 D命题意图 本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算．解析 设1z a bi =+，2z c di =+，w ki =，其中a ，b ，c ，d ，k R ∈，且a ，b 不同时为0，c ，d 不同时为，0k ≠，由题意()a bi ki c di kd cki +=+=-+，所以(,)(,)0OP OQ a b c d ac bd kdc kcd ⋅=⋅=+=-+=u u u r u u u r，所以OP OQ OP OQ +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ．7．答案 B命题意图 本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用．解析 由基本不等式可得22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，三式相加，可得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，当且仅当α，β，γ均为4π时等号成立，所以3tan 2θ=，则2222sin (sin cos )tan tan 15sin (sin cos )sin cos tan 113θθθθθθθθθθθ+++===++．8．答案 C命题意图 本题考查指数函数和对数函数的综合性质．解析由已知得15a e =，7log 8b =，6log 7c =．令()ln(1)ln (1)xx f x x +=>，则()2(1)ln(1)ln ln (1)()x x x f x x x x x -++'=+，显然()0f x '<，即()f x 单调递减，所以()()67f f >，即ln 7ln 8ln 6ln 7>，亦即67log 7log 8>，c b >．由1xe x ≥+，可得1516155e >+=，而5666log 7log 66<=，所以66log 75<，所以a c >．综上可知a c b >>．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案 AC命题意图 本题考查抛物线的方程与性质．解析 若∠MOF =45°，则00tan 1MO y F x ==∠，又2004y x =，解得0044y x =⎧⎨=⎩或0044y x =⎧⎨=-⎩，故A 正确，B 错误；由抛物线的定义，得()415MF =--=，故C 正确；由余弦定理得3cos 5OFM ==-∠，故D 错误．10．答案 ABD命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．解析 设()f x 的最小正周期为T ，由图象可知2A =，()35164T =--=1-解得8T =，故284ππω==，则()2sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()1,2--代入解析式，得2sin 24πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=-，所以4πϕ=-，所以()2sin 44f x x ππ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭，故A ，B 正确；()11232sin 2sin 222f ππ⎛⎫⎝=-⎪⎭==-，故C 错误；()41f x >即为2sin 14x ππ⎛⎫ -⎪⎭>⎝，得1sin 42x ππ⎛⎫ ⎪⎭>⎝-，得()522646k k x Z k ππππππ+<<+∈-，得()513221212Z k x k k +<+∈<，故D 正确．11．答案 BCD命题意图 本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题．解析 由已知可得，四边形ABCD 是上底为1，下底为2，底角为60°的等腰梯形，所以2324ABCD S ==梯形PD AD ⊥．对于A ，当PD ⊥底面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，最大体积为123=A 错误；对于B ，在PBD △中，2PD =，BD =，60120PDB <∠<︒︒，用余弦定理可知2PB 的取值范围是(77-+，故B 正确；对于C ，当PD ⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的外接球的半径等于PAD △的外接圆的半径，此时外接球的半径最小，为2PA=248ππ=，故C 正确；对于D ，设PB 与平面PAD 所成角为θ，当PD ⊥平面ABCD 时，计算可得sin θ=>=，当P 靠近平面ABCD 时，θ趋向于0，所以存在某个P 点，使得sin θ=，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案 25π命题意图 本题考查圆的方程与性质．解析 因为圆C 的一条直径的两个端点分别在x ，y 轴上，所以该圆一定过原点O ．又圆C 经过点()8,6M ，所以当OM 为圆C 的直径时，圆C 的面积最小，又10OM ==．所以圆C 的面积最小值为210252ππ⎛⎫⎪⎭= ⎝⨯．13．答案109216命题意图 本题考查概率的乘法公式．解析 若乙射进1次，则他赢的概率为221322311133472C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⨯⨯-=；若乙射进2次，则他赢的概率为222322371133436C ⎡⎤⨯-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；若乙射进3次，则他赢的概率为328327⎛⎫ ⎪⎝⎭=．故乙赢的概率为178109723627216++=．14．答案命题意图 本题考查椭圆与直线的位置关系．解析 因为12AF F △的面积是12BF F △的面积的3倍，所以3A B y y =-．设C 的半焦距为()0c c >，则直线l ：2x y c =-，联立方程可得2222222x y c x a y b b a =-⎧⎨+=⎩消去x 得()22224440b a y b cy b +--=，则22244A B b cy y a b +=+，4224A B by y a b =-+，又()22A B A BA B B Ay y y y y y y y +=++，即2222422441423334b c a b b a b +=-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭，化简可得2224143c a b =+，得2222244154543c e a c e ==--，解得e =．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图 本题考查独立性检验的应用以及超几何分布．解析 （Ⅰ）由题可知()22400160801204040019.04820020028012021χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为19.048 6.635>，所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．（Ⅱ）座谈的家长中更喜欢正装的人数为12053200⨯=，更喜欢运动装的人数为8052200⨯=．由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，则()22251010C P X C ===，()112325315C C P X C ===，()23523210C P X C ===，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．16．命题意图 本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算．解析 （Ⅰ）因为A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的点，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥．又AC PA A =，所以AB ⊥平面PAC ，因为PD PEPA PB=，所以DE AB ∥，所以DE ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PAC ，所以DE CD ⊥．（Ⅱ）分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2PA AB ==，1AC =，则点()0,2,0B ，()1,0,0C ，()0,0,2P ，()()0,0,21D λ-，()()0,2,21E λλ-，则()1,2,0BC =-u u u r，(1,0,2)CP =-u u u r，()()1,0,21CD λ=--u u u r，()()1,2,21CE λλ=--u u u r设平面CDE 的法向量为(),,nx y z =，则()()2102210n CD x z n CE y x z λλλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 取()()21,0,1n λ=- ．设平面BCE 的法向量为(),,m p q r =，则2020m BC p q m CP p r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取()2,1,1m = ．因为二面角B CE D --的正弦值为12，所以cos ,m n n mn m ===⋅，解得12λ=或52λ=-（舍去）．17．命题意图 本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系．解析 （Ⅰ）由题可知2a ==，b a =b =，故C 的方程为221412x y -=．（Ⅱ）不能成立．显然直线1l ，2l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为(1)y k x =-+，直线2l 的方程为1(1)y x k=--+()11,B x y ，()22,D xy ．（6分）联立1l 与C 的方程可得()221312y k x xy ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩222(3)2(150k x k k x k -+--+-=，因为1l 与C的左、右支分别相交，所以k <<，同理1k<-<k <<或k <<（*）因为12x x+=，所以112(1)(1AB AD x x x -=---=+=，=．若AB AF AD AE +=+，则AB AD AE AF -=-，=即可，解得12k =-，22k =+，显然1k ，2k 都不符合（*）．所以AB AF AD AE +=+不能成立．18．命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性．解析由题可知()()cos 222sin cos ax b x f x ea b x b -'=--，即()()cos 2222cos cos ax b x f x e b x b x a b -'=-+-．（I ）12a =，1b =，则()c 12os 312c os 2os c x x x x x f e -⎛⎫'=⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭-．由()0f x '<得0os 2c 1x +>，即203x π<<或423x ππ<<；由()0f x '>得0os 2c 1x +<，即2433x ππ<<．因此()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）若()f x 具有单调性，则2222cos cos b x b x a b -+-不变号．设cos u x =，则11u -≤≤，即()2222g u b u bu a b =-+-不变号，由于0b >，因此()g u 是二次函数．若()0g u ≤在[]1,1-恒成立，则()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即2200a b a b ⎧+≤⎨-≤⎩由于0a >，0b >，所以该情形不成立．若()0g u ≥在[]1,1-恒成立，则1021012g b b ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩或()10112g b ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩即12a b ⎫≥>⎪⎭或a 102ab ⎫≥<≤⎪⎭．由于t a b =-，因此()10212,,b b t h b b b ⎧-<≤⎪⎪≥=->恒成立当102b <≤时，()2111244h b ⎫=-+≤⎪⎭（当14b =时等号成立），当12b >时，()14h b =<<，因此()max 14h b =，故t 的最小值为14．19．命题意图 本题考查数列的综合问题．解析 （Ⅰ）因为{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0q >，11k k k k k a a a q a a q +-=-=-，当1q =时，10k k a a +-=，110n k k k a a +=-=∑，任取0M >即可，所以{}n a 为有界变差数列．当1q ≠时，11121(1),||()|1||1|1n n k k n k a q a a a a a q q q +=--=+++-=--∑L ，若01q <<，则()()1111|1|11nn a q q aq a q --=-<-，令1M a =即可，所以{}n a 为有界变差数列，若1q >，则()()111|1|11nn a q q a q q --=--，当n →+∞时，()11n a q -→+∞，显然不存在符合条件的M ，故{}n a 不是有界变差数列．综上，q 的取值范围是(]0,1．（Ⅱ）由112n n b b ++=，可得111n n nb b b +--=，易知1n b ≠，所以1111111n n n n b b b b +==+---，因此11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1111b =-，公差为1的等差数列，所以11n n b =-，即11n b n=+．所以1111111k k b b k k k k +-=-=-++，1111111111n nk k k k b b kk n +==⎛⎫-=-=-< ⎪++⎝⎭∑∑，所以{}n b 是有界变差数列．（Ⅲ）由有界变差数列的定义可知，1112111n k k n n n n k xx x x x x x x M ++-=-=-+-++-<∑L ，1112121nk k n n n n k y y y y y y y y M ++-=-=-+-++-<∑L ．因为1111112111211n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x M +++-+--≤-=-+-++-≤-+-++-<L L ，所以111n x M x +≤+．111111111111||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x y x y x y x y x y x y y y y y y y ++++++++++++--+--==111111111|()()|||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x y y x x x y y y y y y y +++++++++-----=+…()1111211n n n nM x y y x x y y +++--≤+因此()()1111112111122111111n n k k k k n k k k k k k k x x M x y y M x M x x M y y y y y y +++===+-+-+-≤+<+∑∑∑∣，所以n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是有界变差数列．。

高中导数公式大全24个【最新版】目录1.导数的概念和重要性2.高中导数公式的分类和作用3.常见基本函数的导数公式4.导数的计算方法和技巧5.导数在实际问题中的应用正文导数是微积分中的重要基础概念，它在数学、物理等科学领域中具有广泛的应用。

高中阶段，我们主要学习一些基本的导数公式，这些公式可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

一、导数的概念和重要性导数是函数在某一点的局部性质，描述了函数在这一点附近的变化率。

导数是微积分的基础，也是解决许多实际问题的关键。

理解导数的概念和掌握导数的计算方法，对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。

二、高中导数公式的分类和作用高中阶段的导数公式主要包括以下几类：1.常数函数的导数：常数函数的导数为 0。

2.基本初等函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

3.复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则求解。

4.高阶导数：高阶导数是指函数的导数的导数，可以通过对导数再次求导得到。

这些导数公式为我们解决实际问题提供了有力的工具。

三、常见基本函数的导数公式以下是一些常见的基本函数的导数公式：1.y = x^n（n 为常数）的导数为 y" = nx^(n-1)2.y = e^x 的导数为 y" = e^x3.y = sin(x) 的导数为 y" = cos(x)4.y = cos(x) 的导数为 y" = -sin(x)5.y = a^x（a 为常数）的导数为 y" = a^xlna6.y = log_a(x) （a 为常数）的导数为 y" = 1/(xlna)7.y = x^2 的导数为 y" = 2x8.y = 1/x 的导数为 y" = -1/x^2四、导数的计算方法和技巧求导数的方法主要有两种：一种是直接求导法，即将函数解析式求导；另一种是利用导数公式进行求导。

在实际求导过程中，我们需要灵活运用这两种方法，特别是导数公式，以简化求导的过程。