浅谈导数在高中数学中的应用

高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。

本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。

一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。

通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。

例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。

二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。

对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。

同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。

这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。

三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。

对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。

因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。

这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。

四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。

当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。

而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。

这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。

总结起来，导数的应用非常广泛。

无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。

因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。

只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。

导数在高中数学中的应用探讨摘要：导数是数学发展史中一项重要的发明，在几何之后一个具有跨时代意义的伟大研究，也被称为数学史中的里程碑。

本文主要分析高中数学中导数的应用，阐述根据导数知识对高中数学问题研究的方法。

关键词：导数高中数学应用高中数学的应用及其广泛，导数也从以往辅助地位提升到分析和解决问题中不可缺少的功能。

导数是高中数学中的重点内容，也是对函数性质的总结与扩展，并且导数运用可以解决生活中常见的很多问题。

导数在高考当中逐渐成为热点，根据导数解决实际问题，主要可以培养学生建模、总结、反思等能力。

以下针对导数在高中数学中的应用进行探讨[1]。

一、导数的含义1.导数的基本概念导数是微积分中的重要基础概念，也是函数的局部性质，当一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点的变化率，如果函数的自变量和取值都是实数，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表曲线在这一点上地切线斜率。

导数的本质就是通过基础概念对函数进行局部线性逼近。

但是，不是所有的函数都有导数，一个函数中也不一定所有的点都有导数，假如某一个函数在某一点中有导数存在，可称其为这一点可导，否则称为不可导。

可导的函数一定是连续的，不连续的函数一定不可导。

微积分基本定理表明求原函数与积分是等比的，求导和积分是一对互逆的状态，都是微积分学当中最基础的概念。

2.导数与函数的性质导数与函数的性质可分为单调性和凹凸性，若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数与零相同则为函数驻点，不一定为极值点，需带入驻点左右两边的数值求导数正负判断是否具有单调性[2]。

若已知函数为递增函数，那么导数大于等于零，如果已知函数为递减函数，导数则小于等于零。

当变化时函数的切线变化，函数的导数值就是切线斜率；可导函数的凹凸性与导数的单调性相关，当函?档牡己?数在某一个区间上单调递增，这个函数区间是向下凹，反之为向上凸。

当二阶导函数存在时，可用正负性进行判断，在某一区间大于零，这个区间的函数是向下凹，反之区间函数向上凸，曲线的凹凸分界点称作为曲线的拐点。

浅谈导数在高中数学解题中的运用摘要：如今高中导数已经列入课本当中，导数是高中数学中的重要内容，是基础性的概念之一，是为高中阶段研究函数相关性质所提出的有较大辅助作用的一种运算方式。

以导数在函数、切线及不等式中的应用为实例，并帮助学生解决复杂的恒等式、不等式、根的存在性、应用题和几何数学难题等，具体探究了导数在高中数学解题中的运用。

关键词：导数；高中数学；解题；运用近年来，导数在高考中的地位越来越突出，各地的模拟考试都把导数作为考点，这些试题也从不同的角度考查了学生对导数的认识和学生对导数综合运用的能力，在导数和方程组、不等式、数列、函数等方面进行交汇命题，从而考查学生综合解决问题的能力。

因此，导数成为近年来考查的热点，在复习时一定要加强对导数的运用和运用导数解决数学问题的意识。

一、导数在函数中的运用导数在函数中运用是非常普遍的，利用导数可以解决函数的极大值与极小值，可以画出一个函数的图象的草图，可以知道一个函数的单调区间.而这些问题往往式教学的重点，也是学生必须掌握的最基础的知识，也是历年高考的重点，因此学生抓住这部分的重点还是非常有必要的.这就要求学生平时要多做多练用导数解决的这类题目，在多做多练中提高做题的效率，掌握做题的方法与技巧，争取遇到这类题可以手到擒来.例1 求函数f(x)=6x2+8x+4的单调区间和最小值.这道题很明显是求函数的极值和单调区间问题.可以利用导数来解决，过程如下.解?∵f?′(x)=12x+8,∴令f?′(x)=12x+8=0,则?x=-2/3.当x-2/3时，f?′(x);0,则f(x)在(-2/3,+∞)上单调递增；当x-2/3时，f?′(x)0,则f(x)在(-∞,-2/3)上单调递减；当x=-2/3时，f(x)取得最小值f(-2/3)=3/4.综上所述，这道题就解出来了，可以看出，利用导数求解这类问题简单而又方便.如果利用数形结合的方法求解这类问题，这类问题是可以得到解决，但是过程繁琐，不能很好地确定它的单调性时不能准确地画出它的草图，因此不能较容易简单地解决这类问题.但是利用导数后，按照导数解决函数问题的一般步骤，可以让学生对这类题目有了明确的解题步骤，因而这类题按照导数求解问题的一般步骤：1.求出函数的导数；2.令求出的导数等于零；3.由导数等于零确定函数的可疑极值点；4.根据极值点将函数的定义域进行划分；5.确定函数的导数在定义域内的正负，从而判断函数的单调性；6.根据函数的单调性画出函数的草图，根据草图得出函数的准确极值.这类问题就被轻而易举地解决了，看似步骤挺多，但当你求出函数的导数和定义域时，所有问题就会迎刃而解了.二、导数在不等式中的运用不等式问题也是一类常考的题型，包括不等式的证明与不等式的求解，处理这些问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题.这类问题的解决，需要积累一定的经验，因为有时候更多的是需要构造出一个函数，从而才能引入导数这个方法，借助函数的一些性质，求出极值，从而使不等式问题得到解决.例2 已知函数f(x)=x2+lnx，求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.分析?函数f(x)的图象在函数g(x)的下方?不等式f(x)g(x)的问题，即x2+lnxx3成立，只需证明在区间(1,+∞)上，恒有x2+lnxx3成立.设F(x)=g(x)-f(x),x∈(1,+∞),考虑到F(1)=0,要证明不等式转变为：当x1时，F(x)F(1),这只要证明：g(x)在区间(1,+∞)是增函数即可.证明设F(x)=g(x)-f(x)，即F(x)=x3-x2-lnx因为F′(x)=2x2-x-=，x∈(1,+∞)，所以F′(x)=2x2-x-= 0恒成立,所以函数F(x)在(1,+∞)上单调递增，即F(x)F(1)=0,从而有f(x)g(x).所以函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的下方这道题其实是不等式的证明题，巧妙地构造了函数F(x)，随后发现成了函数的基本问题，从而利用导数对函数问题进行了解答，从而使很棘手的不等式证明题变得简单易懂.显而易见，在解决不等式的问题时，函数的构造对解题来说是最重要的一步，而这一步对大多数学生而言，也是存在很大困难的一步.想到这步的最好的办法还是要多做不等式的题，总结一定的构造函数的经验.三、利用导数解决一些切线问题导数的几何意义是在该点处切线的斜率，这个问题有时候也是学生最容易忽略的问题.利用导数的几何意义，可以方便快捷地求解一些函数曲线上点的切线问题.例3?y=-lnx+3,求其在点A(e,2)处和过点B(e,2-)的切线方程.分析?将A和B点分别代入y=-lnx+3,发现点A在曲线上，点B不在曲线上；求解这类问题时，我们知道在曲线上的点的斜率就是曲线在该点处的导数，不在曲线上的点，需要我们设出切点，进而进行求解.解?y′=-,x∈(0,+∞)，对点A在曲线上，k=y′(e)=-.所以y-2=-(x-e),即ey+x=0.对于B点，设切点为(x0,y0)，则k=y′(x0)=-.y-y0=-(x-x0),将B点坐标代入上式中得，2--y0=-(e-x0).又因为y0=-lnx0+3，解得x0=e2.从而e2y+x-2e=0.这道题的求解关键是要将A和B两点坐标代入，确定它们是否是曲线上的点，然后分别对是否在曲线上采取不同的方法进行求解.好多学生会不管是否在曲线上，直接代入导数求解切点的切线，对是否是切点没有进行判断.如果提前进行判断，对切点和非切点的点分别引入该曲线的导数，利用其具有的几何意义对其进行求解，是目前高中数学中最高效、最便捷、最容易理解的唯一方法.这类题经常会考两种类型，题目多为选择和填空题，难度不大，属于送分题，借助于导数的知识进行求解会达到事半功倍的效果.导数在高中数学解题中的引用非常广泛，在高中数学中也是相当难的一部分内容，但是它相对而言，比较容易理解，难点在于学生们想不到利用导数去解决有些问题.所以更多的还是需要培养学生利用导数解决数学问题的能力，而不至于走很多弯路，在考试的过程中浪费很多时间.这就需要学生平时多积累题型，多跟着教师的思路走，自己在做题时，多培养自己在这方面的思维能力.参考文献：[1]王小燕. 新课标下导数应用的进一步探索学习[J]. 中国校外教育,2014(36).[2]焦存德. 微分中值定理与导数在中学数学中的应用[J]. 延安职业技术学院学报,2013(06).[3]杨洪涛,张艳婷. 导数在高中数学函数中的应用[J]. 旅游纵览(下半月),2013(07).[4]邓晗阳. 导数在高中数学解题中的应用探讨[J]. 科学大众(科学教育),2016(12):27.。

浅谈导数在高中数学中的若干应用摘要：随着新课程改革的逐步深入，导数作为微积分的核心概念之一被引入高中教材，并且迅速成为考试热点。

它不仅是一种重要的解题工具，而且还是初等数学与高等数学之间的一座桥梁。

作为工具，导数在判断函数单调性、求函数极（最）值、证明不等式以及数列求和等问题中为我们提供了一种新的思路与方法。

作为桥梁，导数使中学生能够提前接触到微积分知识，为其将来学习高等数学打下良好的基础。

本文收集和分析了导数在高中数学若干典型问题中的应用。

关键词：导数；高中数学；应用1背景及介绍17世纪中叶，为了更加深入地研究函数，解决相关问题，著名数学家牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分。

这具有划时代的意义，被称为数学史上的里程碑。

函数一直以来就是高中数学的核心内容。

在新课程改革的大背景下，为使中学生能够更加深入地学习函数，导数作为微积分的核心概念之一被引入高中教材，成为高中数学的重要组成部分。

导数的引入在高中数学中具有十分深远的意义。

一方面，导数是一种重要的解题工具。

在判断函数单调性、求函数极（最）值、证明不等式、数列求和等问题中，导数为我们提供了一种全新的解题思路和有效的解题方法。

通过对近年高考进行分析发现，对导数的考查越来越灵活，传统考点与导数相融合成为命题趋势，这更加体现了导数在高中数学中的重要性。

另一方面，导数除了是重要的解题工具，还是联系初等数学与高等数学的一座桥梁。

高中阶段学习高等数学中的相关知识，让学生提前接触高等数学，了解简单的微积分知识，为以后进一步研究微积分做了知识层面的铺垫。

与此同时，利用导数解决相关实际问题，让学生充分体会高等数学在解决初等问题中的优势，促使学生更多的了解高等数学，激发学生进一步研究数学的兴趣。

高中数学新课程改革后，人教版高中数学教材分为必修和选修两种类型，必修是所有学生都必须学习的内容，而选修则是根据学生的兴趣爱好和对未来的愿望进行选择。

导数的相关内容分别出现在《高中数学选修1-1》和《高中数学选修2-2》中。

导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式. 1.1 函数连续的定义定义1 若函数()f x 在0x 的附近包括0x 点本身有定义, 并且()()00lim x x f x f x →=. 则称()f x 在0x 连续, 或称0x 点是 f (x )的连续点.1.2 导数的定义定义2 设函数y =()f x 在点0x 的某个邻域内有定义, 若极限 ()()0000limlimx x x f x f x yx x x →∆→-∆=-∆ 存在, 则称函数()f x 在0x 处可导, 并称该极限为函数 y =()f x 在点0x 处的导数, 记作()x f '.注：(1) 函数应在点x 0x的附近有定义, 否则导数不存在.(2) 在定义导数的极限式中, x ∆趋近于0可正、可负、但不为0, y ∆可能为0.(3) ∆y∆x是函数y=f (x ) 对自变量x 在∆x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线)(x f y =上点(x 0, )(0x f 及点(0x +x ∆, )(00x x f ∆+的割线斜率.(4) 导数()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线)(x f y =上点(0x , )(0x f )处的切线的斜率.(5) 若极限000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆不存在, 则称函数y=f (x )在点0x 处不可导.(6) 如果函数y=f (x )在开区间(a , b )内每一点都有导数, 则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a , 都对应着一个确定的导数()x f ', 从而构成了一个新的函数()x f ', 称这个函数.2 导数在函数问题中的应用2.1 利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤： （1） 求出函数的定义域；（2）考察函数的奇偶性、周期性；（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)； （4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)； （5）考察渐进线； （6）画图.例1 作函数2015623--+=x x x y 的图像. 解：(1) 函数的定义域),(+∞-∞(2) 曲线与x , y 轴交点分别为51055105(1,0),(20)+-+--. (3) 令0)1)(5(3151232=-+=-+='x x x x y 解得1,5-=x 令0)2(6126=+=+=''x x y 解得2-=x (4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：x)5,(--∞-5 )2,5(---2 )1,2(-1 ),1(+∞y ' + 0 — — — 0 + y ''———+++(5) 无渐进线 (6)2.2 , 从而例 2 , 求实数a 的取值解 222222)2()2(2)2(224)(+---=+-+='x ax x x x ax x f又()f x 在[-1, 1]上是增函数0)(≥'x f 对[]1,1-∈x 恒成立, 即022≤--ax x 对[]1,1-∈x 恒成立. 设2)(2--=ax x x ϕ, 那么问题就等价于⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(ϕϕ 即⎩⎨⎧≤--≥-+021021a a 故11≤≤-a所以 A={}|11a a -≤≤.2.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断)()(21x f x f -正负较困难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出)(x f ', 再考虑)(x f '的正负即可.此方法简单快捷而且适用面广.例 3 已知d cx bx x x f +++=23)(是定义在R 上的函数, 其图像交x 轴于C B A 、、三点, 点B 的坐标为(2,0),且)(x f 在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.(1)求C 的值.(2)若函数)(x f )在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, )(x f 的图像上是否存在一点M , 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3? 若存在, 求出M 点的坐标. 若不存在, 说明理由.解 分析:（1）()c bx x x f ++='232, )(x f 在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.∴ x =0是()x f 的一个极值点, 故()00='f . ∴c =0（2）()0='x f 得0232=+bx x ,01=x ,b x 322-=因为)(x f 在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, ∴()x f '在[0,2]和[4,5] 有相反的符号.故4322≤-≤b ,36-≤≤-b .假设存在点M ),(00y x 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3,则0()3f x b '=.即032302=-+b bx x .)9(4)3(3442+=-⨯⨯-=∆b b b b ,而()b x f 30='. ∴∆<0.故不存在点M ),(00y x 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3. 2.4 研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题. 例4 若3m >, 则方程0123=+-mxx x 在[]0,2上有多少根？ 解 设()123+-=mx x x f , 则()mxx x f 232-='当3m >且()2,0∈x 时, ()0<'x f ,故)(x f 在()0,2上单调递减, 而)(x f 在0x =与2x =处都连续, 且(0)10f =>,(2)940=-<f m0,2上只有一个根.故)(xf在[]导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.2.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体60,02≤<∴≥a b .设)6(3)(2a a a p -=),则()a a a p 3692+-='.由()0>'a p 得40<<a ,由()0>'a p 得4>a .即:函数 )(a p 在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数, ∴当a =4时, )(a p 有极大值为96,∴)(a p )在(0,6]上的最大值是96, ∴ b 的最大值为46.从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类考试中方能得心应手.例6 (2005年山东卷)已知函数1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点, 其中,m n R ∈, 0m <.(1)求m 与n 的关系表达式； (2)求()f x 的单调区间；(3)当[1,1]x ∈-时, 函数()y f x =的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m , 求m 的取值范围.分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定m 与n 的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论. 解 (1) 2()36(1)3f x mx m x m n '=-+++由1x =是()f x 的一个极值点, 知(1)0f '=, 即36(1)0m m n -++=, 36n m ∴=+(2) 由(1), 得2()36(1)35f x mx m x m '=-+++23(1)[(1)]m x x m=--+ 由0m <知, 211x >+, 当x 变化时, ()f x 与()f x '的变化如下：由上可知, ()f x 在区间(1,)+∞和2(,1)m -∞+上递减,在区间2(1,1)m+上递增. (3) 由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m -++>,即当11x -≤≤时,有2122(1)0x x m m-++<.① 设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩即2212010m m ⎧+++<⎪⎨⎪-<⎩解之得, 43m -<,又0m <,所以403m -<<.即m 的取值范围为4(,0)3-.3 导数在证明等式和不等式问题中的应用3.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等. 例 7 求证：1(0)x e x x >+>分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数()1x f x e x =--；再对()f x 进行求导, 得到'()f x ；然后观察得到当0x >时, '()0f x >, 即()f x 在0x >时是增函数；最后可得当0x >时, ()(0)0f x f >=, 即1x e x >+.解：令()1x f x e x =-- 则'()10x f x e =->()f x ∴在(0,)+∞上是增函数. ∴ 当0x >时, ()(0)0f x f >=即1(0)x e x x >+>.3.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利用函数的导数达到解决问题的目的. 例 8 求证: arctan arccot 2x x π+=证明：设)(cot arctan x f x arc x =+ 则01111)(22=+-+='xx x f 从而)()(为常数c c x f = 令1=x 得244)(πππ=+=x f , 于是2cot arctan π=+x arc x4 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.例 9 已知数列{}n a 的通项)10(2n n a n -=()*Z ∈n , 求数列{}n a 的最大项. 解 作辅助函数)0)(10()(2>-=x x x x f , 则2320)(x x x f -='.令0)(>'x f 得3200<<x ； 令0)(<'x f 得0<x 或320>x .)(x f 在区间)320,0(上是增函数, 在区间),320(+∞是减函数.因此, 当320=x 时函数)(x f 取到最大值.对*Z ∈n , )10()(2n n n f -=,144)6(147)7(=>=f f 147)(max =n f所以数列{}n a 的最大项为1477=a .5 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面. 5.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作：y 是x 的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆()()222x a x b R -+-=, 两边对x 求导, 则有()()022='-+-x y b y a x , 所以在切点(),m n 处的切线斜率bn am y k n y m x x ---='===,|.从而求出切线方程是()()()()2x a m a y b n b R --+--=.类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程.如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切(如图1).此时缩小的曲线方程如()()()222x a x b tR -+-=, ()()22221x y ta tb +=, 两边对x 求导, 可发现并不改变原程求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是x y '在中点处的值.5.2 求中点弦方程例 10 已知双曲线方程2222x y -=, (1)求以()1,2A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点()1,1B , 能否作直线L , 使L 与所给双曲线交于Q P 、两点, 且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在, 求出它的方程；如果不存在, 说明理由.解 对2222x y -=两边求导, 得024='-x y y x (1) 以()1,2A 为中点的弦的斜率2|1,2='===y x x y k , 所以所求中点弦所在直线方程为12(1)y x -=-(2) 以()1,1B 为中点的弦的斜率2|1,2='===y x x y k , 所以所求中点弦所在直线方程为12(1)y x -=-, 即210x y --=,但与双曲线方程2222x y -=联立消去y 得22430,80x x -+=∆=-<, 无实根.因此直线l 与双曲线无交点, 所以满足条件的直线l 不存在.点评：(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.5.3 证明与中点弦有关的不等式例11 已知椭圆()012222>>=+b a by a x , A 、B 是椭圆上两点, 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P )0,(0x , 求证：ab a x a b a 22022-<<--. 证明： 设AB 的中点是()n m P ,, 则中点P 在椭圆内, 所以 (1)对椭圆12222=+b y a x 两边求导有02222='+x y b y a x , 得22ya xb y x -=' 故中点弦AB 的斜率22.|namb y k n y m x x -='=--, 所以线段AB 的垂直平分线斜率满足：220mbna x m o n =--, 得2220b a a x m -=. 代入(1)式得ab a x a b a 22022-<<--. 5.4 求与中点弦有关的轨迹问题例 12 已知定点A (0, 2), 椭圆12122=+y x , 过A 任意引直线与椭圆交于两点Q P 、, 求线段PQ 中点的轨迹方程.解 设线段PQ 的中点为()y x M,.对椭圆12122=+y x 两边求导, 得x y y x '+2=0所以PQ 的斜率为yxk 2-=.又PQ AM k k =,所以yxx y 212-=--. 化简即得04222=-+y y x (在椭圆12122=+y x 内的部分).综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.。

浅谈导数在高中数学教学中的应用【关键词】高中数学中的导数；应用导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。

导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。

利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。

由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。

本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。

1. 几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。

导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。

下面给出求曲线的切线方程的方法步骤：（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）例1. 试求曲线y=xlnx上点（1，2）的切线方程解：对函数f（x）=xlnx求导得f'（x）=lnx+1所以f'（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为y-2=1（x-1）即y=x+1切线方程：y=x+1先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。

例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。

解因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直所以所求直线的斜率k1=-3又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切，所以它的斜率k2=y'=3x2+6x因为k1=k2 即3x2+6x=-3所以（x+1）2=0 即x=-1代入曲线方程得y=（-1）3+3（-1）2-5=-3所以切点为（-1，-3）故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。

高中数学中的导数应用知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念和工具，它在许多数学问题的研究中起着重要的作用。

本文将对高中数学中的导数应用知识点进行总结，包括导数的定义与性质、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。

一、导数的定义与性质导数的定义是函数在某一点处的变化率，通常用极限来表示。

具体而言，给定函数y = f(x)，在x点处的导数可以定义为：```f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h```其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数，h表示一个趋近于0的实数。

导数的性质包括：1. 导数存在性：函数在某一点处存在导数，即函数在该点处可导；2. 导数的唯一性：函数在某一点处的导数唯一；3. 可导函数的连续性：函数在某一点处可导，则该点处连续；4. 常数函数导数为0：对于常数函数y = c，导数f'(x) = 0。

二、导数的计算方法导数的计算方法包括基本导数公式和导数的四则运算法则。

1. 基本导数公式：常见的函数导数计算公式如下：- 常数函数导数：f(x) = c，f'(x) = 0；- 幂函数导数：f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数导数：f(x) = e^x，f'(x) = e^x；- 对数函数导数：f(x) = loga(x)，f'(x) = 1 / (xlna)，其中a为底数；- 三角函数导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)等。

2. 导数的四则运算法则：导数的四则运算法则包括求和、差、积和商的导数运算法则。

- 求和法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；- 差法则：(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)；- 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g^2(x)，其中g(x) ≠ 0。

181神州教育浅谈导数在高中数学解题中的有效应用张晓天张家口市第一中学摘要：导数是高中数学知识的重点内容在，蕴含丰富的数学思想，可以有效的帮助学生解决相关的数学问题，进而提升解题效率与准确率。

将导数作为辅助方式进行解题是现阶段高中生常用的方式，也是一种简便的解题工具，基于此，作者结合自身学习经验，对导数在高中数学解题中的有效应用进行详细的分析研究，以供参考。

关键词：导数；高中数学；解题引言：随着新课改的不断深化，导数在高中数学知识中的地位越来越突出，学生在学习过程中，逐渐将导数作为重要的辅助解题工具，进而将遇到的较难习题进行合理的简化，达到解题的目的。

现阶段，新课标体系对于学生的综合解题能力越来越重视，并逐渐培养学生形成良好的综合素养，进而促使学生在学习过程中逐渐加强对导数的应用。

一、导数分析导数是高中数学的重点知识内容，尤其是对于导数的概念、理论、公式以及几何意义等内容，需要学生进行灵活的掌握，明确知识的内涵与实质，进而在学习过程中，灵活应用导数进行解题，提升解题效率。

例如，在高中数学中，导数与函数、方程组、几何图形、数列以及不等式等相关知识的结合较为普遍，学生通过灵活的掌握导数知识内容，可以从根本上提升自身的解题能力，进而强化自身的数学综合素养，全面发展，提升自身的数学学习能力。

二、导数在高中数学解题中的有效应用导数在函数知识中的应用较为普遍，尤其是在函数值、函数单调性以及函数图像等方面的应用较为灵活，因此，作者从以下几方面进行分析：(一)利用导数解决函数单调性问题现阶段，高中生在进行函数单调性问题解决过程中，通常选择函数自身的图像，并以图像为基础，进行问题解决，例如，学生通过对函数图像的观察，利用函数的递增、递减以及增减函数的定义等对问题函数自身的单调性进行合理的判断，进而解决遇到的问题。

但实际上，该解题方式存在一定的局限性，仅仅适用于简单的函数，而对于复杂的函数来说，难以进行判断。

通过灵活的应用导数，可以有效的对问题进行简化，进而对问题函数的单调性进行有效的分析，利用函数导数将其作为独立的函数，通过求解函数的导数，将零作为参考，进行对比，进而促使学生明确在不同区间中导数自身的大小关系。

导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。

以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。

在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。

2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。

3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。

4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。

总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。

导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式. 1.1 函数连续的定义定义1 若函数()f x 在0x 的附近包括0x 点本身有定义, 并且()()00lim x x f x f x →=.则称()f x 在0x 连续, 或称0x 点是f (x )的连续点. 1.2 导数的定义定义2 设函数y =()f x 在点0x 的某个邻域内有定义, 若极限()()0000limlimx x x f x f x yx x x →∆→-∆=-∆ 存在, 则称函数()f x 在0x 处可导, 并称该极限为函数 y =()f x 在点0x 处的导数, 记作()x f '.注：(1)函数应在点x 0x的附近有定义, 否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中, x ∆趋近于0可正、可负、但不为0, y ∆可能为0.(3) ∆y∆x是函数y=f (x ) 对自变量x 在∆x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线)(x f y =上点(x 0, )(0x f 及点(0x +x ∆, )(00x x f ∆+的割线斜率.(4) 导数()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线)(x f y =上点(0x , )(0x f )处的切线的斜率.(5) 若极限000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆不存在, 则称函数y=f (x )在点0x 处不可导.(6) 如果函数y=f (x )在开区间(a , b )内每一点都有导数, 则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a , 都对应着一个确定的导数()x f ', 从而构成了一个新的函数()x f ', 称这个函数.2 导数在函数问题中的应用2.1 利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）考察函数的奇偶性、周期性；（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)； （4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)； （5）考察渐进线； （6）画图.例1 作函数2015623--+=x x x y 的图像. 解：(1) 函数的定义域),(+∞-∞(2) 曲线与x , y 轴交点分别为51055105(,0),(1,0),(,0),(0,20)22+-+---. (3) 令0)1)(5(3151232=-+=-+='x x x x y 解得1,5-=x 令0)2(6126=+=+=''x x y 解得2-=x(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：x)5,(--∞-5 )2,5(---2 )1,2(-1 ),1(+∞y ' + 0 — — — 0 + y ''———+++y↗凹 80 极大 ↘凸 26 拐点 ↘凹 -28极小 ↗凹(5) 无渐进线 (6) 作图：图12.2 利用导数求参数的值在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数. 例 2已知函数()22()2x af x x R x -=∈+在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数a 的取值所组成的集合A .解222222)2()2(2)2(224)(+---=+-+='x ax x x x ax x f又()f x 在[-1, 1]上是增函数0)(≥'x f 对[]1,1-∈x 恒成立, 即022≤--ax x 对[]1,1-∈x 恒成立.设2)(2--=ax x x ϕ, 那么问题就等价于⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(ϕϕ即⎩⎨⎧≤--≥-+021021a a 故11≤≤-a所以 A={}|11a a -≤≤.2.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断)()(21x f x f -正负较困难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出)(x f ', 再考虑)(x f '的正负即可.此方法简单快捷而且适用面广.(-5，80)（-2,26）（-1，0）（1，-28）XY例 3已知d cx bx x x f +++=23)(是定义在R 上的函数, 其图像交x 轴于C B A 、、三点, 点B 的坐标为(2,0),且)(x f 在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.(1)求C 的值.(2)若函数)(x f )在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, )(x f 的图像上是否存在一点M , 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3? 若存在, 求出M 点的坐标. 若不存在, 说明理由.解 分析:（1）()c bx x x f ++='232, )(x f 在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.∴x =0是()x f 的一个极值点, 故()00='f . ∴c =0（2）()0='x f 得0232=+bx x ,01=x ,b x 322-=因为)(x f 在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, ∴()x f '在[0,2]和[4,5] 有相反的符号.故4322≤-≤b ,36-≤≤-b .假设存在点M ),(00y x 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3,则0()3f x b '=.即032302=-+b bx x .)9(4)3(3442+=-⨯⨯-=∆b b b b ,而()b x f 30='. ∴∆<0.故不存在点M ),(00y x 使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3. 2.4 研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题. 例4 若3m >, 则方程0123=+-mxx x 在[]0,2上有多少根？ 解设()123+-=mx x x f , 则()mxx x f 232-='当3m >且()2,0∈x 时, ()0<'x f ,故)(x f 在()0,2上单调递减, 而)(x f 在0x =与2x =处都连续, 且(0)10f =>,(2)940f m =-<故 )(x f 在[]0,2上只有一个根.导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的. 2.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体性概念.利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是: （1）根据求导法则对函数求出导数. （2）令导数等于0,解出导函数的零点. （3）分区间讨论,得数的单调区间. （4）判断极值点,求出极值.（5）求出区间端点值与极值进行比较,求出最值.出函例 5 设21x x 、是函数()0)(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点.(1)若1x =-1,2x =2,求函数)(x f 的解析式; (2)若1x +2x =22,求)(x f )的最大值;解 分析:(1)()0)(223>-+=a x a bx ax x f ,()()02322>-+='∴a a bx ax x f依题意有()01=-'f , ()02='f ,∴0232=--a b a 04122=-+a b a 解得6=a9-=b ,∴x x x x f 3696)(22-+=. (2))0(23)(22'>-+=a a bx ax x f ,依题意, 21x x 、是方程0)('=x f 的两个根,且1x +2x =22, ∴82)(2121221=++-+x x x x x x .∴82)()32(332=+-⨯-a a a b ,∴)6(322a a b -=.60,02≤<∴≥a b . 设)6(3)(2a a a p -=),则()a a a p 3692+-='. 由()0>'a p 得40<<a ,由()0>'a p 得4>a .即:函数 )(a p 在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数, ∴当a =4时, )(a p 有极大值为96,∴)(a p )在(0,6]上的最大值是96, ∴b 的最大值为46.从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类测试中方能得心应手.例6 (2005年山东卷)已知函数1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点, 其中,m n R ∈, 0m <.(1)求m 与n 的关系表达式； (2)求()f x 的单调区间；(3)当[1,1]x ∈-时, 函数()y f x =的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m , 求m 的取值范围.分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定m 与n 的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论. 解(1)2()36(1)3f x mx m x m n '=-+++由1x =是()f x 的一个极值点, 知(1)0f '=, 即36(1)0m m n -++=,36n m ∴=+(2)由(1), 得2()36(1)35f x mx m x m '=-+++23(1)[(1)]m x x m=--+ 由0m <知, 211x m >+, 当x 变化时, ()f x 与()f x '的变化如下： x 2(,1)m -∞+ 21m + 2(1,1)m+1(1,)+∞ '()g x0< 0 0> 00< ()g x递减 极小值 递增 极大值 递减由上可知,()f x 在区间(1,)+∞和2(,1)m -∞+上递减,在区间2(1,1)m+上递增.(3)由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m -++>,即当11x -≤≤时,有2122(1)0x x m m-++<.① 设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩即2212010m m ⎧+++<⎪⎨⎪-<⎩解之得, 43m -<,又0m <,所以403m -<<.即m 的取值范围为4(,0)3-.3 导数在证明等式和不等式问题中的应用3.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等. 例 7 求证：1(0)x e x x >+>分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数()1x f x e x =--；再对()f x 进行求导, 得到'()f x ；然后观察得到当0x >时, '()0f x >, 即()f x 在0x >时是增函数；最后可得当0x >时, ()(0)0f x f >=, 即1x e x >+.解：令()1x f x e x =-- 则'()10x f x e =->()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.∴当0x >时, ()(0)0f x f >=即1(0)x e x x >+>.3.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利用函数的导数达到解决问题的目的. 例 8 求证:arctan arccot 2x x π+=证明：设)(cot arctan x f x arc x =+ 则01111)(22=+-+='xx x f 从而)()(为常数c c x f = 令1=x 得244)(πππ=+=x f , 于是2cot arctan π=+x arc x4 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.例 9 已知数列{}n a 的通项)10(2n n a n -=()*Z ∈n , 求数列{}n a 的最大项. 解作辅助函数)0)(10()(2>-=x x x x f , 则2320)(x x x f -='.令0)(>'x f 得3200<<x ； 令0)(<'x f 得0<x 或320>x .)(x f 在区间)320,0(上是增函数, 在区间),320(+∞是减函数.因此, 当320=x 时函数)(x f 取到最大值.对*Z ∈n , )10()(2n n n f -=,144)6(147)7(=>=f f 147)(max =n f所以数列{}n a 的最大项为1477=a .5 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面. 5.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作：y 是x 的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆()()222x a x b R -+-=, 两边对x 求导, 则有()()022='-+-x y b y a x , 所以在切点(),m n 处的切线斜率bn am y k n y m x x ---='===,|.从而求出切线方程是()()()()2x a m a y b n b R --+--=.类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程.如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切(如图1).此时缩小的曲线方程如()()()222x a x b tR -+-=, ()()22221x y ta tb +=, 两边对x 求导, 可发现并不改变原程求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是x y '在中点处的值.图25.2 求中点弦方程例 10 已知双曲线方程2222x y -=, (1)求以()1,2A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点()1,1B , 能否作直线L , 使L 与所给双曲线交于Q P 、两点, 且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在, 求出它的方程；如果不存在, 说明理由.解对2222x y -=两边求导, 得024='-x y y x (1)以()1,2A 为中点的弦的斜率2|1,2='===y x x y k , 所以所求中点弦所在直线方程为12(1)y x -=-(2)以()1,1B 为中点的弦的斜率2|1,2='===y x x y k , 所以所求中点弦所在直线方程为12(1)y x -=-, 即210x y --=,但与双曲线方程2222x y -=联立消去y 得22430,80x x -+=∆=-<, 无实根.因此直线l 与双曲线无交点, 所以满足条件的直线l 不存在.点评：(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.AMB5.3 证明与中点弦有关的不等式例11 已知椭圆()012222>>=+b a by a x , A 、B 是椭圆上两点, 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P )0,(0x , 求证：ab a x a b a 22022-<<--. 证明：设AB 的中点是()n m P ,, 则中点P 在椭圆内, 所以 (1)对椭圆12222=+b y a x 两边求导有02222='+x y b y a x , 得22ya xb y x -=' 故中点弦AB 的斜率22.|namb y k n y m x x -='=--, 所以线段AB 的垂直平分线斜率满足：220mbna x m o n =--, 得2220b a a x m -=. 代入(1)式得ab a x a b a 22022-<<--. 5.4 求与中点弦有关的轨迹问题例 12 已知定点A (0, 2), 椭圆12122=+y x , 过A 任意引直线与椭圆交于两点Q P 、, 求线段PQ 中点的轨迹方程.解设线段PQ 的中点为()y x M,.对椭圆12122=+y x 两边求导, 得x y y x '+2=0所以PQ 的斜率为yxk 2-=.又PQ AM k k =,所以yxx y 212-=--. 化简即得04222=-+y y x (在椭圆12122=+y x 内的部分).综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.。