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埃舍尔作品中数学图像运用及其哲学内涵研究在艺术的长河中，莫里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）以其独特而令人惊叹的作品独树一帜。
他巧妙地将数学图像融入艺术创作，赋予作品深刻的哲学内涵，引发了人们对空间、秩序和无限的思考。
埃舍尔的作品常常呈现出复杂而精确的几何结构，这并非偶然。
他对数学的热爱和深刻理解使他能够运用各种数学概念和图像，创造出看似不可能却又令人着迷的视觉效果。
数学中的对称概念在埃舍尔的作品中得到了精彩的展现。
他通过精确的构图和巧妙的线条运用，创造出具有完美对称性的图案。
比如在《反射球》中，球体的反射和对称不仅在视觉上给人以强烈的冲击，更让我们感受到了对称之美所蕴含的秩序和平衡。
这种对称不仅仅是形式上的美，更暗示了宇宙中某种潜在的规律和秩序，仿佛在告诉我们，世界在某种程度上是遵循着一定的对称原则运行的。
而在数学的镶嵌图案方面，埃舍尔同样有着非凡的表现。
他的作品《蜥蜴》就运用了镶嵌的手法，将不同形状的蜥蜴巧妙地组合在一起，形成了一个无缝的整体。
这种镶嵌图案的运用不仅展示了数学的严谨性和规律性，同时也让我们思考个体与整体之间的关系。
每一只蜥蜴既是独特的个体，又在整体中扮演着不可或缺的角色，这仿佛在隐喻着人类社会中个体与集体的相互依存。
除了对称和镶嵌，埃舍尔还对拓扑学有着深入的探索和运用。
在作品《莫比乌斯带》中，他通过对这个特殊的拓扑结构的描绘，打破了我们对常规空间的认知。
原本二维的平面似乎在莫比乌斯带上变得模糊，空间的界限被重新定义。
这让我们不禁思考，我们所认为的“真实”空间是否只是一种局限的认知，而在更广阔的维度中，存在着无数超乎想象的可能性。
埃舍尔作品中的数学图像运用，不仅仅是一种艺术表现手法，更蕴含着深刻的哲学思考。
他的作品常常让我们对现实与幻觉之间的界限产生疑惑。
比如在《相对性》中，不同角度的楼梯和人物似乎都在合理地存在着，但又相互矛盾。
埃舍尔的神奇艺术，把数学玩弄于股掌之间的骚年今天秒总来介绍一个大牛M.C.埃舍尔首先他老人家长这样用一句话形容埃舍尔就是【埃舍尔=艺术+数学】这是他的一幅代表作简~直~吊~炸~天这张图从头到尾撸了一遍之后我默默地献出了膝盖以后都要跪着走路了埃舍尔的这种作品叫做“镶嵌画”也就是镶嵌在地板上或墙壁上的那种拼图进行无缝拼接要知道以前的人只想得到用几何图形做镶嵌画家里钱多的话可能会做得更复杂一些：不过埃舍尔企图绘制出超级无敌宇宙第一复杂的镶嵌画譬如他绘制了这幅“羊驼”看着这些天马行空的画面眼花缭乱惊讶于这种巧妙的拼接居然具象的马的造型也能作为拼图我的小心肝受到一百点的暴击其实埃舍尔运用了最基本的数学原理来产生图像看完之后我狗眼已瞎埃舍尔将简单的正方形经过剪切和平移转变成了一个复杂的镶嵌图形“简单”是“复杂”的基础数学与艺术完美结合其实你可以拿一张普通的正方形便条贴亲手做一个诡异的镶嵌画实在太简单了以下是秒总的绝作个人认为美到爆表！！不服来战！！除此之外埃舍尔还创作了更更更复杂的图形“一群猥琐的蜥蜴”使用了正六边形为基础进行旋转运动埃舍尔！感觉你每一个脑细胞都在跳广场舞自嗨地不要不要哈！！不过老铁的智商还没完呢下面这张是用平行四边形为基础通过某种不可描述的数学运动创作而成别问我要GIF动态图别问我怎么作出来的你猜！！然后留言给我哦亲！！还有更加巧妙的结合天衣无缝的一群鸟哦不一~~坨~~鸟别看这图画得很形象背后都是一整套深奥抽象的数学模型譬如这幅由无数条鱼组成的圆利用的是数学里的“分形学”“微积分”“极限”等数学理论具体解释可以看秒总的另一篇文章这幅画里所要表现的是无数条鱼但是因为越往外围鱼越小所以“无限”被锁定在一个圆圈里了否则如果真有无数条鱼埃舍尔估计早就画得累死了下面这一幅画带了些宗教思想天使与恶魔是相辅相成的正邪对立却又融为一体这一幅涉及种族话题黑人与白人这一幅更流弊天上的鸟和水里的鱼渐变过渡反应了当时的物种演化理论达尔文的死忠粉昼夜更替代表二元论老子阴阳学说的完美图式这幅挤满了各种东西看完之后秒总的脑洞闲不住寂寞将它变成了一个游戏一个埃舍尔版的“俄罗斯方块”觉得真是毫无违和感妥妥的其实埃舍尔的很多作品都可以变成游戏这是真的【总结】————————埃舍尔研究的镶嵌画是平面密铺图形他用精密的图形和构造展示数学的严谨但是却又用另一系列作品展示数学的不严谨也就是悖论的一面下一集秒总接着给大家叨叨~~~先别离开允许我厚颜无耻地求你点赞呗然后再厚颜无耻地求你打个评论尺度太大，我有点hold不住达芬奇名作经历540年的真相揭秘，深刻中我被逗乐了。
数学与艺术的奇妙融合数学和艺术，看似截然不同的两个领域，却在很多方面存在着奇妙的融合。
数学以逻辑和推理为基础，而艺术则依赖于创造力和想象力，然而，在某些方面，二者的结合却能够创造出独特而美妙的作品和表达方式。
本文将探讨数学与艺术的交叉点，并举例说明它们融合的魅力。
一. 几何艺术几何学是数学的一个重要分支，它研究的是形状、大小、位置以及它们之间的关系。
而几何艺术则是将几何的概念和原理应用于艺术作品的创作中。
例如，著名的荷兰画家埃舍尔（M.C. Escher）就利用几何的对称性和透视关系创造出了许多令人惊叹的作品。
他的作品常常通过错觉和幻觉来迷惑观众的眼睛，使观者在形象之间产生错觉和矛盾感，同时也展示了数学的美妙之处。
二. 黄金分割与比例美黄金分割是一种比例关系，即整体与部分之比等于整体与部分中较大一部分与较小一部分之比。
这一比例关系在许多艺术作品中得到了广泛的应用。
例如，在建筑设计中，黄金分割被用于平衡建筑物的比例和形态，使之更加优美和谐。
在绘画中，艺术家们也常常运用黄金分割来构图，突出画面的重点，并营造出一种美感。
黄金分割的数学原理为艺术作品赋予了一种特殊的美学价值。
三. 音乐与数学的和谐音乐作为一种艺术形式，与数学的关系也是密不可分的。
音乐中的节奏、音高和音程等元素都与数学密切相关。
例如，音乐中的节拍可以用分数来表示，音高可以用频率来衡量，音程则与数学中的比例关系息息相关。
著名的德国作曲家巴赫（J.S. Bach）就善于运用数学规律在音乐中创造和谐。
他的音乐作品常常具有复杂的对位法和旋律的变化，其中蕴含着严格的数学结构和音乐的美感。
四. 数学与艺术的启发数学与艺术之间的融合不仅仅局限于艺术作品的创作中，它们之间还存在着一种相互的启发和交流。
艺术家们常常从数学中汲取灵感，用数学的思维方式来表达自己的创意。
而数学家们则通过艺术来发现和理解数学的美妙之处，深入体会数学的抽象和逻辑思维的乐趣。
两者之间的互动不仅促进了创新，也丰富了人类文化的内涵。
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师打开文本图片集埃舍尔1898年出生在荷兰的一个水利工程师家庭.在中學时代，他的成绩一般，只有绘画成绩相对好一点.1919年进入哈勒姆建筑与美术学院，在此期间他得到美术老师的鼓励，从此对平版画、木刻版画和雕版画产生了浓厚兴趣.正是出于对绘画的偏爱，最终埃舍尔走上了图形艺术设计的道路，埃舍尔的作品之所以引起数学家的兴趣是源于1954年在荷兰首都阿姆斯特丹召开的国际数学家大会.数学家彭罗斯在一次偶然的机会下参观了会场附近展出的埃舍尔画作，回到会场就成了埃舍尔作品的超级粉丝，在他的影响下，埃舍尔的作品首先在这群数学家中传播开来.彭罗斯在他花了整整八年才写成的数学物理学巨著《通往实在之路——宇宙法则的完全指南》中，就是用埃舍尔的画作来解释罗巴切夫空间的.无独有偶，杨振宁的《基本粒子发现简史》也用了埃舍尔的作品《骑士》作为封面（如图1）.虽然埃舍尔没有接受过中学数学以外的正式的数学训练，但他的创作中数学与艺术得到了完美的结合，数学的思想得到了非同寻常的形象化，他在数学的匀称、精准、规则、连续、循环等抽象的特性中发现了难以言喻的美，并结合了他那娴熟的技巧、天才的想象，创作出了广受欢迎、带着数学意味的作品，镶嵌是埃舍尔作品中的一个重要主题.在镶嵌中，埃舍尔找到了在有限的平面中表达极限的方法，作品《蝴蝶》中我们看到一个大而有限的圆周之中有无数多的蝴蝶正在不断地沿着边缘逐渐靠近圆中心，当蝴蝶越来越靠近圆中心时它们的数量会越来越多，但与此同时，它们会变得越来越小，最终消失在我们的眼际，令我们感到惊奇的是，虽然蝴蝶最终没能到达圆中心，但无限多消失的蝴蝶给我们留下了一个神奇而又充满想象的小圈，图的中央究竟是什么呢？埃舍尔汲取来自数学对称理论、射影几何、拓扑学等数学理论的灵感，创作了许多以极限、变换、易维、镶嵌等为主题风格独特的作品，这使得埃舍尔在艺术界特立独行.作为一位伟大的艺术家，埃舍尔对世界各地的众多艺术家和设计师都有着深刻的影响，日本著名平面设计师福田繁雄就是其中的典型.当代的艺术设计作品中也经常可以捕捉到埃舍尔元素，比如手表表盘设计、广告设计等等.从以上图形设计中我们可以看出埃舍尔的图形思想已经渗透到了设计的方方面面.埃舍尔图形设计中的数学美还将继续影响后世.。
Word文档可进行编辑解读埃舍尔镶嵌图形埃舍尔,全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔（mauritscorneliusescher）,一名对现代艺术妨碍深远,却被史学家遗忘得、世界艺术史上“绝无仅有得”艺术家.和其他依靠感性进行创作得艺术家不同,埃舍尔得作品是通过复杂得理性思维得产物.他从事物得精确、规则、秩序等特性中发觉了美,制造了美.一、埃舍尔得镶嵌图形关于平面规则分割（平面镶嵌图形）,埃舍尔写到：“在数学领域,平面规则分割差不多从理论上获得了充分得研究……数学家打开了一扇通向无限可能性得大门,然而他们自身并没有进入其中看看.他们特别得禀赋使他们对如何打开这扇门得方式更感兴趣,而对隐藏在其后得花园不感兴趣.”埃舍尔正是从一个艺术家得角度,利用数学家得发觉,发掘了美,制造了美.他得平面规则分割作品令许多数学家吃惊.他在已知得17种抽象平面分割群组形式上制造了许多具象镶嵌图案.这种把抽象得几何形状给予具象得形象事实上是一种复杂得图形思维过程.要完成具象镶嵌图案得创作,对各个图形得考虑必须要特别严谨,每个镶嵌图形既要考虑它得镶嵌可能性,又要给予具体得形象,而且这种镶嵌是四面无限延伸得,这就必须要具备非常强得图形（图像）联想能力.埃舍尔得图形镶嵌作品,能够将其分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌四种形式.二、镶嵌图形得构思过程1．几何形状得演变通过对埃舍尔得镶嵌图形得研究发觉,其作品基本上通过对简单得几何形状得具象思维而逐渐演绎而来得.WwwC假如将其作品中得镶嵌图形作逆向思维,即向简单得几何形状演化,我们会发觉——到最后只是一个简单得正方形而已.由此可见,正方形是镶嵌得最差不多图形,一切复杂得能够用作镶嵌得图形基本上由其演化而来得（如图1）.通过对正方形作可镶嵌式分割,会得到非常多几何形,假如把这些几何形再作进一步细化分割,就会形成具象得可用于镶嵌得图形.如此看起来大概特别简单,事实上不然,由简单得几何形状到演化为具象得图形得过程,事实上是非常复杂得一种思维过程,需要具备专门强得图形思维及联想能力才可能做到.2．几何群组得运用除了几何形状得演化外,为了便于从整体上把握镶嵌图形镶嵌得可能性,运用几何群组得形式是非常有必要得.迄今为止,数学家共寻到17种可用于镶嵌得几何群组,令数学家吃惊得是,埃舍尔得镶嵌图形作品恰巧有目得或无目得地运用了这些几何群组.如埃舍尔得鱼得镶嵌作品确实是采纳得几何群组形式而创作得（如图2）.无疑,这些几何群组得运用加大了镶嵌图形得可行性,也能够更好地从整体上去把握它,但这些同样需要具备一定得图形思维能力,否则,非常难做到.3．形状得多重思维即空域形状得多重性具象思维（如图3）.关于空域形状能够联想到大雁,也能够联想到飞鱼.4．在镶嵌图形基础上得渐变在镶嵌图形得基础上作渐变,看起来要比创作镶嵌图形容易得多,但事实上这一过程也异常复杂.我们明白,镶嵌图形是给简单得几何形状给予复杂得具象图形得一种空域思维,那个空域是固定得,因此是静态得.而把镶嵌图形作进一步得渐变处理则是动态得,这种动态性表现在对不同空域得连续性思维,它要求我们具备一定得动态性思维才有可能完成.也确实是讲,当我们得眼睛盯着一个空域时,要求我们头脑中还要去考虑第二个、第三个、第四个等等.因此,不具备动态性思维是不可能制造出渐变镶嵌图形得.三、埃舍尔镶嵌图形关于图形思维能力得培养通过研究埃舍尔镶嵌图形得构思过程,我们不难发觉,要使图形得镶嵌成为可能,需要具有超强得空域图形思维、联想,图形整体把握及图形得动态思维能力.这些能力是图形思维必须具备得能力,而镶嵌图形得创作过程关于这些能力得培养是非常有关心得.假如拿一张画面中心画有一个黑点得白纸让学生看,就会发觉,几乎100%得同学都会盯住那个黑点,而对黑点周围得大面积白则熟视无睹、视而不见.这种现象被称为“黑点式黑暗性思维”.笔者也曾做过一个测验,让学生通过六楼得窗户看楼下得甬道,结果同样,几乎所有人都在注意交错得甬道及甬道上得行人,没有一个人去留意甬道之间形成得空隙得形状.这种思维得局限性是非常可悲得.而埃舍尔得镶嵌图形恰是训练这些平常熟视无睹、视而不见得思维空白区域.在把那个空白区域给予具象得形象得同时,既要考虑其镶嵌得可能性,又要给予其具象得形象,而且,每个具象形象得边缘线基本上两个形状得共用线.因此,要时刻注意“一线两形”得咨询题,这就拓展了思维,增强了思维得能动性.这种思维过程是一种复杂得图形思维过程,它对图形得联想能力、图形得整体把握能力以及图形得动态思维能力得培养是特别有关心得.参考文献：[1]埃舍尔大师图典(紫图大师图典丛书)陕西师范大学出版社,2003年10月[2]布鲁诺·恩斯特著王蓓,王松译魔镜：埃舍尔得不可能世界上海科技教育出版社,2002年10月。
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才“I’m always wandering around inenigmas.”(我永远都在神秘中徘徊)——毛里茨·科内利斯·埃舍尔想象中的世界、不可能的楼梯、荒谬的走廊、神秘的图案等等都是用来形容荷兰艺术家毛里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelia Escher，1898—1972）的标志性语句。
如科学家一般的思考方式、作品中浓厚的数学特质，使其作品具有极高的辨识度。
○ 埃舍尔，1963年。
埃舍尔出生在一个科学之家，父亲是工程师，四个兄弟都是科学家，包括一名晶体学家，全家只有他一人从事艺术工作。
如今，极富盛名的埃舍尔，他的作品很长一段时间并不被艺术界看好，大部分批评家无法理解他的作品，或者再直白些说，他没有被当作艺术家。
不过由于独特的创作方式，吸引了很多数学家、晶体学家和物理学家的关注。
为埃舍尔写传记的布鲁诺·恩斯特（Bruno Ernst）就是位数学家。
许多艺术家觉得他的作品太过理性，少了艺术该有的感性。
连埃舍尔本人也说：我是要更多地去思考而不是去感受。
○ 《海豚》（Dolphins），1923年埃舍尔早年作品大量来自旅行见闻，还看不到太多数学的影子，主要体现了他扎实的版画功底。
○ 《巴别塔》（Tower of Babel），1928年埃舍尔的矛盾空间在这幅作品中初现雏形。
○ 欧洲旅行途中某地（Fiumara，Calabria），1930年埃舍尔第一次的作品回顾展直到70岁时才在荷兰举办。
波士顿美术博物馆（Museum of Fine Arts, Boston）资深策展人Baer曾说：“即使你没有在纯艺术的范畴内了解埃舍尔，仍可以很好地欣赏他的作品，这大概也是为什么艺术界很难意识到他的才华。
”制造“不可能的世界”在计算机三维图形出现之前，埃舍尔就已经在二维的纸面上，建立了自己一套与三维空间的联系方式。
畅你所见——埃舍尔艺术作品的数学美
阮征
【期刊名称】《数学大世界（小学三四年级版）》
【年(卷),期】2017(000)008
【摘要】埃舍尔是将理性思维和艺术表现发挥到极致的艺术家和思想家.在他的艺术作品中,往往能够体现数学思维融入绘画艺术创作,为绘画艺术增添了数学之美,其作品被科学家认可.如果说数学家开启了通往宇宙之门的钥匙,那么埃舍尔就是那个将理性思维和艺术表现发挥到极致、把情感和生灵给予这个空旷的世界的艺术家.他的作品的成功之处不仅来源于他精湛的绘画能力,而且在于他将数学美融入艺术创造中.本文通过介绍数学美的内容和最数学的画家埃舍尔,从平面镶嵌、多面体、空间形状、拓扑学效果和自我复制五个方面走进埃舍尔的"不可能"世界,剖析埃舍尔艺术作品中所能看见的数学美,领略埃舍尔赋予这些抽象的数学美以具体的表象.【总页数】4页(P4-7)
【作者】阮征
【作者单位】安徽省合肥师范学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.在美国学习数学教育所见所感
2.浅析埃舍尔艺术作品的数学之美
3.数学与艺术的完美结合——埃舍尔绘画欣赏
4.我所见到的美国数学教育
5.一组美国数学题测试所见
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埃舍尔画作的数学思想数学定律仅是人类的发明或创造，它们本来就是如此，它们的存在完全不依赖于人类的智慧，具有敏锐领悟能力的任何人所能做的事至多是发现它们的存在并认识它们而已。
──荷兰版画大师M.C.埃舍尔埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置。
他的作品，主要是带有数学意味的作品无法归属于任何一家流派。
在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。
接下来主要谈谈埃舍尔艺术作品中的数学特征。
埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。
1898年他出生在荷兰的Leeuwarden。
他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业。
他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。
在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹。
随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点。
他也被悖论和"不可能"的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果。
这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"和我们或许可以叫做的"空间逻辑学"。
埃舍尔作品赏心悦目、数学趣味无穷，可以说是数学艺术的奇杷，在他的构思和创作中，他是一个思维的人，其作品具有几何学特性。
下面结合有关数学知识介绍他的作品。
1、平面镶嵌用若干类全等形(能够完全重合的图形叫做全等形)无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌(覆盖、铺砌)平面。
３８上海交通大学学报（哲学社会科学版）第１８卷面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻反映了非欧几里德几何学的精髓，而他自已也被悖论和“不可能”（Ｔｈｅｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ）的图形结构所迷住。
总体来看，埃舍尔图形创意的数学灵感主要来源于以下几个方面：数学家罗杰·彭罗斯（ＲｏｇｅｒＰｅｎｒｏｓｅ）的三角原理、数学对称理论、几何学中无穷悖论以及射影几何理论等。
基于以上的数学灵感，他创造性地创作了许多吸引人的艺术成果，并且借助可视化的图形创意发展演绎了数学的思想和理论。
２．Ｍ．Ｃ．埃舍尔创意作品的特征与分类依据Ｍ．Ｃ．埃舍尔艺术作品的风格和形式特征以及所基于的数学思维和理论，其作品风格特征以及创意所基于的数学原理和理论大概可分为如下几种类型：（１）幻想的空间（Ｔｈｅｉｌｌｕｓｉｏｎｏｆｓｐａｃｅ），基于视错觉及几何学原理。
（２）渗透的世界（Ｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎｏｆｗｏｒｌｄｓ），基于视错觉及几何学原理。
（３）有规律的平面分割（Ｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｄｉｖｉ－ｓｉｏｎｏｆｔｈｅｐｌａｎｅ），基于数学对称理论。
（４）透视（Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ），基于射影几何理论。
（５）有规则的晶体和螺旋形的体构（Ｒｅｇｕ—ｌａｒｓｏｌｉｄｓａｎｄｓｐｉｒａｌｓ），基于晶体学理论。
（６）所谓“不可能”（Ｔｈｅｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ）或称矛盾空间，基于视错觉以及数学家罗杰·彭罗斯的三角原理（ＲｏｇｅｒＰｅｎｒｏｓｅ’ｓｔｒｉａｎｇｌｅ）。
（７）太空（Ｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ）或时空无穷极限，基于数学和几何学中无穷悖论理论。
图ｌ是数学家罗杰·彭罗斯的三角原理示图和“疯狂的板条箱”（ＣｒａｚｙＣｒａｔｅ）示意图。
图２、图３、图４和图５分别是Ｍ．Ｃ．埃舍尔基于以上相关数学原理而创作的部分作品（资料来源于“ＴｈｅＭａｇｉｃＭｉｒｒｏｒｏｆＭ．Ｃ．Ｅｓｃｈｅｒ”ｂｙＢｒｕｎｏＥｒｎｓｔ）。
如图２所示，这是Ｍ．Ｃ．埃舍尔根据数学家罗杰·彭罗斯的三角原理（文章发表在１９５８年２月英国心理学杂志）所创作的一系列探索和研究的作品，称为不可能存在的建筑（Ｉｍ—ｐｏｓｓｉｂｌｅＢｕｉｌｄｉｎｇ）。
作品中所探索和表现的矛盾空间以及由视错觉所形成的幻觉，其主要原理是基于数学家罗杰·彭罗斯的三角原理和视觉心理学等有关知识。
在作品《上升与下降》中，见图２（ａ）图２（ｂ）是作品的草图和原理解析说明，如果人们紧跟着画中的那些僧侣向上走，理应每走动一步都会到达更高一层台阶。
但是，走完一圈之后，人们却发现自己又回到了原点。
反之，如果人们跟着那些僧侣沿着台阶向下走动，同样当人们完成整圈之后又回到了原处。
无穷尽的上升与下降这种循环反复就是这作品的主题。
当然，作品其中还蕴含作者对审美、对生命，对宇宙等种种思考。
显然，数学和视觉心理学等有关原理在图形结构的构造中起有效的辅助作用。
图２（ｃ）是Ｍ．Ｃ．埃舍尔根据数学家罗杰·彭罗斯的三角原理所创作的另一幅作品。
画面中瀑布流水川流不息，人们初看发现不出任何异样，也就是说，人们的视线如跟随建筑中的细部和Ｚ字型水沟看去，根本无法发现画中所蕴藏的视错觉骗术。
但经细心观察就能发现，水的流向完全违反地心引力原理，瀑布水的源头与下面的积水沟是同处一个水平面，人们眼睛看到的和物质对象存在差异和错觉。
图２（ｄ）是作品的草图和原理解析示意图。
圈１田２（ａ）圈２（ｂ）图２Ｉｔ）图２（ｄ）图３（ａ）是Ｍ．Ｃ．埃舍尔基于数学几何学中无穷悖论理论为探索太空或时空无穷极限而创作的系列作品之一，作品名为《内部变小无极限》（Ｔｈｅｉｎｎｅｒｐａｒｔｏｆｓｍａｌｌｅｒａｎｄｓｍａｌｌｅｒ），２０１０年第５期林迅文化和艺术中的数学３９描绘同一母题的向内无穷尽变小和收缩变换。
图３（ｂ）是根据几何学中无穷悖论理论而创作的另一幅作品，相同母题在无穷尽变小和收缩变换同时形成有规律性的空间填补。
图４是Ｍ．Ｃ．埃舍尔以探索宇宙、自然、生命和数学为主题和灵感而创作的系列作品之一，作品名为《四面体小行星》（Ｔｅｔｒａｈｅｄｒａｌｐｌａｎｅｔｏｉｄ），描绘有人类居住的小行星，是一个环绕星球表面的正四面体（Ｒｅｇｕｌａｒｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ），共由四个三角形表面构成，其中二个三角形的面为可视面（朝正面），画面中间垂直的边锋将正四面体的两个面分离。
所有垂直于可视三角形面的直线：围墙、房子、居住人群、树等，向球体的中心方向，直线的透视消失点聚焦在球体的中心，即球的地心引力中心，所有水平于可视三角形面的表面：花园、道路、弯曲伸展的运河水的表面均是构成球体外壳的组成部分。
作品的数学灵感来源于晶体学、射影几何及柏拉图宇宙天体模型原理等。
图５（ａ）为Ｍ．Ｃ．埃舍尔的自画像《手持反射球体》（ＨａｎｄｗｉｔｈＲｅｆｌｅｃｔｉｎｇＳｐｈｅｒｅ），球中反射影像就是Ｍ．Ｃ．埃舍尔本人，作品是根据几何学中射影几何理论而创作。
图５（ｂ）为Ｍ．Ｃ．埃舍尔形究球体上射影几何原理的示图。
图３【ａ）图３（ｂ）图４图５（ａ）图５（ｂ）二、数学对称理论的释义１．数学对称理论在科学中，对称性指的是研究对象在某种变换或操作下保持不变的性质，因而具有根本性意义。
所谓对称变换（ｓｙｍｍｅｔｒｙｔｒａｎｓｆｏｒ—ｍａｔｉｏｎ）是对称操作（Ｓｙｍｍｅｔｒｙｏｐｅｒａｔｉｏｎ）的结果。
在平面中，对称操作只影响对象的几何学性质的变换，对称变换仅涉及设计的结构。
同时，允许反演对称操作并使对象重新回到原点。
在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、空间等相联系。
历史上最早意识到“对称”在二维平面设计中（尤其是纺织品图案设计及平面图形装饰设计）具有辅助作用，并努力使“对称”原理非神秘化地应用于设计实践的人是Ｈ．Ｊ．Ｗｏｏｄｓ。
他是英国利兹大学纺织系的一名物理学家，在２０世纪３０年代他连续发表了４篇研究论文，［１］试图通过简易通俗的数学语言解析数学对称原理，并通过可视化的图形符号解析对称在构建图形结构与设计过程中的辅助作用。
Ｗｏｏｄｓ的最初动机是鼓励和启发那些从事纺织品图案设计的学生，通过学习数学对称原理，在二维重复的有规律性的图形结构的设汁过程中得到帮助。
这些最初的理论探索和尝试在以后的晶体学领域得到发展并被用于解释三维空间的晶体结构。
从非数学研究的角度看，ＯｗｅｎＪｏｎｅｓ的著作《装饰原理》（ＴｈｅＧｒａｍｍａｒｏｆＯｒｎａｍｅｎｔ。
出版于１９世纪初）似乎最具影响力。
该书分析介绍了大量的图案与装饰，并根据不同的时期、民族区域和风格对其分类。
该书在以后的２０世纪，直至近年还在继续再版，同时印有法文２０１０年第５期林迅文化和艺术中的数学４３ＡｎｃｉｅｎｔＷｏｒｌｄ”ｂｙＦｌｉｎｄｅｒｓＰｅｔｒｉｅ）这是基于数学对称原理而构成的各种编织纹样装饰，来自不同区域、民族和文化的与图案相关的原始手工艺品。
在中西方传统的建筑和圣殿的建造过程中，在布局和结构中都有发现其中蕴含着数学对称原理，当然这其中也蕴涵着文化、宗教、美学等内容的考量。
在传统文化符号中，对称常应用于有规律的、持续的、带有周期性的排列和装饰的文化符号。
对称不仅对数学家和物理学家有吸引力，生物学家、画家、建筑师、心理学家、考古和史学家乃至音乐家都在思考和讨论它的普遍意义和影响力。
图１２数学对称在图形创意中应用的历史十分久远，可追溯到人类的史前文化。
所谓图形创意，即人类在原始岩石及山洞墙壁上涂鸦时就已开始的一项文化启蒙活动，在世界上发现的大量岩壁上均有记录。
现今考古发现的那些古代原始岩画或山洞中的壁画，绘画的主题基本上都是动物、人物、狩猎等与生活和劳动有关的内容。
描绘生动，形象简练，具有强烈的符号特征。
图１３为我国西南地区位于云南中南部沧源岩画。
（资料来源于《对称与图形创意》林迅著）从对称的图形创意角度看，在现已发现的大量的新石器时代的手工陶艺及夏商周的青铜制品中，其纹样和各种装饰与原始岩画作比较，图形的“繁”（复杂性）“复”（重复和周期性）程度、图案的故意编排及创意设计的特征也较为突出，网案装饰的规律性和周期性特征十分明显，图案中相同母题的重复和排列显然是根据某种编排的“法则”和规律进行的，所谓法则，即基于人类最原始几何学的思考和原理．对研究图形设计起源和发展提供了极其珍贵的史料。
图１４（ａ）和１２（ｂ）（资料来源于Ｇｏｏｇｌｅ－图片搜索）分别为新石器时代的彩陶文化和商代晚期的青铜器“父丁卣”（装饰纹样局部）。
图１３图１４（ａ）圈１４【ｂ）数学对称理论，是人类在劳动和生活中的某种需要和兴起所激发的一种数学思维和活动的灵感。
从人类懂得选择适当的石头和砖瓦用来构筑自已的藏身和住宿时起，人类已经开始接触图形和图案并同时引入了数学几何对称的思考和概念。
人类这种原始的数学活动的灵感所体现出的规律性、周期性以及循环反复的特征，与数学几何对称的基本原则是吻合的，对数学几何对称理论的逐步形成和发展起到了促进作用。
图１５是中国新疆高昌古城遗址。
（图片由作者本人拍摄于古城遗址）４４上海交通大学学报（哲学社会科学版）第１８卷图１５三、数学对称理论在Ｍ．Ｃ．埃舍尔图形创意中的具体应用埃舍尔图形创意的数学灵感和理论来源于很多方面，就有规律的平面分割创意（或称有规律地重复的平面图形创意）而言，其创意中的数学思维与原理主要基于数学对称理论。
虽说埃舍尔图形创意研究中所使用的符号标示与国际晶体学领域广泛通用的符号标示体系有所不同，但他们共同所基于的对称理论和原理是完全一致的。
以下对埃舍尔图形创意中所具体应用的相关数学对称理论、原理及符号标示作进一步详细解释。
图１６是埃舍尔基于ｃｌａｓｓｐ３类对称特征及原理所创作的作品（资料来源于“ＴｈｅＭａｇｉｃＭｉｒｒｏｒｏｆＭ．Ｃ．Ｅｓｔｈｅｒ”ｂｙＢｒｕｎｏＥｒｎｓｔ），是一幅以人物为主题的有规律的平面分割创意。
根据平面对称操作原理，人物图形的排列与变形巧妙地将整个平面填满，人物的形与形之间不存在形的重叠以及被遗漏覆盖的空间出现。
ｃｌａｓｓｐ３类对称特征的图形创意，基于一个六边形点阵的单位胞体和一个等于３的最高旋转阶。
存在三个不同的三次旋转中心。
基础区域（ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｒｅｇｉｏｎ）的面积是单位胞体面积的三分之一。
图形结构中存在三种不同的三次旋转中心（１２０。
旋转中心），即头部、脚以及膝盖相接点。
如选择任何其中一个点作为三次旋转中心，并将整个人物图形围绕该点旋转１２０。
，从而能使整个人物的图形与自身完全重合，根据对称操作只影响到对象的几何学性质的变换原则，在示图中对称变换仅涉及设计的结构，即对称操作可循环反复地使人物与自身重合。
完整的图案构成也可以通过平移和重复排列基本平移单位朝两个不同的方向移动。
在图案的生成和构成过程中共运用了两种几何变换，即平移和旋转对称操作。
